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2. Cristalografia 2.1. Estruturas cristalinas Sistemas cristalinos Reticulados de Bravais Estrutura cúbica simples Estrutura cúbica de corpo centrado Estrutura cúbica de face centrada Estrutura Hexagonal compacta 2.2. Direções e Planos Cristalográficos Direções cristalográfica (índices de Miller) Planos cristalográficos 2.3. Notação de Miller-Bravais para direções e planos do sistema hexagonal 2.4. Densidade atômica linear e planar 2.5. Direções e planos compactos 2.6. Posições intersticiais do reticulado Conteúdo Programático ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2.1. Estruturas cristalinas Arranjo atômico dos materiais: sem ordenamento (gases) ordem a curta distância (cerâmicos e polímeros = material amorfo) ordem a longa distância (metais, cerâmicos, semicondutores) Os pontos de rede (átomos) possuem um arranjo alumínio magnésio periódico de tal forma que os vizinhos de cada ponto seja idênticos. Estrutura cristalina é uma regular repetição de um arranjo atômico cristalino Estrutura cristalina depende tamanho forma arranjo dos átomos célula unitária ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.1.1. Sistemas cristalinos Célula unitária é a menor divisão da rede cristalina Parâmetros da rede cristalina a, b, c = comprimentos interatômicos , , = ângulos entre os eixos cristalográficos As estruturas cristalinas no espaço tridimensional se formam apenas em 7 formas geométricas diferentes. (comprovação por difração de raios-X) ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.1.2. Reticulados de Bravais Arranjo espacial dos átomos nas células unitárias Existem 14 possibilidades de reticulados Representação por pontos ou pelo modelo das esferas rígidas ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.1.3. Estrutura cúbica simples No de átomos/célula = 8 x 1/8 = 1 No de coordenação = 6 Fator de Empacotamento Atômico = FEA = volume do átomo = 4/3 . . R3 parâmetro de rede = a Achar relação a = f (R ) volume da célula = a3 a = 2R FEACS = 0,52 Densidade = = no de avogadro = 6,02.1023 átomos/mol 2.1.4. Estrutura cúbica de corpo centrado No de átomos/célula = 8 x 1/8 + 1 = 2 No de coordenação = 8 FEA Relação a = f (R ) D = R +2R +R d2 = a2 + a2 FEACCC= 0,68 unitáriacéluladavolume átomo)do(volume xula)átomos/cél(no )(n xunitária)célulada(volume átomo)doatômica(massa xula)átomos/cél(n o o deAvogadro ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 3 4Ra 2.1.5. Estrutura cúbica de face centrada No de átomos/célula = 8 x 1/8 + 6 x 1/2 = 4 No de coordenação = 12 FEA Relação a = f (R ) d = R +2R +R d2 = a2 + a2 FEACFC= 0,74 Exemplos: -Fe, V, Cr, Mo e W Seqüência de empilhamento dos planos compactos (111) = ABC ABC ABC …… ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2 4Ra 2.1.6. Estrutura hexagonal compacta No de átomos/célula = 12 x 1/6 + 2 x 1/2 + 3 = 6 No de coordenação = 12 FEAHC= 0,74 Seqüência de empilhamento dos planos compactos (111) = AB AB AB …… Célula Unitária do HC No de átomos/célula = 4 x 1/12 + 4 x 1/6 + 1 = 2 No de coordenação = ? (8) FEAHS= ? ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.1.6. Estrutura hexagonal compacta Cálculo do FEAHC ABase = 3 x área ACDE = 3 x CD x BC CD = a = 2R Relação entre c e a para caso ideal: Os átomos JLMK estão juntos e formam um tetraedro JM = JK = a = 2.R O átomo M está na metade da altura entre as faces inferior/superior MH = c/2 O triângulo JHM átomo M está na metade da altura entre as faces inferior/superior ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia HCvolume R. 3 4 x6 3 FEA 2 32.R.30cos..2 0 RBC 3.6 2 32.R.).2.(3 2RRABaseHC 2 22222 2 )(......)()()( cJHaMHJHJM 2.1.6. Estrutura hexagonal compacta Cálculo do FEAHC Relação entre c e a para caso ideal: O comprimento JH é considerado como: Substituindo: Retornando ao cálculo do FEA: ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia Rac a c cacJHa .2.633,1.633,1......633,1 3 8 232 )( 222 22 3 ...... 2 3 JH a/230cos 0 aJH 3 2 .633,1.3.12 .3..6..6 RV cRcAreaV célulaHC ACDEcélulaHC 74,0 .(1,633).R312. R. 3 4 x6 3 3 FEA 2.2. Índices de Direções e Planos Cristalográficos Sistema de coordenadas para identificar pontos, direções e planos da rede cristalina Índices de Miller para direções e planos do sistema cúbico (3 eixos coordenados x, y , z) Índices de Miller-Bravais para direções e planos do sistema hexagonal (4 eixos coordenados a1, a2, a3, c) 2.2.1. Direções cristalográficas Determine dois pontos pertencentes a direção desejada Projetar os comprimentos a, b e c nos eixos coordenados (Fazer a diminuição entre o ponto inicial -seta- menos ponto final) Números h, k e l são os menores valores inteiros (x ou ) Direção negativa representada pelo sinal “-” sob o número Notação individual = [ h k l ] família de direções = < h k l > Exemplo<100> = possui 6 direções = [100], [010], [001] [100], [010], [001] ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.2.2. Planos cristalográficos Determinar pontos do plano que interceptam os eixos coordenados x, y, z. Pode-se alterar a origem para facilitar a visualização Fazer os inversos Números h, k e l menores valores inteiros Notação individual = (h k l) família de direções (equivalência) = {h k l} Exemplo <100> = possui 3 planos = [100], [010], [001] planos equivalentes ou paralelos [100], [010], [001] Determine os planos na figura ao lado. ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.3. Notação para células hexagonais Notação (índices de Miller-Bravais) Sistema de coordenadas com 4 eixos (a1, a2, a3 e c) individual = [h k i l] e (h k i l) família de direções e planos (equivalência) = <h k i l> e {h k i l} Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i As regras utilizadas são similares ao do sistema de 3 eixos. Conversão entre os sistemas de três (h´ k´ l´) e quatro eixos coordenados (h k i l): h = 1/3 (2h´ - k´) k = 1/3 (2k´ - h´) i = - (h+k) l = l´ Devido a geometria espacial deste sistema: h +k = -i Mostre numa célula unitária: planos basais {0001} planos prismáticos do tipo I : {10-10} planos prismáticos do tipo II: {11-20} planos piramidais do tipo I: {10-11} planos piramidais do tipo II: {11-21} Determine o número de planos para cada famíliade planos acima Fazer exercícios dos livros: Reed-Hill e Padilha. ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.3. Células hexagonais Utilizar o esquema da figura abaixo para direções de Miller-Bravais Devido a geometria espacial deste sistema: h+k = -i Regra para mostrar uma determinada direção: deslocar o ponto central no sentido de cada eixo (a1, a2 e a3) a ligação do ponto inicial ao ponto deslocado indica a direção Se o índice “c” for diferente de 0, a direção estará fora do plano do papel, e deve ser corrigido através da elevação do ponto deslocadodo valor de “c” Regra para identificar o índice desenhe a direção no sistema de 3 eixos e determine o índice utilize as equações de conversão de 3 para 4 eixos ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.4. Densidade Atômica Linear - DAL • Análogo ao fator de empacotamento atômico, que corresponde à densidade volumétrica de átomos, podemos definir a densidade linear atômica (DAL) Densidade Atômica Linear =DAL = DAL Callister = Número de Raios na Direção/Comprimento da direção • Exemplo Calcule a DAL das direções <100> na rede CFC No de interceptados = ½ + ½ = 1 Para CFC => a = 4R/ 2 Comprimento da direção = a = 4R/ 2 DAL = 1 x 2/4R = 0,354/R átomos/nm Callister Número total de átomos = 1 + 1 = 2 Comprimento total de átomo = 2 x Raio de 1 átomo = 2R Comprimento da Direção = a com a = 4R/ 2 DAL = 2R/a = 2R/ 2R 2 = 1/ 2 = 0,707 (sem unidades) ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia nm átomos hkll direçãodaocompriment direçãopeladosinterceptaátomosdedeno ][ 2.4. Densidade Atômica Linear - DAL Densidade Atômica Linear =DAL = Direções CCC ( a = 4R/ 3) <100> DAL = 1 /a = 3/4R = 0,433/R <110> DAL = 1/a 2 = 3/4R = 0,306/R <111> DAL = 2 /a 3 = 2/2R = 0,5/R Direções CFC ( a = 4R/ 2) <100> DAL = 1 / a = 2/4R = 0,354/R <110> DAL = 2/a 2 = 2/2R = 0,707/R <111> DAL = 1/a 3 = 2/4R 3 = 0,204/R DETERMINE OS VALORES SEGUNDO O Callister ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia nm átomos hkll direçãodaocompriment direçãopeladosinterceptaátomosdedeno ][ 2.5. Densidade Atômica Planar - DAP Densidade Atômica Planar =DAP = DAP Callister = DAP acima, mas mútiplica a fração átomos por R2 (admensional). • Exemplo Calcule a DAP dos planos {100} na rede CFC Fração de átomos no plano = ¼ x 4 + 1 = 2 átomos Para CFC => a = 4R/ 2 Área do Plano = a2 = 8R2 DAL = 2/8R2 = 1/4R2 = 0,25/R2 átomos/nm2 Callister Fração de átomos no plano = ¼ x 4 + 1 = 2 átomos Para CFC => a = 4R/ 2 Área do Plano = a2 = 8R2 DAL = 2(R2)/8R2 = /4 = 0,785 (admensional) ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2][ planodoárea planoaoepertencentátomosdosfração nm átomos hklp 2.5. Densidade Atômica Planar ( DAP) Densidade Atômica Planar = Planos CCC ( a = 4R/ 3) {100} DAP = (¼ x 4) /a2 = 1/16R2/3 = 0,188/R2 {110} DAP = (¼ x 4 + 1)/a . a 2 = 2/a2 2 = 2/(16R22)/3 DAP = 6/162R2 = 0,265/R2 {111} DAP = (1/6 x 3)/(b.h)/2 = (1/2)/ (16. 3/6) . R2 DAP = 3/16. 3. R2 = 0,108/R2 b = a 2 h2 = (b/2)2+ a2 h2 = (a2.2/4) + a2 h = 3/ 2 . a A = (a 2) . ( 3/ 2 . a)/2 A = ( 3/2) . a2 = (16. 3/6) . R2 ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2][ planodoárea planoaoepertencentátomosdosfração nm átomos hklp 2.5. Densidade Atômica Planar ( DAP) Densidade Atômica Planar = Planos CFC ( a = 4R/ 2) {100} DAP = (¼ x 4 + 1) /a2 = 2/16R2/2 = 0,250/R2 {110} DAL = (¼ x 4 + 1/2 x 2 )/a . a 2 = 2/a2 2 = 2/(16R22/2) DAL = 4/16.2R2 = 0,177/R2 {111} DAL = (1/6 x 3 +1/2 x 3 )/ b.h/2 = (2)/ (16. 3/6) . R2 DAL = 2/4. 3. R2 = 0,289/R2 b = a 2 h2 = (b/2)2+ a2 h2 = (a2.2/4) + a2 h = 3/ 2 . a A = (a 2) . ( 3/ 2 . a)/2 A = ( 3/2) . a2 = (4. 3) . R2 DETERMINE OS VALORES SEGUNDO O Callister ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2][ planodoárea planoaoepertencentátomosdosfração nm átomos hklp 2.6. Alotropia, Anisotropia Seqüência de empilhamento dos planos compactos Estruturas CFC e HC possuem FEA iguais (0,74) CFC os planos compactos são {111} e seqüência é ABCABCABC... HC os planos compactos são {0001} e seqüência é ABABAB... Se o no de coordenação e do FEA são iguais para as estruturas CFC e HC, então materiais com estasestruturas terão propriedades semelhantes? Alguns materiais podem se apresentar no estado sólido com diferentes estruturas. Este mudança é chamada de transformação alotrópica. Ela é normalmente acompanhada por variação de temperatura (Fe é CCC para baixas temperaturas e CFC para altas temperaturas). Estas diferenças no arranjo atômico das direções e dos planos compactos dos cristais promovem variações das propriedades em função da direção da medição Material isotrópico apresenta propriedades idênticas em qualquer direção cristalográfica da medição Material anisotrópico é aquele cujas propriedades dependem da direção cristalográfica da medição ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.7. Sistemas de Escorregamento • As redes CFC e HC são as mais densas do ponto de vista volumétrico (FEA = 0,74). • No entanto, existem planos e direções com valores diferentes de DAP e DAL. • Para cada rede existe um certo número de planos e direções compactos, ou seja, que apresentam maiores valore de DAP e DAL. • As direções compactas estão contidas em planos compactos. • Estes planos e direções serão fundamentais na deformação mecânica dos materiais, pois o processo ocorre normalmente através do deslizamento de planos. • O deslizamento é mais provável em planos e direções compactas porque nestes casos a distância que a rede precisa se deslocar é mínima. • Dependendo da simetria da estrutura, outros sistemas de deslizamento podem estar presentes. ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.8. Sistemas de Escorregamento ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia 2.9. Posições Intersticiais Posições intersticiais Seqüência de empilhamento dos planos compactos Estruturas CFC e HC possuem FEA iguais (0,74) HC os planos compactos são {0001} e seqüência é ABABAB... CFC os planos compactos são {111} e seqüência é ABCABCABC... ÁREA DE MATERIAIS E FABRICAÇÃOUFPE – CTG – DEMEC – Curso de Pós-graduação em Engenharia Mecânica 2. Cristalografia Slide2 Slide13 Slide7 Slide14 Slide8 Slide9 Slide15 Slide18 Slide19 Slide10 Slide16 Slide11 Slide21 Slide12 Slide26 Slide25 Slide24 Slide28 Slide22 Slide30 Slide31 Slide20
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