estrutura cristalina 2

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ESTRUTURAS CRISTALINAS 
RESUMO DA AULA ANTERIOR 
• Células unitárias: 
Representa simetria da estrutura cristalina 
Unidade estrutural básica 
 Cúbica de corpo centrado (CCC) 
 Cúbica de face centrada (CFC) 
 Hexagonal compacta (HC) 
• Parâmetros da estrutura: 
 
Parâmetro de rede: equivale aos comprimentos das arestas e caracteriza os 
materiais 
 
Número de coordenação: número de vizinhos mais próximos de um átomo em 
uma determinada estrutura 
 
Fator de empacotamento (FEA): grau de ocupação da estrutura cristalina 
 
 FEA = volume dos átomos das células / volume da célula 
• Esferas ou núcleos iônicos se tocam umas às outras através de uma diagonal 
da face; o comprimento da aresta do cubo a e o raio atômico R estão 
relacionados: 
22Ra 
 Estrutura CFC 
• Cada átomo no vértice é compartilhado por 8 células unitárias; átomo 
centrado em uma face pertence a duas → 4 átomos inteiros 
• FEA = 0,74 
Cu, Al, Ag e Au 
2/4Ra 
• Átomos nos centros e nos vértices tocam-se ao longo da diagonal do cubo, e o 
comprimento da célula unitária a e o raio atômico R estão relacionados: 
3
4R
a 
• Cada átomo no vértice é compartilhado por 8 células unitárias; e o único 
átomo no centro → 2 átomos inteiros 
• FEA = 0,68 
 Estrutura CCC 
Cr, Fe e Tg 
 Estrutura HC 
• 1/6 de cada um dos 12 átomos localizados nos vértices das faces sup. e inf.; ½ 
de cada um dos átomos centrais; e 3 átomos no pl. int. → 6 átomos inteiros 
• Número de coordenação e FEA mesmos da estrutura CFC, sendo 12 e 0,74, 
respectivamente. 
Cd, Mg, Ti, Zn 
ESTRUTURAS CRISTALINAS 
DIREÇÕES E PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
As coordenadas dos pontos se expressam como uma 
fração da dimensão correspondente da célula. 
z 
y 
x 
0,0,1 
1,1,1 
0,0,0 
1,0,0 1,1,0 
½,1,0 
origem da célula 
célula unitária 
pontos espaciais 
 ÍNDICES DE MILLER 
 Distâncias a partir da origem em termos dos parâmetros de rede 
z 
y 
x 
0,0,1 
1,1,1 
0,0,0 
1,0,0 1,1,0 
½,1,0 
A 
B 
C 
Direção C: 
(0, 0, 1) – ( ½, 1, 0 ) = -½, -1, 1 
2·(-½, -1, 1) = -1, -2, 2 = [ 1 2 2 ] 
Nomenclatura: [ u v w ] 
onde u, v, w são números inteiros 
 ÍNDICES DE MILLER E 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
As direções se expressam com números inteiros 
que representam as diferenças de coordenadas. 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
Passos a serem seguidos p/ determinação dos 3 índices direcionais: 
1. Um vetor de comprimento conveniente é posicionado na origem do 
sistema de coordenadas 
2. O comprimento da projeção do vetor sobre cada um dos 3 eixos é 
determinado: os valores são medidos em termos das dimensões a, b e c 
da célula unitária 
3. Esses 3 números são multiplicados ou divididos por um fator comum 
 → menores valores inteiros. 
4. [u v w] → inteiros u, v e w correspondem às projeções reduzidas ao longo 
dos eixos x, y e z, respectivamente. 
1) O vetor já passa na origem; não é 
necessária qualquer translação. 
2) Projeções sobre os eixos x, y e z: 
 a/2, b e 0c → ½, 1 e 0 
3) Redução ao menor conjunto de 
números inteiros: 1, 2 e 0. 
4) [1 2 0] 
 DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DIRECIONAIS 
 Exercício: Determine os índices para a direção mostrada abaixo 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
1) Construa uma célula unitária e um 
sistema de eixos coordenados. 
2) Projeções sobre os eixos x, y e z: 
 a, -a e 0a → 1, -1 e 0 
 
 CONSTRUÇÃO DE UMA DIREÇÃO CRISTALOGRÁFICA ESPECÍFICA 
Exercício: Esboce um direção dentro de uma célula unitária cúbica 
]011[
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
z 
y 
x 
A) [0 1 0] 
B) [1 0 0] 
C) [0 0 1] 
z 
y 
x 
Equivalência das direções cristalográficas de 
uma família de direções em um sistema cúbico 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
 FAMÍLIA DE DIREÇÕES 
Para algumas estruturas cristalinas várias direções não-paralelas com 
índices diferentes são, na realidade, equivalentes. 
As colunas de átomos formadas naquelas direções são semelhantes, 
ou seja, os tipos de átomos, a densidade de átomos e 
a distância entre os átomos daquelas direções são iguais. 
Qualquer propriedade direcional será idêntica no caso de 
direções equivalentes (família de direções) 
 FAMÍLIA DE DIREÇÕES 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
Tabela: Direções de uma família < 1 1 0 > em sistemas cúbicos 
 <110> = 
[110] [110] 
[101] [101] 
[011] [011] 
[110] [110] 
[101] [101] 
[011] [011] 
Direções em cristais cúbicos que possuam os mesmos índices, 
independente da ordem ou do sinal, são equivalentes. 
 FAMÍLIA DE DIREÇÕES 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
Índices de Miller-Bravais para direções em células HC 
u = n(2U-V)/3 
v = n(2V-U)/3 
t = −(u+v) = −(U+V)/3 
w = nW 
Notação: [u v t w ] 
Direções da célula HC, usando sistemas de 3 e 4 eixos. 
 A linha segmentada indica que a [1210] é equivalente à direção [010]. 
 HEXAGONAL COMPACTA 
 DIREÇÕES CRISTALOGRÁFICAS 
Os planos cristalográficos também são descritos 
mediante um conjunto de índices de Miller: (h l k) 
z 
y 
x 
y = 2 
A B 
C 
 ÍNDICES DE MILLER E 
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
Um cristal contém planos de átomos, estes planos influenciam as 
propriedades e o comportamento de uma material. 
z 
y 
x 
y = 2 
A B 
C 
Determinação dos índices h, k e l: 
2) Comprimento da interseção 
planar para cada eixo é 
determinado em termos dos 
parâmetros de rede a, b, e c 
3) Valores inversos destes 
números são calculados 
4) Conjunto de menores números 
inteiros 
5) (hkl) 
Plano B: 
x = 1a, y = 2b, z = ∞c 
1/1, 1/2, 1/∞ = 1, ½, 0 = ( 2 1 0 ) 
1) Se o plano passa através da origem 
que foi selecionada: outro plano 
deve ser construído no interior da c.u. 
mediante uma translação apropriada, 
ou uma nova origem deve ser criada 
no vértice de uma outra c.u. 
 ÍNDICES DE MILLER E 
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 ÍNDICES DE MILLER E 
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
EXERCÍCIO 
1) Uma nova origem deve ser estabelecida, O’, 
 localizada no vértice de uma c.u. adjacente 
2) Plano // eixo x → interseção ∞a 
 Demais interseções: -b e ½c 
3) Inversos: 0, -1 e 2 
4) Reduções (não são necessárias) 
5) 
 210
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DE MILLER 
X Y 
Z 
)111(
1
1
,
1
1
,
1
1
1 






X Y 
Z 
1
1
1
1
1
1
110)






 , , (
X Y 
Z 
Z 
Y X 
2
1
1
3
2
3
1
236

 

 , , ( )
A) (111) 
B) (100) 
C) (236) 
D) (110) 
EXERCÍCIO 
1
1
1
1 1
100)
 





 , , (
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
 DETERMINAÇÃO DE ÍNDICES DE MILLER 
Tabela: Planos da familia { 1 1 0 } em sistemas cúbicos 
 { 110 } = 
(110) 
(101) 
(011) 
(110) 
(101) 
(011) 
Nota: os negativos dos planos não são planos únicos. 
 FAMÍLIA DE PLANOS 
 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS