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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO ENGENHARIA: estudar e solucionar problemas físicos reais. Entretanto: a complexidade em se levar em conta todos os aspectos relevantes faz com que o engenheiro substitua o problema físico real por um problema equivalente mais simples, e que pode ser definido matematicamente. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO ? Trata-se de encontrar um modelo matemático que represente, aproximadamente, o comportamento do problema real. O comportamento de muitos problemas pode ser adequadamente representado por uma equação diferencial ou por um sistema de equações diferenciais. o modelo matemático do problema é o sistema de uma ou mais equações diferenciais, em conjunto com as condições de contorno + condições iniciais (em análises no tempo) correspondentes. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 1.1 - CONCEITOS BÁSICOS A análise de um problema de engenharia requer: a idealização de um modelo que o represente a formulação das equações a solução das equações a interpretação dos resultados Categoria dos sistemas: contínuo equações de equilíbrio diferenciais válidas em todo o domínio do problema: a resposta do sistema é descrita por um número infinito de variáveis. discreto equações de equilíbrio algébricas: a resposta do sistema é descrita por um número finito de variáveis (métodos numéricos). Decisões a serem tomadas pelo analista: se o sistema será tratado como contínuo ou discreto MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO A - Sistemas contínuos As equações diferenciais devem ser válidas para todo o domínio do problema e devem ser suplementadas pelas condições de contorno no cálculo da resposta do sistema. No caso de análises no tempo, devem ser fornecidas as condições iniciais. Nos problemas práticos: as equações diferenciais são quase sempre difíceis de serem resolvidas. - A solução exata das equações diferenciais que satisfaça todas as condições de contorno só é possível para sistemas relativamente simples. - Nos casos mais complexos devem ser empregados métodos numéricos para calcular a resposta do sistema. Estes métodos reduzem o sistema contínuo a uma idealização discreta que pode ser analisada do mesmo modo que um sistema físico discreto. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Neste caso, duas formulações diferentes podem ser utilizadas na obtenção das equações diferenciais que governam o problema e das condições de contorno correspondentes: i. Formulação diferencial (método direto) ii. Formulação variacional (métodos de energia) MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO I - Formulação diferencial (método direto): As relações de equilíbrio e constitutivas de um elemento diferencial típico são estabelecidas em termos da variável desconhecida. Estas considerações levam a um sistema de equações diferenciais na variável desconhecida. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Exemplo de formulação diferencial (método direto) A barragem idealizada está assente em solo permeável. Estabelecer a equação diferencial que governa a percolação permanente (estacionária) da água através do solo e as condições de contorno correspondentes. rocha impermeável barragem impermeável solo permeável h 2 h 1 L h fluxo x y REF: Bathe, 1982, pg.92 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Considerando-se um elemento de solo típico dx dy (espessura unitária), o fluxo total que entra no elemento deve ser igual ao que sai: ( | | ) ( | | )q q dx q q dyy y dy x x dx 0 0 y q x q yx dx dy qy+dy qx+dx qy qx dx x q qq xxdxx dy y q qq y ydyy 0dxdy y q qqdydx x q qq y yy x xx 0dxdy y q dxqdxqdydx x q dyqdyq y yy x xx (1) (2) (2) em (1): (3) MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Da Lei de Darcy (relações constitutivas), o fluxo dado em termos do potencial hidráulico, , é: (4) em (3): Equação diferencial do problema: OBS: assume-se que o solo tem o mesmo coeficiente de permeabilidade em x e em y - k uniforme y kq x kq y x 0 yx k 2 2 2 2 (4) 0 yy k xx k k - coeficiente de permeabilidade - potencial hidráulico = carga de elevação + carga de pressão MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Condições de contorno no solo: - em x = +/- não há fluxo no solo: - interface solo-rocha impermeável: - interface barragem-solo: - potencial total prescrito na interface água- solo: 0| x ;0| x xx 0| y 0y 2 h x 2 h para0)L,x( y 2)2/h(x 1)2/h(x h|)L,x( h|)L,x( rocha impermeável barragem impermeável solo permeável h 2 h 1 L h fluxo x y MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO II - Formulação variacional (métodos de energia) Estes processos são baseados na idéia de se determinar estados de equilíbrio dos corpos ou estruturas associados a valores estacionários de uma quantidade escalar dos corpos submetidos a carregamento. Em engenharia medida de energia ou trabalho Calcula-se o potencial total do sistema e determina-se a estacionaridade de com relação às variáveis desconhecidas. A principal razão para sua eficiência está no modo em que algumas condições de contorno podem ser determinadas. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Definição de valor estacionário O termo estacionário pode significar um ponto de mínimo, máximo ou de inflexão de uma função F(x): Para se determinar o ponto de valor estacionário faz-se: 0 dx )x(dF MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Exemplo: Achar a condição de estacionaridade da função:- Valor da função no ponto de mínimo y = x2 - 6x - 3 -30 -10 10 30 50 70 90 110 130 150 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F (x ) x F x = x2 − 6 x − 3 dF x dx = 2 x − 6 dF x dx = 0 2 x − 6 = 0 x = 3 d2F x dx2 = 2 F x = 32 − 6 ∗ 3 − 3 F x = 12 Valor positivo: ponto de mínimo MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO No caso de uma análise tensão-deformação: F definida como a energia potencial de um corpo submetido a carregamento, p. Energia potencial de um corpo, em uma configuração deformada qualquer, é o trabalho realizado por todas as forças que agem sobre o corpo, externas e internas, quando o corpo retorna de sua configuração deformada para a configuração indeformada. A energia potencial das forças internas é igual à energia de deformação do corpo. A energia potencial total do corpo, que é função da configuração deformada é: WUp Esta expressão corresponde ao funcional de energia p, associado às equações diferenciais de equilíbrio. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Princípio da Energia Potencial Total “Seja um corpo impedido de se deslocar como corpo rígido e submetido a forças externas. Dentre todas as configurações deformadas possíveis (que atendam às condições de contorno), aquela que corresponde à configuração de equilíbrio minimiza o funcional de energia potencial total”. Isto significa que para a configuração de equilíbrio, a primeira variação do funcional de energia deve ser igual a zero: A verificação de que o valor de p para corpos elásticos, lineares e em equilíbrio é um mínimo é feita mostrando-se que a 2a derivada ou variação de p é maior do que zero: 0WU pp 0WU p 22 p 2 (demonstração por meio do cálculo variacional) MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO OBS: - interpretamos simplesmente como um símbolo que denota derivadas de p em relação às coordenadas ou variáveis desconhecidas independentes que aparecem na expressão de p. Por exemplo se: em que u1, u2, ..., un são variáveis independentes então, minimizar o funcional (p = 0) significa que: n - número de variáveis )u....,,u,u( n21pp 0 u ..........0 u ;0 u n p 2 p 1 p MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Exemplo de formulação variacional Considere uma mola de rigidez k e carga aplicada P. Se u é o deslocamento da mola sob a carga P, então: energia interna de deformação: trabalho da força P sobre o deslocamento u: potencial total: k P u 2uK 2 1 U uPW uPuK2/1)u( 2pp K MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Como u é a única variável, a condição de estacionaridade do potencial total (ou o princípio da energia potencial mínima) é dada por: ou que fornece a seguinte equação de equilíbrio do problema: Ponto de mínimo ou de máximo? da 2a derivada: WUp uKP K ud d 2 p 2 Como K é sempre (+) ponto de mínimo equilíbrio MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 0PuK ud d p 1.2 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF) Definição: Método numérico para a obtenção de soluções aproximadas de sistemas de equações diferenciais. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 1.2.1 HISTÓRICO E APLICAÇÕES • A maioria das aplicações que discute o MEF surgiu a partir de 1960 e se desenvolveu simultaneamente com o avanço dos computadores. • O MEF: – Foi um desenvolvimento natural da formulação em deslocamentos da análise matricial de estruturas reticuladas, mas pode ser aplicado a outros campos da engenharia devido à natureza geral da teoria na qual é baseado. – Pode ser usado para se formular tanto problemas de análise de estruturas reticuladas, como de estruturas contínuas bi e tridimensionais. – É um método poderoso e popular porque permite a solução de problemas com: - geometrias (contornos) irregulares - não homogeneidades do material - comportamento não linear - condições de contorno quaisquer MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 1.2.2 DESCRIÇÃO GERAL DO MÉTODO O método usa os conceitos de discretização do contínuo e de matriz de interpolação que fornece os deslocamentos em um ponto no interior do elemento em função de seus deslocamentos nodais. Discretização: se refere a um modelo com um número finito de incógnitas (por exemplo, deslocamentos nos nós do modelo) para a análise de meios contínuos em contraposição a uma análise com um número infinito de variáveis como as feitas pela Teoria da Elasticidade que usam funções contínuas, ou seja com infinitas incógnitas como solução. A discretização do domínio da solução de um problema formulado em EF reduz o problema contínuo a um problema com um número finito de incógnitas. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO A idéia básica do método dos elementos finitos é a representação de um corpo ou estrutura por um conjunto de subdivisões denominadas elementos finitos. Ou seja, divide-se o domínio (meio contínuo) do problema em pequenas regiões com dimensões finitas e de geometria simples. Os elementos se interconectam em pontos nodais. Ao conjunto de elementos finitos e pontos nodais, dá-se, usualmente o nome de malha de elementos finitos. As grandezas de interesse são avaliadas em cada elemento a partir de seus valores localizados nos nós. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Elementos finitos Contorno original Pontos nodais Elemento finito é uma parte do contínuo: define-se seu comportamento em termos de sua geometria e das propriedades do material que o constitui de modo que a formulação geral para este elemento possa ser aplicada a qualquer elemento do conjunto. A escolha da forma ou configuração do elemento finito a ser utilizado na análise depende: - da geometria da estrutura - do número de coordenadas de espaço independentes (x,y,z) necessário para descrever o problema: 1-D, 2-D, 3-D REF: VAZ, Luiz Eloy. 2011. Introdução ao Método dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas. Editora Elsevier. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Elemento Denominação Tipo de análise Elemento de barra com dois nós 1-D Elemento de barra com três nós 1-D Elemento triangular com três nós 2-D Elemento triangular com seis nós 2-D Elemento quadrilateral com quatro nós 2-D Elemento quadrilateral com nove nós 2-D Elemento tetraédrico com quatro nós 3-D Elemento hexaédrico com oito nós 3-D• Funções matemáticas simples (polinômios), denominadas funções deslocamentos ou modelos de deslocamentos, são escolhidas para aproximar a distribuição ou variação dos deslocamentos reais dentro de cada elemento finito. As quantidades desconhecidas são os deslocamentos (ou derivadas dos deslocamentos) nos pontos nodais. • A precisão do método depende da quantidade de nós e elementos, e do tamanho e tipo dos elementos presentes na malha. • Um dos aspectos mais importantes do MEF diz respeito a sua convergência. Pode- se demonstrar que à medida que o tamanho dos elementos finitos tende a zero, e consequentemente, a quantidade de nós tende a infinito, a solução obtida converge para a solução exata do problema. Ou seja, quanto menor for o tamanho e maior for o número de elementos em uma determinada malha, mais precisos serão os resultados da análise. 1.2.3 PROCESSO DE SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA EM ELEMENTOS FINITOS A seguinte sequência de 8 passos (steps) descreve um processo real de solução que é seguido no estabelecimento e resolução de qualquer problema de equilíbrio (apesar de esta sequência ser baseada em um procedimento desenvolvido para aplicações em mecânica estrutural, ela pode ser generalizada para aplicações em outros campos). MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 1 - Discretização do contínuo e escolha da configuração do elemento Aqui entra o julgamento do engenheiro. Ele é quem vai decidir qual o tipo, número, tamanho e arranjo dos elementos que vai representar o contínuo do problema a ser analisado. EXEMPLO DE UM PÓRTICO PLANO MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 2 - Seleção do modelo ou função de aproximação para a variável desconhecida Define-se uma função matemática (polinômios) para aproximar a distribuição dos deslocamentos no interior do elemento a função deve satisfazer as condições de contorno do problema. (1) 1x6nós6x61x3 d)y,x(g)y,x(d MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 3 - Definir relações deformação-deslocamento e tensão-deformação (constitutiva) Em problemas de análise tensão-deformação, as ações ou causas são as forças e os efeitos ou respostas são as deformações e as tensões A ligação entre ação e resposta é a lei constitutiva do material. (2) (3) 1x33x31x3 )y,x(C)y,x( 1x33x31x3 )y,x(d)y,x( MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP4 - Determinação das equações de equilíbrio dos elementos As equações de equilíbrio do elemento podem ser determinadas a partir de métodos variacionais ou dos métodos dos resíduos ponderados. Para cada elemento (barra): { f (x,y)} - vetor de forças externas nos nós: calculado a partir do carregamento externo [s] - matriz de rigidez do elemento: calculada a partir da geometria e das propriedades do material da barra { dnós } - vetor dos deslocamentos dos nós (4) 1x6nós6x61x6 )ds)y,x(f MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 5 - Montagem das equações algébricas globais e introdução das condições de contorno Determina-se a equação de equilíbrio de somente um elemento. Entretanto, o que interessa é o equilíbrio da estrutura como um todo. A partir das matrizes de rigidez de todos os elementos, [s]1, [s]2 e [s]3, calcula-se a matriz de rigidez da estrutura [S]. A partir dos vetores de forças externas nodais, {f}1, {f}2 e {f}3, calcula-se o vetor de forças nodais externas da estrutura {F} { F } - vetor de forças externas nos nós [ s ] - matriz de rigidez do elemento { Dnós } - vetor dos deslocamentos dos nós (5) 1x12nós12x121x12 )dS)y,x(F MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 6: Resolução do sistema de equações. Cálculo dos deslocamentos nodais Conhecidas as matrizes {F} e [S], calcula-se o vetor de deslocamentos {D}: (6) FSD 1nós MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 7: Obtenção de grandezas secundárias: deslocamentos, deformações e tensões em qualquer ponto (1) (2) (3) 1x6nós1x3 d)y,x(f)y,x(d 1x33x31x3 )y,x(C)y,x( 1x33x31x3 )y,x(d)y,x( MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO STEP 8: Interpretação dos resultados – gráficos: deslocamentos, tensões, deformações; – a precisão da aproximação vai depender do tipo de carregamento, da geometria e das propriedades do material e pode ser melhorada: (i) utilizando-se uma malha mais fina ou (ii) modelos de aproximação de ordens superiores. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 1.2.4 VANTAGENS DO MEF • Como as propriedades de cada elemento são avaliadas separadamente, podem ser incorporadas diferentes propriedades do material para cada elemento a não homogeneidade pode ser incluída ; • Não há restrição quanto à geometria que pode ser qualquer; • Podem ser incorporadas quaisquer condições de contorno; • Pode levar em conta não linearidades, condições arbitrárias de carregamento e dependência do tempo (efeitos dinâmicos) MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 1.2.5 PRINCIPAIS APLICAÇÕES EM ENGENHARIA CIVIL • Cálculo de tensões, deformações e deslocamentos em estruturas; • Cálculo de carga, velocidades, gradientes e vazões em problemas de fluxo transiente e permanente; • Cálculo de transporte de contaminantes em solos; • Cálculo do fluxo de calor em solos, etc. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Exemplos de utilização TENSÕES, DEFORMAÇÕES E DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO BARRAGEM DE EMBORCAÇÃO, CEMIG-MG Mestrando: EDSON LUIS DE CARVALHO DEC - UFV MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO MATERIAIS NA SEÇÃO TRANSVERSAL TÍPICA DA BARRAGEM DE EMBORCAÇÃO MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS 1841 NÓS, 576 ELEMENTOS, 53 NÓS CONTORNOS PRESCRITOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Sigma_YY -4.20E+002 -3.73E+002 -3.27E+002 -2.80E+002 -2.33E+002 -1.87E+002 -1.40E+002 -9.34E+001 -4.67E+001 +0.00E+000 Tensões verticais Sigma_XX -2.24E+002 -1.99E+002 -1.74E+002 -1.49E+002 -1.25E+002 -9.96E+001 -7.47E+001 -4.98E+001 -2.49E+001 +0.00E+000 Tensões horizontais MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO BARRAGEM DE BELICHE (PORTUGAL) Mestrando: LUCAS MELO MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Fundação NúcleoFiltroEnroc. alteradoEnroc. são 10 0 20 m MATERIAIS NA SEÇÃO TRANSVERSAL TÍPICA DA BARRAGEM DE BELICHE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Fundação Enroc. são FiltroEnroc. alterado Núcleo MALHA DE ELEMENTOS FINITOS MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 77 67 60 50 40 35 25 17 8 +0 Deslocamento vertical (cm) (positivo para baixo) MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO -12 -8.0 -5.0 -3.0 -0.2 +2.5 +5 +8 +10 +14 Deslocamentohorizontal (cm) MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO +0 +150 +300 +500 +650 +800 +1000 +1150 +1300 +1500 SIGMA Y MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO +0 +700 +150 +220 +300 +370 +450 +500 +600 +670 SIGMA X MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO FLUXO PERMANENTE E TRANSPORTE DE CONTAMINANTES MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Mestrando: ALEX MAGNO GERMANO Orientadora: IZABEL AZEVEDO DEC - UFV ESTUDO NUMÉRICO DO TRANSPORTE DE POLUENTES DEVIDO AO LIXÃO DA CIDADE DE VIÇOSA - MG MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Escolha da seção transversal a ser estudada Levantamento topográfico da área do lixão MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO PROGRAMA GEO-SLOPE Módulo SEEP/W: • Definição da malha de elementos finitos • Dados: parâmetros dos solos e da região • Média da precipitação de chuva na região de viçosa: 1220 mm ao ano Seção transversal discretizada em elementos finitos. brejo estrada furo de sondagem MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Fluxo considerando a infiltração de chuva Resultados: velocidades de fluxo Fluxo sem considerar infiltração de chuva brejo estrada furo de sondagem furo de sondagem brejo estrada furo de sondagem furo de sondagem MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Módulo CTRAN/W: • Dados: - velocidades de fluxo (do módulo SEEP) - parâmetros de transporte - tempo de evolução da pluma de contaminação a ser estudado MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 33. 925 33.925 43.925 43.925 53 .925 63.925 83 .925 93.925 Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 6.3409 16.341 26.341 36.341 96.3 41 Cádmio 25 e 100 anos EVOLUÇÃO DAS PLUMA DE CONTAMINAÇÃO brejo estrada furo furo resíduos brejo estrada furo furo resíduos MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Chumbo 25 e 100 anos Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 6.3409 16.341 26.341 36.341 96.3 41 Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 26 .607 26.607 36.607 46.607 56.607 96.607 brejo estrada furo furo resíduos brejo estrada furo furo resíduos MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 3.3291 13.329 23.329 33.329 43.329 93.32 9 Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 33. 925 33.925 43.925 43.925 53 .925 63.925 83 .925 93.925 Cobre 25 e 100 anos brejo estrada furo furo resíduos brejo estrada furo furo resíduos MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 32 .34 7 32.347 42 .347 42.347 52 .347 72 .347 92 .347 92. 347 Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 26 .607 26.607 36.607 46.607 56.607 96.607 Estrada Furo 04 Furo 02 Brejo Lixo 33. 925 33.925 43.925 43.925 53 .925 63.925 83 .925 93.925 brejo estrada furo furo resíduos brejo estrada furo furo resíduos brejo estrada furo furo resíduos Cádmio 100 anos Chumbo 100 anos Cobre 100 anos MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO
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