AulaTeorica 7 Derivada

Prévia do material em texto

1 
 
 
Derivada 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
Centro Tecnológico de Joinville 
 
Prof. Victor Simões Barbosa 
2 
Conteúdos da Aula 
 Derivada da Função Inversa; 
 Derivadas Sucessivas; 
 Derivação Implícita; 
 Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas; 
 Derivadas: Funções Hiperbólicas; 
 Derivadas: Funções Hiperbólicas Inversas. 
 
 
 
3 
Derivada da Função Inversa 
 Teorema: 
 Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo 
aberto (a, b). Suponhamos que f(x) admita inversa f -1 
contínua. Se f ’(x) = dy/dx existe e é diferente de zero 
para qualquer x (a, b), então f -1 é derivável e vale: 
))((
1
)()(
1'
'1
xff
xf

 
4 
Derivada da Função Inversa 
 Teorema: 
 
 Exemplo 1: 
:que ver Podemos
2
1
)(
:por dada é inversa suaA .8 Seja
31
3
xxf
 xf(x) y



0para e 24)( 2'  xxxf
211'
1
))((24
1
))((
1
)()'( 
xfxff
xf

 
3
22
3 6
1
2
1
24
1
 
xx








))((
1
)()(
1'
'1
xff
xf

 
5 
Derivadas Sucessivas 
 Definição: Seja f uma função derivável. Se f ’ também for 
derivável , então a sua derivada é chamada derivada 
segunda de f e é representada por: 
  )()(´´´)( )ii(
3
3
3
3
3 x
dx
fd
dx
yd
xfxf   )()( (iii) x
dx
fd
dx
yd
xf
n
n
n
n
n 
)()()( (i)
2
2
'')2( x
dx
fd
xfxf 
Se f ’’ derivável , então a sua derivada é chamada derivada 
terceira: 
Derivada n-ésima: 
6 
Derivadas Sucessivas 
 Exemplo 2: 
 



)(
)(
:então,183 Seja
''''
''
2
xfy
xfy
 xx xfy
86 x6
7 
Derivadas Sucessivas 
 Exemplo 3: 
  )('' e )(' encontre, tg Seja xfxf x xfy 
Resolução: 
xxf 2sec)('  xx
xxxxf
 tgsec2 
 tgsecsec2)(''
2 

8 
Derivação Implícita 
No cálculo, a derivação implícita é um meio de derivar 
equações implícitas, ou seja, funções onde y não está 
definido como função explícita de x. 
 Exemplo 4: 
 ?)( função qual enteimplicitam 
 define 01
2
1
 equaçãoA 2
xfy
yx


Resolução: 
 
).1(2 obtemos equação na Isolando 2xyy 
9 
Derivação Implícita 
OBS: 
 
 Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de 
uma função definida implicitamente, como mostra o 
exemplo abaixo. 
 
Exemplo : 
 
 
 
 O método da derivação implícita permite encontrar a 
derivada de uma função assim definida, sem a necessidade 
de explicitá-la. 
yxyxy 22 32 
10 
Derivação Implícita 
 . determinar ,22 equação
pela definida é )( que Sabendo
'32 yyxyxy
xfy


 Exemplo 5:    ''32 22 yxyxy 
Resolução: 
 
       '''3'2 22 yxyxy 
dx
dy
dx
dy
yy
dx
dy
yx 2162. 22 
11 
Derivação Implícita 
 Exemplo 5: Continuação resolução: 
 
''22' 2162. yyyyyyx  262
1
 
: Isolando
2
2



yxy
y
y
y
'
'
12 
Derivadas: Funções 
Trigonométricas Inversas 
.1|| ,
1
sen arc (19)
2
'
' 

 u
u
u
yuy .1|| ,
1
 cos arc (20)
2
'
' 


 u
u
u
yuy
2
'
'
1
 tgarc (21)
u
u
yuy


𝒖 = 𝒖 𝒙 é derivável 
13 
Derivadas: Funções 
Trigonométricas Inversas 
2
'
'
1
 cotg arc (22)
u
u
yuy



1,
1
1, sec arc (23)
2
'
' 

 u
uu
u
yuuy 1,
1
1, cosec arc (24)
2
'
' 


 u
uu
u
yuuy
𝒖 = 𝒖 𝒙 é derivável 
14 
 Exemplo 6: Encontre a derivada da função: 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 
Resolução: Temos que se 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑢 → 𝑦′ =
𝑢′
1 − 𝑢2
, 𝑢 < 1 
Logo, 𝑢 = 𝑥 + 1 → 𝑢′ = 1. 
 
E assim 
𝑦′ = 
1
1 − 𝑥 + 1 2
 
 
Derivadas: Funções 
Trigonométricas Inversas 
15 
 Exemplo 7: Encontre a derivada da função: 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2
 
Resolução: Temos que se 
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑢 𝑦′ =
𝑢′
1 + 𝑢2
 
Logo, 𝑢 =
1−𝑥2
1+𝑥2
 
E assim 
𝑦′ = 
1 + 𝑥2 ∙ −2𝑥 − (1 − 𝑥2) ∙ 2𝑥
1 + 𝑥2 2
1 +
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2
2 
 
Derivadas: Funções 
Trigonométricas Inversas 
16 
 Exemplo : Continuação resolução: 
 
𝑦′ = 
1 + 𝑥2 ∙ −2𝑥 − (1 − 𝑥2) ∙ 2𝑥
1 + 𝑥2 2
1 +
1 − 𝑥2
1 + 𝑥2
2 
 
𝑦′ =
−2𝑥 − 2𝑥3 − 2𝑥 + 2𝑥3
1 + 𝑥2 2
∙
1 + 𝑥2 2
1 + 𝑥2 2 + 1 − 𝑥2 2
 
 
𝑦′ =
−2𝑥
1 + 𝑥4
 
Derivadas: Funções 
Trigonométricas Inversas 
17 
Derivadas: Funções Hiperbólicas 
'' cosh senh (25) uuyuy  '' senh cosh (26) uuyuy  '2' sech tgh (27) uuyuy  '2' cosech cotgh (28) uuyuy  '' tgh sech sech (29) uuuyuy  '' cotgh cosech cosech (30) uuuyuy 
𝒖 = 𝒖 𝒙 é derivável 
18 
Derivadas: Funções hiperbólicas Inversas 
1
 senharg (31)
2
'
'


u
u
yuy 1,
1
 cosharg (32)
2
'
' 

 u
u
u
yuy
1,
1
 tgharg )33(
2
'
' 

 u
u
u
yuy 1,
1
 cotgharg )34(
2
'
' 

 u
u
u
yuy 10,
1
 secharg )35(
2
'
' 


 u
uu
u
yuy 0,
1||
cosech arg )36(
2
'
' 


 u
uu
u
yuy
19 
 Exemplo 8: Determine a derivada da função: 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 1 − 𝑥3 
Resolução: Temos que se 
𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ 𝑢 𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑢 ∙ 𝑢′ 
Logo, 𝑢 = 1 − 𝑥3 
 
E assim 
𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 1 − 𝑥3 ∙ −3𝑥2 
 
 𝑦′ = 3𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ2 (1 − 𝑥3) 
 
20 
 Exemplo 11: Determine a derivada da função: 
𝑦 = arg 𝑡𝑔ℎ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
Resolução: Temos que se 
𝑦 = arg 𝑡𝑔ℎ 𝑢 𝑦′ =
𝑢′
1 − 𝑢2
; 𝑢 < 1 
Logo, 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 
 
E assim 
𝑦′ =
cos 3𝑥 ∙ 3
1 − 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 2
 
 
 𝑦′ =
3
𝑐𝑜𝑠 3𝑥
 
 
 𝑦′ = 3 sec 3𝑥