CA3 Aula 1b

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Cálculo	
  3	
  
Aula	
  1	
  -­‐	
  con+nuação	
  
Revisão	
  –	
  Grá2icos	
  seções	
  cônicas	
  
Exemplos
1) 2x2 + 2y2 = 8
2) 2x2 +8y2 = 32
3) 9x2 −5y2 = 9
Toda equação do tipo ax2 +by2 = c, sendo a, b e c constantes
reais não nulas, tem como gráfico uma circunferência, uma
elípse ou uma hipérbole. Observe que se a e b forem ambos 
negativos a equação só tem sentido se c for também negativo.
Analogamente, se a e b forem ambos positivos, c também deverá
ser positivo para que a equação faça sentido.
4) −3x2 + 2y2 = 8
5) x
2
2
+ 2y2 = 9
2
6) x
2
2
+
y2
9
=1
Para identificarmos cada caso, numa equação do tipo
 ax2 +by2 = c, vamos considerar c > 0. 
Neste caso, vamos analisar os possíves coeficientes dos 
termos x2e y2. Temos os seguintes casos:
a e b positivos e iguais: circunferência.
a e b positivos e distintos: elipse.
a positivo e b negativo: hipérbole que intercepta o eixo x.
a negativo e b positivo: hipérbole que intercepta o eixo y.
Para encontrarmos os valores onde a curva intercepta o
eixo x atribuímos y = 0. Analogamente, encontramos os
valores onde a curva intercepta o eixo y.
Exemplos	
  1)	
  Circunferência	
  
2)	
  Elipses	
  
Hipérboles	
  
Caso	
  interesse,	
  a	
  seguir	
  encontram-­‐se	
  mais	
  detalhes	
  e	
  deduções	
  
das	
  equações	
  da	
  circunferência,	
  elipse	
  e	
  hipérbole.	
  
Equação	
  da	
  Circunferência	
  
•  Seja a circunferência de centro C(a, b) e raio r. Seja P(x, y) um 
ponto da circunferência. 
•  Então, temos: , que é a equação geral da 
circunferência de centro C(a, b) e raio r. 
•  Se (a, b) = (0, 0), temos o caso particular 
(x − a)2 + ( y −b)2 = r2
x2 + y2 = r2.
Equação	
  da	
  Elipse	
  
•  Dados	
  dois	
  pontos	
  F1	
  e	
  F2	
  (focos)	
  de	
  um	
  plano,	
  com	
  a	
  distância	
  
entre	
  eles	
  sendo	
  2f,	
  e	
  uma	
  medida	
  2a	
  (2a	
  >	
  2f),	
  chama-­‐se	
  Elipse	
  
ao	
  lugar	
  geométrico	
  dos	
  pontos	
  P	
  do	
  plano,	
  tais	
  que	
  a	
  soma	
  das	
  
distâncias	
  de	
  P	
  a	
  cada	
  um	
  dos	
  focos	
  é	
  2a.	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  PF1	
  +	
  PF2	
  =	
  2a	
  	
  
Equação	
  da	
  Elipse	
  –	
  cont.	
  
Equação	
  da	
  Hipérbole	
  
•  Dados	
  dois	
  pontos	
  F1	
  e	
  F2	
  (focos)	
  de	
  um	
  plano,	
  com	
  a	
  distância	
  
entre	
  eles	
  sendo	
  2f,	
  e	
  uma	
  medida	
  2a	
  (2a	
  <	
  	
  2f),	
  chama-­‐se	
  Elipse	
  
ao	
  lugar	
  geométrico	
  dos	
  pontos	
  P	
  do	
  plano,	
  tais	
  que	
  o	
  módulo	
  
da	
  diferença	
  entre	
  as	
  distâncias	
  de	
  P	
  a	
  cada	
  um	
  dos	
  focos	
  é	
  2a,	
  
ou	
  seja,	
  constante.	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  |	
  PF1	
  -­‐	
  PF2|	
  =	
  2a	
  	
  
Equação	
  da	
  Hipérbole	
  –	
  cont.	
  
Esboce o domínio das seguintes funções: 
a) f (x, y) = 2x2 +8y2 −32
b) f (x, y) = −2x2 −8y2 +32 + 2
x − y2
c) f (x, y) = ln(2x2 −8y2 −32)
d ) f (x, y) = 2x − 4
4x2 −8y2 −16
+ −2x2 −8y2 +32