7 RELAÇÃO ENTRE TENSÃO E DEFORMAÇÃO LEI DE HOOK

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Relação Entre Tensão e Deformação: Lei de Hook 
Esforços mecânicos
A Figura 1 ilustra formas gráficas simplificadas dos tipos de esforços mais comuns a que são submetidos os elementos construtivos.
Em muitas situações praticas ocorre uma combinação de dois ou mais tipos de esforços. Em alguns casos ha um tipo predominante e os demais podem ser desprezados, mas ha outros casos em que eles precisam ser considerados conjuntamente.
(a) Tracao: a forca atuante tende a provocar um alongamento do elemento na direcao da mesma.
(b) Compressao: a forca atuante tende a produzir uma reducao de tamanho do elemento na direcao da mesma.
(c) Flexao: a forca atuante provoca uma deformacao do eixo perpendicular a mesma.
d) Torcao: as forcas atuam em um plano perpendicular ao eixo de tal forma que cada secao transversal do objeto sob acao do esforco tende a girar em relacao as outras.
(e) Flambagem: e um esforco de compressao em uma barra de secao transversal pequena em relacao ao comprimento, que tende a produzir uma curvatura na barra.
(f) Cisalhamento: forcas atuantes tendem a produzir um efeito de corte, isto e, um
deslocamento linear entre secoes transversais.
Tensões
Tensões Normais
Tensões de cisalhamento
Tensões de esmagamento
Tensões em um plano oblíquo ao eixo
Componentes de tensões
Coeficiente de Segurança
CS = carregamento ultimo / carregamento admissivel
CS = tensão ultima / tensão admissível
A escolha do coeficiente de segurança adequado para as diferentes aplicações praticas requer uma analise cuidadosa, que leve em consideração
muitos fatores, como, por exemplo:
- Modificações que ocorrem nas propriedades mecânicas do material.
- Freqüência com que a carga e aplicada ao longo da vida do componente.
- Possíveis alterações futuras no tipo de carregamento aplicado.
- Modo de ruptura que pode ocorrer.
- Precisão dos métodos utilizados e analises realizadas.
- Deterioração futura devido a falta de manutenção.
- A importância do componente para a integridade da estrutura
9. Deformação
Alem da tensão, outro importante aspecto da analise e projeto de estruturas se relaciona com as deformações causadas pela aplicação das cargas a uma estrutura. E
importante evitar que as deformações se tornem tão grandes a ponto de impedir que a estrutura venha a cumprir os fins aos quais estava destinada. Através da analise das deformações pode-se também determinar as tensões.
Deformação Especifica
Considerando uma barra de comprimento L e seção transversal uniforme, e chamando-se de d sua deformação sob uma carga axial P, como ilustrado na figura, abaixo pode se definir a deformação especifica normal e da barra como sendo a deformação por unidade de comprimento, como expresso pela equação
(1)
Diagrama de Tensão-Deformacão
Lei de Hooke – Modulo de Elasticidade
As estruturas correntes são projetadas de modo a sofrerem apenas pequenas deformações, que não ultrapassem os valores do diagrama tensão-deformacão correspondentes ao trecho reto inicial. Neste trecho a tensão é diretamente proporcional a deformação especifica, como está expresso pela equação:
(2)
16
Esta relação e conhecida como Lei de Hooke e se deve ao matemático inglês Robert Hooke (1635-1703). O coeficiente E é chamado de modulo de elasticidade ou modulo de Young (cientista ingles, 1773-1829). Como a deformação especifica é uma grandeza adimensional, o modulo E é expresso na mesma unidade de σ, Pascal no Sistema internacional ou psi no Sistema Inglês de unidades.
(2)
Uma característica importante dos materiais diz respeito a invariabilidade do seu Modulo de Elasticidade. A figura seguinte apresenta o diagrama tensao-deformacao do ferro puro e de outros três tipos de aço, os quais diferem em suas tensões de escoamento, tensões máximas e deformação especifica máxima, porem, na região elástica possuem a mesma taxa de deformação em função da tensão.
Comportamento Elástico e Comportamento Plástico dos Materiais
Um material tem comportamento elástico quando as deformações causadas por um carregamento desaparecem com a retirada do carregamento. O maior valor de tensão para o qual o material ainda apresenta comportamento elástico é chamado de limite de elasticidade e coincide com o valor da tensão de escoamento σe.
Se o material atingir ou ultrapassar o escoamento e se deformar, quando a carga é retirada as tensões e deformações decrescem de maneira linear, ao longo de uma linha reta paralela a reta da curva de carregamento. O fato de e não retornar ao ponto zero indica que o material sofreu uma deformação permanente ou plástica. Para a maioria dos materiais a deformação plástica depende da tensão máxima aplicada (deformação lenta) e do tempo de
carregamento (fluência).
Deformações de Barras Sujeitas a Cargas Axiais
Uma barra homogênea de comprimento L e seção transversal uniforme de área A sujeita a força axial centrada P, como apresentada na figura anterior, cujo limite de elasticidade não é ultrapassado, pode-se utilizar a equacao (2) para determinar a sua deformação especifica. Assim, substituindo a equacao 2 na equacao 1 obtém-se a expressão 3.
(3)
(1)
(2)
(3)
A equacao 3 é valida para barras homogêneas com seção transversal uniforme e com carga aplicada nas extremidades. Se as forcas são aplicadas em outros pontos e / ou a barra consiste de varias partes com diferentes seções transversais, ou composta de diferentes materiais, é necessário dividi-la em segmentos que satisfaçam individualmente as condições de aplicação da equacao 3. Neste caso a expressão fica conforme a equacao 4.
(4)
Problemas Estaticamente Indeterminados
Em muitos problemas de engenharia as forças internas não podem ser determinadas apenas com os recursos da estática.
Essas equações devem ser complementadas por outras relações envolvendo deformações, que podem ser obtidas
considerando as condições geométricas do problema. Tais problemas são conhecidos como estaticamente indeterminados, pois a estática não é suficiente para determinar as reações e esforços internos.
Exemplo: Uma barra de comprimento L e área da seção transversal A1, com modulo de elasticidade E1, foi colocada dentro de um tubo de mesmo comprimento, mas área de seção transversal A2 e modulo de elasticidade E2. Qual e a deformação da barra e do tubo, quando uma forca axial P é aplicada por meio de uma placa Rígida?
Chamando de P1 e P2, respectivamente, as forcas axiais na barra e no tubo, são desenhados os diagramas de corpo livre dos três elementos.
Com isso, é possível determinar as forcas P1 e P2 e, na seqüência as deformações
Coeficiente de Poisson
Barra sob tração e componentes de tensão.
O valor absoluto da relação entre a deformação especifica transversal e a deformação especifica longitudinal é chamado de Coeficiente de Poisson (n).
(5)
Com isso, substituindo a equacao 5 na equacao 2 obtemos as relações que descrevem totalmente as condições de deformações especificas sob carga axial paralela ao eixo x.
Estados Múltiplos de Carregamento – Generalização da Lei de Hooke
Ao considerar elementos estruturais sujeitos a ação de carregamentos que atuam nas direções dos três eixos coordenados será possível verificar tensões sx, sy e sz, todas diferentes de zero, o que caracteriza o estado múltiplo de carregamento ou carregamento multiaxial.
Considerando um cubo elementar sob ação de carregamento multiaxial, em que se adota para suas dimensões arestas de comprimento unitário. Ocorrerão, neste caso, deformações que o tornarão um paralelepípedo retângulo com lados 1+ex, 1+ey e 1+ez.
Elemento sob carregamento multiaxial e deformações.
Principio da superposição, 
Afirma que o efeito provocado em uma estrutura por determinado carregamento combinado pode ser obtido determinando-se separadamente os efeitos dos vários carregamentos e combinando-se os resultados obtidos. Duas condições devem ser respeitadas na aplicação deste principio:
1- Cada efeito é diretamente proporcional a cargaque o produziu.
2- Deformação causada é pequena e não afeta as condições de aplicação das demais.
Deformação de Cisalhamento
As equações anteriores foram deduzidas assumindo-se que não havia tensões de cisalhamento envolvidas. De qualquer forma, as tensões de cisalhamento não tem nenhum efeito direto nas deformações especificas, e enquanto as deformações permanecerem pequenas, não vão influenciar a dedução nem a validade dessas equações . As tensões de cisalhamento tenderão a deformar o cubo elementar em um paralelepípedo obliquo.
Considera-se inicialmente um cubo elementar de lado unitário, sujeito apenas as tensões de cisalhamento txy e tyx. O elemento se deforma assumindo a forma de um rombóide de lado unitário. Dois dos ângulos formados pelas quatro faces do cubo que estão sob tensão se reduzem do valor de p/2 para p/2 – gxy, enquanto os outros dois aumentam para o valor de p/2 + gxy, como ilustrado na figura
Elemento sob ação de tensões de cisalhamento
O pequeno angulo gxy (expresso em radianos) define a distorção do cubo e é chamado de deformação de cisalhamento correspondente as direções x e y. Quando a deformação provoca uma redução no angulo formado pelas faces orientadas segundo os eixos x e y, respectivamente, a deformação e convencionada positiva.
Para os valores de tensão que não excedem o limite de proporcionalidade no cisalhamento pode-se escrever a seguinte relação.
 txy = G . gxy
Essa relação e a Lei de Hooke para tensões e deformações de cisalhamento e a constante G e chamada de modulo de elasticidade transversal do material. O modulo de elasticidade transversal, que e expresso em Pascal, é menor que a metade, mas maior que um terço do modulo de elasticidade E deste material.
Considerando, agora, o cubo elementar sob ação das tensões de cisalhamento tyz e tzx, as deformações de cisalhamento correspondentes gyz e gzx são obtidas da mesma maneira, assim as equação podem ser complementada pelas equações
Relações entre E, n e G
modulo de elasticidade transversal G em função do modulo de elasticidade E e do coeficiente de Poisson n.
Deformações torcionais e a formula da torção
o angulo de distorção g de uma superfície elementar varia linearmente com o raio, atingindo o valor Maximo gmax na borda, conforme a equação 
 g = (r/R) gmax
Relação entre torque e tensão máxima
J momento polar
de inercia
Outro aspecto que vale mencionar é o fato das tensões de cisalhamento ocorrerem sempre em pares perpendiculares. Assim, em um corte hipotético de um eixo cilíndrico conforme Figura ha tensões ao longo do eixo, de mesmos valores das tensões na seção transversal.
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Angulo de torção
Angulo de torção e angulo de cisalhamento.
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO 
Quando se fala em esforços de flexão, a primeira força que vem à tona é o momento fletor. Entretanto, o movimento de flexão de uma peça pode provocar em sua estrutura esforços de normais de compressão e tração. 
EXERCÍCIO 
Determinar as tensões máximas de compressão e tração na flexão das secções transversais indicadas na figura ao lado, sabendo que o momento em x atuante é de 20 kN.m. 
Note que as tensões são maiores na segunda secção 40x15 [cm], isso por que o momento de inércia é menor e ambos são inversamente proporcionais – diminuindo o momento de inércia, aumentam-se as tensões. 
as tensões de compressão e tração serão iguais, uma vez que as medidas de x e y também são iguais – metade da altura de cada uma das secções. 
DIMENSIONAMENTO NA FLEXÃO 
O dimensionamento de peças submetidas à flexão consiste em definir as dimensões de secção transversal, utilizando o momento fletor máximo solicitante na peça. A tensão máxima ou admissível será a tensão atuante máxima na fibra mais afastada ou externa, não importando se está tracionando ou comprimindo. 
EXERCÍCIO 
Dimensionar a viga de madeira abaixo de modo que possa suportar o carregamento representado na figura. Utilizar 
 (a altura é, aproximadamente, três vezes a base). 
O 1º passo para resolver o problema é encontrar o momento máximo atuante na viga. No exemplo, este valor para um carregamento uniformemente distribuído de 25 kN/m é de Mmáx = 50 kN.m. 
Definido o momento máximo, utilizamos a expressão de tensão admissível para encontrar o momento de inércia da secção, fazendo apenas uma substituição de valores. 
Podemos, então, concluir que as dimensões mínimas para a secção transversal da peça é de 12x36 [cm]. Como estas medidas são mínimas, é permitido arredondar para valores mais comuns, com a finalidade de facilitar a confecção da peça – 15x40 [cm], por exemplo. 
Tensões de Cisalhamento Puro 
FORÇA CORTANTE 
Se houver uma situação em que mais de um elemento está submetido a cisalhamento, utiliza-se o somatório das áreas das secções transversais para o dimensionamento. Se os elementos possuírem a mesma área de secção transversal, basta multiplicar a área de secção transversal pelo número de elementos (n). Temos, então: 
Exercício 
Determinar a tensão de cisalhamento que atua no plano A da figura. 
A tensão de cisalhamento atuante no plano A é definida pela componente horizontal da força (Fx) de 300 kN. 
Duas chapas de aço são unidas por uma junta de 5 rebites, com diâmetro d = 17,4 mm, que suportam uma carga de cisalhamento de 125 kN. Determine a tensão de cisalhamento atuante nos rebites. 	
EXERCICIOS
1. Um fio de cobre possui uma tensao de ruptura de 30 kgf/mm2 e apresenta uma estricção de 77%. Calcule:
a) a tensao verdadeira de ruptura;
b) a deformação verdadeira V ε na ruptura.
b) Agora, vamos calcular a deformação verdadeira na ruptura. Lembre-se de que a deformação instantânea e dada pela derivada dε ; portanto, temos:
Mas temos:
2. Em uma haste de latão, são marcados dois traços, que distam entre si 50,0 mm. A haste e tensionada, de forma que a distancia entre os traços passa a ser 56,7 mm. Calcule a deformação sofrida pela haste de latão.
3.Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de secao transversal e esticada 1 mm quando uma massa de 225 kg e pendurada em sua extremidade inferior. Considerando g = 9,8 m/s2, calcule o modulo de Young para a barra.
ƒL = 4 m;
ƒƒA = 0,5 cm2;
ƒƒΔL = 1m ;
ƒƒm = 225 kg.