apostila matematicafinanceiraii (1)

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Matemática Financeira
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O que é melhor juros simples ou juros compostos?
Pagar a vista ou comprar a prazo?
Receber hoje R$ 1,00 é melhor que receber o mesmo valor daqui a um ano?
Podemos ver que, durante o prazo da operação, o valor do dinheiro envolvido numa transação financeira varia com o tempo. Em geral, todo empreendimento envolvendo dinheiro necessita de avaliações periódicas, antes de ser aceito e no decorrer do prazo até a data final do empreendimento. Portanto, necessitamos de procedimentos de avaliação do resultado de uma operação em qualquer data. A Matemática Comercial e Financeira é a disciplina dedicada ao estudo do comportamento do dinheiro em função do tempo.
O livro Matemática Financeira para Cursos de Graduação, tem como objetivo capacitar e atender as necessidades de conhecimentos e atualizações dos profissionais e de graduando de todas as áreas do conhecimento, proporcionando maior agilidade na tomada de decisão. Além de permitir ao profissional maior capacitação para o competitivo mercado de trabalho.
Uma advertência deve ser feita àqueles que pretendem estudar Matemática Financeira ou se dedicar a algum trabalho nessa área. São exigidos desses estudantes e profissionais análise atenta dos problemas que querem resolver, compreensão clara das operações financeiras ali envolvidas e familiaridade não só com a linguagem dos negócios, como também com fórmulas e calculadoras que utilizará. E tudo isso só se consegue com muito exercício, principalmente para aqueles que se lançam na área pela primeira vez.
Neste livro, antes do estudo dos tópicos da Matemática Financeira, serão relembradas algumas operações básicas da Matemática que facilitarão o uso das ferramentas em Operações Elementares da Matemática. Em seguida, abordaremos as Regras de Sociedade e Regra de Três Simples e Compostas. No terceiro tópico serão tratados os tópicos da Matemática Comercial. O tópico seguinte apresenta o conceito de porcentagem, dos juros simples e descontos simples. Logo após, são tratados os juros compostos e descontos compostos. No sexto tópico, será apresentado o valor do dinheiro no tempo, através das anuidades e suas diversas classificações. Por fim, serão apresentadas as diversas modalidades de sistemas de amortização e Análise de Investimentos. 
Os exemplos estão de forma de facilitar a compreensão dos conceitos e dos exercícios propostos, para que o estudante possa fixar e aplicar, os conceitos apresentados em novas situações. 
A matemática financeira por muitas vezes é considerada matéria difícil porque as pessoas tentam usá-la sem método. Antes de se lançar de cabeça na resolução dos problemas lembre-se que existem passos a serem seguidos. Primeiro é necessária uma correta interpretação dos problemas, ver realmente o que ele quer que seja calculado; segundo organize os dados do problema, veja o que se tem e o que se quer calcular e quais são as ferramentas (fórmulas) que se tem disponível e, por fim, faça o desenvolvimento do raciocínio aplicando o método correto, sempre testando para ver se o resultado encontrado e condizente com os dados do problema.
Neste trabalho quase todos os exercícios estão resolvidos apenas com a utilização das fórmulas, somente os de Analise de Investimentos no calculo da Taxa Interna de Retorno é que serão resolvidos pela calculadora HP 12 C e pela planilha do Excel devido a sua complexidade na resolução pelas fórmulas.
Recomendamos o livro Matemática Financeira com a calculadora HP 12 C para que você possa ir se identificando com a utilização dessa calculadora que é uma das ferramentas de gestão financeira, moderna, eficiente e com condições de resolver a maioria dos problemas gerados no dia a dia do gestor de negócios financeiros.
Portanto prepare-se, já estamos no século XXI, e o mundo não acabou, pelo contrário, estamos mais vivos do que nunca. Entramos na era do “saber” fazer a diferença, aprender a fazer coisas novas, desaprender as velhas e reaprender novamente.
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ÍNDICE
INTRODUÇÃO	06
CAPITALIZAÇÃO FINANCEIRA COMPOSTA	07
Juros Compostos	66
Montante Composto	66
Taxas Equivalentes	72
Taxa Efetiva Composta	74
Desconto Composto	75
Desconto Racional Composto	75
Desconto Comercial Composto	76
SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTO	80
Anuidades ou Rendas Certas	81
Valor Presente de uma Anuidade Postecipada	83
Valor Presente de uma Anuidade Antecipada	87
Anuidades Diferidas ou com Carência	90
Valor Futuro de uma Anuidade Postecipada	92
Valor Futuro de uma Anuidade Antecipada	95
Coeficiente de Financiamento	97
Anuidades Perpétuas	99
Valor Presente de uma Anuidade Variável	100
Valor Futuro de uma Anuidade Variável	101
Anuidade em que o Período de tempo não Coincide com aquele que se refere à taxa	103
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO	105
Sistema do Montante	107
Sistema de Juros Antecipados	108
Sistema Americano	111
Sistema de Amortização Francês ou Price – spc	112
Sistema de Amortização Constante – sac	113
Sistema de Amortização Misto – sam	115
Sistema de Amortizações Variáveis	116
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS	120
Valor Presente Liquido – npv	121
Taxa Interna de Retorno – tir	125
Questões de Matemática Financeira para Concursos Públicos	131
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS	158
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Matemática Financeira: Dentre várias definições, “é a ciência que estuda o dinheiro no tempo” (Lawrence Jeffrey Gitman). O conhecimento de matemática financeira é indispensável para compreender e operar nos mercados financeiro e de capitais, e atuar em administração financeira com baixo tempo e custo de decisão. 
Ao longo da história, o homem notou uma possível relação entre o tempo e o dinheiro, ele percebeu que o dinheiro perdia valor de acordo com o tempo, dessa forma, a correção monetária deveria ser feita, aumentando o poder de compra do capital. A ideia de juros pode ser atribuída aos primeiros indícios de civilizações existentes, fatos históricos relatam que, na Babilônia, comerciantes emprestavam sementes aos agricultores que, ao colherem a plantação, pagavam as sementes emprestadas mais uma determinada parte da colheita.
As práticas financeiras eram utilizadas no intuito da acumulação de capital, as formas econômicas de movimentação dos capitais foram adaptadas de acordo com a evolução das sociedades. O escambo era utilizado porque não existia uma moeda de troca, o surgimento do dinheiro originou a criação de mecanismos controlados inicialmente por pessoas denominadas cambistas. Eles exerciam a profissão que hoje é atribuída aos banqueiros, sentados num banco, nos mercados, eles realizavam operações de empréstimo, que eram quitados acrescidos os juros e na organização de ordens de pagamentos para particulares. Dessa forma, os cambistas tinham seus lucros e comissões pelos serviços prestados.
A necessidade de organização desse tipo de comércio fez surgir os bancos, que dinamizaram a economia, eles tiveram papel importante nas negociações entre os povos que realizavam operações comerciais no Mar Mediterrâneo. Fenícios, Gregos, Egípcios e Romanos possuíam importante participação nos métodos bancários.
Foram os bancos que contribuíram para o aprimoramento das técnicas financeiras e surgimento dos juros compostos. Atualmente, a Matemática Financeira possui inúmeras aplicabilidades no cotidiano, englobando situações relacionadas ao ganho de capital, pagamentos antecipados e postecipados, porcentagem, financiamentos, descontos comerciais entre outros produtos do meio financeiro.
Qual o objetivo principal da matemática financeira?
A matemática financeira busca, essencialmente, analisar a evolução do dinheiro ao longo do tempo, determinando o valor das remunerações relativas ao seu tempo. 
A Matemática Financeira é a parte da Matemática que tem por objetivo resolver problemas relacionados às Finanças. Possui técnicas e fórmulas próprias que permitem estudar o comportamento do dinheiro em função do tempo, considerando algumas das características do mercado.  
O conhecimento daMatemática Financeira permite o melhor uso dos conceitos da Administração Financeira, pois, através de suas técnicas, o indivíduo é capaz de tomar decisões mais seguras em relação aos investimentos. Não deve ser usada somente pelos chamados ‘financistas’ nas questões organizacionais, mas sim por todos os indivíduos em quaisquer situações em que uma decisão financeira deva ser tomada.  
 
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Quando uma determinada soma de dinheiro está aplicada a juros simples, os juros são sempre calculados sempre sobre o montante inicial. Quando uma soma está aplicada a juros compostos, os juros são calculados não apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros já vencidos.
Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.
São objetos de estudo da capitalização financeira composta:
Os Juros Compostos
O Montante Composto
Taxas Equivalentes
Taxa Efetiva Composta
O Desconto Composto
Desconto Racional Composto
Desconto Comercial Composto
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Os Juros Compostos
A dedução da fórmula dos juros compostos é feita a partir da fórmula do montante composto que veremos a seguir, pois o juro do período nada mais é que o valor do montante FV menos o valor do principal PV.
Sendo PV o valor do principal, n o período de aplicação, i a taxa unitária e J o juro do período, temos:
J = PV [(1 + i)n – 1]			►		Fórmula para calcular o Juro Composto
Exemplo 46: Calcular o juro composto de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. 
Dados: 															Resolução
C = 1.000,00														J = PV [(1 + i)n – 1]
n = 5 meses														j = 1.000 [(1 + 0,04)5 – 1]
i = 4% ao mês													J = 1.000 [1,045 – 1]
J = ? 																J = 1.000 [1,216653 – 1]
																	J = 1.000 . 0,216653
																	J = 216,65
Logo o juro composto do período foi de R$ 216,65.
A fórmula de juros compostos não é muito utilizada, pois a maioria dos problemas quase sempre esta “pedindo” o montante composto. Tendo calculado o valor do montante basta fazer J = FV – PV
O Montante Composto
O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.
A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, FV, o montante, PV, o capital inicial, n, o período e i, a taxa.
Da capitalização simples, sabemos que o rendimento se dá de forma linear ou proporcional. A base de cálculo é sempre o capital inicial. No regime composto de capitalização, dizemos que o rendimento se dá de forma exponencial. Os juros do período são calculados com base num capital, formando um montante, que será a nova base de cálculo para o período seguinte. 
Chama-se período de capitalização o instante de tempo o qual a aplicação rende juros.
Sendo o tempo de aplicação igual a 2 anos, por exemplo, e os juros capitalizados mensalmente, teremos 24 períodos de capitalização; para uma capitalização bimestral, a quantidade de períodos será igual a 12; se a capitalização for semestral, será 4 , e assim sucessivamente.
A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema: 
Exemplo 47: Na aplicação de R$ 1.000,00 durante 5 meses, à taxa de 2% a.m., temos, contada uma capitalização mensal, 5 períodos de capitalização, ou seja, a aplicação inicial vai render 5 vezes. 
Observando o crescimento do capital a cada período de capitalização, temos:
	Período
	CAPITAL
	MONTANTE
	1º período:
	R$ 1.000,00 . 1,02
	= R$ 1.020,00
	2º período:
	R$ 1.020,00 ( 1,02
	= R$ 1.040,40
	3º período:
	R$ 1.040,40 ( 1,02
	= R$ 1.061,21
	4º período:
	R$ 1.061,21 ( 1,02
	= R$ 1.082,43
	5º período:
	R$ 1.082,43 ( 1,02
	= R$ 1.104,08
Portanto, o montante ao final dos 5 meses será R$ 1.104,08. 
No cálculo, tivemos 
R$ 1.000 ( 1,02 ( 1,02 ( 1,02 ( 1,02 ( 1,02
= R$ 1.000 ( (1,02)5 
= R$ 1.000 ( 1,10408 
= R$ 1.104,08
Observamos o fator (1,02)5. Essa potência pode ser calculada com calculadoras científicas ou com auxílio das tabelas financeiras.
Generalizando, o cálculo do montante a juros compostos será dado pela expressão abaixo, na qual FV é o montante, PV o capital, i é a taxa de juros e n é a quantidade de capitalizações.
FV = PV ( (1 + i)n 	►		Fórmula para o cálculo do Montante Composto
	 			►		Fórmula para o cálculo do valor do tempo de aplicação
	Existem outras fórmulas especificas para se calcular o valor do Capital (PV) e o valor da taxa (i) mas, para evitar um acumulo desnecessário de fórmulas e macetes, foi de propósito suprimido as mesmas, visto que elas são derivadas da fórmula principal.
Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:
	CAPITAL
	JUROS
	MONTANTE
	R$ 1.000,00 ( 0,02
	= R$ 20,00 
	( M = R$ 1.020,00
	R$ 1.000,00 ( 0,02
	= R$ 20,00 
	( M = R$ 1.040,00
	R$ 1.000,00 ( 0,02
	= R$ 20,00 
	( M = R$ 1.060,00
	R$ 1.000,00 ( 0,02
	= R$ 20,00 
	( M = R$ 1.080,00
	R$ 1.000,00 ( 0,02
	= R$ 20,00 
	( M = R$ 1.100,00
Portanto, o montante simples, ao final dos 5 meses será R$ 1.100,00.
	 Observamos que ao final do primeiro período de capitalização, os juros compostos e os juros simples, apresentam valores iguais. A partir daí, o rendimento composto passa a superar o simples.
Exemplo 48: Calcular o montante, ao final de um ano de aplicação, do capital R$ 600,00, à taxa composta de 4% ao mês.
Resolução: A capitalização é mensal, portanto, no tempo de aplicação considerado teremos 12 capitalizações.
	Dados:
	Solução:
	PV  = 600,00
n  = 12
i   = 4% a m.
FV   = ?
	FV = PV ( (1 + i)n
FV = 600 ( (1 + 0,04)12
FV = 600 ( (1,04)12
FV = 600 ( 1,60103 
FV = R$ 960,62
Exemplo 49: Determine o capital inicial que empregado a 75 dias para a taxa de 2,7% a.m. rendeu R$ 117,58.
	Dados:
	Solução:
	PV  = ?
n  = 75 dias = 2,5 meses
i   = 2,7% a m.
FV   = 117,58
	FV = PV ( (1 + i)n
117,58 = PV ( 1 + 0,027)2,5
117,58 = PV ( 1,027)2,5
117,58 = PV 1,0689
PV = 110,00
Exemplo 50: Uma aplicação de R$ 240,00 à taxa de 2,8% a.m. rendeu R$ 248,77. Calcular o período para esse investimento.
	Dados:
	Solução:
	PV  = 240,00
n  = ?
i   = 2,8% a m.
FV   = 248,77
	FV = PV ( (1 + i)n
248,77 = 240( 1 + 0,028)n
248,77 = 240 (1,028)n
1,0365 = ( 1,028)n
log(1,0365) = log(1,028)n
log (1,0365)= n . log (1,028)
0,0359 = n. 0,0276
n = 
1,3 = 13/10 = 39/30 = 39 dias
Exemplo 51: Antônio foi a uma instituição financeira e aplicou R$ 280,00 por 45 dias obtendo ao final R$ 290,57. Calcular a taxa mensal de rendimento.
	Dados:
	Solução:
	PV  = 280,00
n  = 45 dias ou 1,5 mês
i   = ?
FV   = 290,57
	FV = PV ( (1 + i)n
290,57 = 280(1 + i)1,5
1,02501 – 1 = i
0,02501 = i
i = 0,02501 (x 100)
i = 2,504% a.m.
Exercícios de Aplicação
Uma empresa aplicou o valor de R$ 780,00 numa conta que paga juros a uma taxa efetiva de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias. Calcule o montante. Resposta: R$ 795,85
O valor de R$ 440,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., formando um montante de R$ 488,55. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6 meses
O valor de R$ 890,00 foi aplicado em RDB, à taxa efetiva de 19% a.a., ano comercial, durante 36 dias, capitalizado diariamente. Calcule o montante. Resposta: R$ 905,61
O valor de R$ 670,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 1,7% a.m., capitalizado mensalmente, rendendo de juros R$ 75,07. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta:5 meses
Uma empresa aplicou um valor numa conta que paga juros composto a uma taxa efetiva de 23% a.a., ano comercial, capitalizada diariamente, durante 35 dias, que formou um montante de $ 780,00. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 764,45
O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$ 1.376,44
O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses, rendendo de juros $ 1.420,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 0,273% ao mês
O valor de R$ 3.620,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 2,3% a.m. formando um montante de R$ 4.130,35. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6 meses
O valor de R$ 1.940,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% ao semestre, capitalizado mensalmente, durante 3 anos e 4 meses. Calcule o montante. Resposta: R$ 4.129,73
Qual o tempo necessário para que um capital aplicado a taxa de 2,6% ao mês duplique de valor? Resposta: 27 meses
O valor de R$ 1.940,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 1 ano e 8 meses. Calcule o montante. Resposta: R$ 2.830,49
Um valor aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros R$ 1.460,00, após a aplicação durante 2 anos. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 1.048,54
Qual a taxa necessária para que um capital aplicado durante um ano triplique de valor. Resposta: 9,58%
Que valor, aplicado a juros compostos à taxa efetiva de 4% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 1.180,00, sabendo que ficou aplicado durante 9 meses? Resposta: R$ 829,05
Um capital de R$ 200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o juro acumulado após 4 anos. Resposta: R$ 92.820,00.
Um certo capital é aplicado em regime de juros compostos à uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? Resposta: 9,7 anos ou 9 anos e 9 meses
O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$ 1.376,45
O valor de R$ 1.280,00 foi aplicado a juros compostos, durante 3 anos e 2 meses, rendendo de juros R$ 1.420,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 1,98% ao mês
O valor de R$ 2.400,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 12% a.s., capitalizado mensalmente, durante 2 anos. Calcule o valor dos juros. Resposta: R$ 1.460,25
Um valor aplicado a juros compostos, à taxa nominal de 18% a.a., capitalizada mensalmente, rendeu de juros R$ 1.460,00, após a aplicação durante 2 anos. Calcule o valor aplicado. Resposta: R$ 3.399,28
O valor de R$ 440,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa de 1,8% a.m., rendendo de juros R$ 488,59. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 3 anos, 5 meses e 26 dias
O valor de R$ 670,00 foi aplicado a juros compostos, à taxa efetiva de 1,7% a.m., capitalizado mensalmente, rendendo de juros R$ 75,07. Quanto tempo ficou aplicado? Resposta: 6 meses e 9 dias
Taxas Equivalentes Compostas
	Certa taxa a um dado período será equivalente a outra taxa e seu respectivo período se ambas apresentarem o mesmo montante ou valor futuro.
Matematicamente:
FV = PV (1 + i1 )n1 e FV = PV (1 + i2)n2 
Igualando os temos: PV (1 + i1)n1 = PV (1 + i2)n2 → (1 + i1)n1 = (1 + i2)n2
	Simplificando ainda mais a fórmula podemos escrever que a taxa equivalente composta será dada por:
		►	Fórmula para calcular a Taxa Equivalente Composta
onde:
Ti: Taxa Equivalente Composta
i: taxa unitária
Q: Tempo que eu quero 
T: Tempo que eu tenho
Obs: Multiplicar o valor final por 100 para transforma a taxa unitária em porcentual.
Exemplo 52: Determinar as taxas equivalentes mensais para:
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20% a.a.
5% a.b.
12% a.s.
0,4% a.d.
�
	Resolução
	a) 20% ao ano
	b) 5% ao Bimestre
	c)12% ao Semestre
	d) 0,04% ao Dia
	
	
	
	
Exercícios de Aplicação
Certo capital é aplicado por um ano à taxa de 30% a.a.. Obter as seguintes taxas equivalentes:
mensal
trimestral
semestral
diária 
Respostas: a) 2,21% a. m.; b) 6,77% a. t.; c) 14,01% a. s.; d) 0,072% a. d.
Qual a taxa anual equivalente a 2% a.m., no regime de juros compostos? Resposta: 26,82% ao mês
Qual a taxa mensal equivalente a 0,033173% a.d., no regime de juros compostos? Resposta: 1% ao mês
Determine a taxa anual equivalente a 0,2% a.d., no regime de juros composto. Resposta: 7,464% ao ano
Calcule a taxa semestral equivalente a 45% a.a., no regime de juros compostos. Resposta: 20,41% a. s.
Taxa Efetiva Composta
		É a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da taxa efetiva, como por exemplo, juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas.
		Esses e outros artifícios às vezes são utilizados conscientemente para mascarar a taxa efetiva ou fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência.
Para calcular a taxa efetiva composta usamos a fórmula derivada do Montante Composto.
			►		Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Composta
Exemplo 53: Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 2% ao mês de juros composto que devem ser pagos antecipadamente pelo tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador pagou por um empréstimo de R$ 5.000,00 por três meses?
Logo a taxa efetiva foi de 2,127% ao mês.
Desconto Composto
É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, ou a venda de um título antes do seu vencimento, observando os critérios da capitalização composta. Como no desconto simples temos duas formas de desconto composto:
Desconto racional ou por dentro.
Desconto comercial, bancário composto ou por fora.
O desconto composto pode ser definido como a soma dos descontos simples, considerando cada período na operação e calculando sempre as taxas sobre o valor nominal da operação.
 
Exemplo de definição
Se um título qualquer é pago com 5 meses de antecedência, o desconto composto seria calculado da seguinte forma:
Leva-se em consideração o valor nominal do título na operação e calcula-se o valor P (valor atual) 1 mês antes do vencimento;
Se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 2 meses antes do vencimento;
Deste  valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 3 meses antes do vencimento;
Deste valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 4 meses antes do vencimento;
Terminando então o período, se pega o valor total encontrando e o torna como nominal e efetuam-se os cálculos com 5 meses antes do vencimento;
 Desta forma, quando os descontos são as somas de vários períodos na operação ele é chamado de desconto real. O desconto bancário é a soma dos descontos comerciais.
 
Desconto Comercial Composto
Como o desconto comercial ou bancário simples, o desconto comercial ou bancário composto é calculado  sobre o valor nominal do título.
As fórmulas para o cálculo do desconto comercial composto, relativo a um dado título de crédito, são obtidas pelas fórmulas do desconto comercial simples, aplicadas período a período. Chamamos de VA o valor atual comercial do título, n períodos antes de sua data de vencimento, temos:
VA = VN (1 – i)n					►		Fórmula para o cálculo do Valor Atual
Dc = VN [1 – (1 – i)n]			►		Fórmula para o cálculo do Desconto Comercial
						►		Fórmula para o cálculo do Valor Nominal
Exemplo 54: Calcular o valor atual de um título de $ 20.000 descontados  um ano antes do vencimento a taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestrecapitalizável trimestralmente.
	Dados:
	Solução:
	VN  = 20.000,00
n  = 4
i   = 5% a t.
VA   = ?
	VA = VN ( (1 – i)n
VA = 20.000 ( (1 – 0,05)4
VA = 20.000 ( (0,95)4
VA = 20.000( 0,814506
VA = R$ 16.290,12
Exemplo 55: No exercício anterior qual foi o valor do desconto comercial composto?
Fazendo D = VN – VA, temos:
D = VN – VA
D = 20.000 – 16.290,12
D = R$ 3.709,88
Desconto Racional Composto
Os Descontos Racionais Composto, relativos a um dado título de crédito, é a diferença entre o valor nominal e o valor atual deste, os quais são determinados com base no sistema de capitalização composta.
O valor do desconto é calculado sobre o valor atual, como também o é em desconto racional simples, divergindo apenas por agora considerarmos uma capitalização, ou seja, usarmos potenciação com em capitalização composta.
Como se trata de um Desconto Racional Composto, a fórmula para o valor atual pode ser obtida pela relação do montante composto.
VN = VA (1 + i)n					►		Fórmula para o cálculo do Valor Nominal
Dc = VN [1 – (1 + i)-n]		►		Fórmula para o cálculo do Desconto Racional
VA = VN (1 + i)-n				►		Fórmula para o cálculo do Valor Atual
Exemplo 56: Encontrar o desconto Racional Composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 2% ao mês.
	Dados:
	Solução:
	VN  = 50.000,00
n  = 2
i   = 2% a t.
VA   = ?
	Dr = VN ( [1 - (1 + i)-n]
Dr = 50.000 ( [1 - (1 + 0,02)-2]
Dr = 50.000 ( [1 - (1,02)-2]
Dr = 50.000 ( [1 – 0,961169]
Dr = 50.000 . 0,038831
Dr = 1.941,56 
Exercícios de Aplicação
Qual o Valor Atual de um título de R$ 100.000,00, 3 meses antes de seu vencimento, considerando-se a taxa composta de 4% ao mês, sob o critério do desconto comercial composto. Resposta: R$ 88.473,60
Qual o Valor Atual de um título de R$ 100.000,00 resgatado racionalmente a taxa composta de 4% ao mês, 3 meses antes do vencimento? Resposta: R$ 88.899,60
O valor de um título, descontado 6 meses antes de seu vencimento, reduziu-se de R$ 465,85 para R$ 350,00. Qual a taxa bimestral racional composta adotada nessa operação? Resposta: 10%
Por um título de R$ 10.000,00 paguei R$ 8.879,71. Qual o prazo de antecipação desse título, se o desconto racional composto deu-se a 2% ao mês? Resposta: 6 meses
Determine o Desconto Racional e Composto e o valor atual das hipóteses seguintes:
	
	Valor Nominal – em reais
	Taxa 
	Prazo até o vencimento
	A
	15 000,00
	25% a ano
	8 meses
	B
	3 000,00
	20% a ano
	150 dias
	C
	5 000,00
	32% a ano
	25 dias
	d
	6 000,00
	28% a ano
	9 meses e 15 dias
Determine o Desconto Comercial Composto e o valor atual das hipóteses seguintes:
	
	Valor Nominal – em reais
	Taxa 
	Prazo até o vencimento
	A
	12 500,00
	37% a ano
	25 dias
	B
	18 000,00 
	35% a ano
	45 dias
	C
	20 000,00
	28% a ano
	3 meses
	d
	22 000,00
	27% a ano
	4 meses e 12 dias
Se o Desconto Comercial Composto for de R$ 1.125,00, qual será o valor nominal, se a taxa considerada for de 27% ao ano e o prazo de antecedência 100 dias. Resposta: R$ 13.439,65
Por ter pago uma dívida de R$ 30.000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 2.284,65. Qual a taxa de desconto racional envolvida nessa operação? Resposta: 2% ao mês
Uma nota promissória foi descontada 4 meses antes de seu vencimento à taxa composta de 2,16% ao mês. Sabendo-se que o Valor Atual Comercial foi de R$ 18.266,67, qual seria seu valor nominal? Resposta: R$ 19.933,96
Uma empresa tomou emprestado de um banco a quantia de R$ 2.000,000,00 à taxa de juros composto de 1,2% ao mês, por 7 meses. No entanto, 15 dias antes da data prevista para o vencimento, a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se nessa data o banco estava operando a 1,5% ao mês? Resposta: R$ 2.158.045,32
Uma empresa, possuidora de um título de R$ 40.000,00, com vencimento para 7 meses, deseja substituí-lo por outro, com vencimento para 5 meses. Qual será o valor do novo título, uma vez que a taxa adotada na operação é de 4% ao mês e o critério adotado, o do desconto racional composto? Resposta: R$ 36.982,24
Um título de R$ 35.000,00, com vencimento em 21/10/2009, foi descontado em 21/09/2009 em um banco que cobra 14% ao ano pelo critério do Desconto Racional Composto. Qual o valor recebido pelo título em 21/09/2009. Resposta: R$ 34.619,91
Calcular o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de R$ 7.500,00, considerando-se a taxa de juros simples de 8,8 % ao ano e o prazo de antecipação do resgate como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva composta está sendo adotada? Resposta: 9,25% ao mês
O valor atual bancário de uma nota promissória descontada 3 meses antes de seu vencimento é de R$ 11.040,00. Qual será a taxa de juros efetiva, se a taxa de desconto simples for de 36% ao ano e a taxa administrativa for de 1,25%? Resposta: 3,67% ao mês
Um título a vencer em 90 dias, no valor de R$ 10.000,00, foi descontado por R$ 9.375,00. Qual a taxa de desconto composto racional e qual a taxa efetiva composta? Resposta: 2,17% ao mês; 2,17% ao mês
Uma duplicata no valor de nominal de R$ 8.000,00 foi descontada 60 dias ante de seu vencimento a 24% ao ano. Qual é o desconto comercial composto? Qual a taxa efetiva? Resposta: R$ 316,80; 2,04% ao mês
�
	
Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamento ou de recebimentos. Quando o objetivo é constituir um capital em uma data futura, tem-se um processo de Capitalização, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de Amortização.
São exemplos de Série Uniformes de Pagamentos:
Valor Presente de uma Anuidade Postecipada
Valor Presente de uma Anuidades Antecipadas
Anuidades Diferidas ou com Carência
Valor Futuro de uma Anuidade Postecipada
Valor Futuro de uma Anuidade Antecipada
Coeficiente de Financiamentos
Anuidades Perpétuas
Valor Presente de uma Anuidade Variável
Valor Futuro de uma Anuidade Variável
Anuidade em que o Período do Tempo não coincide com aquele que se refere a Taxa
�
Anuidades ou Rendas Certas
Anuidades ou rendas certas é o nome que se dá aos pagamentos sucessivos tanto em nível de financiamentos (Amortização) quanto de investimentos (Capitalização).
Algumas definições importantes:
ANUIDADES: é cada pagamento feito em determinados intervalos de tempo (Ex: mensal, bimestral, anual, etc.).
INTERVALOS DE PAGAMENTO: intervalo de tempo decorrido entre dois pagamentos.
VALOR PRESENTE OU VALOR ATUAL: é a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, anterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.
VALOR FUTURO OU MONTANTE: é a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos, calculados numa data focal dada, posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos, com uma taxa também dada.
SEQUENCIA UNIFORME DE PAGAMENTOS: quando todos os pagamentos ou anuidades são iguais, os períodos e as taxas de juros também são iguais.
As Séries de Pagamento uniformes divide-se em:
POSTECIPADAS: são aquelas cujo pagamento ocorre no fim do período. É a sistemática normalmente adotada pelo mercado. Ex: Pagamento da fatura do cartão de crédito.
ANTECIPADAS: são aquelas em que o primeiro pagamento ocorre no início do período. Exemplo: Compra em uma loja para pagamento em 4 prestações mensais, iguais, sendo uma de entrada.
DIFERIDAS: são aquelas séries de pagamento que se iniciam após decorrido um certo número de períodos sem pagamentos. Geralmente conhecido por “período de carência”. Exemplo: Financiamento pelo prazo de 6 meses, com carência de 2 meses, para pagamento em 4 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a partir do terceiro mês?
ANUIDADES TEMPORÁIS: quando o número de intervalo de tempo é finito.
ANUIDADES VARIÁVEIS: quandoos intervalos de tempo não são iguais ou os prestações diferem de valor.
ANUIDADES PERPÉTUAS: quando o número de intervalos de tempo é infinito.
Classificação das Anuidades:
Quanto ao número de prestações:
Finitas: quando ocorrem em um período determinado de tempo;
Infinitas: quando os pagamentos ou recebimentos duram infinitamente;
Quanto a periodicidade dos temos:
Periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalo de tempo constante.
Não periódicas: quando os pagamentos ou recebimentos ocorrem em intervalos de tempo irregulares.
Quanto ao valor das prestações:
Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos são de valores iguais.
Não Uniformes: quando os pagamentos ou recebimentos apresentam valores distintos.
As Série Uniformes que apresentam prestações iguais são bastante comuns em operações comerciais como financiamentos de eletrodomésticos, financiamentos imobiliários etc..
Para facilitar a compreensão, as rendas costumam ser representado em diagramas, chamado de Fluxo de Caixa.
O Fluxo de Caixa serve para demonstrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo. O tempo é representado por uma linha horizontal dividida pelo número de períodos relevantes para análise. As entradas ou recebimentos são representados por setas verticais apontadas para cima e as saídas ou pagamentos são representados por setas verticais apontadas para baixo. 
 100 300 200 700
 300 200 300 480 700
Chamamos de VP o valor presente, que significa o valor que eu tenho na data focal 0; VF, valor futuro, que será igual ao valor que terei no final do fluxo, após juros, entradas e saídas. PMT é a prestação, ou as entradas e saídas durante o fluxo.
Valor Presente de uma Anuidade Postecipada
Seja um principal PV a ser pago em n termos iguais a PMT, imediatos, postecipados e periódicos, submetidos a uma taxa i de juros composto, referida ao mesmo período de tempo.
Representação gráfica do modelo:
		O Objetivo é trazer todos os pagamentos ou prestações para o momento inicial.
Exemplo 57: João comprou um DVD, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$ 50,24 sem entrada. A taxa de juros composto cobrada é de 2% ao mês. Qual o preço do DVD a vista? 
Resolução: Calcular o preço do DVD à vista corresponde à soma dos valores atuais das prestações na data focal zero, ou seja, é trazer o valor das prestações para o dia de hoje, o seu valor atual. Veja o Fluxo de Caixa.
Para calcular o valor presente devemos pensar no valor do dinheiro no tempo. Qual será o valor de uma prestação de R$ 50,24, quatro meses antes do seu vencimento? Qual será o seu valor hoje?
	Para determinar o valor na data focal zero, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV (1 + i)n, onde o FV é o valor da prestação a ser paga e o PV é o valor dessa prestação hoje.
	1ª Prestação
	2ª Prestação
	3ª Prestação
	4ª Prestação
	
	
	
	
O preço a vista do DVD será a soma dos valores atuais de cada prestação, ou seja: R$ 49,25 + R$ 48,28 + R$ 47,35 + R$ 46,42 = R$ 191,30.
Mas e se fossem 36 prestações? Teríamos que calcular uma por uma?
Fórmula do Modelo Básico de Anuidade Postecipadas
A soma dos valores presentes é obtida pela soma dos termos de uma progressão geométrica com as seguintes característica: 
; 
 e 
. Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G. 
 temos:
	
	
►
	
Fórmula para calcular o valor presente de uma Anuidade Postecipada
	
	
	
	
	
►
	
Fórmula para o cálculo da prestação de uma Anuidade Postecipada
onde:
	PV = Preço a vista
	PMT = Prestação
	n = número de período
	i = taxa unitária
Exemplo 58: Nas Casas Enairam uma televisão de plasma custa R$ 6.999,00 a vista, mas pode ser financiada em até 12 vezes sem entrada á taxa de 1% ao mês. Qual o valor das prestações?
 
Exemplo 59: Um computador AMD Semprom, 128 MB + CDRW + HD 60 GB + monitor de 15” é vendido nas Casas Enairam em 10 prestações mensais sem entrada de R$ 189,90. Se a taxa de juros cobrada pela loja é de 1,5% ao mês, qual o valor á vista do computador?
 
Qual é a taxa mensal de um financiamento de R$ 13.500,00 a ser pago em 12 prestações de R$ 1.800,00?
Solução
VP = 13.500,00		R = 1.800,00		n =12
VP = R an(i		13.500 = 1.800 a12(i	a12(i = 
� = 7,5
Consultando as Tabelas de an(i = 12, encontraremos a12(8 = 7,536078 e a12(9 = 7,160725.
O valor que procuramos está entre estes dois valores. Vamos, então, montar a interpolação linear
	8% ..........7,536078
	i ..........7,5 
( i -8 = 
	9% ..........7,160725
 ou i = 8,096%
Exercícios de Aplicação
Calcular o valor atual de uma anuidade periódica postecipada de R$ 1.000,00, nas hipóteses seguintes:
Prazo de 24 meses a 2% ao mês - Resposta: R$ 52,87
Prazo de 12 meses a taxa de 3% ao mês - Resposta: R$ 100,46
Prazo de 36 meses a taxa de 2,5% ao mês - Resposta: R$ 42,45
Prazo de 8 trimestre a taxa de 10% ao trimestre - Resposta: R$ 187,44
Prazo de 5 semestre a taxa de 4% ao semestre. - Resposta: R$ 224,62
Prazo de 9 bimestre a taxa de 3,8% ao bimestres. - Resposta: R$ 133,27
Uma pessoa contrai um empréstimo a ser pago em 25 prestações mensais postecipadas de R$ 200,00 no fim de cada mês. Se a taxa cobrada pela financeira é de 2,5% ao mês, qual é o valor do empréstimo? Resposta: R$ 3.684,88
Uma loja vende um televisor por R$ 780,00 à vista ou em 5 pagamentos postecipados, à taxa de 1,8% ao mês. Qual o valor de cada prestação? Resposta: R$ 164,52
Um empréstimo de R$ 20.000,00 é pago em 23 prestações mensais postecipadas de R$ 900,00. Qual o valor da taxa cobrada? Resposta: 0,29% am
Um automóvel, cujo preço à vista é R$ 25.000,00, é vendido com 35% de entrada mais 24 prestações postecipadas à taxa de 0,5% am. Qual o valor de cada prestação? Resposta: R$ 720,21
Um Banco emprestou para uma Empresa o valor de R$ 200,00, pelo prazo de 120 dias, para ser liquidado em 4 prestações mensais, iguais e consecutivas de R$ 60,00. Calcule a taxa mensal dessa operação? Resposta: 7,71%
Um telefone celular Ericson é vendido a vista por R$ 1,749,00 ou em suaves prestações de R$ 87,31. Sabe-se que a taxa cobrada pelas Casas Enairam é de 1,5% ao mês. Qual o número de prestações? Resposta: 24 meses
Uma calculadora financeira Aurora é vendida nas Lojas Enairam à vista por R$ 149,90 ou em 6 prestações mensais, sem entrada de R$ 26,76. Determine a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 2%
O Sr. Pedro efetuou um empréstimo no valor de R$ 3.545,95, para pagamento em 4 vezes sem entrada, a uma taxa de juros de 5% a. m. Qual o valor das prestações? Resposta: R$ 1.000,00
Quantas prestações mensais de R$ 500,00 serão necessárias para se pagar uma dívida de R$ 2.800,72 à taxa de 2% a.m.. Resposta: 6 prestações
Um automóvel, cujo preço à vista é R$ 25.000,00, é vendido com 35% de entrada mais 24 prestações postecipadas à taxa de 0,5% am. Qual o valor de cada prestação? Resposta: R$ 720,21
Quantas prestações mensais de R$ 400,00 serão necessárias para se pagar uma dívida de R$ 6.664,73 à taxa de 3,4% a.m.. Resposta: 25 prestações
Valor Presente de uma Anuidade Antecipada
		Ocorrem quando o primeiro pagamento é efetuado na entrada. Sendo o valor da entrada igual ao valor da prestação.
Comparando-se os diagramas de renda imediata com o de renda antecipada, a única diferença é que o primeiro termo, na renda postecipada, ocorre no fim do 1º período, enquanto na antecipada, o 1º pagamento ocorre no instante zero.
Caso o 1º pagamento da série antecipada ocorresse no final do 1º período, automaticamente a série antecipada seria transformada em imediata (postecipada).Para “empurrar” o 1º termo para o final do instante 1 (e os demais para o final dos respectivos períodos), basta que multipliquemos a série de pagamentos por (1 + i)n , “deslocando” o gráfico para a direita por um período. Como resultado desta “transformação”, a série de pagamentos antecipados passa a ser uma renda postecipada.
Portanto, para encontrarmos o valor das rendas antecipadas, basta multiplicarmos o valor encontrado para as rendas postecipads por (1 + i).
Fórmula do Modelo Básico de Anuidades Antecipadas
No caso da renda antecipada, como a primeira prestação é paga na assinatura do contrato (data zero), seu valor atual (valor presente) é obtido capitalizando um período de juros no valor presente da renda imediata, isso é:
	
	
►
	
Fórmula para calcular o valor presente de uma Anuidade Antecipada
	
	
►
	
Fórmula para o cálculo da prestação de uma Anuidade Antecipada
Exemplo 60: Comprei uma geladeira de última geração nas Lojas Enairam em 18 pagamentos de R$ 130,72, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2% ao mês, qual o preço à vista da geladeira.
 
 
Exemplo 61: As Lojas Brasileiras esta vendendo um aparelho de ar condicionado à vista por R$ 1.799,00 ou em 15 prestações fixas, sendo a primeira no ato da compra. Qual o valor das prestações se a taxa cobrada pela loja é de 1,3% ao mês.
 
Exercícios de Aplicação
Calcular o valor atual de uma anuidade periódica postecipada de R$ 1.000,00, nas hipóteses seguintes:
Prazo de 24 meses a 2% ao mês - Resposta: R$ 51,83
Prazo de 12 meses a taxa de 3% ao mês - Resposta: R$ 97,53
Prazo de 36 meses a taxa de 2,5% ao mês - Resposta: R$ 41,41
Prazo de 8 trimestre a taxa de 10% ao trimestre - Resposta: R$ 170,40
Prazo de 5 semestre a taxa de 4% ao semestre. - Resposta: R$ 215,98
Uma câmera digital está custando à vista R$ 799,00 nas Lojas Brasileiras ou em suaves prestações de R$ 85,36 à taxa de 1,5% ao mês, sendo a primeira no ato da compra. Em quantas prestações a loja está vendendo a câmera digital? Resposta: 10 prestações
Dona Maria fez um financiamento de R$ 5.000,00 por 12 meses, à taxa de 1,5% ao mês no Banco Falidos S.A.. Calcule o valor das prestações, considerando-se que ela pagou uma de entrada. Resposta: R$ 451,62
Comprei um produto nas Lojas Enairam em 12 pagamentos de R$ 45,78, sendo o primeiro pagamento no ato da compra. Se a taxa cobrada pela loja é de 2,5% ao mês, qual o preço à vista desse produto. Resposta: R$ 481,34
Quantas prestações bimestrais antecipadas de R$ 600,00 são necessárias para pagar uma dívida de R$ 2.884,64, à taxa de 2%a.b.? Resposta: 5 prestações
Quantas prestações mensais antecipadas de R$ 400,00 serão necessárias para se pagar uma dívida de R$ 6.664,73 à taxa de 3,4% a.m.. Resposta: 24 prestações
Um apartamento é vendido à vista por R$ 100.000, mas pode ser vendido a prazo em 19 prestações mensais, iguais, vencendo a 1ª no ato da compra. Sabendo que a taxa de juros é de 2% a.m., qual o valor da Prestação? Resposta: R$ 6.253,11
Uma geladeira da marca Groenlândia custa à vista R$ 2.500,00, mas pode ser paga em 10 suaves prestações de R$ 278,68, sendo a primeira no ato da compra. Qual a taxa de juros cobrada pela loja. Resposta: 2,5%
Uma loja de decorações anuncia a venda de um objeto de arte por R$ 600,00 a vista ou em 1 + 8 vezes de R$ 80,00. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Resposta: 4,85%
Calcular a prestação de uma mercadoria vendida a vista por R$ 1.260,00 nas hipóteses seguintes:
1 + 7 vezes a taxa de 5% ao mês – Resposta: R$ 185,66
1 + 10 vezes a taxa de 4,5% ao mês – Resposta: R$ 141,37
1 + 5 vezes a taxa de 3,2% ao mês – Resposta: 226,87
Anuidades Diferidas ou com Carência
	Quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento do financiamento e a data de pagamento da primeira prestação. 
Fórmula do Modelo Básico de Anuidades Diferidas
Para apurar o valor das prestações postecipadas de um financiamento com carência, pode-se utilizar o seguinte critério: Capitaliza-se o saldo devedor (valor do empréstimo), usando-se a taxa contratada, até o período imediatamente anterior ao primeiro pagamento, ou seja: FV = PV (1 + i)n.
A importância encontrada será a base para o cálculo do valor das prestações conforme o modelo básico de anuidades postecipadas. Ficando assim:
. 	As duas fórmulas podem ser compostas em apenas uma, fazendo FV = PV (1 + i)n e substituindo esse valor na fórmula do PMT fica:
	
	
►
	
Fórmula para o cálculo da Prestação de uma Anuidade Diferida
Para calcular o valor presente de uma Anuidade Diferida usamos a mesma fórmula.
onde:
PMT	= Prestação									PV 	= Preço a vista ou valor financiado
c	= Tempo de carência							i	= Taxa unitária
n	= Tempo ou quantidade de prestações
Exemplo 62: Uma financeira emprestou a quantia de R$ 720,00, pelo prazo de um ano, para recebimento em 8 prestações mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira deverá vencer no final do quinto mês e que a taxa cobrada é de 6,5% ao mês, determine o valor das prestações?
 
Exercícios de Aplicação
Uma empresa anuncia que está vendendo suas mercadorias em 10 prestações mensais, com a primeira paga 60 dias após a compra, a uma taxa de juros de 6% a.m. Se cada prestação é de $ 670,00, qual o valor da mercadoria a vista? Resposta: R$ 4.652,13
Um terreno é vendido a prazo em 6 prestações mensais de R$ 12.000,00 cada uma, vencendo a primeira 3 meses após a compra. Se a taxa de juros é de 3% ao mês, qual é o preço a vista do terreno? Resposta: R$ 61.274,67
O preço a vista de um carro é de R$ 76.000,00. No entanto, há um plano de venda a prazo, no qual a financeira associada à revendedora exige 30% de entrada, financiando o saldo em 24 prestações mensais e iguais, com 3 meses de carência. Qual é o valor de cada prestação sabendo que a taxa de juros é de 3,87% ao mês? Resposta: R$ 3.858,33
Um conjunto de dormitórios é anunciado por 10 prestações mensais de R$ 200,00 cada uma, vencendo a primeira daqui a 4 meses. Se a taxa de juros é de 3,5% ao mês, qual o preço a vista deste conjunto? Resposta: R$ 1.500,22
Um aparelho de som é vendido por R$ 239,00 à vista. A prazo, ele é vendido em 6 prestações mensais e iguais, sendo dado ao cliente 3 meses de carência. Determine o valor das prestações sabendo que a taxa é de 3,8% ao mês. Resposta: R$ 50,66
Valor Futuro de uma Anuidade postecipada
	 
Seja uma capitalização em que são aplicadas n parcelas iguais, periódicas e postecipadas, a uma taxa de juros i. O problema é determinar o montante FV na data focal n que resulta deste processo de capitalização.
Como o valor futuro de uma renda é a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.
Para encontrarmos o valor futuro de uma série de pagamentos ou recebimentos iguais de forma composta, observemos o seguinte processo:
Sobre o primeiro depósito são calculados os juros do primeiro mês, soma-se o segundo depósito e calcula-se mais um mês de juros, e assim sucessivamente até o último depósito, que simplesmente será somado, pois sobre esse último não há rendimentos. O montante FV é calculado exatamente nesta data logo após o último deposito fazendo a soma de todos os montantes obtidos.
 Exemplo 63: Uma pessoa fez 4 depósitos de R$ 500,00 mensalmente em um banco. Sabendo que ela está ganhando 2% ao mês, qual o montante que ele possui após o ultimo depósito?
�
Para determinar o valor futuro, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV (1 + i)n, onde o PV é o valor da aplicação e o FV é o valor futuro dessa aplicação.
	1ª Prestação
	2ª Prestação
	3ª Prestação
	4ª Prestação
	
	
	
	
O montante será a soma dos valores do FV de cada depósito, ou seja: R$ 530,60 + R$ 520,20 + R$ 510 + R$ 500 = R$ 2.060,80.
Mas e se fossem 30 depósitos? Teríamos que calcular um por um?Fórmula do Valor Futuro de uma Anuidade Postecipada
A soma dos valores futuros é obtida pela soma dos termos de uma progressão geométrica com as seguintes característica: 
; 
 e 
. Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G. 
 temos:
	
	
►
	
Fórmula para o cálculo do Valor Futuro de uma Anuidade Postecipada
Resolução do mesmo problema pela Fórmula.
Para o cálculo da prestação ou mensalidade utilizamos a mesma fórmula.
Exemplo 63: Uma pessoa deseja comprar um carro por R$ 40.000,00 a vista, daqui a 12 meses. Admitindo-se que ela vá poupar uma certa quantia mensal que será aplicada em poupança a 0,9% ao mês de juros composto, determine qual o valor que deve ser poupado e depositado mensalmente.
 
 
Exercícios de Aplicação
Uma pessoa deposita mensalmente o valor de $ 250,00 numa conta que paga juros de 1% a.m. Quanto terá 5 meses após o décimo primeiro depósito? Resposta: R$ 3.039,21
Você deseja comprar um equipamento de som daqui um ano. Qual deverá ser o valor de cada depósito que você deverá fazer no final de cada mês, em uma poupança que paga 0,65% am, sabendo-se que o valor estimado desse equipamento será de R$ 1.500,00? Resposta: R$ 120,59
Se uma pessoa quiser formar uma poupança de R$ 7.000,00 em 30 meses e dispõe de R$ 200,00 para depositar no final de cada mês, ela deverá procurar um investimento que paga qual taxa mensal? Resposta: 1,04% am
Quanto tempo depois do décimo depósito mensal de $ 230,00 uma pessoa terá o saldo de $ 2.479,22, recebendo juros de 1% a.m.? Resposta: 11 meses
Tacia Shano pretende comprar uma moto CBX 900. Sabe-se que a moto custa hoje R$ 34.000,00 e ela pretende comprar essa moto nos próximos 24 meses. Qual o valor que ela deverá depositar mensalmente no Banco Paçocred que remunera a taxa de 2% ao mês sabendo que neste período a moto sofre um aumento de 1,5% ao mês? Resposta: R$ 1.597,63
Valor Futuro de uma Anuidade antecipada
A renda é dita antecipada quando o vencimento do primeiro termo se dá na data zero. Como neste caso, o depósito é feito no inicio do período, ao final deste período ela já estará dando origem a um montante. Assim, o valor futuro de uma renda antecipada é obtido capitalizando um período de juros no valor inicialmente obtido. Como o valor futuro de uma renda antecipada é a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos, temos a seguinte representação.
Exemplo 64: Uma pessoa fez 4 depósitos de R$ 500,00 mensalmente em um banco, sendo o primeiro na abertura da conta. Sabendo que ela está ganhando 2% ao mês, qual o montante que ele possui após 4 meses?
�
Para determinar o valor futuro, utilizamos a fórmula do Juro Composto FV = PV (1 + i)n, onde o PV é o valor da aplicação e o FV é o valor futuro dessa aplicação.
	1ª Prestação
	2ª Prestação
	3ª Prestação
	4ª Prestação
	
	
	
	
O montante será a soma dos valores do FV de cada depósito, ou seja: R$ 541,21 + R$ 530,60 + R$ 520,20 + R$ 510 = R$ 2.102,02.
Mas e se fossem 30 depósitos? Teríamos que calcular um por um?
Fórmula do Valor Futuro de uma Anuidade antecipada
A soma dos valores futuros é obtida pela soma dos termos de uma progressão geométrica com as seguintes característica: 
; 
 e 
. Substituindo-se os valores respectivos na fórmula da soma da P. G. 
 Deste modo, a fórmula que nos permite calcular o valor futuro de uma renda antecipada é dada por:
	
	
►
	
Fórmula para o cálculo do Valor Futuro de uma Anuidade Antecipada
Resolução do mesmo problema pela Fórmula.
Para o cálculo da prestação ou mensalidade utilizamos a mesma fórmula.
Exercícios de Aplicação
Qual é o montante de uma renda de 12 termos mensais de R$ 600,00,à taxa de 4%a.m.? Resposta: R$ 9.376,10
Uma pessoa depositou mensalmente o valor de R$35,00 e, um mês após o décimo quinto depósito, teve o saldo de $ 569,00. Calcule a taxa de juros. Resposta: 1%
Quanto deverá depositar mensalmente uma pessoa que pretende ter o valor de R$ 875,46, um mês após o oitavo depósito, sabendo que recebe juros de 2% a.m.? Resposta: R$ 100,00
Coeficiente de Financiamentos
	É muito comum quando compramos à prestação, ou fazemos qualquer tipo de financiamento, surgir um fator financeiro constante que, ao multiplicar-se pelo valor presente do financiamento, apura as prestações. É comum também nas lojas de eletrodomésticos os vendedores já terem prontos os coeficiente de financiamentos repassados pela gerencia ou pela financeira e utilizam esses coeficientes para calcular o valor das prestações de cada produto na loja. Então: Financiamento x Coeficiente Financeiro = Valor de cada prestação
	Ele é muito utilizado no CDC – Crédito Direto ao Consumidor, no Arrendamento Mercantil (Leasing), financiamento de veículos e de eletrodomésticos.
Como os gerentes e as financeiras chegam a esses coeficientes de financiamentos?
O coeficiente financeiro nada mais é do que o inverso do fator do valor presente. Para se calcular devemos atribuir valor 1 ao PV nas fórmulas do cálculo do valor presente tanto para anuidades postecipada, antecipada e diferida.
Exemplo 65: Construir o coeficiente de financiamento de um contrato envolvendo 15 prestações mensais, iguais e sucessivas, sem entrada, a uma taxa de juros de 3,5% a.m.
 
Esse fator de juros deverá ser utilizado em qualquer mercadoria a ser vendida na condição acima, ou seja, em 15 vezes com parcelas postecipadas com um juro de 3,5% ao mês. Portanto para calcular o valor da prestação de um fogão cujo preço a vista é de R$ 800,00 em 15 parcelas uniformes postecipadas basta multiplicar o valor do fogão pelo coeficiente financeiro, assim: 800,00 X 0,086825 = R$ 69,46. Esse é o valor de cada parcela.
	O exemplo anterior trata-se de parcelas postecipadas, porém podemos utilizar a mesma situação para parcelas antecipadas e diferidas:
Exemplo 66: As lojas Enairam estão vendendo todos os seus produtos em 10 parcelas fixas, sendo uma no ato da compra. Qual será o coeficiente multiplicador para uma taxa de 3,4% ao mês?
 
Portanto todos os produtos da loja devem ser multiplicados por 0,115702.
Exercícios de Fixação
Qual o coeficiente financeiro para uma mercadoria que será vendido em 24 parcelas uniformes postecipadas com uma taxa de juros mensal 5 %? E se considerarmos parcelas antecipadas? Resposta: 0,06902 e 0,072471
Qual o coeficiente financeiro para produtos que serão vendidos em parcelas antecipadas uniformes com uma taxa de juros de 4% ao mês nas seguintes condições?
10 parcelas – Resposta: 0,118549
12 parcelas – Resposta: 0,102454
15 parcelas – Resposta: 0,086482
24 parcelas – Resposta: 0,063064
Calcule a taxa de juros cobrada por uma financeira que está oferecendo recursos para pagamento em 36 parcelas mensais, iguais e postecipadas, sendo que o coeficiente (multiplicador fixo) de cada uma das prestações é de 0,076715? Resposta: 7%
Qual o coeficiente financeiro para produtos que serão vendidos em parcelas uniformes diferidas com uma taxa de juros de 2,8% ao mês nas seguintes condições?
10 parcelas com 6 meses de carência – Resposta: 0,136948
12 parcelas com 4 meses de carência – Resposta: 0,110860
anuidades perpétuas
São aquelas de duração ilimitada onde o número de termos é infinito. È muito importante para fazer uma rápida avaliação de imóvel e determinar o valor do aluguel do mesmo, bem como para cálculos de aposentadorias.
Sendo PV um principal a ser pago em infinitos termos iguais a PMT, postecipados, a uma taxa de juros i, temos que:
	►	Fórmula para calcular o valor atual de uma Anuidade Perpétua
Exemplo 67: Se uma imóvel está rendendo um aluguel de R$ 550,00 por mês e se a taxa da melhor aplicação no mercado é de 2,7% ao mês, qual séria o valor do imóvel alugado?
Exercícios de Aplicação
A imobiliária PT Saudações está colocando um apartamento para alugá-lo. Qual será o valor do aluguel se o preço do apartamento é R$ 85.000,00 e amelhor taxa do mercado é de 1,9% ao mês? Resposta: R$ 1.615,00
Durante 10 anos um investidor pretende depositar mensalmente uma certa quantia para, após o término dos depósitos, ter uma renda perpétua de R$ 2,000,00 por mês. Considere a convenção de fim de período e juros de 1 % ao mês. Calcule:
Qual o valor que proporcionará essa renda mensal? Resposta: R$ 200.000,00
Qual o valor que deve ser depositado mensalmente? Resposta: R$ 869,42
Uma pessoa pretende se aposentar e “viver de juros”. Quanto deve ter depositado para receber R$ 1.800,00 mensalmente, sabendo que o investimento feito paga juros de 1,6% a. m.. Resposta: R$ 112.500,00
Se o valor venal de um ponto de comercio for de R$ 100.000,00 e seu proprietário deseja alugá-lo por R$ 3.000,00, qual será a taxa corrente do mercado: Resposta: 3%
Valor Presente de uma Anuidade Variável
São anuidades cujos termos não são iguais entre si podendo os períodos ser periódicos ou não periódicos. Graficamente temos a seguinte situação:
 
 300 200 300 480 700
Cálculo do Valor Presente de uma Anuidade Variável
Sua resolução é feita calculando-se o valor atual como sendo a soma dos valores atuais de cada um dos seus termos. Para isso basta utilizar a fórmula do montante composto 
Exemplo 68: Um imóvel foi comprado para ser pago em 5 prestações conforme os seguintes valores e períodos expressos no fluxo de caixa. Sendo a taxa de juros para aplicações financeira corrente no mercado de 1,5% ao mês, determine preço do imóvel a vista.
 3000 2000 4300 6700 9000
	1ª Prestação
	2ª Prestação
	3ª Prestação
	4ª Prestação
	5ª Prestação
	
	
	
	
	
O preço do imóvel será a soma dos valores atuais de cada um dos termos, ou seja: 2.955,66 + 1.912,63 + 4.051,39 + 6.036,87 + 7.775,00 = R$ 22.731,55.
Valor Futuro de uma Anuidade Variável
Sua resolução é feita calculando-se o valor futuro como sendo a soma dos valores futuros de cada um dos seus termos. Para isso basta utilizar a fórmula do montante composto FV = PV (1 +i)n
Exemplo 69: Calcule o valor Futuro apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 3,1% ao mês.
 100 300 200 700
 
	1º Depósito
	2º Depósito
	3º Depósito
	4º Depósito
	
	
	
	
O preço do imóvel será a soma dos valores atuais de cada um dos termos, ou seja: R$ 135,70 + R$ 383,00 + R$ 232,98 + R$ 700,00 + = R$ 1.451,68
Importante: Também é possível calcular o valor futuro pela capitalização do valor atual.
Exercícios de Aplicação
Em uma instituição que paga 2,5% ao mês foram feitos 6 depósitos mensais, que pela ordem cronológica foram: R$ 300,00; R$ 100,00; R$ 50,00; R$ 500,00; R$ 200,00; R$ 400,00. Qual é o montante após o último depósito sendo o primeiro no ato da abertura da conta? Resposta: R$ 1.674,80
Um terreno foi comprado para ser pago em 5 prestações trimestrais, com os seguintes valores: 1º trimestre: R$ 20.000,00; 2º trimestre: R$ 5.000,00; 3º trimestre: R$ 10.000,00; 4º trimestre: R$ 3.000,00 e 5º trimestre R$ 30.000,00. Sendo a taxa de juros para aplicação financeira vigente no mercado de 2,5% ao mês, qual o valor do terreno a vista? Resposta: R$ 53.835,49
Calcule o valor atual apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 1,9% ao mês.
 300 200 600 480 700 900
a)
Resposta: R$ 2.814,00
 1.300 1.200 1.400 1.480 1.700 1.900
b) 
Resposta: R$ 6.523,42
Calcule o valor Futuro apresentado nos seguintes fluxo de caixa sendo a taxa de 4% ao mês.
 100 300 200 300 480 700
a)
 Resposta:R$ 2.486,89
 
 500 1.300 1.200 800 1.400 1.480 1.700 1.900
b) 
Resposta: R$ 13.089,66
Anuidades em que o período dos termos não coincide com aquele que se refere à taxa
Quando o período dos termos não coincidirem com o período a que se refere a taxa, desde que os termos sejam constantes e periódicos, calcula-se a taxa equivalente ao período dos termos, ou transforma o período na mesma unidade da taxa, e calcula-se segundo o modelo básico.
Exemplo 70: Um aparelho de som é vendido em 5 prestações de R$ 200,00 a serem pagas a cada 2 meses. Sendo a taxa de juros de 3% ao mês, qual o valor do aparelho a vista?
Primeiramente temos que calcular a taxa equivalente bimestral.
Em seguida calcularmos o valor atual segundo o modelo básico.
 
Exercícios de Aplicação
Uma financeira publica em um jornal que existem várias opções de financiamentos, entre elas a que, um valor de R$ 50.000,00, à taxa mensal de 2% pode ser financiado em 18 prestações mensais ou 6 prestações trimestrais. Determine o valor das prestações mensais e trimestrais. Resposta: R$ 3.335,10 e R$ 10.206,75
Uma loja anuncia a venda de um televisor por R$ 1.560,00 a vista. Um cliente está disposto a comprá-lo por R$ 560,00 de entrada, mais 12 prestações mensais. De quanto serão as prestações, se a taxa de juros cobrada pela loja for de 50% ao ano? Resposta: R$ 103,10
Um caminhão é vendido por R$ 300.000,00 a vista ou por R$ 100.000,00 de entrada sendo o saldo financiado. Sabendo que a taxa de juros da concessionária é de 45%% ao ano, de quanto serão as prestações caso o cliente opte por alguns dos planos abaixo:
24 prestações mensais – Resposta: R$ 11.994,45
8 prestações trimestrais – Resposta: R$ 37.126,82
4 prestações semestrais – Resposta: R$ 77.867,55
Uma bicicleta foi vendida em 4 prestações bimestrais de R$ 100,00 sendo a primeira na compra. Se a taxa de mercado é de 3% ao mês, qual o preço a vista? Resposta: R$ 351,90
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A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer investimentos a tomarem empréstimos e assumirem dívidas que são pagas com juros de formas que variam de acordo com contratos estabelecidos entre as partes interessadas. 
Existem muitas maneiras de se pagar esses dívidas, e são conhecidas com Sistema de Amortizações de Financiamentos e Empréstimos entre as mais conhecidas se destacam:
Sistema do Montante
Sistema de Juros Antecipados
Sistema Americano
Sistema de Amortização Francês ou Price
Sistema de Amortização Constante
Sistema de Amortização Misto
Sistema de Amortizações Variáveis
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As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas sistemas de amortização.
Sistemas desenvolvidos, basicamente, para o estabelecimento de formas de amortizações de operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo desembolsos e reembolsos periódicos de principal e juros.
Principais sistemas utilizados no mercado e respectiva característica preponderante:
Sistema de Amortização do montante: Os juros e o capital são quitados no final da operação. Podem ser, de acordo com o contrato, no sistema de juros simples ou no sistema de juros composto.
Sistema de Amortização de juros antecipados: Por esse sistema, o tomador do empréstimo paga os juros decorrentes da operação, na hora do empréstimo, devendo quitar somente o capital no final da operação.
Sistema de Amortização Americano - SAA: Os juros são pagos periodicamente e o principal é quitado no final da operação. 
Ex.: Títulos da dívida pública, debêntures, etc.
Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) - SPC: A dívida é quitada através de prestações iguais, periódicas e sucessivas.
Ex.: Amplamente utilizado no Brasil: CDC (créditodireto ao consumidor), vendas a prazo divulgadas pelas grandes redes de varejo.
Sistema de Amortização Constante – SAC: Amortizações periódicas, sucessivas e decrescentes em P.A. de uma dívida, onde a prestação incorpora principal mais encargos. 
Ex.: Sistema Financeiro de Habitação.
Sistema de Amortização Misto – SAM: Por esse sistema, os pagamentos são média aritmética dos pagamentos dos sistemas Price e SAC.
Em nosso estudo vamos nos concentrar nestas formas de amortização, as mais difundidas pelo mercado.
Definição Básica
Os Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos tratam, primordialmente, da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos (pagos) pelo devedor (mutuário) ao credor do capital (mutuante).
Características:
Basicamente desenvolvidos para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, envolvendo amortizações periódicas do principal e encargos financeiros (juros da operação);
Utiliza exclusivamente o critério de juros compostos, incidindo os juros sobre o saldo devedor apurado em período imediatamente anterior;
Cada sistema de amortização obedece a uma certa padronização, tanto nos desembolsos, quanto nos reembolsos;
Podem ter ou não carência, sendo que, no período de carência, normalmente são pagos os juros;
Terminologia adotada:
Encargos Financeiros – juros da operação que podem ser pré-fixados ou pós-fixados, constituindo-se custo para o devedor e retorno para o credor;
Amortização – pagamento do capital emprestado, realizado através das prestações periódicas, mensais, bimestrais, trimestrais, etc.;
Saldo Devedor – Representa o valor do principal da dívida, em um determinado momento, após a dedução das amortizações já efetuadas pelo mutuário;
Prestação – Amortização mais encargos financeiros devidos em determinado período de tempo.
Carência - é o período que vai da data da concessão do empréstimo até a data em que será paga a primeira prestação.
Em todos os demonstrativos devem constar:
	Nº
	Prestações
	Juros
	Amortizações
	Saldo Devedor
	i %
	
	
	
	
	PV
	
	1
	PMT
	J = PV . i.
	A1 = PMT - J
	Sd1 = PV – A1
	i
	2
	PMT
	J = Sd1 . i.
	A2 = PMT - J
	Sd2 = Sd1 – A2
	i
	3
	PMT
	J = Sd2 . i.
	A3 = PMT - J
	Sd3 = Sd2 – A3
	i
	...
	...
	...
	...
	...
	...
OBS: A tabela acima se refere aos valores do sistema Francês de amortização.
Sistema do Montante
	Por esse sistema, o devedor paga no final do prazo, o montante da divida, ou seja, o valor emprestado mais os juros decorrentes do período.
	Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos.
	Para se calcular o valor desse pagamento final, basta calcular o montante correspondente conforme o caso. O valor da dívida será o valor presente PV e o pagamento final será o valor futuro FV, calculado sobre a taxa i contratada por n períodos.
	Se o contrato prevê juros simples, tem-se: FV = PV (1 + i.n).
	Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: FV = PV (1 + i)n.
Exemplo 71: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule o pagamento final:
Se o empréstimo foi feito no regime de juros simples.
FV = PV (1 + i.n)
FV = 20.000 (1 + 0,042. 8)
FV = 20.000 (1 + 0,336)
FV = 20.000 . 1,336
FV = 26.720,00
Se o empréstimo foi feito no regime de juros compostos.
FV = PV (1 + i)n 
FV = 20.000 (1 + 0,042)8 
FV = 20.000 (1,042)8 
FV = 20.000 . 1,389766
FV = 27.795,32
Sistema de Juros Antecipados
		Por esse sistema, o devedor paga no ato da liberação do empréstimo o total dos juros decorrentes da operação, pagando no final do período apenas o valor solicitado do empréstimo.
Conforme o contrato pode ser calculado no regime de juros simples ou de juros compostos.
		Para se calcular o valor dos juros pagos antecipadamente, utilizamos:
		Se o contrato prevê juros simples, tem-se: J = PV . i . n.
	Se o contrato prevê juros compostos, tem-se: J = FV – PV
	Se os juros são pagos antecipadamente, o valor liberado não coincide com o valor solicitado pelo devedor, portanto cabe ao tomador do empréstimo solicitar um valor maior, o que faz com que a taxa efetiva seja diferente da taxa nominal contratada.
É interessante neste caso calcular o valor efetivamente liberado VL. Chamando de VL o valor efetivamente liberado e de PV o pagamento final e supondo que o empréstimo foi feito à taxa i pelo prazo de n períodos, o valor liberado será:
VL = PV (1 – i . n)		►	Fórmula para calcular o valor liberado a juros simples.
VL = PV [2 – (1 + i)n]	►	Fórmula para calcular o valor liberado a juros composto.
	Para calcular a taxa efetiva paga pelo devedor, basta usar as fórmulas do monte de juros simples e de juros compostos. Considere o PV como sendo o valor liberado e o Fv como o valor do empréstimo contratado, temos:
	
	
 ►
	
Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Simples
	
	
 ►
	
Fórmula para calcular a Taxa Efetiva Composta
Na prática, essas fórmulas não são necessárias, pois podemos calcular os juros do período e calcular o valor liberado fazendo VL = PV – J
Exemplo 72: Um empréstimo de R$ 20.000,00 deve ser pago após 8 meses com juros de 4,2% ao mês. Calcule:
Os juros simples pago antecipadamente;
J = PV . i . n
J = 20.000 . 0,042 . 8
J = 6.720,00
O valor liberado no sistema de juros simples;
VL = PV (1 – i . n)					VL = PV - J
VL = 20.000 (1 – 0,042 . 8)				VL = 20.000 – 6.720
VL = 20.000 (1 – 0,336)				VL = 13.280,00
VL = 20.000 . 0,664
VL = 13.280,00
A taxa efetiva simples;
 
Os juros compostos pagos antecipadamente;
FV = PV (1 + i)n 
FV = 20.000 (1 + 0,042)8 
FV = 20.000 (1,042)8 
FV = 20.000 . 1,389766
FV = 27.795,32
Fazendo J = FV – PV fica:
J = Fv – PV
J = 27.795,32 – 20.000
J = 7.795,32
O valor liberado no sistema de juros composto;
VL = PV [2 – (1 + i)n]					VL = PV - J
VL = 20.000[2 – (1 + 0,042)8]				VL = 20.000 – 1.795,32
VL = 20.000[2 – (1,042)8]				VL = 12.204,68
VL = 20.000[2- 1,389766]
VL = 20.000 . 0,610234
VL = 12.204,68
A taxa efetiva composta
Sistema Americano
	Por esse sistema, o devedor paga os juros periodicamente, podendo ser mensal, bimestral, anual, ou qualquer outro período combinado em contrato.
	No final do prazo é pago, além dos juros do período, o valor emprestado.
	Por esse sistema não há diferença entre os regimes de juros simples ou juros compostos, pois como os juros são pagos periodicamente o saldo devedor é sempre o mesmo.
	Para calcular o valor dos juros do período utilizamos a fórmula dos juros simples J = PV . i . n, sendo que o período é sempre igual a um.
Exemplo 73: Um empréstimo de R$ 12.350,00 deve ser pago após 10 meses com juros de 2,87% ao mês. Qual será o desembolso mensal se o devedor optou em pagar pelo sistema Americano.
J = PV . i . n
J = 12.350 . 0,0287 . 1
J = 354,45
Exercícios de Aplicação
Um empréstimo de R$ 50.000,00, deve ser pago em 4 meses, com juros de 1% ao mês. Determine:
O Capital e juros simples pagos no final; Resposta: R$ 52.000,00
O Capital e juros compostos pagos no final; Resposta: R$ 52.030,20
Os Juros pagos mensalmente; Resposta: R$ 500,00
Os Juros simples pagos antecipadamente; Resposta: R$ 2.000,00
Os Juros compostos pagos antecipadamente; Resposta: R$ 2.030,20
Uma financiadora cobra juros compostos antecipados de 1,5% ao mês nos empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 30.000,00 por três meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que necessita? Resposta: R$ 31.435,95
O Banco Falidus S.A. está operando com uma taxa composta de 2,6% ao mês para empréstimos cujo pagamento dos juros é antecipado. Determine a taxa efetivamente paga pelo devedor quando faz um empréstimo de R$ 45.000,00 pelo prazo de 6 meses? Resposta: 3,08%
Precisando de dinheiro, fui penhorar minhas jóias, numa casade penhor que as avaliou em R$ 19.000,00. Os juros de praxe são calculados no sistema de juros simples, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 6 meses e retidos antecipadamente.
Quanto recebi em dinheiro na data da penhora? Resposta: R$ 15.580,00
Quanto devo pagar no final, ao retirar as jóias? Resposta: R$ 19.000,00
Qual a taxa efetiva de juros simples cobrados na penhora? Resposta: 3,65%
Um cliente fez um empréstimo de R$ 16.800,00 no Banco Falidus S.A. que opera a taxa de juros simples de 5,4% ao mês. Qual será o montante a ser pago se o prazo estipulado no contrato for de um ano? Resposta: R$ 10.886,40
Uma financiadora cobra juros simples antecipados de 0,05% ao dia nos empréstimos que concede. Se uma empresa precisa de R$ 30.000,00 por sete meses, quanto deve solicitar para que, pagando os juros, receba a quantia de que necessita? Resposta: R$ 33.519,55
Sistema de Amortização Francês ou Price - spc
Nos sistema Francês, o valor da prestação é constante, sendo que cada prestação é composta de uma parcela de juros e uma parcela de amortização. O valor dos juros decresce com o tempo e o valor da amortização aumenta, logo juros e amortização nesses sistemas são inversamente proporcionais. As prestações podem ser mensais, bimestrais, semestrais, anuais, etc. A planilha de amortização é uma tabela na qual são apresentados os juros, amortizações e saldos a cada período.
Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.
	Nº
	Prestações
	Juros
	Amortizações
	Saldo Devedor
	i %
	0
	
	
	
	PV
	
	1
	PMT
	J = PV . i.
	A1 = PMT - J
	Sd1 = PV – A1
	i
	2
	PMT
	J = Sd1 . i.
	A2 = PMT - J
	Sd2 = Sd1 – A2
	i
	3
	PMT
	J = Sd2 . i.
	A3 = PMT - J
	Sd3 = Sd2 – A3
	i
	...
	...
	...
	...
	...
	...
Suponha que o empréstimo PV, feita à taxa i para ser pago em n prestações pelo sistema Francês, a prestação PMT serão calculadas como se fossem os termos de uma anuidade postecipada.
	
	
 ►
	
Fórmula para calcular o pagamento de uma amortização no sistema Francês
Exemplo 74: Elaborar a planilha pelo sistema francês de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .
Calculo do valor da prestação.
 
Preenchimento da Tabela Price.
	Nº
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	Taxa
	0
	
	
	
	120.000,00
	2%
	1
	21.423,10
	2.400,00
	19.023,10
	100,976,90
	2%
	2
	21.423,10
	2.019,54
	19.403,56
	81.573,34
	2%
	3
	21.423,10
	1.631,47
	19.791,63
	61.781,71
	2%
	4
	21.423,10
	1.235,63
	20.187,47
	41.594,24
	2%
	5
	21.423,10
	831,88
	20.591,22
	21.003,02
	2%
	6
	21.423,10
	420,06
	21.003,04
	- 0,02
	
No final do período o saldo devedor deve ser zero ou muito próximo de zero.
Sistema de Amortização Constante – sac
Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em cada uma delas, uma amortização constante mais juros sobre o saldo devedor. Enquanto no sistema Francês as prestações são constantes, por esse sistema as amortizações é que são iguais.
Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações que incluem em cada uma delas, uma amortização constante mais juros sobre o saldo devedor.
Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.
	Nº
	Pagamentos
	Juros
	Amortizações
	Saldo Devedor
	taxa
	0
	
	
	
	PV
	
	1
	Pg1 = A + J1
	J1 = PV . i.
	A1
	Sd1 = PV – A1
	i%
	2
	Pg2 = A + J2
	J2 = Sd1 . i.
	A2
	Sd2 = Sd1 – A2
	i%
	3
	Pg3 = A + J3
	J3 = Sd2 . i.
	A3
	Sd3 = Sd2 – A3
	i%
	...
	...
	...
	...
	...
	...
Como o número n de amortizações iguais devem saldar a dívida PV, para calcular cada uma, basta dividir o total do empréstimo pelo numero de prestações.
		►	Fórmula para calcular o valor da Amortização no sistema SAC
Exemplo 75: Elaborar a planilha pelo sistema SAC de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .
Calculo do valor da Amortização.
Preenchimento da Tabela SAC.
	Nº
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	Taxa
	0
	---
	---
	---
	120.000
	2%
	1
	22.400
	2.400
	20.000
	100.000
	2%
	2
	22.000
	2.000
	20.000
	 80.000
	2%
	3
	21.600
	1.600
	20.000
	 60.000
	2%
	4
	21.200
	1.200
	20.000
	 40.000
	2%
	5
	20.800
	 800
	20.000
	 20.000
	2%
	6
	20.400
	 400
	20.000
	 0
	
�
Sistema de Amortização Misto – sam
Neste sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, tais que cada uma delas é média aritmética entre os valores encontrados para as prestações do Sistema Francês e do Sistema de Amortização Constante.
Este sistema foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação (SFH), em razão de apresentar uma queda mais acentuada no saldo devedor, o que reduz as chances de haver resíduos no final do contrato. Considerando que as prestações no Sistema SAC são decrescentes e no Sistema Price são constantes, a prestação do Sistema SAM também apresenta tendência decrescente, com parcelas de amortização crescentes, de onde sua denominação Sistema de Amortização Crescente - Sacre.
Para elaboração da planilha devemos seguir o seguinte roteiro.
	Nº
	Pagamentos
	Juros
	Amortizações
	Saldo Devedor
	taxa
	0
	
	
	
	PV
	
	1
	
	J1 = PV . i.
	A1= Pg1 - J
	Sd1 = PV – A1
	i%
	2
	
	J2 = Sd1 . i.
	A2= Pg2 – J
	Sd2 = Sd1 – A2
	i%
	3
	
	J3 = Sd2 . i.
	A3= Pg3 - J
	Sd3 = Sd2 – A3
	i%
	...
	...
	...
	...
	...
	...
Exemplo 75: Elaborar a planilha pelo sistema SAM de amortização, de um empréstimo de R$ 120.000,00 a ser amortizado em 6 pagamentos a uma taxa de 2% a.m. .
Calculo do valor dos pagamentos.
Preenchimento da Tabela SAC.
	Nº
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	Taxa
	0
	---
	---
	---
	120.000,00
	2%
	1
	21.911,55
	2.400,00
	19.511,55
	100.488,45
	2%
	2
	21.711,55
	2.009,76
	19.701,78
	80.786,66
	2%
	3
	21.511,55
	1.615,73
	19.895,81
	60.890,85
	2%
	4
	21.311,55
	1.212,81
	20.093,73
	40.797,11
	2%
	5
	21.111,55
	 815,94
	20.295,60
	20.501,50
	2%
	6
	20.911,55
	 410,03
	20.501,50
	 0
	
Sistema de Amortizações Variáveis - sav
	Neste sistema, a devolução do principal é feita em parcelas desiguais, podendo eventualmente envolver parcelas intermediárias. São sistemas não convencionais adotados pelos bancos e adequados a determinadas situações ou características do mercado e/ou clientes, em que as parcelas de amortização são previamente fixadas sem nenhum critério em particular, mas de comum acordo entre as partes. Nestes casos, a parcela de juros é calculada sempre sobre os saldos devedores do financiamento. Na montagem da planilha, cada prestação deve englobar as amortizações previstas e os juros incorridos no período.
Exemplo 76. Suponha um empréstimo de R$ 30.000,00 em que se acordou previamente o seguinte esquema de amortização: O devedor poderia pagar 1,8% ao mês sobre o saldo devedor sem se preocupar com a quantidade de período.
	Primeiramente, calcula-se todas as amortizações para todos os períodos e depois os juros incorridos em cada período, incidentes sobre o saldo devedor. O valor das prestações é obtido pela soma das parcelas de amortização e de juros.
	Nº
	Prestação
	Juros
	Amortização
	Saldo Devedor
	Taxa
	0
	---
	---
	---
	30.000,00
	1,8%
	1
	4.540,00
	540,00
	4.000,00
	26.000,00
	1,8%
	2
	2.968,00
	468,00
	2.500,00
	23.500,00
	1,8%
	3
	5.423,00
	423,00
	5.000,00
	18.500,00
	1,8%
	4
	3.833,00
	333,00
	3.500,00
	15.000,00
	1,8%
	5
	5.270,00
	270,00
	5.000,00
	10.000,00
	1,8%
	6
	7.180,00
	180,00
	7.000,00
	3.000,00
	1,8%
	7
	3.054,00
	54,00
	3.000,00
	 0
	
Exercícios de Aplicação
Elabore as planilhas