CINEMATICA UNID1 PDF 1

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INTRODUÇÃO 
 O programa da disciplina está dividido em três unidades. 
 1ª Unidade 
o Tópico 1 – Introdução à Dinâmica 
o Tópico 2 – Cinemática de partículas 
o Tópico 3 – Cinemática de corpos rígidos 
 
 2ª Unidade 
o Tópico 4 – Cinética de partículas 
o Tópico 5 – Cinética de corpos rígidos 
 
 3ª Unidade 
o Tópico 6– Cinética de Sistemas de Partículas Conectadas 
o Tópicos Especiais 
 
 
2 
 
TÓPICO 1 – Introdução à Dinâmica 
 Sistemas de Unidades 
 Conceitos básicos 
 Leis de Newton 
 
SISTEMAS DE UNIDADES 
 Existem três sistemas de unidades: Absoluto, Gravitacional e dos Engenheiros. Os sistemas 
absoluto e gravitacional são coerentes o que significa dizer que as grandezas derivadas são definidas 
conforme o exemplo: 
1unid de Força=1unid de massa x 1unid de aceleração: 1N=1kgx1m/s2 
1unid de Potência=1unid de torque x 1unid de velocidade angular: 1W=1Nmx1rad/s 
 
 Além disso, sempre que se utilizar as unidades de um mesmo sistema coerente as leis físicas 
podem ser aplicadas e as equações correlacionadas podem ser resolvidas sem transformações de 
unidades. Por exemplo, no caso da lei de conservação de energia e com as unidades do MKS tem-se: 
Trabalho: U1-2 = F x X → U1-2 (J)=F(N) x X(m) 
Energia cinética: T = 1/2 m x V2 → T(J)=1/2 m(kg) x V2(m/s) 
Energia potencial gravitacional: Vg = m x g x h → Vg(J)=m(kg) x 9,81m/s2 x h(m) 
Energia potencial elástica: Ve=1/2 K X2 → Ve(J)=1/2 K(N/m) X2(m) 
 A lei de conservação pode ser aplicada na forma: U1-2 =T + Vg + Ve 
 No caso do Sistema dos Engenheiros, que não é coerente, as equações derivadas das leis 
físicas devem utilizar uma constante Gc de conversão de unidades cuja finalidade é transformar todas 
as unidades para um mesmo sistema coerente. Por exemplo, para a 2ª Lei de Newton se forem usadas 
as unidades: F(kgf), m(kg) e a(m/s2) deve-se usar a equação na forma: 
 𝐹 =
𝑚 𝑎
𝑔𝑐
 (1.1) 
3 
 
Onde: 𝑔𝑐 = 9,81
 𝑘𝑔 𝑚/𝑠2
𝑘𝑔𝑓
 (1.2) 
 O uso da constante gc permite que a força F possa ser calculada em kgf sendo a massa dada 
em kg. Na realidade, era de se esperar que o resultado para F fosse em Newton. As tabelas abaixo 
mostram as unidades primitivas e derivadas dos sistemas Absoluto e Gravitacional. Deve-se observar 
que cada sistema possui uma representação com unidades de natureza decimal (metro, kg, etc) e 
outra representação com unidades inglesas (usadas nos Estados Unidos, Inglaterra, etc). 
1)Sistema Absoluto 
GRANDEZA MKS (SI) fps (inglesa) 
primitivas Massa (M) Kg lbm 
Comprimento (L) m pé 
Tempo (T) s s 
derivada Força (F) N poundal 
 
2)Sistema Gravitacional (Técnico) 
GRANDEZA Decimal inglesa 
primitivas Força (F) Kgf lbf 
Comprimento (L) m pé 
Tempo (T) s s 
derivada Massa (M) UTM slug 
 
 No sistema gravitacional, o valor de uma unidade da grandeza força é definido pelo peso de 
uma massa de 1 kg ao nível do mar. Da mesma forma, uma massa de 1lbm tem um peso de 1lbf, ao 
nível do mar. Na representação inglesa, o valor de gc, visto na equação 2.2 é dado por: 
 𝑔𝑐 = 32,17
 𝑙𝑏𝑚 𝑝é/𝑠2
𝑙𝑏𝑓
 (1.2a) 
 Além disso, as relações entre as unidades dos dois sistemas, assim como valores de algumas 
grandezas derivadas, são apresentadas abaixo. 
1UTM=9,81kg; 1slug=32,17lbm; 1lbm=0,454 kg 
4 
 
1lbf=0,454kgf; 1kgf=9,81N; 
1pé=12pol; 1pol=2,54cm; 
1rps=60rpm; 1rps=2 rd/s; 
1cv=735,7w; 1hp=746, w; 
1kgf/cm2=14,22psi (1psi=1lbf/pol2); 1Pa=1N/m2; 
g=9,80665m/s2=32,1740pe/s2; 
 
Cálculo da constante Gc 
 As tabelas acima apresentam quatro conjuntos de unidades. A resolução de qualquer equação 
que represente uma lei física deve ser realizada utilizando as unidades de um mesmo conjunto. No 
caso de se utilizar unidades de mais de um conjunto, recai-se no sistema de engenheiros. Isto ocorre 
Também deve se usar Gc se forem utilizadas unidades não padronizadas tais como centímetro, 
polegada, quilômetro, grama, tonelada, cavalo vapor (cv), horse power (hp), etc. No exemplo abaixo, 
faz-se o cálculo da área de retângulo com unidades não padronizadas. Neste caso, a área A deve ser 
obtida em pol2 sendo as dimensões a em cm e b em pé. 
 Para que a equação de área do retângulo não seja alterada é necessário garantir que a 
constante Gc seja um número puro e de valor unitário. A função é transformar o conjunto de unidades 
dado em um dos quatro conjuntos dados nas tabelas acima. Além disso, tem-se que: 
[𝐺𝑐] =
𝑐𝑚 𝑝𝑒
𝑝𝑜𝑙2
 → 𝐾 =
1
[𝐺𝑐]
=
𝑝𝑜𝑙2
𝑐𝑚 𝑝𝑒
𝑥 
2,54𝑐𝑚
1 𝑝𝑜𝑙
𝑥
1 𝑝𝑒
12 𝑝𝑜𝑙
= 0,211 
Assim tem-se: 𝐴(𝑝𝑜𝑙2) =
𝑎(𝑐𝑚)𝑏(𝑝𝑒)
0,211
𝑐𝑚 𝑝𝑒
𝑝𝑜𝑙2
=
𝑎(𝑐𝑚)𝑏(𝑝𝑒)
0,211
 
Tem-se que na fórmula é normal utilizar apenas o valor de K (sem as unidades). 
 
b 
a 
𝐴(𝑝𝑜𝑙2) =
𝑎(𝑐𝑚)𝑏(𝑝𝑒)
𝐺𝑐
 
 
Sendo: 𝐺𝑐 = 𝐾 [𝐺𝑐] = 1 
Fig.1.1 
5 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
Sistema de referência é um conjunto imaginário de eixos retangulares. Para as leis da mecânica 
newtoniana usa-se o sistema de referência básico chamado de Sistema Inercial Primário ou 
Referencial Astronômico que se supõe não ter translação ou rotação no espaço. As medidas de 
grandezas feitas em ralação a este referencial são ditas absolutas e, desde que, as velocidades 
envolvidas sejam desprezíveis em relação à velocidade da luz (300000km/s) este referencial pode ser 
considerado fixo no espaço. 
A análise do movimento de objetos feitas a partir de um referencial fixo à superfície da terra 
apresenta diferenças quando comparados com as medições feitas a partir do Referencial 
Astronômico, no entanto, “para a maioria dos problemas de engenharia envolvendo máquinas ou 
estruturas fixadas na superfície da terra as correções são extremamente pequenas e podem ser 
desprezadas”. As diferenças nas medições entre estes dois referenciais são significativas quando se 
analisa a trajetória de um foguete ou de voos espaciais. Desta forma, exceto nestes casos, o 
referencial fixo a superfície da terra pode ser considerado um referencial fixo e as medições feitas a 
partir dele podem ser consideradas absolutas. Vale salientar que este referencial fixo à superfície da 
terra gira em relação a um referencial, fixo e sem girar, no eixo da terra. O efeito da rotação da terra 
reduz o valor da aceleração gravitacional para objetos situados em sua superfície. Isto é visto na 
figura 1.2. 
 
Fig. 1.2 – Variação da aceleração da gravidade com a latitude 
6 
 
 O valor da aceleração da gravidade relativo ao referencial no eixo da terra sem girar pode 
ser calculado por: 𝑔 = 𝐺
𝑀𝑇
𝑟2
 (1.3) 
O valor de g considerando o raio médio da terra R=6371km e sua massa MT=5,976 1024 kg, é 
igual a 9,825 m/s2 ao nível do mar. No entanto, o movimento de rotação da terra reduz o valor de g 
que varia também com a latitude. Por isso, o valor padrão de g, segundo a Fórmula Internacional da 
Gravidade, ao nível do mar, é calculado para uma latitude de 45º resultando em g=9,80665m/s2. 
Partícula. Todo corpo com dimensões desprezíveis é uma partícula. Na prática, desde que todos os 
pontos de um corpo tenha a mesma característica cinemática, isto é, mesma velocidade e aceleração, 
o que corresponde ao movimento de translação pura, pode ser considerado como partícula. Assim 
sendo, um avião em movimento retilíneo pode ser considerado como partícula desde que as 
extremidades de suas asas não tenham movimentos transversais. 
Corpo rígido. É um corpo de dimensões finitas (não desprezíveis) cujas mudanças de forma devido adeformações elásticas são desprezíveis quando comparadas com as dimensões gerais do corpo. Na 
prática, deve-se observar que a distância entre dois pontos quaisquer do corpo rígido deve 
permanecer inalterada ao longo da trajetória descrita pelo movimento. 
LEIS DE NEWTON 
1ª LEI – Uma partícula permanece em repouso ou continua em movimento retilíneo uniforme se há 
equilíbrio das forças que agem sobre ela. 
2ª LEI – A aceleração de uma partícula é proporcional à força resultante que age sobre ela e está na 
mesma direção e sentido dessa força. 
 �⃗�𝑟𝑒𝑠 = 𝑚�⃗� (1.4) 
3ª LEI – As forças de ação e reação entre corpos que interagem são iguais em módulo e possuem 
mesma direção e sentidos contrários. 
Princípio de D’Alembert 
 Quando uma partícula está sujeita a ação de uma força resultante �⃗�𝑟𝑒𝑠 = 𝑚�⃗� ela reage com 
uma força −𝑚�⃗� que é entendida como uma resistência a seu movimento. Esta resistência é definida 
como força inercial (devido ao efeito de massa), isto é: 
7 
 
 �⃗�𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 = −𝑚�⃗� (1.5) 
Desta forma tem-se: �⃗�𝑟𝑒𝑠 + �⃗�𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 = 0 
 Quando se trata de um corpo rígido (CR), além da força inercial ele também reage com um 
torque inercial quando os esforços atuantes no CR produzem um momento resultante em relação a 
seu centro de massa G. Desta forma, a 2ª Lei de Newton se escreve na forma: 
 �⃗⃗⃗�𝑟𝑒𝑠𝐺 = 𝐼�⃗� (1.4a) 
 Da mesma forma, tem-se que o momento inercial, que reage ao movimento angular 
acelerado é dado por: 
 �⃗⃗⃗�𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝐺 = −𝐼�⃗� (1.5a) 
 Os esforços inerciais representam cargas adicionais que atuam em componentes de 
máquinas. 
 
 
8 
 
TÓPICO 2 – CINEMÁTICA DE PARTÍCULAS 
 A cinemática de partículas é estudada para dois tipos de movimento: i)Retilíneo 
(unidirecional) e ii)Curvilíneo plano (bidimensional). O movimento curvilíneo espacial 
(tridimensional) é também estudado de forma sucinta. O movimento plano curvilíneo é o de maior 
interesse pois é o que se aplica à maioria das máquinas. 
1 – Movimento Retilíneo. 
 
Da figura ao lado, tem-se: 
 O : ponto de referência (num referencial fixo). 
 P: posição da partícula no instante t 
 P’: posição da partícula no instante t+t 
A velocidade média, no trecho PP’, pode ser calculada na forma: �̅� = �⃗⃗�𝑚𝑒𝑑 =
∆𝒔
∆𝑡
 
Por outro lado, a velocidade instantânea num ponto qualquer da trajetória OP pode ser calculada na 
forma: 
 �⃗⃗� =
𝑑𝒔
𝑑𝑡
= �̇� 
 A aceleração média no trecho PP’, vale: �̅� = �⃗�𝑚𝑒𝑑 =
∆𝒗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∆𝑡
 
 A aceleração instantânea em um ponto P vale: �⃗� =
𝑑�⃗⃗⃗�
𝑑𝑡
= �̇� = �̈� 
 Na notação usada acima, os vetores podem ser apresentados na forma de negrito ou com a 
seta em cima do símbolo. As equações vetoriais acima podem ser reescritas de forma similar na forma 
escalar pois, como o movimento é retilíneo a componente do vetor na direção do movimento é 
sempre igual a seu módulo. Desta forma, pode-se escrever: 
𝑑𝑠 = 𝑣 𝑑𝑡 (2.1a) 
 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑡 (2.1b)
𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎 𝑑𝑠 (2.2) 
s s 
O P’ P 
Fig.2.1- Movimento retilíneo 
9 
 
 Embora as equações acima sejam escalares, em função de ser um movimento retilíneo, na 
forma mais geral do movimento, no caso o movimento curvilíneo plano, elas têm natureza vetorial, 
devendo-se observar que: 
 - o vetor velocidade é sempre tangente à trajetória porém sua variação 𝑑�⃗⃗� = 𝑑�⃗⃗�𝑡 + 𝑑�⃗⃗�𝑛 tem 
componentes na direção tangencial e na direção normal à trajetória. Isto gera um vetor aceleração 
que não é paralelo à trajetória que deve ser escrito na forma: . 
 �⃗� = �⃗�𝑡 + �⃗�𝑛 
 Assim sendo a equação (2.2), para o caso geral deve ser reescrita na forma: 
 𝑣 𝑑𝑣𝑡 = 𝑎𝑡 𝑑𝑠 (2.2a) 
 A figura 2.2 mostra o caso geral com os vetores e suas variações possíveis. Deve-se salientar 
que a velocidade V e a variação infinitesimal do deslocamento ds são vetores paralelos a trajetória. 
 
 
 
 
 
 Figura 2.2 – Esquema do movimento curvilíneo plano. 
 
 A equação (2.2 pode ser integrada membro a membro (m.a.m.): 
 ∫ 𝑣 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑠 → 𝑣𝑓
2 =
𝑠𝑓
𝑠𝑜
𝑣𝑓
𝑣𝑜
𝑣𝑜
2 + ∫ 2𝑎 𝑑𝑠 
𝑠𝑓
𝑠𝑜
 (2.3) 
 A forma final da equação 2.3 depende de como a aceleração varia. Dependendo do sistema 
físico, a aceleração pode ser constante ou pode variar com o tempo, com a posição ou com a 
velocidade. 
a) a=ct → 𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑜
2 + 2𝑎 𝑑 (2.3a) 
 𝑑 = 𝑠𝑓 − 𝑠𝑜 
V2 
ds 
dV 
V1 
V1 
V2 
10 
 
 A velocidade final também pode ser calculada em função do tempo decorrido t, com base na 
eq. (2.1b): 
 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎 𝑑𝑡 → 𝑣𝑓 =
𝑡
0
𝑣𝑓
𝑣𝑜
𝑣𝑜 + 𝑎𝑡 (2.3b) 
E da equação (2.1a), para a posição: 
 ∫ 𝑑𝑠 = ∫ 𝑣 𝑑𝑡 → 𝑠𝑓 = 
𝑡
0
𝑠𝑓
𝑠𝑜
𝑠𝑜 + 𝑣𝑜𝑡 +
𝑎
2
𝑡2 (2.3c) 
b) a=f(t) ∫ 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎(𝑡)𝑑𝑡 → 𝑣𝑓 = 𝑣𝑜 + ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 
𝑡
0
𝑡
0
𝑣𝑓
𝑣𝑜
 (2.3d) 
c)a=f(v) 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑎(𝑣) 𝑑𝑠 → ∫ 𝑑𝑠 = 𝑠𝑓 − 𝑠𝑜 = 
𝑠𝑓
𝑠𝑜
∫ 
𝑣𝑑𝑣
𝑓(𝑣)
𝑣𝑓
𝑣𝑜
 (2.3e) 
d) a=f(s) ∫ 𝑣 𝑑𝑣 = ∫ 𝑎(𝑠) 𝑑𝑠 → 𝑣𝑓
2 =
𝑠𝑓
𝑠𝑜
𝑣𝑓
𝑣𝑜
𝑣𝑜
2 + ∫ 2𝑓(𝑠) 𝑑𝑠 
𝑠𝑓
𝑠𝑜
 (2.3f) 
 
11 
 
Problemas demonstrativos 
Exemplo 2.1 (PR 2.3)- O cursor montado entre molas se move em uma guia horizontal com atrito 
desprezível e tem uma velocidade vo no sentido s quando cruza a posição central em que s=0 e t=0. 
As duas molas em conjunto exercem uma força para retardar o movimento do cursor, o que lhe 
confere uma aceleração proporcional ao deslocamento, mas com sentido oposto e de valor a= -k2s, 
onde k é constante. 
 
12 
 
Exemplo 2.2 (2/23) – Pequenas bolas de aço caem do repousoatravés da abertura em A a uma taxa 
constante de duas por segundo. Encontre a separação vertical h de bolas consecutivas quando a 
mais baixa tiver caído 3m. Despreze a resistência do ar. 
 
 
Exemplo 2.3 – Uma partícula, inicialmente em repouso, é acelerada em um movimento retilíneo 
conforme figura abaixo. Determine a velocidade máxima atingida pela mesma. 
 
 
13 
 
2 – Movimento curvilíneo plano (2D) 
 O estudo do movimento de partículas no plano exige o uso de sistemas de coordenadas com 
duas dimensões. Devido a isto, é necessário representar de forma adequada as grandezas vetoriais 
tais como posição, velocidade e aceleração, lembrando que a definiçao de um vetor exige a 
especificação de módulo, direção e sentido. Também define-se a medida escalar de um vetor como 
seu módulo. Por exemplo, a velocidade escalar do movimento de uma partícula dada por: �⃗⃗� = 3𝑖 +
4𝑗 vale v=5m/s. Por outro lado, as grandezas escalares tais como massa, tempo, energia, etc, são 
especificados apenas por uma medida. 
Os principais sistemas de coordenadas são: a)cartesiano (de coordenadas retangulares com 
direções x e y), b)Polar (de coordenadas polares r e ) e c)de Trajetória (de coordenadas n e t). A 
figura abaixo mostra com mais detalhes as variações de posição e velocidade de um ponto A. 
 
Figura 2.3 - Análise do movimento plano com as variações de posição e velocidade de um ponto A 
 
2.1 - Sistema de Coordenadas Retangulares (x,y). Considerando que o sistema de eixos x,y é fixo, 
tem-se que os versores i e j são constantes (não mudam de direção), de forma que velocidade e 
aceleração podem ser calculadas combase na derivação das cordenadas de posição. 
 (2.3) 
 
14 
 
 
Figura 2.4 – Sistema de coordenadas Retangulares 
 
2.2 - Sistema de Coordenadas Polares (r,) 
Neste sistema, o versor er é solidário à posição do ponto em movimento de modo que: 
𝑟 = 𝑟 𝑒𝑟⃗⃗ ⃗⃗ (2.4a) 
 �⃗� =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= �̇�𝑒𝑟 + 𝑟�̇⃗�𝑟 = �̇�𝑒𝑟 + 𝑟�̇�𝑒𝜃 (2.4b) 
�⃗� =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= ( �̈�𝑒𝑟 + �̇��̇⃗�𝑟) + [(𝑟 ̇ �̇� + 𝑟 �̈�)𝑒𝜃 + 𝑟�̇��̇⃗�𝜃] = (�̈� − 𝑟 �̇�
2)𝑒𝑟 + (𝑟 �̈� + 2𝑟 ̇ �̇�)𝑒𝜃 (2.4c) 
 No cálculo das derivadas dos versores 𝑒𝑟 𝑒 𝑒𝜃 deve-se observar que têm módulo unitário e 
que variações infinitesimais nos mesmos seguem o que mostra a figura abaixo. 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Análise das variações infinitesimais nos versores 𝑒𝑟 𝑒 𝑒𝜃. 
Tem-se que: 𝑑𝑒𝑟 = |𝑒𝑟 |𝑑𝜃 𝑒𝜃 → 
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑡
= �̇� 𝑒𝜃 (2.5a) 
e de 
d 
der 
e’r 
d 
e’ 
er 
15 
 
 𝑑𝑒𝜃 = |𝑒𝑟 |𝑑𝜃(− 𝑒𝑟) → 
𝑑𝑒𝜃
𝑑𝑡
= −�̇� 𝑒𝑟 (2.5b) 
 Quanto à fixação dos eixos coordenados do sistema polar, o versor er aponta sempre para a 
partícula de modo que o versor e perpendicular a er, também muda sua direção, como mostra a 
figura abaixo onde a partícula descreve uma trajetória no plano. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – Aplicação de coordenadas polares ao movimento de uma partícula 
 
2.3 – Sistema de Coordenadas de Trajetória (n,t). 
Neste sistema, a trajetória descrita pela partícula define a orientação de seus eixos coordenados, 
como mostra a figura abaixo. A velocidade da partícula pode ser definida a partir de parâmetros 
da trajetória como por exemplo o raio de curvatura  mostrado na figura 2.7b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a)Esquema geral do movimento b)Parâmetros da trajetória 
Figura 2.7 – Aplicação de coordenadas de trajetória ao movimento de uma partícula. 
 
r’’ 
r’ 
r 
e’’r 
e’r 
e 
er 
et r’’ 
r’ 
r 
e’’
n 
e’n 
en 
Vt 
 
16 
 
Da figura 2.7b, tem-se para o vetor velocidade: �⃗⃗� = 𝑣𝑡 𝑒𝑡⃗⃗⃗⃗ 
onde: 𝑣𝑡 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝜌
𝑑𝛽
𝑑𝑡
= 𝜌�̇� (2.6) 
Para a aceleração tem-se: �⃗� = 𝑎𝑡 𝑒𝑡⃗⃗⃗⃗ + 𝑎𝑛 𝑒𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ (2.7a) 
onde 𝑎𝑡 =
𝑑𝑣𝑡
𝑑𝑡
= 𝜌�̈� 𝑎𝑛 =
𝑣𝑡
2
𝜌
= 𝜌 �̇�2 (2.7b) 
 
TRANSFORMAÇÃO ENTRE SISTEMAS DE COORDENADAS 
 Seja o movimento de uma partícula representado vetorialmente em coordenadas 
retangulares por: 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 �⃗⃗� = 𝑣𝑥𝑖 + 𝑣𝑦𝑗 �⃗� = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑎𝑦𝑗 . Para se transformar estes 
vetores em coordenadas polares (r,) deve-se, de antemão, determinar-se a direção do versor er. 
Como este versor sempre aponta para a posição da partícula então ele torna-se paralelo a 𝑟 
independentemente do sistema de coordenadas em que 𝑟 é expresso. Quando a transformação é 
para o sistema de coordenadas de trajetória (n,t) então o versor 𝑒𝑡 que é paralelo a trajetória descrita 
pela partícula torna-se paralelo a �⃗⃗�. Para o caso geral, pode-se transformar a representação de um 
vetor �⃗⃗⃗⃗� = 𝑤𝑥𝑖 + 𝑤𝑦𝑗 dado em coordenadas retangulares para um sistema de coordenadas (U,V) tal 
que �⃗⃗⃗⃗� = 𝑤𝑢𝑒𝑢 + 𝑤𝑣𝑒𝑣 a partir do esquema dado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Esquema para transformação de vetores entre sistemas de coordenadas 
Tem-se que: 
 𝑤𝑢 = |�⃗⃗⃗⃗�|cos (𝜃 − 𝛼) (2.8a) 
 𝑤𝑣 = |�⃗⃗⃗⃗�|sen (𝜃 − 𝛼) (2.8b) 
Onde: |�⃗⃗⃗⃗�| = [𝑊𝑥
2 + 𝑊𝑦
2]1 2⁄ (2.9) 
Quando o sistema de coordenadas (U,V) corresponde ao polar, o ângulo  corresponde a 
direção do vetor posição. Por outro lado, se for o sistema de trajetória então o ângulo  corresponde 
à direção do vetor velocidade como pode ser visto no exemplo a seguir. 
 
 
 Wu 
Wv 
Wy W 
U 
V 
Y 
X 
Wx 
 
17 
 
Exemplo 2.4 (1º EE 2011.1) 
 O movimento de uma partícula é definido por: 𝑥 = 2𝑡2 − 4𝑡 𝑒 𝑦 = 2(𝑡 − 1)2 − 4(𝑡 − 1) 
onde x e y são dados em metros e t em segundos. Determinar: 
a)O valor mínimo da velocidade escalar da partícula e o instante correspondente (tmin). 
b)Os valores dos vetores posição, velocidade e aceleração em coordenadas retangulares para t= tmin. 
c)Idem para coordenadas polares e de trajetória. 
 
c)Em coordenadas polares. Para o vetor posição tem-se: �⃗� 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−1,5
−1,5
) = 225𝑜 → 𝛼 = 𝜃 
Tem-se: |𝑟| = [(−1.5)2 + (−1.5)2]1 2⁄ = 1,5√2 𝑚 → 𝑟 = 1,5√2 �⃗⃗�𝑟 𝑟 
Velocidade: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
−2
2
) = 315𝑜 𝑒 𝛼 = 225𝑜 → 𝜃 − 𝛼 = 90𝑜 𝑒𝑟 �⃗⃗� 
|�⃗⃗�| = [(2)2 + (−2)2]1 2⁄ = 2√2
𝑚
𝑠
 → �⃗⃗� = 0𝑒𝑟 + 2√2 𝑒𝜃 
Aceleração: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
4
4
) = 45𝑜 𝑒 𝛼 = 225𝑜 → 𝜃 − 𝛼 = −180𝑜 
|�⃗�| = [(4)2 + (4)2]1 2⁄ = 4√2 m/s2 → �⃗� = −4√2 𝑒𝑟 + 0 𝑒𝜃 
 
225o 
18 
 
d)Em coordenadas de trajetória. A direção do vetor et é definida pela direção da velocidade, isto é: =315o. 
Para a posição do ponto: =225o → 𝜃 − 𝛼 = −90𝑜 → 𝑟 = 0�⃗⃗�𝑡 − 1,5√2 �⃗⃗�𝑛 
Para a velocidade: =315o → 𝜃 − 𝛼 = 0𝑜 → �⃗⃗� = 2√2 �⃗⃗�𝑡 + 0�⃗⃗�𝑛 
Para a aceleração: =45o → 𝜃 − 𝛼 = −270𝑜 → �⃗� = 0�⃗⃗�𝑡 − 4√2 �⃗⃗�𝑛 
Raio de curvatura da trajetória no ponto de velocidade escalar mínima. Dos resultados acima tem-
se que: 
�⃗⃗� = 2√2 �⃗⃗�𝑡 + 0�⃗⃗�𝑛 → 𝑣𝑡 = 2√2 
𝑚
𝑠
 
 �⃗� = 0�⃗⃗�𝑡 − 4√2 �⃗⃗�𝑛 → 𝑎𝑛 = −4√2 �⃗⃗�𝑛 
Então tem-se: 𝑎𝑛 = 
𝑣𝑡
2
𝜌
 → 𝜌 =
𝑣𝑡
2
𝑎𝑛
=
8
4√2 
= √2 𝑚 (usar módulo de an) 
 
Exemplo 2.5. (2/128) Durante um curto intervalo as guias ranhuradas são projetadas para se deslocar 
de acordo com: 𝑥 = 16 = 12𝑡 + 4𝑡2 𝑒 𝑦 = 2 + 15𝑡 − 3𝑡2 onde x e y são em milímetros e t em 
segundos. No instante em que t=2s, determine o raio de curvatura  da trajetória do pino P. 
 
 
19 
 
 
Componentes de velocidade e aceleração angulares 
 
Exemplo: (1º EE/2014.2) Um manipulador robótico-extensível com uma pequena carga é mostrado. 
No instante atual, 𝜃 = 30, �̇� = 1,2𝑟𝑑/𝑠, �̈� = −5𝑟𝑑/𝑠2, 𝑟 = 1𝑚, �̇� = 5𝑚/𝑠, �̈� = 0,06 𝑚/𝑠2 
a)Escreva a expressão geral para os vetores de velocidade e de aceleração de carga. 
b)Utilize os valores paramétricos dados para obter as intensidades no instante atual da velocidade e 
aceleração da carga. aceleração da carga. 
 
 
 
 
20 
 
Ressolução 
 
 
 
MOVIMENTO RELATIVO 
 A análise do movimento plano de um ponto pode ser facilitada quando observada a partir de um 
referencial móvel. Neste caso, o valor da posição, velocidade e aceleração do ponto depende da posição, 
velocidade e aceleração do referencial móvel. Sendo A o ponto em análise e B a origem do referencial móvel, 
como na figura abaixo, tem-se que: 
 𝑟𝐴 = 𝑟𝐵 + 𝑟𝐴/𝐵 (2.10a) 
 �⃗⃗�𝐴 = �⃗⃗�𝐵 + �⃗⃗�𝐴/𝐵 (2.10b) 
 �⃗�𝐴 = �⃗�𝐵 + �⃗�𝐴/𝐵 (2.10c) 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 - Análise do movimento de um ponto A através de um referencial móvel. 
 
aB 
aA 
B 
VA 
VB 
Y 
rB 
rA 
A 
V 
X 
U 
rA/B 
21 
 
Caso especial: Movimento de um pino P em uma ranhura (Figura 2.10). Inicialmente, vamos supor que o 
braço que contéma ranhura não tem movimento de rotação embora possa ter movimento de translação em 
qualquer direção. Se o eixo X do referencial móvel está sempre solidário ao braço então o observador em B 
verá que a velocidade do pino é tangente à ranhura independentemente do movimento braço. 
Para o observador fixo em B, o movimento de P é dado por: 
𝑟𝑃/𝐵 = 𝑥 𝑖 
�⃗⃗�𝑃/𝐵 = �̇� 𝑖 
�⃗�𝑃/𝐵 = �̈� 𝑖 
 
Então para se obter os valores absolutos (em relação a um referencial Figura 2.10 
fixo) basta somar os vetores rP/B, VP/B e aP/B aos vetores correspondentes do movimento de B de acordo com 
as equações 2.10a, 2.10b e 2.10c). Se a ranhura for curva, o observador verá a trajetória do pino segundo o 
formato da ranhura. Neste caso, deve-se utilizar um referencial com coordenadas de trajetória onde apenas 
o vetor velocidade terá direção tangencial à ranhura. 
 O esquema do movimento mostrado na figura 2.9 pode ser expandido para os vetores posição, 
velocidade e aceleração, de forma independente, para um referencial fixo (X,Y), com mostrado na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
a)posição b)Velocidade c)Aceleração 
Figura 2.11 – Esquema expandido para análise do movimento relativo em um referencial fixo. 
 Deve-se ressaltar que no caso da posição relativa, o vetor rA/B sempre começa na posição do 
observador (ponto B) e termina no ponto observado (ponto A). Idem para a velocidade relativa com a 
B 
 
Y 
P 
x 
X 
rA/B 
rA 
Y 
A 
rB 
X 
VA/B 
X 
VA 
VB 
U 
Y 
aA/B 
X 
aB 
aA 
U 
Y 
22 
 
diferença que o observador está se movimentando com velocidade VB. Idem para a aceleração relativa. Os 
exemplos a seguir usam referenciais em movimento de translação com velocidade constante. 
Exemplo 2.6 - A guia ranhurada A é projetada para se deslocar para a direita com velocidade escalar 
VA=3m/s enquanto a guia ranhurada B é projetada para se deslocar para cima com velocidade escalar 
VB=5m/s. Determine a velocidade e a aceleração do pino (P) ao longo da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.12 – Movimento de um pino em guias com ranhuras 
Regras de construção do diagrama de velocidades 
i)A origem do referencial fixo único, isto é, todos os vetores que representam medidas absolutas devem partir 
deste ponto. Embora o referencial fixo seja ´único, os diagramas de velocidade e de aceleração podem ser 
construídos em separado para facilitar o entendimento. Em geral é a trajetória do ponto em movimento que 
define o tipo de coordenadas, neste caso, as coordenadas de trajetória. 
ii)Os vetores que representam medidas relativas devem ser posicionados na extremidade do vetor 
correspondente com a mesma direção e sentido visto pelo observador móvel. Por exemplo, na figura 2.12 o 
vetor VA (valor absoluto) parte da origem O. O vetor VB/A é adicionado na extremidade de VA com a direção da 
ranhura vertical. 
iii)Como o módulo de VB/A não é conhecido, traça-se um linha vertical e, a seguir, faz-se o mesmo procedimento 
para VB. Neste caso, ao se traçar a linha horizontal a partir da extremidade de VB haverá uma intersecção com 
a linha vertical o que define o ponto comum que representa a solução do problema. O vetor P é uma medida 
absoluta e deve ser traçado a partir da origem O. 
 Para o diagrama de aceleração, a regra é a mesma, no entanto, o vetor aceleração é traçado em 
função de suas duas componentes at e an que são perpendiculares entre si. Normalmente na resolução de 
problemas, a velocidade escalar vt do ponto é calculada em primeiro lugar de modo que a componente normal 
da aceleração an fica pré-definida com base na equação 2.7b. Normalmente, a componente at é somada à 
x VA 
VB 
P 
y B 
A 
VP/A 
VP/B 
VP 
VB 
VA O 
C 
23 
 
extremidade de an. No problema estudado, as velocidades das guias A e B são constantes e, como as hanhuras 
são retilíneas, a velocidade de P é constante. Desta forma, a aceleração de P é nula. 
Exemplo 2.7 – - A guia ranhurada A, inclinada de  graus para a direita, é projetada numa posição para 
se deslocar para a direita com velocidade escalar VA=3m/s enquanto a guia ranhurada B é projetada 
para se deslocar para cima com velocidade escalar VB=5m/s. Determine a velocidade e a aceleração 
do pino (P) ao longo da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.13 - Movimento de um pino em guias com ranhuras inclinadas 
Exemplo 2.8 – - A guia ranhurada A, formando um arco de circunferência de raio R conforme figura, é 
projetada numa posição para se deslocar para a direita com velocidade escalar VA=3m/s enquanto a 
guia ranhurada B é projetada para se deslocar para cima com velocidade escalar VB=5m/s. Determine 
a velocidade e a aceleração do pino (P) ao longo da trajetória. 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.14 - Movimento de um pino em guias com ranhuras curvas 
 Neste caso, a velocidade relativa do pino em relação a A tem direção tangente à ranhura no ponto 
P, conforme figura. Por outro lado, a velocidade relativa do pino em relação a é horizontal resultando da 
intersecção o valor de VP, como visto na figura 2.14. Adicionalmente, existe uma aceleração relativa do pino 
x 
y 
VP/B 
 
 
VB 
P 
B 
VP/A 
VP VB 
VA 
VA 
t 
VB 
P 
y 
B 
A 
VA 
x 
t 
VP/B 
VP/A 
VP VB 
VA 
24 
 
em relação ao ponto A devido à curvatura da ranhura. Mesmo que as barras ranhuradas se desloquem com 
velocidade constante, o pino ao descrever a trajetória curva produz um movimento acelerado. Esta é a 
componente normal da aceleração relativa do pino em relação a A dada por (aP/A)n sendo já previamente 
calculada em função da velocidade relativa escalar que corresponde, na figura acima, ao módulo da velocidade 
relativa VP/A. A componente tangencial é perpendicular à componente normal. O diagrama de aceleração é 
concluído pela aceleração relativa do pino em relação a B que é horizontal. (𝑎𝑃/𝐵)𝑛 =
𝑉𝑡
2
𝑅
=
(𝑉𝑃/𝐴)
2
𝑅
 
 
 
 
Figura 2.14 – Diagrama de aceleração relativa 
 
MOVIMENTO RELATIVO COM EIXOS GIRANTES. A análise do movimento do pino que se desloca em uma barra 
ranhurada que tem movimento de translação (vide figura 2.10) e movimento de rotação torna-se mais 
complexo que nos exemplos 2.6, 2.7 e 2.8. Neste caso, o sistema de eixos X,Y gira solidário à barra. Nesta 
condição de movimento com rotação, o observador posicionado no ponto B pode girar ou não. Se o obervador 
girar solidário à barra, ele verá o movimento de B como um movimento retilíneo na direção x. No entanto, se 
o observador não girar ele verá o movimento de P como uma composição do movimento na ranhura e do 
movimento de rotação da barra. 
 
 
 
 
 Figura 2.15 – Esquema do movimento de um ponto em movimento numa ranhura em rotação 
 Para representar o movimento relativo com eixos girantes, supõe-se que o ponto descreve uma 
trajetória tracejada que é solidária a um plano fixo no sistema de eixos (X,Y). O vetor velocidade tangente à 
trajetória, Vrel, representa a velocidade do ponto A relativa a um observador solidário aos eixos X,Y e, portanto, 
girando com eles. Se o observador não girar, ele verá o ponto A em movimento de rotação adicionado ao 
movimento na trajetória. Na figura abaixo, a posição de A em relação a B, denominado rA/B, será chamado de 
r, simplesmente. Assim tem-se: 
VB 
Y 
P 
x 
X 
B 
t 
C 
25 
 
 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 → �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 =
𝑑𝑟
𝑑𝑡
= 𝑥 ̇ 𝑖 + 𝑦 ̇ 𝑗 (2.11) 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.16 – Representação do movimento relativo com eixo girantes 
 A velocidade relativa deA em relação a B, VA/B, é dada por: 
 �⃗⃗�𝐴/𝐵 =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
= 𝑥 ̇ 𝑖 + 𝑦 ̇ 𝑗 + 𝑥
𝑑�̇⃗�
𝑑𝑡
 + 𝑦 
𝑑�̇⃗�
𝑑𝑡
 = 𝑥 ̇ 𝑖 + 𝑦 ̇ 𝑗 + 𝑥𝜔𝑗 − 𝑦𝜔𝑖 
Tem-se: �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� = 𝜔�⃗⃗� 𝑥 (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗) = 𝑥𝜔𝑗 − 𝑦𝜔𝑖 
 → �⃗⃗�𝐴/𝐵 = �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 (2.12) 
 O resultado mostra duas componentes da velocidade relativa VA/B: uma devido ao movimento de 
rotação do plano (X,Y) e outra devido ao movimento do ponto A no plano segundo a trajetória mostrada. 
 A aceleração relativa de A em relação a B, aA/B, vale: 
 �⃗�𝐴/𝐵 =
𝑑𝑽𝑨
𝑩
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗
𝑑𝑡
=
𝑑(�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�)
𝑑𝑡
+
𝑑(𝑥 ̇ 𝑖+𝑦 ̇ 𝑗)
𝑑𝑡
= �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
+ 𝑥 ̈ 𝑖 + �̈� �⃗⃗⃗� + �̇�
𝑑�̇⃗�
𝑑𝑡
 + �̇� 
𝑑�̇⃗�
𝑑𝑡
= 
 �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙) + �⃗�𝑟𝑒𝑙 + �̇� 𝜔𝑗 − �̇�𝜔𝑖 
Onde: �⃗�𝑟𝑒𝑙 = �̈�𝑖 + �̈�𝑗 𝑒 𝝎⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = 𝜔�⃗⃗� 𝑥 (�̇�𝑖 + �̇�𝑗) = �̇�𝜔𝑗 − �̇�𝜔𝑖 
 → �⃗�𝐴/𝐵 = �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�) + 2�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 + �⃗�𝑟𝑒𝑙 (2.13) 
 No valor da aceleração relativa, o primeiro termo �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� representa a aceleração angular do plano 
(X,Y); o segundo termo �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�) representa a aceleração centrípeta do ponto A devido ao movimento 
angular do plano (X,Y); o último termo �⃗�𝑟𝑒𝑙 representa a aceleração de A ao descrever a trajetória mostrada. 
Neste caso, semelhante ao �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 o observador está girando solidário ao plano (X,Y). Finalmente, o terceiro 
termo 2�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 é a aceleração de Curiolis. 
Y 
O 
B 
A 
V 
rB U 
26 
 
 A percepção do observador em relação ao movimento do ponto A depende se está girando ou não 
em relação ao plano (X,Y) e de sua posição neste plano. Se o observador girar solidário ao plano sua percepção 
é a de um oservador fixo em um referencial inercial de modo que sua posição no plano é irrelevante. Neste 
caso, a velocidade e a aceleração relativa de A em relação a B são dadas por �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 𝑒 �⃗�𝑟𝑒𝑙, respectivamente. Se 
o observador não girar, sua percepção do movimento relativo depende de sua posição. Existem dois pontos 
de interesse para o observador: o ponto de origem do referencial (X,Y) e a posição do ponto A que pode ser 
representada por um ponto Q solidário ao plano. Neste caso, para o observador a velocidade relativa de A em 
relação a B é dada �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 enquanto sua aceleração relativa vale 2�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 + �⃗�𝑟𝑒𝑙. Por outro lado, quando o 
observador está fixo (sem girar) na origem, o movimento relativo é resentado pelas equações (2.12) e (2.13). 
 Exemplo 2.9 – O pino no braço rotativo AO se acopla na haste ranhurada BC e faz com que ela gire. 
Determine a expressão da velocidade relativa e da aceleração relativa do pino para um observador sem girar 
posicionado nos pontos O, C e num ponto Q pertencente ao braço BC coincidindo com P. 
 Deve-se considerar que a posição do observador em O e em C corresponde a de referencial fixo 
enquanto no ponto Q é móvel. Na figura abaixo, o pino se movimenta na direção t1 enquanto o ponto Q (Q  
braço CB) se movimenta na direção t2. 
 
Figura 2.17 – Esquema de um braço ranhurado em rotação 
a)Observador em O. Observe que o pino é fixo no braço OA. 
 �⃗⃗�𝑃/𝑂 = �⃗⃗⃗⃗�𝑂𝐴 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = 𝑏 𝜔𝑂𝐴 �⃗⃗�𝑡1 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = �⃗�𝑟𝑒𝑙 = 0 
 �⃗�𝑃/𝑂 = �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�) + 2�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 + �⃗�𝑟𝑒𝑙 = 𝑏 𝛼𝑂𝐴 �⃗⃗�𝑡1 + 𝑏 𝜔𝑂𝐴
2 �⃗⃗�𝑛1 
b)Observador em C. Na condição acima, a distância c diminui de modo que �̇� < 0. Admite-se que �̈� > 0. 
CB 
t2 
t1 
Q 
Pino (P) 
n1 
n2 
27 
 
 �⃗⃗�𝑃/𝐶 = �⃗⃗⃗⃗�𝐶𝐵 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = 𝑐 𝜔𝐶𝐵 �⃗⃗�𝑡2 − �̇� �⃗⃗�𝑛2 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = −�̇� �⃗⃗�𝑛2 𝑒 �⃗�𝑟𝑒𝑙 = �̈� �⃗⃗�𝑛2 
 �⃗�𝑃/𝐶 = �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�) + 2�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 + �⃗�𝑟𝑒𝑙 = 𝑐 𝛼𝐶𝐵 �⃗⃗�𝑡2 + 𝑐𝜔𝐶𝐵
2 �⃗⃗�𝑛2 + 2𝜔𝐶𝐵 �̇� �⃗⃗�𝑡2 + �̈� �⃗⃗�𝑛2 
 
c)Observador em Q. nas equções acima tem-se que: �⃗⃗� = 0. 
 �⃗⃗�𝑃/𝑄 = �⃗⃗⃗⃗�𝐶𝐵 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = −�̇� �⃗⃗�𝑛2 
 �⃗�𝑃/𝑄 = �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗� + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�) + 2�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 + �⃗�𝑟𝑒𝑙 = 2𝜔𝐶𝐵 �̇� �⃗⃗�𝑡2 + �̈� �⃗⃗�𝑛2 
 Através das direções (n1,t1) e (n2,t2) definidas na figura acima, os resultados mostram que Vrel é 
paralela à ranhura. Isto também é válido para arel porque a ranhura é reta de modo que só existe a componente 
tangencial à ranhura. A aceleração de Curiolis é sempre normal à ranhura. Deve-se salientar que os valores do 
movimento relativo do pino foram obtidos para a condição do observador sem girar. Se, no entanto, o 
observador estiver girando então todos os termos de velocidade e aceleração relativas que contem 
𝜔𝑂𝐴 , 𝜔𝐶𝐵, 𝛼𝑂𝐴 , 𝛼𝐶𝐵 são nulos. 
Diagrama de velocidades e acelerações. 
OBS 1: Supõe-se conhecido �⃗⃗⃗�𝑂𝐴; a partir disto calcula-se VP e daí VP/Q e Vrel. Também supõe-se conhecido 
 �⃗�𝑂𝐴; a partir de �⃗⃗⃗�𝑂𝐴 𝑒 �⃗�𝑂𝐴 pode-se calcular aP; 
OBS 2: Uma vez determinado VP/Q pode-se calcular CB; com o valor de Vrel calcula-se a aceleração de Curiolis. 
OBS 3: Os pontos O e C são fixos portanto tem-se que: VP/O= VP e aP/O= aP e, também: VP/C= VP e aP/C= aP. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.18 – Diagramas de velocidade e aceleração relativas do exemplo 2.9 
t1 
n2 n1 
n2 
t2 t1 
28 
 
PROBLEMAS DE GABARITOS DE PROVAS 
 
 
 
Resolução do 1º EE/2014.2 (1ª parte-sem consulta) 
 
29 
 
 
 
1º EE – 2015.2 (1ª parte-sem consulta) 
 
30 
 
 
 
Resolução (1ª parte) 
 
 
31 
 
 
 
 
 
32 
 
 
 
 
Exemplo 2.10 - – O pino no braço rotativo BC se acopla na haste ranhurada AO e faz com que ela gire. 
A)Determine os valores 𝑟, �̇�, �̈�, �̇�, �̈� a partir de um sistema de coordenadas polares em O; 
b)A velocidade e aceleração relativas do pino em relação aos pontos C e O. 
 
33 
 
 
 
 
 
 
PP (2/151)-A barra AB gira através de uma 
faixa limitada de ângulo  e sua extremidade 
A induz a barra ranhurada AC a girar 
também. Para o instante representado onde 
𝛽 = 60𝑜 𝑒 �̇� = 0,6
𝑟𝑑
𝑠
 constante, determine 
os valores correspondentes de ṙ, r̈, θ̇, θ̈ 
34 
 
SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIAIS (3D) 
 São três os sistemas de coordenadas 3D: Retangular, Cilíndrico e Esférico. O sistema de Coordenadas 
Retangulares acrescenta o eixo z (versor k) ao sistema retangular planomantendo os mesmos versores i e j. O 
sistema cilíndrico acrescenta, da mesma forma, o eixo z ao sistema de coordenadas polar mantendo os 
versores er e e. O sistema esférico apresenta maior dificuldade de manipulação dos dados. 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
36 
 
MOVIMENTO DE PARTÍCULAS CONECTADAS 
 Duas ou mais partículas podem ser conectadas através de elementos rígidos ou flexíveis. Quando 
conectados por elementos rígidos, seu movimento pode ser analisado através da cinemática de corpos rígidos 
visto no capítulo 5. Por outro lado, quando conectados por elementos flexíveis tipo cabos flexíveis, o 
movimento das partículas depende de variações do comprimento do cabo. Ao longo de seu comprimento, 
alguns setores como envolvimento de polias e ligações em elementos fixos externos ao sistema são invariantes 
no comprimento, como mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
37 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
39 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
41 
 
 
Exemplos de revisão (2/117) 
 
 
4243 
 
CINEMÁTICA DE CORPO RÍGIDO 
 A análise do movimento de um corpo rígido (CR) difere da cinemática da partícula porque o 
CR admite o movimento de rotação e de translação enquanto o da partícula apenas de translação. 
Para que haja rotação é necessário que o corpo tenha dimensões finitas. Por outro lado, quando 
existe rotação a velocidade é diferente entre pontos distintos, isto é, quando há rotação a velocidade 
relativa é diferente de zero entre pontos distintos. O movimento de rotação num plano xy do CR é 
percebido quando uma linha que passe por dois pontos distintos do CR muda sua direção, como 
mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 – Movimento de rotação de um corpo rígido 
Movimento de rotação de um CR em torno de um ponto fixo (ponto B). Neste caso, cada ponto 
descreve uma trajetória circular de raio constante em torno do ponto fixo sendo a velocidade de cada 
ponto proporcional ao raio e na direção tangente à trajetória. 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 – Movimento de rotação em torno de um ponto fixo 
x 
y 
B 
A 
B 
A 
44 
 
 O ponto fixo funciona como um centro de rotação e, no caso da figura acima, é um centro 
de rotação fixo, permanente. As vezes, este centro de rotação pode mudar de posição embora esteja 
instantaneamente parado. Neste caso, ele é denominado Centro Instantâneo de Velocidade Nula, 
CIVN. Deve-se salientar que para um observador no CIVN, a velocidade de um ponto A do CR é 
perpendicular a posição radial e seu valor é absoluto pois o observador está fixo. Esta é uma 
propriedade importante pois, para o observador no CIVN, a velocidade absoluta de cada ponto pode 
ser obtida em função da velocidade angular e da posição do ponto em relação ao CIVN na forma: 
�⃗⃗�𝐴/𝐶𝐼𝑉𝑁 = �⃗⃗�𝐴 = �⃗⃗⃗� 𝑥 𝑟𝐴/𝐶𝐼𝑉𝑁. As figuras abaixo mostram como se determinar o CIVN a partir da 
velocidade de dois pontos distintos. Na realidade, basta conhecer as direções das velocidades em A 
e B para a determinação do CIVN. No entanto, para a determinação da velocidade de um ponto 
qualquer do CR, a partir do CIVN, é necessário se conhecer a velocidade de um de seus pontos. Para 
quaisquer que sejam dois pontos distintos de um CR, existe uma regra geral: a velocidade relativa na 
direção radial é sempre nula. Isto decorre do fato de que a distância entre eles deve der constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 – Determinação do CIVN para várias disposições da velocidade de dois pontos A e B 
 
A análise cinemática com base no CIVN utiliza o movimento relativo tendo-se em vista dois 
pontos importantes: i)O observador no CIVN está parado (fixo, sem girar) portanto sua velocidade é 
nula , ii)Para um corpo rígido, a distância (medida escalar da posição relativa) entre dois pontos é 
constante. No caso dos eixos (x,y) estarem solidários ao CR e o observador girar com o CR, o 
observador verá todos os pontos do CR parados, isto é, �⃗⃗�𝑟𝑒𝑙 = 0 𝑒 �⃗�𝑟𝑒𝑙 = 0. A consequência do 
primeiro ponto é que o observador no CIVN percebe o movimento absoluto de cada ponto, isto é, a 
medida da velocidade é absoluta. Isto não é válido para a aceleração pois o CIVN, embora parado, 
ele pode estar acelerado pois o CIVN não é ponto fixo, isto é, é um centro de rotação instantâneo e 
A’’ 
A 
B 
45 
 
não permanente como mostrado na figura 2.21. Desta forma, as equações (2.11), (2.12) e (2.13) 
podem ser reescritas para o ponto A, para o observador no CIVN sem girar, na forma: 
𝑟𝐴 = 𝑟𝐶𝐼𝑉𝑁 + 𝑟𝐴/𝐶𝐼𝑉𝑁 (3.1) 
�⃗⃗�𝐴 = �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐶𝐼𝑉𝑁 (3.2) 
�⃗�𝐴 = �⃗�𝐶𝐼𝑉𝑁 + �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐶𝐼𝑉𝑁 + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐶𝐼𝑉𝑁) (3.3) 
 A aceleração do centro de rotação somente é nula quando este ponto é fixo como mostrado 
na figura 3.2. Pode-se dizer que todo ponto fixo de um CR é um CIVN porém nem todo CIVN é um 
ponto fixo. Na realidade, o CIVN descreve uma trajetória denominada de centrodo do corpo, para os 
pontos do corpo, e centrodo do espaço, para os pontos do espaço. Para cada instante, as curvas se 
tocam no ponto correspondente ao CIVN. 
Movimento de translação pura. Isto ocorre sempre que o CR não tem movimento de rotação, isto é: 
𝝎 = 0. Isto não significa que o corpo tenha que descrever uma trajetória retilínea. Deve-se 
acrescentar que a trajetória do CR é normalmente definida pelo movimento de seu centro de massa 
(CM), denominado de centróide e representado pelo ponto G. Sua posição no CR pode ser 
determinado pela equação abaixo. 
𝑟𝐺 = ∫ 𝑟 𝑑𝑚 (3.4) 
 
 
 
 
 Figura 3.4 – Centro de massa do CR 
A figura abaixo mostra um CR na forma de uma barra retangular suportado por dois cabos de 
mesmo comprimento em movimento de translação pura ao longo de uma trajetória curvilínea, como 
mostra a trajetória do centroide G. Neste movimento não há rotação do CR pois as linhas de contorno 
se movimentam sempre na mesma direção. Embora a velocidade de cada ponto mude em módulo e 
direção a cada instante, todos os pontos do CR têm, a cada momento, a mesma velocidade e a mesma 
aceleração, isto é: �⃗⃗�𝐴 = �⃗⃗�𝐵 = �⃗⃗�𝐺 𝑒 �⃗�𝐴 = �⃗�𝐵 = �⃗�𝐺 . 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.5 – Uma barra retangular em movimento de translação pura curvilínea. 
Y 
X 
VB 
VA VG 
G 
G’ 
A 
B’ 
B 
46 
 
Cálculo da velocidade angular de um CR através do CIVN. 
Exemplo 3.1 - Na figura 3.6, dois cursores A e B se movimentam em duas guias perpendiculares entre 
si sendo interligados por uma barra rígida de comprimento L igual a 100cm. Sabendo que VB=2m/s e 
que a posição do CIVN é dada por X=80cm e Y=60cm determine: a) a velocidade angular  da barra 
rígida AB que liga os dois cursores e b) a velocidade do cursor A. 
Solução: Como o ponto B pertence â barra e ao cursor simultaneamente, a velocidade da 
extremidade B da barra é VB=2m/s. Para o observador no CIVN, fixo no plano da barra AB, a 
velocidade absoluta de B é dado pela equação 3.2 cujo valor escalar é: 
 𝑉𝐵 = 𝜔 𝑋 = 0,8𝜔 = 2 → 𝜔 = 2,5𝑟𝑑/𝑠 
Com o valor de , pode-se calcular a velocidade escalar de A: 
𝑉𝐴 = 𝜔 𝑌 = 2,5 0,6 = 1,5𝑚/𝑠 
 
 
 
 
 
Figura 3.6 – Movimento de cursores em guias perpendiculares 
 Deve-se ressaltar que cada cursor pode ser considerado como partícula de modo que poder-
se-ia entender que sua velocidade deveria considerar também o Vrel. No entanto, o ponto A é 
também a extremidade da barra que é um corpo rígido. Além disso, o CIVN da figura acima é um 
ponto da barra AB de modo que a velocidade de qualquer ponto da barra pode ser calculada com 
base na equação 3.2. 
 Cálculo da velocidade angular de um CR através do movimento relativo. Neste caso, é comum 
posicionar o observador no ponto cuja velocidade é conhecida e que, no caso do exemplo 3.1, é o 
ponto B. Reescrevendo a equação 3.2, tem-se para a velocidade relativa de A em relação a B: 
 �⃗⃗�𝐴/𝐵 = �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐵 (3.2a) 
 Pelos dados iniciais do problema, conhece-se VB e a direção de VA. Além disso, a velocidade 
relativa VA/B é perpendicular à barra AB, como mostra a figura 3.7. 
 
 
�⃗⃗�𝐴/𝐵 = �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐵 
 
Figura 3.7 – Diagrama de velocidade relativa 
B 
Y 
CIVN 
VA 
VB 
X 
A 
⁺ 
VB 
VA Direção de VA O 
47 
 
Para calcular VA/B, usa-se as relações trigonométricas de um triângulo retângulo: 
𝑉𝐴/𝐵
2 = 𝑉𝐴
2 + 𝑉𝐵
2 = (𝜔𝐿)2 → 𝜔 =
1
𝐿
 √𝑉𝐴
2 + 𝑉𝐵
2 =
1
1
 √1,52 + 22 = 2,5𝑟𝑑/𝑠 
Em problemas desta natureza, é comum o ângulo  ser pré-estabelecido de modo que VA 
pode ser calculado pela relação: 𝑉𝐴 = 𝑉𝐵 𝑡𝑔𝜃. 
O cálculo da aceleração do cursor Apode ser realizado com base no movimento relativo a 
partir da equação 3.3 que, neste caso, deve ser reescrita na forma: 
�⃗�𝐴 = �⃗�𝐵 + �⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐵 + �⃗⃗⃗⃗� 𝑥 (�⃗⃗⃗⃗� 𝑥 �⃗⃗�𝐴/𝐵) (3.3a) 
Desta equação, o valor do último termo referente a aceleração centrípeta é obtido a partir 
dos resultados na análise da velocidade angular da barra. Esta componente é paralela à direção da 
barra (direção n) sendo sua medida escalar dada por: (𝑎𝐴/𝐵)𝑛 = 𝜔
2𝐿 = 6,25𝑚/𝑠2. Além disso, sabe-
se que a componente tangencial da aceleração é perpendicular à componente normal, portanto, é 
perpendicular à barra. Se supusermos que o cursor B desce acelerado com aceleração aB=7,0m/s2 
(para baixo), então tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.8 – Aceleração dos cursores da figura 3.6 
 
 O valor de aA pode ser calculado decompondo-se cada vetor da equação 3.3 em 
componentes ortogonais nas direções x e y como se segue. 
−𝑎𝐴𝑖 = −𝑎𝐵𝑗 − 𝜔
2𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑖 + 𝜔2𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑗 + 𝛼𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖 + 𝛼𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗 
Que pode ser reescrita na forma: 
 Em x: −𝑎𝐴 = −𝜔
2𝐿 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝛼𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃 
 Em y: −𝑎𝐵 + 𝜔
2𝐿 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝛼𝐿𝑐𝑜𝑠𝜃 = 0 
onde da equação em y se determina o valor da aceleração angular  e, a seguir, da equação em x se 
acha aA. 
Análise cinemática de CR com ranhuras. Deve-se entender que qualquer ponto que se desloca em 
uma ranhura de um CR não pertence ao CR. Desta forma, as regras do CR para o movimento relativo 
entre dois pontos do CR devem satisfazer as equações 3.2a e 3.3a. Para o movimento do ponto na 
ranhura relativamente a um observador fixo e sem girar no CR valem as equações 2.11, 2.12 e 2.13. 
⁺ 
aA 
aB 
48 
 
 
Solução: Para o observador em O, como o pino esta fixo na barra AO então valem as regras para 
corpo rígido, isto é, valem as equações 3.2a e 3.3a. Para o observador em C, o pino se movimenta na 
ranhura de modo que valem as equações para a partícula, isto é, as equações 2.12 e 2.13. 
 
 
Exemplo 3.2 – (EE1 2014.2) O pino no braço 
rotativo AO se acopla na haste ranhurada e faz 
com que ela gire. Mostre que a velocidade 
angular de CB é a metade da velocidade 
angular de AO, independentemente do ângulo 
. 
 
49 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3.3 (EE1–2013.1) A guia horizontal fixa 
transporta um cursor e um pino P cujo movimento 
é controlado pelo braço girante com ranhura AO. 
Se no momento que o braço faz um ângulo q=50º, 
a velocidade do cursor é de 1,5pé/s, determine: 
a) A velocidade angular do braço (suponha 
constante) e a aceleração do cursor ( na 
ranhura horizontal); 
b) Os valores de �̇� 𝑒 �̈� correspondentes à 
velocidade e a aceleração do pino em 
relação à ranhura OA 
50 
 
 
Deve-se salientar que: 𝑎𝑟𝑒𝑙 = �̈� = 2,922𝑝é/𝑠
2. 
 
Exemplo 3.4 (EE1 2015.2) – O anel deslizante 
se desloca para baixo na guia retilínea na 
posição de 30o, com velocidade V=1m/s e 
aceleração a=0,2m/s2, conforme figura ao 
lado. Nesta posição, a barra AB, com l=0,4m, 
é horizontal e a barra OB, com r=0,3m, é 
vertical. Determine: 
a)A velocidade angular das barras AB e OB 
pelo método do CIVN e do movimento 
relativo; 
b)A aceleração angular da barra AB. 
 
51 
 
 
52 
 
 
Exemplo 3.5 (EE1-2015.1) Os pequenos corpos A e B estão 
interligados através de barras rígidas e articuladas. Se num 
determinado instante, o corpo B sobe com velocidade de 
2pol/s e com uma aceleração de 1pol/s2, calcule para o 
mesmo instante: 
a)A velocidade de A; 
b)A aceleração angular da barra AO. 
53