Aproximação de Funções por Polinômios

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CAPÍTULO 2 
FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS UTILIZADOS NA 
FORMULAÇÃO DO MEF 
2.1 APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES POR POLINÔMIOS OU APROXIMAÇÃO POLINOMIAL 
 
 Aproxima-se uma função (que pode ser desconhecida) por outra. 
 
 Uma classe de funções muito usadas para aproximar outras funções é a de 
polinômios. 
 - É sempre possível aproximar uma função contínua por um polinômio; 
 - Polinômios têm derivadas e integrais fáceis de calcular. 
 
 Funções contínuas F(x) podem ser representadas por funções aproximadoras (x) 
em um dado intervalo a  x  b. 
 
 O MEF, método numérico que fornece soluções aproximadas, utiliza funções para 
representar o campo de deslocamentos no interior do elemento. 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Como definir um polinômio aproximador a partir de valores conhecidos da função 
em pontos por onde o polinômio deve passar: 
 - Método de Vandermonde 
 - Polinômios de Lagrange 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
MÉTODO DE VANDERMONDE 
 
 No método de Vandermonde utiliza-se um polinômio completo do grau n para 
aproximar uma função qualquer F(x). 
 
 Se a função F(x) foi avaliada em (n+1) pontos distintos: x0, x1, x2, ..... , xn, foram 
obtidos os seguintes valores F0, F1, F2, ......., Fn. Ou seja: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Para que (x) possa aproximar uma função F(x), os valores das duas funções nos 
(n+1) pontos xi gerados em determinado intervalo a x  b devem ser iguais: 
 
 
 
 
 
 
 
 Então, existe um único polinômio (x), que passa por estes pontos tal que: 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Da condição que (x) = F(x) nos pontos de interpolação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 que escrita matricialmente: 
 














































































n
2
1
0
n
2
1
0
EVANDERMONDDEMATRIZ
n
n
2
nn
n
2
2
22
n
1
2
11
n
0
2
00
n
2
1
0
F
F
F
F
a
a
a
a
xxx1
xxx1
xxx1
xxx1
)x(
)x(
)x(
)x(
  
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Para determinar os coeficientes ai, inverte-se a matriz de Vandermonde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V – matriz de Vandermonde 
 F – vetor de valores da função F(x) 
 a – vetor de coeficientes de um polinômio de grau n que aproxima F(x) no 
intervalo a < x < b 
 
 

























































n
2
1
0
n
n
2
nn
n
2
2
22
n
1
2
11
n
0
2
00
n
2
1
0
F
F
F
F
1
xxx1
xxx1
xxx1
xxx1
a
a
a
a
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXEMPLO 1 
 
 Conhecidos os valores de uma função F(x) em três pontos distintos, 
determinar o polinômio de interpolação (x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x F(x) 
0,0 5,0 
0,75 7,48 
1,5 28,25 0 
10 
20 
30 
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 
F (x) 
x 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
Da condição que (x) = F(x) nos pontos de interpolação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x F(x) 
0,0 5,0 
0,75 7,48 
1,5 28,25 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Por três pontos é possível passar um polinômio do segundo grau: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Resolvendo o sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Polinômio de interpolação: 
 
 Para: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(x) = 16,26x2 - 8,89x + 5 
R² = 1 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 
F (x) 
x 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXEMPLO 2 
 
 Estabelecer um polinômio de aproximação (r) para a função , 
utilizando a aproximação de Vandermonde. São conhecidos os valores de F(r) nos 
pontos: 
 
 
0F
2
r
1F0r
0F
2
r
22
11
00







MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
• Determinação do polinômio (r): 
 
 
 
 
 
 
 
• Resolvendo o sistema de equações para determinar os coeficientes ai: 
 
 
 
• Polinômio interpolante: 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 Estabelecer o polinômio aproximante (r) para a função utilizando 
a aproximação de Vandermonde. São conhecidos os valores de F(r) nos pontos: 
 
 
5F3r
1F1r
1F0r
22
11
00



EXEMPLO 3 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
• Determinação dos coeficientes ai: 
 
 
 
 
 
 
• resolvendo-se o sistema de equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
• logo, o polinômio aproximador (r) é: 
 
 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
0 1 2 3 
r 
f(r) 
fi(r) 
)r(
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
POLINÔMIOS DE LAGRANGE 
 
 Para determinar um polinômio que passa por dois pontos distintos x0 e x1 sendo 
conhecidos os valores de f(x0) e f(x1) utilizar um polinômio do primeiro grau. 
 
 Definindo: 
 e 
 
 
 Propriedades dos polinômios e : 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
Definindo o polinômio: 
 
 
Em que: 
 
 
 
Substituindo (2) em (1): 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
(1) 
(2) 
 P(x) é a única reta que passa pelos pontos (x0) e (x1): 
 
 
 
 
 
 Generalizando a ideia de interpolação polinomial, considere-se a construção de 
um polinômio de grau n que passe por (n+1) pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
... 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
• É necessário construir uma função para cada valor de , 
para a qual valha: 
 
 e se i  k. 
 
 
 
• Para que, se i  k, utiliza-se no numerador de o termo: 
 
 
 
• Para que é necessário que o numerador e o denominador de 
sejam iguais quando x = xk . Ou seja: 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 EXEMPLO 4 
 
 Determinar um polinômio aproximador para a função utilizando os 
polinômios de Lagrange, sendo conhecidos os valores de f(x) nos pontos: 
 x f(x) 
 x0 = 2 0,5 
 x1 = 2,5 0,4 
 x2 = 4 0,25 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 Solução 
 
 Nesse caso, o polinômio interpolador é um polinômio de segunda ordem, dado por: 
 
 
 
 Determinação dos polinômios L0(x), L1(x), L2(x): 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 
 
 
Polinômio aproximante da função 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
• Usando o polinômio P(x) calculado pode-se aproximar o valor de f(x) em um ponto: 
 
• Uma aproximação de é: 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
Exemplo de aproximação de uma função f(x) por um polinômio aproximador P(x), de ordem n=5. 
P(x), f(x) 
f(x) P(x) 
f0 
f1 
fi-1 fi 
fi+1 fn 
x0 x1 xi+1 xn xi-1 xi 
x 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
EXEMPLO 5 
 
 Estabelecer o polinômio de aproximação para a função utilizando 
 os polinômios de Lagrange, sendo conhecidos os valores de f(r) nos pontos: 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
r0 = - /2 f0 = 0 
r1 = 0 f1 = 1 
r2 = /2 f2 = 0 
Polinômios de Lagrange: 
 
 
 
 
 
 
- Polinômio aproximante P(r): 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
 
 
 
 
 
0 
0,5 
1 
1,5 
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 
r 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
cos r 
EXEMPLO 6 
 
 Estabelecer o polinômio de interpolação P(r) para a função , utilizando 
os polinômios de Lagrange, sendo conhecidos os valores de f(r) nos pontos: 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO 
r0 = 0 f0 = 1 
r1 = 1 f1 = 1 
r2 = 3 f2 = 5 
Polinômios de Lagrange: 
 
 
 
 
 
 
- Polinômio aproximante P(r): 
 
 
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ENGENHARIA CIVIL - PROFA. IZABEL AZEVEDO