AulaTeorica 2 Funções Elementares

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Funções Elementares 
do Cálculo 
 
 
 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
Prof. Victor Simões Barbosa 
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Conteúdos da Aula 
 Função exponencial; 
 Função logarítmica; 
 Funções trigonométricas; 
 Funções trigonométricas inversas; 
 Funções hiperbólicas; 
 Funções hiperbólicas inversas. 
 
 
 
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Função exponencial 
 Chamamos de função exponencial de base 𝑎 a 
função 𝑓 de 𝐼𝑅 em 𝐼𝑅 que associa a cada real x o 
número real 𝑎𝑥, sendo 𝑎 um número real tal que 
0 < 𝑎 ≠ 1, 
 ou 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 𝐼𝑅 
 𝑥  𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
 
 Domínio  𝐷(𝑓) = 𝐼𝑅 
 
 Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = (0, +) 
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GRÁFICO: 
PROPRIEDADES: 
Com relação a função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥, podemos afirmar: 
(i) A curva que a representa está toda acima do eixo das 
abscissas, pois 𝑦 = 𝑎𝑥 > 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐼𝑅. 
(ii) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1). 
(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 é crescente se 𝑎 > 1 e decrescente se 
0 < 𝑎 < 1. 
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Função logarítmica 
 Dado um número real 𝑎 , tal que 0 < 𝑎  1, chamamos de 
função logarítmica de base 𝑎 a função de 0,+∞ em 𝐼𝑅 
que se associa a cada 𝑥 o número 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, isto é, 
 𝑓 ∶ 0, +∞  𝐼𝑅 
 𝑥  𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥
 
 
 Domínio  𝐷 𝑓 = 0,+∞ 
 
 Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = 𝐼𝑅 
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GRÁFICO: 
PROPRIEDADES: 
Com relação ao gráfico da função 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 (0 < 𝑎 ≠ 1) , 
podemos afirmar: 
(i) Está todo do lado direito do eixo dos y. 
(ii) Corta o eixo das abscissas no ponto (1,0). 
(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥 é crescente se 𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1. 
(iv) É simétrico ao gráfico da função g 𝑥 = 𝑎𝑥 em relação a reta 
𝑦 = 𝑥. 
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Logaritmos Naturais 
Uma escolha conveniente para a base do logaritmo é a base 𝑒. 
O logaritmo na base 𝑒 = 2,7182818284590452353602874. . . 
(número de Neper) é chamado logaritmo natural e tem a 
seguinte notação: 
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = ln 𝑥
 
 definido por: 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑥 = ln 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑒
𝑦 = 𝑥 
 
 
Exemplo: Encontre x se ln 𝑥 = 5. 
Usando a definição temos 
ln 𝑥 = 5 ⇒ 𝑒5 = 𝑥 
 
 
 
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Funções trigonométricas 
 Função seno 
 Função cosseno 
 Função tangente 
 Função cotangente 
 Função secante 
 Função cossecante 
se
n
 x
 
cos x 
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Função seno 
 Função seno é a função 𝑓 de 𝐼𝑅 em 𝐼𝑅 que a cada 
𝑥 ∈ 𝐼𝑅 faz corresponder o número real 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 
isto é, 
 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 𝐼𝑅 
 𝑥  𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 
 
 Domínio  𝐷(𝑓) = 𝐼𝑅 
 
 Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 1] 
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Função seno – Gráfico: 
“A função seno é periódica e seu período é 2” 
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Função cosseno 
 Função cosseno é a função 𝑓 de 𝐼𝑅 em 𝐼𝑅 que a 
cada 𝑥 ∈ 𝐼𝑅 faz corresponder o número real 
𝑦 = cos 𝑥, isto é, 
 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 𝐼𝑅 
 𝑥  𝑦 = cos 𝑥 
 
 Domínio  𝐷(𝑓) = 𝐼𝑅 
 
 Imagem  𝐼𝑚(𝑓) = [−1, 1] 
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Função cosseno – Gráfico: 
“A função cosseno é periódica e seu período é 2” 
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Função tangente, cotangente, secante 
e cossecante 
x
x
x
sen 
 cos
 cotg
:cotangente


x
x
sen 
1
 cosec
 :cossecante 


0sen 
:condição*
x
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Z},
2
{(tg)  nnxRxD /
Z},{(cotg)  nnxRxD /
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Z},{(cosec)  nnxRxD /
Z},
2
{(sec)  nnxRxD /
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Funções trigonométricas inversas 
𝑓: − 𝜋 2 ,
𝜋
2 → −1,1 , 
 𝑓 𝑥 = sen 𝑥 
𝑓−1: −1,1 → − 𝜋 2 ,
𝜋
2 , 
 𝑓−1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 sen 𝑥 
𝑓: 0, 𝜋 → −1,1 , 
 𝑓 𝑥 = cos 𝑥 
𝑓−1: −1,1 → 0, 𝜋 , 
 𝑓−1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 ⇔ 𝑥 = cos 𝑦 
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A função 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 pode também ser definida pela equação: 
 
 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔𝒙 = 
𝝅
𝟐
− 𝒂𝒓𝒄 𝒔𝒆𝒏 𝒙. 
 
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Funções trigonométricas inversas 
𝑓: (−𝜋 2 ,
𝜋
2 ) → 𝐼𝑅, 
 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 𝑥 
𝑓−1:𝐼𝑅 → (− 𝜋 2 ,
𝜋
2 ) 
 𝑓−1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 
 
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Funções trigonométricas inversas 
20 
Funções trigonométricas inversas 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 sec 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos(1 𝑥 ) 
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Funções trigonométricas inversas 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos𝑒𝑐 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛(1 𝑥 ) 
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Funções hiperbólicas 
 Seno hiperbólico: 
 Cosseno hiperbólico: 
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Funções hiperbólicas 
Aplicação 
A curva formada por um fio de telefone ou de luz é 
representada pelo cosseno hiperbólico: 
𝑦 = cosh 𝑥 𝑎 , 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 
CATENÁRIA 
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Funções hiperbólicas 
xx
xx
ee
ee
x
x
x






cosh 
senh 
tgh 
:ohiperbólic tangente
xx
xx
ee
ee
x
x
x






senh 
cosh 
cotgh 
:ohiperbólic cotangente
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Funções hiperbólicas 
xx eex
x



2
cosh 
1
sech 
:ohiperbólic secante
xx eex
x



2
senh 
1
cosech 
:ohiperbólic cossecante
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Função Inversa do Seno Hiperbólico: a função inversa do 
seno hiperbólico, chamada argumento do seno hiperbólico e 
denotada por arg senh, é definida como segue: 
Funções hiperbólicas Inversas 
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Função Inversa do Cosseno Hiperbólico: para definirmos a 
função inversa do cosseno hiperbólico, precisamos restringir 
seu domínio. 
 𝑓: 0, +∞ → 1,+∞ ; 𝑓 𝑥 = cosh 𝑥 
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Função Inversa da Tangente, Cotangente e Cossecante 
Hiperbólica: para a definição das inversas destas funções não 
necessitamos restringir seus domínios. 
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Função Inversa do Secante Hiperbólica: para definirmos a 
função inversa da secante hiperbólica, precisamos restringir 
seu domínio. 
 𝑓: 0, +∞ → (0,1]; 𝑓 𝑥 = sech 𝑥 
𝐷 𝑎𝑟𝑔 𝑠𝑒𝑐𝑕 = 0,1 
𝐼𝑚 arg 𝑠𝑒𝑐𝑕 = [0, +∞)