CA3 Aula 7

Prévia do material em texto

Cálculo 3 
Aula 7 
Regra	
  da	
  Cadeia	
  
Suponha que z = f (x, y) seja uma função diferenciável de x 
e y, onde x = x(t) e y = y(t) são funções diferenciáveis de t. 
Então z é uma função diferenciável de t e 
 
 
 
 
dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
Exemplo 1) Se z = x2 y +3xy4 , onde x = sen 2t e y = cos t,
determine dz
dt
quando t = 0.
OBS : Quando t = 0, x = 0 e y = 1.dz
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
dz
dt
= (2xy +3y4 )(2cos2t)+ (x2 +12xy3)(−sen t)
dz
dt
(0) = (0+3)(2cos0)+ (0+0)(−sen0) = 6
Regra	
  da	
  Cadeia	
  –	
  cont.	
  
No exemplo anterior, encontramos . Essa derivada 
pode ser interpretada como a taxa de variação de z com relação a 
t quando o ponto (x, y) se move ao longo da curva C com 
equações paramétricas e 
dz
dt
(0) = 6
x = sen2t y = cos t.
Em particular, quando t = 0, o ponto (x, y) é (0, 1)
e dz
dt
= 6 sua taxa de crescimento quando nos 
movemos ao longo da curva C, passando por (0, 1).
Se z =T (x, y) = x2 y +3xy4 representa a temperatura
no ponto (x, y), então a função composta
z =T (sen 2t, cos t) representa a temperatura nos
 pontos da curva C e dz
dt
 a taxa de variação da 
temperatura ao longo da curva C.
Mais	
  exemplos	
  
Você pode estar se perguntando sobre a necessidade do uso da 
regra da cadeia se poderíamos, no exemplo anterior, ter 
substituído x e y por suas equações paramétricas e calculado 
dz/dt sem usarmos a regra da cadeia. 
Consideremos o exemplo abaixo para exemplificar a necessidade 
do uso da regra da cadeia. 
 
Ex: A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a 
temperatura T (em Kelvins) de um mol de gás ideal estão 
relacionados por meio da fórmula PV = 8,31 T. 
Determine a taxa de variação da pressão quando a temperatura é 
de 300 K e está aumentando com taxa de 0,1 K/s e o volume é de 
100 L e está diminuindo com taxa de 0,2 L/s. 
Exercício	
  
O raio de um cilindro circular reto está aumentando a 
uma taxa de 2 cm/s e sua altura diminuindo a uma taxa 
de 0,5 cm/s. Calcule à que taxas estão variando seu 
volume e a área de sua superfície quando seu raio 
mede 15 cm e sua altura 20 cm. 
 
Resp: 1087π cm3/s e 185 π cm2/s.