Calc3 Aula11

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Cálculo	3	
Aula	11	
Integrais	Duplas	por	coordenadas	polares	
Suponha que queiramos calcular a integral dupla 
onde R é uma das regiões mostradas nas figuras abaixo: 						
As regiões foram descritas em coordenadas polares, pois 
em coordenadas retangulares seria muito mais complicado. 
Veremos a seguir um pouco mais sobre esse sistema de 
coordenadas. 	
R	 R	
R = r,θ( ) | 0 ≤ r ≤ 2,0 ≤θ ≤ 2π{ } R = r,θ( ) |1≤ r ≤ 2,0 ≤θ ≤ π{ }
Coordenadas	Polares	
Um sistema de coordenadas representa um ponto no 
plano por um par ordenado de números chamados 
coordenadas. Até agora, usamos coordenadas 
cartesianas, que são as distâncias dirigidas a parttir de 
dois eixos perpendiculares. Newton introduziu um 
outro sistema de coordenadas chamado coordenadas 
polares, que é mais conveniente para muitos 
propósitos, como o que vimos acima. 
 
Coordenadas	Polares	
Se P for qualquer ponto no plano, seja r a distância de O (origem) até P e 
seja θ o ângulo (geralmente em radianos) entre o eixo x e a reta OP. 
 O ponto P é representado pelo par (r, θ) e 
 r e θ são chamados coordenadas polares 
 de P. 
Usamos a convenção de que um ângulo é positivo se for medido no 
sentido anti-horário a partir do eixo x (eixo polar). 
Em coordenadas polares, um ponto pode ser representado de mais de 
uma forma. 
	
Ex1:		
	
	
r,−π
4
"
#
$
%
&
'= r,
7π
4
"
#
$
%
&
'= r,
7π
4
+ 2π
"
#
$
%
&
'= r,
7π
4
+ 4π
"
#
$
%
&
'=…
Coordenadas	Polares	
Considerando	r>0,	define-se	o	ponto	(-r,	θ)	como	sendo	igual	a	(r,	π+θ).	
	
	
	
	
Ex2:		
Mudança	de	coordenadas	
A relação entre coordenadas polares e cartesianas pode ser vista abaixo: 
 
 
 
 
Exemplos: 
1.  Se P tem coordenadas polares (-3, π/3), qual a representação de P 
em coordenadas cartesianas? 
 
2.  Se P tem coordenadas cartesianas (-1, -1), qual a representação de 
P em coordenadas polares? 
	
r	 r
2 = x2 + y2 
Cálculo	de	integrais	duplas	usando	coordenadas	polares		
Toda região do tipo: é chamada 
retângulo polar. As figuras do início são exemplos. 
Para calcular , onde R é o retângulo polar, usamos a 
fórmula (f contínua em R ): 		
R = r,θ( ) | a ≤ r ≤ b,α ≤θ ≤ β{ }
f x, y( )
R
∫∫ dA
f x, y( )
R
∫∫ dA = f rcosθ ,rsenθ( )
a
b
∫
α
β
∫ rdrdθ
rdθ 
dr 
dA = rdrdθ 
	
Cuidado:	
Não	esquecer	do	fator		r!!!	
Exercícios	
1.  Calcule , onde R é a região do semi-plano 
superior limitada pelos círculos 
2.  Determine o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e 
pelo parabolóide z = 1 – x2 – y2. 
3.  Mostre que o volume da esfera de raio R é dado por 
3x + 4y2( )
R
∫∫ dA
x2 + y2 =1 e x2 + y2 = 4.
4
3
πR3.
Referências	bibliográ?icas:	
•  hJp://wwwp.fc.unesp.br/~mauri/Down/Polares.pdf