PauloMatos_DaianneMazarotti

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ 
CURSO DE ESTATÍSTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE APLICADA À INDÚSTRIA 
PARA ESTIMAÇÕES DE FALHAS E PROVISIONAMENTO DE CUSTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
2010 
 
 
PAULO ZALESKI DE MATOS 
DAIANNE MARA ZOTTI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANÁLISE DE CONFIABILIDADE APLICADA À INDÚSTRIA 
PARA ESTIMAÇÕES DE FALHAS E PROVISIONAMENTO DE CUSTOS 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada à disciplina de 
Laboratório de Estatística do Curso de 
Estatística do Setor de Ciências Exatas da 
Universidade Federal do Paraná. 
 
Orientador: Professor Anselmo Chaves Neto 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
2010
i 
 
TERMO DE APROVAÇÃO 
 
 
 
 
 
PAULO ZALESKI DE MATOS 
DAIANNE MARA ZOTTI 
 
 
 
 
 
 MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Monografia de Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação aprovada como 
requisito parcial para obtenção do grau de Bacharel em Estatística, Habilitação de 
Estatístico(a), da Universidade Federal do Paraná, pela seguinte banca 
examinadora: 
 
 
 
 
 
 
 
___________________________________________ 
Anselmo Chaves Neto – professor orientador 
 
 
 
 
 
 
___________________________________________ 
Jorge Festa – professor avaliador 
 
 
 
ii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D e d i c a m o s e s t e t r a b a l h o , 
A o s n o s s o s f a m i l i a r e s e a m i g o s , 
F o n t e s d e f o r ç a e c a r i n h o . 
iii 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Ao 
Professor Anselmo, 
pela atenção e dedicação ao nosso trabalho, e o encorajamento nos 
momentos difíceis. 
 
Professores, pelo conhecimento que nos transmitiram e apoio 
prestado. 
 
Colegas de sala, pelo companheirismo. 
 
Cláudio, pela valiosa sugestão. 
 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Torture seus dados por tempo suficiente, e eles lhe contarão tudo”. 
 
Os estatísticos
v 
 
Sumário 
 
LISTA DE FIGURAS ..................................................................................................vi 
LISTA DE TABELAS.................................................................................................vii 
LISTA DE FOTOGRAFIAS ......................................................................................viii 
LISTA DE QUADROS ................................................................................................ ix 
LISTA DE GRÁFICOS ................................................................................................x 
RESUMO....................................................................................................................xi 
INTRODUÇÃO............................................................................................................1 
1 OBJETIVOS.............................................................................................................2 
1.1 Objetivo Geral......................................................................................................2 
1.2 Objetivos específicos: .......................................................................................2 
2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS.................................................................................3 
2.1 Análise de Confiabilidade...................................................................................3 
2.2 Aplicações da Análise de Confiabilidade ..........................................................4 
2.3 Os Tipos de Falhas..............................................................................................4 
2.4 Análise de Tempos de Falhas.............................................................................6 
2.4.1 Classificação dos Dados de Vida .......................................................................8 
2.5 Métodos.............................................................................................................. 11 
2.5.1 Utilizando o Método da Regressão .................................................................. 11 
2.5.2 Utilizando o Método da Máxima Verossimilhança ............................................13 
2.5.3 Comparando os Métodos .................................................................................14 
2.6 Distribuições mais utilizadas ...........................................................................14 
2.6.1 Distribuição Weibull ..........................................................................................15 
2.6.2 Distribuição Exponencial ..................................................................................16 
2.6.3 Distribuição Lognormal.....................................................................................17 
2.6.4 Distribuição Normal ..........................................................................................18 
2.6.5 Distribuição Weibull Mista ................................................................................19 
2.6.6 Distribuição Gama Generalizada......................................................................20 
2.7 Intervalos de Confiança ....................................................................................22 
3. MATERIAIS E MÉTODOS ....................................................................................25 
3.1 Proposta de Utilização de Dados de Garantia ................................................25 
3.2 Qualidade dos Dados........................................................................................26 
3.3 Definição da População ....................................................................................26 
3.4 Identificação do Problema e Obtenção dos Dados ........................................28 
3.5 Análise de Confiabilidade Aplicada .................................................................29 
3.6 Provisionamento de Custos .............................................................................35 
4 RESULTADOS ........... ...........................................................................................42 
5 CONCLUSÕES ......................................................................................................44 
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS......................................................................45 
 
 
 
 
 
 
vi 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
FIGURA 1 – Curva da Banheira ..................................................................................6 
FIGURA 2 – Distribuições de Vida Mais Utilizadas .....................................................7 
FIGURA 3 – Dados Censurados à Direita ...................................................................9 
FIGURA 4 – Dados em Intervalos Censurados ...........................................................9 
FIGURA 5 – Dados Censurados à Esquerda ............................................................10 
FIGURA 6 – Exemplos de Curvas de Distribuições (f.d.p.) .......................................15 
FIGURA 7 – Distribuição Weibull ...............................................................................16 
FIGURA 8 – Distribuição Exponencial .......................................................................17 
FIGURA 9 – Distribuição Lognormal .........................................................................18 
FIGURA 10 – Distribuição Normal .............................................................................19 
FIGURA 11 – Distribuição Weibull Mista ...................................................................20FIGURA 12 – Distribuição Gama Generalizada ........................................................21 
FIGURA 13 – Intervalo de Confiança Bilateral ..........................................................22 
FIGURA 14 – Intervalos de Confiança Unilateral Inferior e Superior ........................23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 1 – Quantidade de Veículos por Modelo ........................................................26 
Tabela 2 – Número de Sensores por Modelo ............................................................27 
Tabela 3 – Estimativas de Custos para o Modelo E ..................................................37 
Tabela 4 – Estimativas de Custos para o Modelo A ..................................................38 
Tabela 5 – Estimativas de Custos para o Modelo B ..................................................39 
Tabela 6 – Estimativas de Custos para o Modelo C ..................................................40 
Tabela 7 – Estimativas de Custos para o Modelo D ..................................................41 
Tabela 8 – Estimativas de Custos para Campanha ...................................................43 
Tabela 9 – Estimativas de Custos Total .....................................................................43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
LISTA DE FOTOGRAFIAS 
 
 
FOTOGRAFIA 1 – Ônibus Biarticulado B ................................................................. 27 
 
 
 
 
 
ix 
 
LISTA DE QUADROS 
 
QUADRO 1 – Probabilidades e Limites de Falha – Modelo C ..................................30 
QUADRO 2 – Probabilidades e Limites de Falha – Modelo B ..................................31 
QUADRO 3 – Probabilidades e Limites de Falha – Modelo A ...................................32 
QUADRO 4 – Probabilidades e Limites de Falha – Modelo D... ...............................33 
QUADRO 5 – Probabilidade de Falha por Modelo de Ônibus ..................................35 
QUADRO 6 – Quilometragem Mensal Estimada por Modelo.....................................37 
QUADRO 7 – Probabilidade de Falha por Modelo Associada a Quilometragens 
 Determinadas .....................................................................................42 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
 
LISTA DE GRÁFICOS 
 
GRÁFICO 1 – Taxa de Falha por Veículo em Relação ao Mês de Montagem .........28 
GRÁFICO 2 – Probabilidades de Falha para o Modelo C .........................................30 
GRÁFICO 3 – Probabilidades de Falha para o Modelo B .........................................31 
GRÁFICO 4 – Probabilidades de Falha para o Modelo A .........................................32 
GRÁFICO 5 – Probabilidades de Falha para o Modelo D .........................................33 
GRÁFICO 6 – Probabilidades de Falha para Todos os Modelos ..............................34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 
 
RESUMO 
 
 
O presente trabalho está vinculado a uma aplicação de confiabilidade em 
dados de campo, mais especificamente, para estimação do número de falhas de 
sensores de freio presentes em determinados modelos de ônibus estudados, e o 
provisionamento de custos para essas falhas, pois como são dados de garantia e 
pós-garantia, quem irá arcar com esses custos será a montadora responsável e os 
estudos ajudaram nas tomadas de decisões. Os dados de pós-garantia serão 
inclusos até determinado tempo de uso, em função da empresa responsável/ 
montadora estar lançando uma campanha para não prejudicar seus clientes, já que 
é sabido que a probabilidade de falha será mais alta do que a normal. 
1 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
Atingir a satisfação dos clientes, melhorar a qualidade de seus produtos, 
reduzir custos e provisionar quanto será gasto em garantia e pós garantia, tem sido 
a missão de muitas das empresas no mercado brasileiro e em especial no setor 
automobilístico, já que os principais fatores na decisão de compra de um veículo tem 
sido preço e confiabilidade. Veículos automotores são produtos industriais que 
exigem um alto grau de confiabilidade de suas peças, seguido de seus fatores de 
risco associados e a garantia de que o veículo em funcionamento não irá falhar. Mas 
para tanto é necessário que se tenha observações e resultados concretos, através 
de dados e informações, para o planejamento e previsão de custos aos quais seus 
fabricantes responsáveis serão comprometidos. 
Desta maneira, este trabalho desenvolve um modelo para descrever o 
comportamento de um produto e predizer sua confiabilidade em campo, 
conseguindo assim, estimar a quantidade de falhas e provisionar os custos 
envolvidos. O modelo considera a utilização dos dados de reclamações de garantia 
e pós garantia, incluindo a consideração da existência de veículos que não 
apresentaram falhas ao final deste período. 
O problema em estudo relaciona-se com falhas nos sensores que alertam o 
motorista sobre o desgaste total e perda da vida útil das pastilhas de freio do veiculo. 
No painel do ônibus existe um campo que informa sobre essa situação de desgaste, 
fazendo com que o proprietário do veiculo faça a troca sem que ocorram maiores 
problemas com outros componentes associados e dependentes do bom 
funcionamento dessa peça. Os dados de falhas foram coletados a partir das redes 
de concessionárias autorizadas da empresa distribuídas em todo o Brasil. Existe 
uma limitação relacionada ao tempo de garantia dos veículos, iniciada a partir do 
momento da entrega ao cliente até um determinado tempo de uso ou uma 
quilometragem estabelecida pelo contrato de garantia da empresa. 
Será utilizado para análise de confiabilidade o software Weibull ++7. As 
técnicas de provisionamento de custos serão elaboradas e adaptadas às escalas e 
formas de pagamentos que a indústria utiliza. 
2 
 
 
1 OBJETIVOS 
 
1.1 Objetivo Geral 
 
Aplicação prática da análise de confiabilidade para estimação da quantidade 
de falhas de um componente até um determinado tempo de utilização e a 
elaboração de um método baseado nessas estimativas para prever quanto de 
recurso financeiro deve ser alocado para futuros encargos gerado por esse 
componente, determinando assim, uma estimativa de quanto será para gasto em 
garantia e pós-garantia devido às falhas com essa peça. 
 
1.2 Objetivos Específicos 
 
Estimar a quantidade aproximada de falhas, através da utilização do software 
estatístico Weibull ++7, e utilizar essa quantidade estimada para elaborar um método 
preciso para o provisionamento de custos. 
O provisionamento preciso dos valores alocados tem como finalidade fornecer 
informações como subsídios para tomada de decisões. Desta maneira, é possível 
obter respostas antecipadas sobre valores de custos e quantidades de falhas que 
irão acontecer com determinados produtos em intervalos de tempo pré-definidos, 
resultando em um melhor controle orçamentário da indústria, atuando de forma 
antecipada na resolução de problemas, aumentando a satisfação de clientes e 
gerando maior lucratividade. 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
 
2.1 Análise de Confiabilidade 
 
Atualmente o termo confiabilidade vem sendo amplamente empregado. Por 
definição usual, segundo O’ Connor, “Confiabilidade é a probabilidade de um item 
realizar sua função especificada, sem falhas sob condições de uso previamentedeterminadas, em um período de tempo estabelecido”. Com outras palavras, a ABNT 
define confiabilidade como: “Característica de um item eventualmente expressa pela 
probabilidade de que ela preencherá uma função dada, sob condições definidas e 
por um período de tempo definido”. Desta maneira, busca-se suprir a necessidade 
das indústrias em conhecer e controlar a vida útil de seus produtos, reduzindo 
custos sem o comprometimento da qualidade, da segurança ou da disponibilidade 
destes. Procura-se obter a garantia de que o produto exercerá sua função no 
período determinado de tempo com um mínimo de falhas. 
Predição e avaliação da confiabilidade são os dois problemas principais que a 
confiabilidade deve encarar. A predição consiste em modelos estatísticos que 
predizem sobre a confiabilidade de um componente ou sistema, sugerir métodos 
para melhorá-la, desenvolver princípios de projetos, novos materiais e tecnologias 
de processo. A avaliação se resume na utilização das técnicas que permitem medir 
os valores reais de confiabilidade, verificar as predições efetuadas com base nos 
modelos e controlar a manutenção de um nível exigido de confiabilidade. 
Durabilidade é um aspecto particular da confiabilidade, relacionado com o 
desempenho de um item através do tempo, ela é normalmente definida como o 
mínimo de tempo antes da ocorrência de falhas por desgaste. 
As técnicas estatísticas existentes como a análise de confiabilidade nos 
permitem estimar probabilidades de itens relacionados com a necessidade das 
indústrias, seja no período de desenvolvimento de um projeto ou após o inicio da 
utilização do produto. As estimativas estão principalmente relacionadas com: 
 
4 
 
 
• Durabilidade de um produto, com as falhas classificadas como de pro-
jeto ou processo; ocasionais, por desgaste ou fadiga. 
• Tempo médio entre as falhas, permite o dimensionamento de reposição 
do estoque e planos de manutenção. 
• Correções em projetos ou recalls, necessidade pelo agravante das fa-
lhas em campo ocorrerem em grande volume. 
• A confiabilidade desejada a novos projetos, para atender às expectati-
vas crescentes dos clientes. 
 
2.2 Aplicações da Análise de Confiabilidade 
 
Existem três tipos de prevenção de falhas em componentes ou sistemas: 
1 – Componentes confiáveis: são os componentes eletrônicos e mecânicos 
que não se movimentam, mas há exceções. Contém grande margem entre suas 
especificações e sua solicitação de trabalho que poderia causar a falha. Não sofrem 
com o uso durante o ciclo de vida do produto. 
2 – Componentes não confiáveis: lâmpadas, por exemplo, e componentes em 
movimentação com outros componentes, como peças internas de transmissões, 
correias, rolamentos, etc.. Possuem uma pequena margem entre suas 
especificações e a sua solicitação de trabalho que poderia causar a falha. Sofrem 
com o uso do ciclo de vida do produto. 
3 – Sistemas: calibrações de motores com erros, interferência 
eletromagnética, entre outros. São conjuntos de componentes com relações entre si, 
onde o comportamento de um componente pode afetar o outro, existindo com 
grandes possibilidades de falha. 
 
2.3 Os Tipos de Falhas 
 
A taxa de falha é a chance de um componente ou sistema falhar na próxima e 
5 
 
 
menor unidade de tempo, dado que o item funcionou até então. 
Existem considerações sobre as taxas de falha, sendo elas crescentes, 
decrescentes, constantes, em forma de “banheira” ou nenhum destes citados. São 
classificadas como taxa de falha crescente, dados ligados ao desgaste e velhice do 
componente, taxa de falha decrescente, aquelas com grande quantidade de falhas 
no início do uso do produto (mortalidade infantil) e curva da banheira aquela que se 
inicia com um alto índice de falha, seguida de desgaste por uso (mortalidade infantil 
seguida de desgaste). 
Existem três tipos básicos de falhas: 
1 – Falhas precoces – Infância: Podem ser totalmente depuradas através de 
um rigoroso controle na fabricação e mediante testes antes do envio do produto ao 
consumidor. São elas: o uso demasiadamente intenso, as anormalidades de 
fabricação ou podemos considerar também um projeto defeituoso. A classificação da 
taxa de falha é decrescente. 
2 – Falhas por desgaste – Velhice: Em alguns casos pode-se reduzir ou 
eliminar as falhas por desgaste mediante a um sistema de manutenção preventiva. 
Acontecem devido ao envelhecimento do equipamento ou desgaste real (pela perda 
ou degeneração de características importantes). A taxa de falha é classificada como 
crescente. 
3 – Falhas casuais – Vida útil: Não é fácil a eliminação deste tipo de falhas, 
porém em alguns casos existem técnicas que nos permitem fazer um 
acompanhamento de componentes adequados, através de projetos. São falhas que 
ocorrem ao acaso, em intervalos de tempo inesperados. Pico de concentrações de 
tensões aleatórias que atuam sobre algum ponto fraco e produzem a quebra. 
 Abaixo na FIGURA 1, tem-se a conhecida Curva da Banheira que descreve a 
ocorrência de falhas que se iniciam com um alto índice de falha, seguidas de 
desgaste por uso (falhas precoces seguidas de falhas por desgaste). 
 
 
6 
 
 
 
FIGURA 1 – Curva da Banheira 
 
 
2.4 Análise de Tempos de Falhas 
 
Na Análise de Dados de Vida ou Análise dos Tempos de Falha, aspecto 
particular da análise de confiabilidade, tudo é baseado em estimativas; o valor real 
da confiabilidade de um produto nunca será conhecido, somente se todos os 
produtos já tiverem falhado. Os modelos que fornecem a estimativa de taxa de falha 
do produto em função do tempo estimam a probabilidade de falha (sobreviver) do 
produto para uma dada idade, ou para um dado período de tempo. Os modelos são 
representações matemáticas dos dados dadas por funções contínuas a qual permite 
interpolações e algumas extrapolações. Estes modelos probabilísticos são baseados 
em distribuições estatísticas. As mais utilizadas são denominadas de Distribuições 
de Vida, conforme a FIGURA 2 na seqüência. 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
FIGURA 2 – Distribuições de Vida Mais Utilizadas 
 
Primeiramente necessita-se definir o modelo, esses são modelos 
caracterizados pelo comportamento da falha dos mesmos. 
Todos os dados disponíveis devem ser considerados na análise de dados de 
vida. Isto inclui os casos particulares onde um item da amostra foi removido do teste 
antes que a falha tivesse ocorrido. Há ainda informações, nestes casos, e nunca 
deverá ser descartada. Para um item que foi removido do teste de confiabilidade 
antes que a falha ocorresse, ou um item que ainda continua em operação (itens que 
não falharam) denomina-se de itens suspensos ou observações censuradas à 
direita. 
A análise de itens suspensos também pode ser quando: 
• Necessitamos realizar uma análise dos resultados de teste antes do teste ser 
finalizado. 
• Necessitamos realizar uma análise em cima dos resultados disponíveis, e no 
conjunto de resultados nós observamos algumas falhas impróprias ou falhas 
não esperadas durante os testes. 
• O modo de falha que ocorreu é diferente do modo de falha que planejamos 
estudar. 
• Na análise de dados de garantia quando utilizamos dados de campo, ou seja, 
itens que falharam e itens que não falharam. 
 
Assim como definido acima, dados de garantia como no caso de dados 
8 
 
 
coletados em garantia se enquadram no modelo de dados censurados à direita. 
 
2.4.1 Classificação dos Dados de Vida 
 
A preparação dos dados é de extrema importância para uma análise bem 
feita, ou seja, deve-se fazer uma entrada correta na hora da coleta dos dados nas 
concessionárias, originando confiança, representatividade e uma informação sem 
desvios. O próximo passo é classificar que tipo de dados que estamos trabalhando. 
A maioriados dados de Confiabilidade contém censuras (informações incompletas), 
assim os modelos e análises devem ser capazes de tratar esses casos. Censuras 
também conhecidas como suspensões, são itens onde os tempos de falha só serão 
conhecidos quando excedermos certos valores de tempo. 
As suspensões não adicionam tanta informação quanto os tempos de falha 
exatos, elas requerem especiais tratamentos estatísticos e não devem ser 
ignoradas. Definindo: 
• Dados Completos – A maioria dos dados que não são dados de vida, bem 
como alguns dados de vida, são os que chamamos pelo termo dados comple-
tos. Dados completos significam que o valor de cada item da amostra é ob-
servado ou conhecido. Por exemplo, se testarmos 10 itens e todos falharam, 
portanto, neste caso teríamos as informações de quando o item falhou. 
• Dados Censurados à Direita – Neste caso os dados possuem itens que não 
falharam. Por exemplo, se testarmos dez itens, mas somente cinco falharam. 
Neste caso, nossos dados são compostos por cinco itens que falharam, ou 
seja, itens que conhecemos os tempos de falha e cinco itens que não falha-
ram. Este é o comum tipo de dados censurados, freqüentemente utilizado na 
análise dados de campo. Um erro comum é quando as suspensões ou itens 
que não falharam são desprezados. 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3 – Dados Censurados à Direita 
 
• Dados em Intervalos Censurados – Dados censurados em intervalos que con-
têm incertezas em relação ao tempo exato que a falha aconteceu. Em outras 
palavras, as únicas informações que temos são que o item falhou em um da-
do intervalo de tempo. Por exemplo, se executarmos um teste com cinco itens 
e realizarmos inspeções a cada cem horas, nós saberemos se o item falhou 
ou não entre as inspeções. Se o item falhou entre as inspeções nós não sa-
beremos o exato momento em que a falha ocorreu, mas nós sabemos que ela 
ocorreu dentro do intervalo de inspeção. Isto também é chamado por inspe-
ção de dados por vários autores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 4 – Dados em Intervalos Censurados 
10 
 
 
• Dados Censurados à Esquerda – O terceiro tipo de censura é similar à censu-
ra em intervalos e é denominado dado censurado à esquerda. Nos dados 
censurados à esquerda, o tempo da falha é somente conhecido após certo 
tempo. Por exemplo, sabemos que a falha ocorreu em algum tempo antes de 
100 horas, mas não sabemos exatamente quando. Em outras palavras, a fa-
lha pode ter acontecido entre zero e cem horas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 5 – Dados Censurados à Esquerda 
 
 
Todos os tipos de dados mencionados anteriormente podem ser agrupados. 
Dados agrupados são utilizados em testes onde há vários itens que falharam com o 
mesmo tempo até falha, ou os itens são agrupados em intervalos, ou há grupos de 
itens suspensos no mesmo tempo. Portanto deve-se cuidar quando se utiliza 
diferentes métodos de estimadores de parâmetros, porque os diferentes métodos 
tratam os dados agrupados por diferentes caminhos. 
 
 
 
 
11 
 
 
2.5 Métodos 
 
2.5.1 Utilizando o Método da Regressão (Mínimos Quadrados) 
 
Utilizando dados agrupados, o software plotará os pontos correspondentes à 
maior posição da categoria em cada grupo. Em outras palavras, dados três grupos 
de 10 unidades falhando em 100, 200 e 300 horas respectivamente, os três pontos 
plotados serão os pontos finais de cada grupo, ou a 10ª posição em 30, a 20ª 
posição em 30 e a 30ª posição em 30. Este procedimento é idêntico ao 
procedimento padrão quando utilizamos dados agrupados. 
Nos casos onde são usados dados agrupados você assume-se que as falhas 
ocorreram em um dado tempo dentro do intervalo. Em nosso exemplo poderíamos 
também dizer que até 100 horas 10 itens falharam de 100 a 200 horas outros 10 
itens falharam e de 200 a 300 horas outros 10 itens falharam. A análise de regressão 
automaticamente contabilizaria isso. Se este não for o caso, quando utilizando 
regressão, e 10 itens falharam exatamente com 100 horas, 10 itens falharam 
exatamente com 200 horas e 10 itens falharam exatamente com 300 horas, é 
recomendado que você os considere como dados não agrupados. 
As categorias medianas são usadas para obter uma estimativa da 
desconfiabilidade para cada falha, com 50% de confiança. No caso de dados 
agrupados eles são estimados para cada grupo de falhas ao invés de cada falha. 
Por exemplo, quando utilizamos um grupo de 10 falhas em 100 horas, 10 falhas em 
200 horas e 10 falhas em 300 horas, o software realizará a estimativa seguindo a 
categoria mediana (Z’s). 
• Para 10 falhas em 100 h, a categoria mediana, Z é estimada utilizando: 
 
12 
 
 
 
 
Onde um valor de Z é obtido para o grupo, para representar a probabilidade de 10 
falhas ocorrerem em total de 30. 
• Para 10 falhas em 200 h, Z é estimado utilizando: 
 
 
 
Onde um valor de Z é obtido para representar a probabilidade de 20 falhas em um 
total de 30. 
• Para 10 falhas em 300 horas Z é determinado utilizando: 
 
 
 
Onde um valor de Z é obtido para o grupo, para representar a probabilidade de 30 
13 
 
 
falhas ocorrerem em total de 30. 
 
2.5.2 Utilizando o Método da Máxima Verossimilhança 
 
Quando utilizando o Método da Máxima Verossimilhança, ou MMV, cada 
tempo individual é utilizado no cálculo dos parâmetros, portanto não há diferença em 
entrar com um grupo de 10 itens falhando até 100 horas e 10 entradas individuais 
em 100 horas. Isto é inerente ao método padrão do MMV. Em outras palavras, 
independentemente se os dados forem entrados agrupados ou não agrupados, o 
resultado será o mesmo. Quando utilizando a máxima verossimilhança é 
recomendada a entrada redundante de dados em grupos. Isto significará maior 
velocidade nos cálculos. 
Comentários sobre o Método da Máxima Verossimilhança: 
(1) Os estimadores da máxima verossimilhança são consistentes e 
assintoticamente eficientes. 
(2) A distribuição de probabilidade do estimador é assintoticamente normal. 
Para amostras pequenas, olhando um gráfico do MMV, ele pode nos revelar ou não 
como esta suposição é razoável. 
(3) O estimador da máxima verossimilhança é mais requerido quando 
trabalhamos com pequenas amostras, desde que elas tragam resultados 
conservadores, comparados com o estimador dos mínimos quadrados. 
(4) Os estimadores da máxima verossimilhança podem convergir para uma 
solução, mesmo quando temos uma única falha conhecida (isto não deve ser 
implementado, pois resulta em uma grande incerteza). 
 (5) O estimador da máxima verossimilhança da função de probabilidade para 
a distribuição Weibull na vizinhança do valor β=1, (ponto de transição) apresenta um 
comportamento incerto (imprevisível). 
(6) Utilizando o MMV quando o parâmetro de localização é conhecido, nas 
correspondentes distribuições, ele é relativamente livre de problemas 
computacionais. Entretanto, a introdução do parâmetro de localização cria 
complicações matemáticas. 
14 
 
 
(7) Em algumas das combinações de parâmetros, a resolução pelo MMV 
poderá travar os cálculos e não apresentam solução. 
(8) As resoluções pelo MMV são bem adequadas a distribuições com um e 
dois parâmetros. 
 
2.5.3 Comparando os Métodos 
 
O melhor método para estimação de parâmetros vai depender muito da 
situação, não há como predizer antecipadamente se é o método da regressão ou o 
da máxima verossimilhança o mais eficiente. 
 A regressão, através do coeficiente de correlação, apresenta uma boa medida 
de como os nossos dados se adequaram à distribuição escolhida. Uma má 
adequação (coeficiente de correlação longe de + -1) pode indicar a existência de 
múltiplos modos de falha. Isto é facilmente identificado olhando a adequaçãoda 
linha aos dados (pontos) nos gráficos de modelos de regressão. 
 Quando usamos o MMV, não é muito fácil identificar múltiplos modos de falha, 
a partir dos gráficos, pois não há o melhor caminho na plotagem pela solução com o 
MMV, ele suporta melhor dados com suspensões do que a regressão. Baseado nas 
propriedades do MMV, os limites de confiança podem ser quantificados. 
 
2.6 Distribuições Mais Utilizadas 
 
A distribuição estatística é descrita pela f.d.p. (ou função densidade de 
probabilidade). Utilizando a definição da f.d.p. como todas as outras funções mais 
comumente utilizadas na análise de confiabilidade, que permitem a análise de dados 
de vida, tais como, função confiabilidade, função taxa de falha, função vida média e 
função vida mediana. Todas estas podem ser determinadas diretamente a partir das 
definições da f.d.p., ou f(t). 
 
 
15 
 
 
 
 
FIGURA 6 – Exemplos de Curvas de Distribuições (f.d.p.) 
 
Existem diferentes distribuições, tais como normal, exponencial etc. e cada 
uma delas tem o f(t) pré-definido. Estas distribuições foram formuladas por 
estatísticos, matemáticos e engenheiros para modelar matematicamente ou 
representar certo comportamento. Por exemplo, a distribuição Weibull foi formulada 
por Walloddi Weibull. Muitas das distribuições que tendem a melhor representar os 
dados de vida são comumente chamadas de distribuições de vida. 
Uma das mais simples e comumente utilizada (e freqüentemente super 
utilizada erroneamente devido à sua facilidade) é a distribuição exponencial. 
A f.d.p. da distribuição exponencial é matematicamente definida como: 
 
tetf λλ −=)(
 , t ≥ 0 
0)( =tf
 , t<0 
 
 
Onde t é a variável aleatória que representa o tempo. A letra Grega (lambda) 
representa o que é comumente referenciado como o parâmetro da distribuição. 
 
2.6.1 Distribuição Weibull 
 
A distribuição Weibull é uma distribuição proposta para análise de 
confiabilidade. Ela é uma distribuição muito flexível, e por esta razão, amplamente 
utilizada. Ela pode ter diferentes formatos, e conseqüentemente se aproxima das 
outras distribuições. 
Na maioria dos casos, a distribuição Weibull é definida como: 
16 
 
 
∞<≤= −− tettf t 0)( 1 βαββα
 
 
 
 
FIGURA 6 – Distribuição Weibull 
 
2.6.2 Distribuição Exponencial 
 
A distribuição exponencial é a mais comumente utilizada para componentes 
ou sistemas que apresentam uma taxa de falha constante, e é definida na maioria 
dos casos como: 
 
tetf λλ −=)(
 , t ≥ 0 
0)( =tf
 , t<0 
 
17 
 
 
 
FIGURA 7 – Distribuição Exponencial 
 
 
2.6.3 Distribuição Lognormal 
 
A distribuição lognormal é comumente utilizada na análise de confiabilidade 
em ciclos até a falha por fadiga, resistências de materiais, e no projeto probabilístico 
com cargas variáveis. Quando o logaritmo natural dos tempos até a falha é 
normalmente distribuído, então dizemos que os dados seguem uma distribuição 
lognormal. 
A f.d.p. da distribuição lognormal é dada por: 
 
 , 0 ≤ x < ∞ 
 
18 
 
 
Enquanto a distribuição normal é simétrica, que veremos na sequência, a 
distribuição lognormal é assimétrica e deslocada para a esquerda, permitindo uma 
melhor adequação para a modelagem de dados de vida. 
 
 
 
 
FIGURA 8 – Distribuição Lognormal 
 
2.6.4 Distribuição Normal 
 
A distribuição normal é comumente utilizada na análise de confiabilidade, de 
tempos até a falha de componentes eletrônicos e mecânicos, equipamentos ou 
sistemas. A pdf da distribuição normal é dada por: 
 
 
-∞ < x < ∞ , -∞ < µ < ∞ e σ2 > 0 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 9 – Distribuição Normal 
 
2.6.5 Distribuição Weibull Mista 
 
Normalmente é utilizada para componentes ou sistemas que apresentam 
múltiplos modos de falha. A distribuição Weibull mista é aplicada para representar 
populações mistas com múltiplos modos de falha. Ela mostra a imagem global da 
vida do produto, misturando diferentes distribuições de Weibull para diferentes 
estágios da vida do produto, com f.d.p. dada por: 
 
 
Para 0 ≤ T < ∞. 
 
20 
 
 
Onde para duas populações S=2, para S=3 e para 4 S=4, será: 
 
 
 
 
 
FIGURA 10 – Distribuição Weibull Mista 
 
 
2.6.6 Distribuição Gama Generalizada 
 
A distribuição Gama Generalizada não é tão utilizada como as outras 
distribuições de vida já apresentadas e possui a capacidade de imitar outras 
distribuições, tais como a Weibull ou a lognormal, dependendo dos parâmetros de 
sua distribuição. A distribuição gama generalizada possui três parâmetros e sua 
f.d.p. é dada por: 
 
 
21 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 11 – Distribuição Gama Generalizada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
2.7 Intervalos de Confiança 
 
Intervalo de Confiança é um termo estatístico empregado para designar a 
representatividade da amostra. Quanto maior a amostra, menores e mais confiáveis 
serão os Intervalos de Confiança. 
O nosso objetivo é estimar a confiabilidade de todos os itens, baseando-se 
em uma amostra. Porém, até que todos os itens falhem não conheceremos seu 
exato valor. Se delinearmos 10 diferentes testes para nossos itens, e plotarmos os 
resultados utilizando o aplicativo, iremos obter para cada teste, diferenças 
significantes nos parâmetros da distribuição, e diferentes resultados de 
confiabilidade. 
 Portanto, quando utilizamos os limites de confiança, obtemos um intervalo das 
falhas que irão ocorrer em X por cento das vezes, lembrando-se que os parâmetros 
são uma estimativa dos reais parâmetros. O real valor dos parâmetros nos é 
desconhecido. 
 Os Intervalos de Confiança podem ser: 
• Bilaterais – Observação onde a maioria da população está situada. Por e-
xemplo, quando utilizamos 90% de confiança bilateral, estamos dizendo que 
90% da população está entre X e Y com 5% menor que X e 5% maior que Y, 
conforme a FIGURA 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 12 – Intervalo de Confiança Bilateral 
 
23 
 
 
• Unilaterais – Observação da porcentagem maior ou menor (superior e inferior) 
de um ponto X. Por exemplo, 95% de confiança unilateral significa que 95% 
da população é maior que X, sendo X o limite inferior; ou 95% da população é 
menor que X, sendo X o limite superior, conforme FIGURA 13 na seqüência. 
Para efeitos de confiabilidade, não é fator de preocupação se ela é maior do 
que a estimada, somente nos preocupamos com o limite inferior, portanto 
tende-se a utilizar o Limite Unilateral Inferior. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 13 – Intervalos de Confiança Unilateral Inferior e Superior. 
 
 
 
 Os Limites Bilaterais significam que, dado um nível de confiança, o real valor 
24 
 
 
estará entre esses limites, enquanto que no Limite Unilateral Inferior teremos X% de 
certeza que o valor é maior do que a linha limite plotada, e no caso de Limite 
Unilateral Superior nós teremos X% de certeza que o valor é menor do que a linha 
limite plotada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
3 MATERIAIS E MÉTODOS 
 
3.1 Proposta de Utilização dos Dados de Garantia 
 
Os dados de garantia são os acúmulos de todos os incidentes ocorridos 
durante a garantia dada pelo fabricante do veículo. Devido a sua grande 
versatilidade, estas informações são úteis para os estatísticos, engenheiros de 
confiabilidade na missão de análise e rastreabilidade das falhas de campo. Seuprocessamento é rápido e permite informações atualizadas das falhas de campo. 
Durante a montagem dos veículos cada um recebe um número de chassi 
(número de identificação do veículo) este número fornece todas as informações 
necessárias para a rastreabilidade do veículo, tipo do motor, carroceria, local de 
fabricação, ano, modelo, entre outros. Depois de produzido o veículo, é a 
concessionária que efetuará sua venda gerando uma notificação de venda. Esta 
notificação é registrada no banco de dados da empresa e o veículo passa 
oficialmente em circulação. Quando ocorre qualquer falha de um componente, a 
concessionária efetua o reparo e envia ao departamento de serviços da montadora a 
solicitação de pagamento correspondente ao trabalho efetuado no veículo. Esta 
informação de falha entra no sistema com a quilometragem, o código de defeito, 
data da reclamação, causa principal do defeito, custo do reparo estratificado (mão-
de-obra, peça) e comentários sobre o reparo. O processamento de todas estas 
informações separadas por cada tipo de veículo permite a geração de inúmeros tipos 
de informações e relatórios sobre as falhas de campo, facilitando assim as ações 
necessárias aos times de trabalho responsáveis por cada linha de veículo. 
É com base nessas informações que será feita a análise de confiabilidade, 
utilizando metodologias estatísticas para construir modelos probabilísticos, a partir 
de dados de vida. 
 
 
 
26 
 
 
3.2 Qualidade dos Dados 
 
Os modelos confiam nos dados para fazer previsões. Em nosso caso os 
modelos são distribuições estatísticas e os dados são dados de vida ou dados de 
tempo até falha de produtos. 
A precisão de qualquer previsão é diretamente proporcional à qualidade e a 
precisão dos dados fornecidos. Bons dados juntamente com a escolha do modelo 
apropriado geralmente resultam em boas previsões. Dados ruins ou insuficientes 
sempre resultam em previsões ruins. Utilizando a análise de dados de vida (bem 
como da estatística), deve-se ter bastante cautela na qualificação dos dados, e ter 
certeza de que a amostra não é tendenciosa. A primeira suposição que deve ser 
satisfeita é a de que os dados, ou a amostra sejam representativos da população. 
 
3.3 Definição da População 
 
A população adotada para este estudo é composta por 1051 ônibus montados 
em uma indústria. Esses veículos são caracterizados por modelos diferenciados 
devido as suas aplicações. A quantidade de veículos envolvidos no estudo 
separados por modelo segue descrita na TABELA 1 abaixo: 
 
 
Modelo Quatidade de veículos
A 375
B 181
C 135
D 279
E 81
Total 1051
 
TABELA 1 – Quantidade de veículos por modelo 
 
 
Os modelos apontados acima assumem características diferenciadas em 
27 
 
 
relação à quantidade de sensores montados por modelo de ônibus, na TABELA 2 
observamos as quantidades de sensores por modelo: 
 
MODELO Nº SENSORES
C 4
D 4
A 6
B - simples 6
E - simples 6
B - duplo 8
E - duplo 8
 
 
TABELA 2 – Número de sensores por modelo 
 
 
Como descrito, existem veículos simples e duplos do mesmo modelo com 
diferente número de sensores. A FOTOGRAFIA 1 a seguir é relacionada ao veículo 
B - duplo, exemplificando a característica de articulação esquematicamente: 
 
 
FOTOGRAFIA 1 – Ônibus do modelo B - duplo 
 
 
O modelo B - duplo tem 4 eixos com duas rodas por eixo, contabilizando 8 
28 
 
 
sensores de desgaste de pastilhas de freio. Conseqüentemente o número total de 
falhas esperadas será maior para veículos com maiores quantidades de sensores. 
 
3.4 Identificação do Problema e Obtenção dos Dados 
 
O período de montagem desses veículos se estende de janeiro de 2009 até 
fevereiro de 2010. Nesse período, podemos considerar que o processo estava fora 
do padrão, pois foram utilizadas algumas peças de componentes internos diferentes 
das tradicionalmente adotadas no processo. Um dos fornecedores produziu peças 
com qualidade inferior às exigidas pela montadora. Essa característica foi 
descoberta com análises técnicas das falhas registradas pelo sistema de garantia. 
Analisando populações semelhantes, apenas caracterizadas pela diferença do 
componente em estudo, detectou-se uma diferença significativa superior relacionada 
à freqüência de falha para veículos com 12 meses de uso entre a população normal 
e a população defeituosa. Abaixo, o GRÁFICO 1 está mostrando o comportamento 
de falha da peça em estudo envolvendo todos os modelos, comparando com a taxa 
de entre a população normal e a população defeituosa. 
Obs.: Os dados abaixo são ilustrativos, não se tratam dos dados reais do problema. 
 
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
C
A
B
E
 
GRÁFICO 1 – Taxa de Falha por Veículo em Relação ao Mês de Montagem 
 
29 
 
 
Detectando o problema e identificando quais veículos pertencem a essa 
população de risco, algumas medidas são necessárias para quantificar o nível de 
gravidade da situação, assim como estimar a quantidade monetária que será 
alocada para resolver o problema. Para obtenção dos dados de falhas foram 
utilizados os registros armazenados no computador de bordo do veículo. Quando 
alguma falha ocorre, o computador de bordo registra a quilometragem na qual 
aconteceu a falha e conseqüentemente sabemos que os outros sensores não 
falharam até o momento que o veículo chegou à concessionária para efetuar o 
reparo, assim suspendemos todos os outros sensores que não falharam com a 
quilometragem que o veículo chegou no seu último dia de reparo. Para veículos que 
não tiveram nenhum registro nas concessionárias foi considerado que os veículos 
percorrem uma quilometragem média mensal de acordo com as quilometragens 
conhecidas de veículos com registro do mesmo modelo e aplicação, assim 
suspendemos esses veículos com uma quilometragem média mensal estimada 
considerando o tempo de uso desde sua entrega até a data de retirada dos dados do 
sistema. 
 
3.5 Análise de Confiabilidade Aplicada 
 
Para estimação da quantidade de falhas que devem ocorrer até que os veículos 
em estudo completem um determinado tempo de uso, foi utilizada à análise de 
confiabilidade. Na obtenção dos dados como descrita na seção anterior, os dados 
contêm quilometragens de falhas e suspensões, direcionando para o uso da 
metodologia de análise para dados censurados à direita, ou seja: 
• Dados de falhas: registros de falhas com a quilometragem identificada. 
• Dados de censura: sabe-se que muitos dos sensores em estudo não falharam 
até uma determinada quilometragem. 
Baseando-se nessas informações foram feitas às análises de confiabilidade 
separadas por modelo. 
Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo C: 
30 
 
 
ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com.br
Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo
µ=13,0570, σ=0,7256
Tempo, (t)
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
e
 d
e
 F
a
lh
a
, 
F
(t
)=
1
-R
(t
)
5000,000 200000,00044000,000 83000,000 122000,000 161000,000
0,000
0,400
0,080
0,160
0,240
0,320
Probabilidade de Falha
CB@90% Bilateral [T]
B7R
Loglogística-2P
MLE SRM MED FM
F=12/S=330
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
LC-I Superior
LC-I Inferior
Paulo Zaleski de Matos
Volvo do Brasil
12/5/2010
14:23:54
 
GRÁFICO 2 – Probabilidades de Falha para o Modelo C 
 
 
Tempo de uso 100.000 km 200.000 km 300.000 km 400.000 km 
Limite 
Superior 
0,1748 
 
0,4126 
 
0,5939 
 
0,7124 
 
Probabilidade 
média de falha 
0,1064 
 
0,2364 
 
0,3512 
 
0,4459 
 
Limite Inferior 0,0628 0,12 0,1669 0,2072 
QUADRO 1 - Probabilidades e Limites de Falha – Modelo C 
 
Os dados são compostos por 12 falhas e 330 suspensões, seguindo umadistribuição de probabilidade Log-Logística. Acima no QUADRO 1, estão as 
probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas com 
os limites de confiança superior e inferior descritos. O limite de confiança utilizado 
nesse estudo foi de 90%. 
Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo B: 
 
31 
 
 
ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com.br
Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo
β=1,3625, η=3,4711Ε+5
Tempo, (t)
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
e
 d
e
 F
a
lh
a
, 
F
(t
)=
1
-R
(t
)
1000,000 150000,00030800,000 60600,000 90400,000 120200,000
0,000
0,400
0,080
0,160
0,240
0,320
Probabilidade de Falha
CB@90% Bilateral [T]
B12M
Weibull-2P
MLE SRM MED FM
F=50/S=553
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
LC-I Superior
LC-I Inferior
Paulo Zaleski de Matos
Volvo do Brasil
13/5/2010
09:04:23
 
GRÁFICO 3 – Probabilidades de Falha para o Modelo B 
 
 
Tempo de uso 100.000 km 200.000 km 300.000 km 400.000 km 
Limite 
Superior 
0,2128 
 
0,5051 
 
0,7403 
 
0,8832 
 
Probabilidade 
de falha média 
0,1676 
 
0,3761 
 
0,5595 
 
0,7028 
 
Limite Inferior 0,1313 0,2713 0,3926 0,4962 
QUADRO 2 - Probabilidades e Limites de Falha – Modelo B 
 
Os dados são compostos por 50 falhas e 353 suspensões, seguindo uma 
distribuição de probabilidade Weibull com 2 parâmetros. No QUADRO 2 acima estão 
as probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas 
com os limites de confiança superior e inferior descritos. O limite de confiança 
utilizado nesse estudo foi de 90%. 
Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo C: 
32 
 
 
ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com.br
Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo
µ=13,1477, σ=0,9431
Tempo, (t)
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
e
 d
e
 F
a
lh
a
, 
F
(t
)=
1
-R
(t
)
10000,000 400000,00088000,000 166000,000 244000,000 322000,000
0,000
0,600
0,120
0,240
0,360
0,480
Probabilidade de Falha
CB@90% Bilateral [T]
B12R
Lognormal-2P
MLE SRM MED FM
F=160/S=1834
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
LC-I Superior
LC-I Inferior
Paulo Zaleski de Matos
Volvo do Brasil
12/5/2010
13:30:42
 
GRÁFICO 4 – Probabilidades de Falha para o Modelo C 
 
 
Tempo de uso 100.000 km 200.000 km 300.000 km 400.000 km 
Limite Superior 
0,0489 
 
0,1793 
 
0,3222 
 
0,4471 
 
Probabilidade 
de falha média 
0,0415 
 
0,159 
 
0,2848 
 
0,3961 
 
Limite Inferior 0,0351 0,1403 0,2497 0,3468 
QUADRO 3 - Probabilidades e Limites de Falha – Modelo C 
 
 
Os dados são compostos por 160 falhas e 1834 suspensões, seguindo uma 
distribuição de probabilidade Lognormal. Acima no QUADRO 3 estão as 
probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias determinadas com 
os limites de confiança superior e inferior descritos. O limite de confiança utilizado 
nesse estudo foi de 90%. 
Abaixo seguem as probabilidades de falha para o modelo D: 
33 
 
 
 
 GRÁFICO 5 – Probabilidades de Falha para o Modelo D 
 
 
 
 
 
Tempo de uso 100.000 km 200.000 km 300.000 km 400.000 km 
Limite 
Superior 
0,0661 
 
0,2123 
 
0,4413 
 
0,6793 
 
Probabilidade 
de falha média 
0,0422 
 
0,1478 
 
0,2912 
 
0,4472 
 
Limite Inferior 0,0268 0,1016 0,1841 0,2657 
QUADRO 4 - Probabilidades e Limites de Falha – Modelo D 
 
 
 
Os dados são compostos por 19 falhas e 251 suspensões, seguindo uma 
distribuição de probabilidade Weibull com 2 parâmetros. No QUADRO 4 acima, 
34 
 
 
estão as probabilidades de falha associadas às quilometragens arbitrárias 
determinadas com os limites de confiança superior e inferior descritos. 
A análise confiabilidade para o modelo E não foi traçada devido aos veículos 
serem muito novos e ainda não terem apresentado falhas. Para resolução desse 
problema, adotou-se a confiabilidade do modelo B como estimativa de falha para os 
ônibus E. Os critérios considerados para esse procedimento foram às grandes 
similaridades que esses dois veículos apresentam, tanto em relação à composição 
de peças como na aplicação em campo. 
Abaixo seguem as probabilidades de falhas conjuntas de todos os modelos: 
 
 
 
ReliaSoft Weibull++ 7 - www.ReliaSoft.com.br
Gráfico da Probabilidade de Falha vs Tempo
Planilha2\B9R: β=1,8300, η=5,3773Ε+5, γ=2906,9125
Planilha2\B7R: µ=13,0570, σ=0,7256
Planilha2\B12R: µ=13,1477, σ=0,9431
Planilha2\B12M: β=1,3625, η=3,4711Ε+5
Tempo, (t)
P
ro
b
a
b
ili
d
a
d
e
 d
e
 F
a
lh
a
, 
F
(t
)=
1
-R
(t
)
1000,000 500000,000100800,000 200600,000 300400,000 400200,000
0,000
0,800
0,160
0,320
0,480
0,640
Probabilidade de Falha
Planilha2\B12M
Weibull-2P
MLE SRM MED FM
F=50/S=553
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
Planilha2\B12R
Lognormal-2P
MLE SRM MED FM
F=160/S=1834
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
Planilha2\B7R
Loglogística-2P
MLE SRM MED FM
F=12/S=330
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
Planilha2\B9R
Weibull-3P
MLE SRM MED FM
F=19/S=251
Pontos de Dados
Linha de Probabilidade de Falha
Paulo Zaleski de Matos
Volvo do Brasil
2/6/2010
12:50:42
 
GRÁFICO 6 – Probabilidades de Falha para o Todos os Modelos 
 
 
 
 
35 
 
 
Podemos observar que a maior probabilidade de falha está associada ao 
modelo de ônibus B, caracterizado por uma aplicação urbana e conseqüentemente 
mais severa. A principal característica em relação a essa maior probabilidade de 
falha é a grande quantidade de frenagens que o veículo efetua durante seu uso. 
Abaixo segue uma tabela mostrando a probabilidade de falha por modelo 
associada quilometragens determinadas. 
 
MODELO 100.000 km 200.000 km 300.000 km 400.000 km 
B 
0, 1676 
 
0,3761 
 
0,5595 
 
0,7028 
 
C 
0,1064 
 
0,2364 
 
0,3512 
 
0,4459 
 
D 0,0422 
0,1478 
 
0,2912 
 
0,4472 
 
A 
0,0415 
 
0,159 
 
0,2848 
 
0,3961 
 
QUADRO 5 – Probabilidade de Falha por Modelo de Ônibus 
 
 
3.6 Provisionamento de Custos 
 
Para a estimação de quanto será gasto com os veículos em estudo 
relacionando com as falhas dos sensores foram adotados os seguintes critérios de 
pagamento de acordo com a idade do veículo no seu dia de reparo: 
• Até 12 meses – 100% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela 
indústria. 
• De 13 – 18 meses – 80% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela 
indústria. 
• De 19 – 24 meses – 60% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela 
indústria. 
36 
 
 
• De 25 – 30 meses – 40% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela 
indústria. 
• De 31 – 36 meses – 20% dos custos gerados pelas falhas são pagos pela 
indústria. 
A análise confiabilidade foi realizada considerando que as falhas dos sensores 
estão diretamente ligadas com a quilometragem percorrida, assim para estimação da 
probabilidade de falha em relação à idade do veículo, é necessário que 
primeiramente se obtenha as quilometragens médias mensais estimadas por modelo 
de ônibus. 
No momento que o veículo chega à concessionária são coletadas algumas 
informações ao seu respeito, inclusive sua quilometragem atual. Sendo assim, 
podemos estimar a quilometragem média que esses veículos estão percorrendo por 
mês, considerando a seguinte fórmula a seguir: 
 
T = DE – DR (1) 
 
 KM = KR/ (T/ 30) (2) 
 
Sendo que: 
T = Tempo de uso dos veículos 
DE = Data de entrega ao cliente 
DR = Data do último registro na concessionária 
KR = Quilometragem do último registroKM = Quilometragem mensal média estimada 
 
Com os resultados dessas informações conseguimos estimar com quantos 
quilômetros em média esses veículos irão fechar o período de garantia (1º ano), 2º 
ano, 3º ano e assim por diante, conforme descrito no QUADRO 6, a seguir. 
 
 
 
37 
 
 
MODELO B C D A E 
KM Mensal 
estimada 
4934 km 4818 km 10011 km 13105 km 4934 km 
QUADRO 6 – Quilometragem Mensal Estimada por Modelo 
 
Assumindo os valores citados acima e multiplicando pelas idades 
correspondentes, teremos a quilometragem média estimada para o 1º ano de uso e 
assim sucessivamente, possibilitando realizar uma estimativa de quantas falhas irão 
acontecer por modelo no primeiro, 2º, 3º, 4º.... anos de uso. 
Seguem os cálculos para estimação dos custos por modelo de ônibus de 
acordo com os critérios estabelecidos para pagamentos das falhas nos sensores: 
TABELA 3 – Estimativa de Custos para o Modelo E 
 
Obs.: No campo da tabela acima “População (KM)” as quilometragens estão na 
escala de 1 = 10.000 mil quilômetros, seguindo a mesma escala para os outros 
campos dessa linha. 
 
O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos 
relacionados com falhas nos sensores. No campo “estimativa de custos para 
campanha”, o valor de 62.051 mil reais refere-se ao total estimado com gastos em 
População (KM) 0 to 59 km 59 to 89 89 to 118 118 to 148 148 to 177 Total
Population (Idade) 0 - 12 12*18 18 - 24 24 - 30 30 - 36
Números de sensores em risco 648 648 648 648 648 648
Numero de falhas esperadas 56 38 40 41 40 214
Número de veículos que falharam 0
Quilometragem estimada 59208 88812 118416 148020 177624
Probabilidade máxima de falha 10.7% 7.5% 8.4% 8.8% 8.7% 44.2%
Probabilidade média de falha 8.6% 5.9% 6.2% 6.3% 6.2% 33.1%
Probabilidade mínima de falha 6.9% 4.6% 4.4% 4.2% 4.1% 24.2%
Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20%
Custo média de reparo
Estimativa de custo em garantia BRL 43,935
Estimativa de custo para campanha BRL 62,051
BRL 789
38 
 
 
falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo 
“estimativa de custos para garantia” o valor de 43.935 mil reais refere-se ao total 
estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses 
de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do calculo foi multiplicado o 
número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a 
uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo 
médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 59 mil quilômetros 
percorridos em média: 
 
648 * 8,6%* 100%* BRL 789 = Estimativa de custos em garantia (43.935) 
TABELA 4 – Estimativa de Custos para o Modelo A 
 
O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos 
relacionados com falhas nos sensores. No campo “estimativa de custos para 
campanha”, o valor de 278.512 mil reais refere-se ao total estimado com gastos em 
falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo 
“estimativa de custos para garantia” o valor de 39.159 mil reais refere-se ao total 
estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses 
de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do cálculo foi multiplicado o 
número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a 
População (KM) 0 até 157 157 até 235 235 até 314 314 até 393 393 até 471 Total
Population (Idade) 0 - 12 12*18 18 - 24 24 - 30 30 - 36
Números de sensores em risco 2250 2250 2250 2250 2250 2250
Numero de falhas esperadas 49 90 279 194 169 781
Número de veículos que falharam 187 60 15 2 1 265
Quilometragem estimada (KM) 157,260 235,890 314,520 393,150 471,780
Probabilidade máxima de falha 11.9% 7.5% 14.8% 9.8% 8.3% 52.3%
Probabilidade média de falha 10.5% 6.7% 13.1% 8.7% 7.6% 46.5%
Probabilidade mínima de falha 9.3% 5.9% 11.4% 7.6% 6.7% 40.8%
Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20%
Custo média de reparo
Estimativa de custo de garantia BRL 39,159
BRL 795
Estimativa de custo para campanha BRL 278,512
39 
 
 
uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo 
médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 157 mil quilômetros 
percorridos em média: 
 
2250 * 10,5%* 100%* BRL 795 = Estimativa de custos em garantia (39.159) 
TABELA 5 – Estimativa de Custos para o Modelo B 
 
O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos relacionados 
com falhas nos sensores. No campo “estimativa de custos para campanha”, o valor 
de 78.084 mil reais refere-se ao total estimado com gastos em falhas nos sensores 
para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo “estimativa de custos 
para garantia” o valor de 46.672 mil reais refere-se ao total estimado com gastos em 
falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses de uso, ou seja, no 
período de garantia. Para realização do cálculo foi multiplicado o número total de 
sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a uma 
determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo 
médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 59 mil quilômetros 
percorridos em média: 
 
1126 * 8,6%* 100%* BRL 795 = Estimativa de custos em garantia (46.672) 
 
População (KM) 0 até 59 59 até 88 88 até 118 118 até 148 148 até 177 Total
Population (Idade) 0 - 12 12*18 18 - 24 24 - 30 30 - 36
Números de sensores em risco 1126 1126 1126 1126 1126 1126
Número de falhas esperadas 27 21 66 70 70 253
Número de veículos que falharam 70 45 4 0 0 119
Quilometragem estimada (KM) 59,208 88,812 118,416 148,020 177,624
Probabilidade máxima de falha 10.7% 7.5% 8.4% 8.8% 8.7% 44.2%
Probabilidade média de falha 8.6% 5.9% 6.2% 6.3% 6.2% 33.1%
Probabilidade mínima de falha 6.9% 4.6% 4.4% 4.2% 4.1% 24.2%
Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20%
Custo médio de reparo
BRL 46,672Estimativa de custo em garantia
BRL 78,084Estimativa de custo em campanha
BRL 795
40 
 
 
TABELA 6 – Estimativa de Custos para o Modelo C 
 
O cálculo acima estima os custos que serão gastos com pagamentos 
relacionados com falhas nos sensores. No campo “estimativa de custos para 
campanha”, o valor de 47.850 mil reais refere-se ao total estimado com gastos em 
falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo 
“estimativa de custos para garantia” o valor de 17.172 mil reais refere-se ao total 
estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses 
de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do calculo foi multiplicado o 
número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a 
uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo 
médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 58 mil quilômetros 
percorridos em média: 
 
540* 5,3%* 100%* BRL 808 = Estimativa de custos em garantia (17.172) 
 
 
 
 
 
 
População (KM) 0 até 58 km 58 até 87 87 até 116 116 até 145 145 até 173 Total
Population (Idade) 0 - 12 12*18 18 - 24 24 - 30 30 - 36
Números de sensores em risco 540 540 540 540 540 540
Número de falhas esperadas 21 23 30 37 37 150
Número de veículos que falharam 24 9 7 1 0 41
Quilometragem estimada (KM) 57816 86724 115632 144540 173448
Probabilidade máxima de falha 8.4% 6.0% 6.9% 7.1% 6.9% 35.3%
Probabilidade média de falha 5.3% 3.6% 3.8% 3.8% 3.8% 20.3%
Probabilidade mínima de falha 3.3% 2.1% 1.9% 1.7% 1.6% 10.6%
Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20%
Custo médio de reparo
Estimativa de custo em campanha
Estimativa de custo em garantia BRL 17,172
BRL 47,850.41
BRL 808
41 
 
 
TABELA 7 – Estimativa de Custos para o Modelo D 
 
O cálculo acima estima os custos que serão gastos compagamentos 
relacionados com falhas nos sensores. No campo “estimativa de custos para 
campanha”, o valor de 131.541 mil reais refere-se ao total estimado com gastos em 
falhas nos sensores para veículos com a idade entre 12 a 36 meses. No campo 
“estimativa de custos para garantia” o valor de 67.683 mil reais refere-se ao total 
estimado com gastos em falhas nos sensores para veículos com idade até 12 meses 
de uso, ou seja, no período de garantia. Para realização do cálculo foi multiplicado o 
número total de sensores em risco vezes a probabilidade média de falha associada a 
uma determinada idade da população vezes a escada de pagamentos vezes o custo 
médio de reparo. Exemplificando para a idade de 0 a 12 ou 0 a 120 mil quilômetros 
percorridos em média: 
 
1116 * 8,6%* 100%* BRL 808 = Estimativa de custos em garantia (67.683) 
 
 
 
 
 
População (KM) 0 até 120 120 até180 180 até 240 240 até 300 300 até 360 Total
Population (Idade) 0 - 12 12*18 18 - 24 24 - 30 30 - 36
Números de sensores em risco 1116 1116 1116 1116 1116 1116
Número de falhas esperadas 84 68 85 94 101 431
Número de veículos que falharam 15 3 2 2 0 22
Quilometragem estimada (KM) 120132 180198 240264 300330 360396
Probabilidade máxima de falha 8.9% 8.7% 12.0% 14.0% 14.3% 57.8%
Probabilidade média de falha 6.0% 6.3% 7.8% 8.6% 9.0% 37.7%
Probabilidade mínima de falha 4.0% 4.5% 4.8% 4.8% 4.7% 22.9%
Escada de pagamentos 100% 80% 60% 40% 20%
Custo médio de reparo
Estimativa de custo em garantia BRL 67,683
Estimativa de custo para campanha
BRL 808
BRL 131,541.69
42 
 
 
4 RESULTADOS 
 
Os resultados das estimativas das quantidades de falhas nos sensores para 
veículos de interesse seguem descritos no QUADRO 7 abaixo: 
 
 
MODELO 100.000 km 200.000 km 300.000 km 400.000 km 
B 
0, 1676 
 
0,3761 
 
0,5595 
 
0,7028 
 
C 
0,1064 
 
0,2364 
 
0,3512 
 
0,4459 
 
D 0,0422 
0,1478 
 
0,2912 
 
0,4472 
 
A 
0,0415 
 
0,159 
 
0,2848 
 
0,3961 
 
E 
0, 1676 
 
0,3761 
 
0,5595 
 
0,7028 
 
QUADRO 7 – Probabilidade de Falha por Modelo Associada a Quilometragens 
Determinadas. 
 
 
A partir dessas informações, podemos verificar a gravidade do problema para 
uma determinada quilometragem de interesse. A maior probabilidade de falha está 
relacionada com veículos de aplicação urbana, como os modelos B e E. 
Apresentando uma taxa de falha média de 0,7028 para veículos com 400.000km 
rodados, ou seja, estima-se que do total de sensores que compõem essa população 
de ônibus com essas mesmas características e submetidos a uma mesma aplicação, 
70% dos sensores falhem quando esses veículos percorrerem 400.000 mil 
quilômetros. 
Os resultados das estimativas de custos relacionados com as falhas nos 
sensores divididos por modelo para emissão de uma campanha que cobrirá veículos 
43 
 
 
com idade entre 12 até 36 meses de uso efetuando pagamentos com percentuais 
ponderados relacionados com a idade do veículo no momento que a falha aconteceu 
seguem descritos na TABELA 8 abaixo. 
 
 
Modelo Custo R$
A 278.512
D 131.542
B 78.084
E 62.051
C 47.850
Custo total 598.039
 
TABELA 8 – Estimativa para Custos com Campanha 
 
A indústria deve provisionar uma quantia de 598 mil reais aproximadamente 
para pagamentos relacionados com a campanha dos sensores de desgaste das 
pastilhas de freios. 
Os resultados das estimativas de custos relacionados com as falhas nos 
sensores divididos por modelo para pagamentos em garantia que cobrirá veículos 
com idades até 12 meses de uso efetuando 100% do total do custo do reparo, 
conforme descrito na TABELA 9 abaixo. 
 
 
Modelo Custo R$
A 39.159
D 67.683
B 46.672
E 43.935
C 17.172
Custo total 214.621
 
TABELA 9 – Estimativa para Custos com Garantia 
 
 
44 
 
 
A indústria deve provisionar uma quantia de 215 mil reais aproximadamente 
para pagamentos relacionados com a garantia dos sensores de desgaste das 
pastilhas de freios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
 
5 CONCLUSÃO 
 
Os métodos aqui descritos para análise dos dados de garantia são apenas 
uma parte de um programa de confiabilidade. As informações de campo são, sem 
nenhuma dúvida, as melhores fontes de retorno sobre o verdadeiro uso do produto e 
de seu desempenho no campo. 
No passado, as indústrias aumentaram muito seu faturamento através da 
venda de peças de reposição para os seus produtos de baixa confiabilidade. Hoje, 
os veículos são mais confiáveis e a confiabilidade tornou-se um fator de decisão de 
compra de um veículo. Políticas de campanha para extensão de garantia 
especificamente para componentes com probabilidades de falha de alto grau são 
necessárias para maior satisfação do cliente. Uma das dificuldades na elaboração 
dessas campanhas é estimar o capital total que deve se alocado para futuros 
pagamentos com essas políticas. Assim, foi elaborado um método para o 
provisionamento de custos desses valores, fornecendo informações como subsídios 
para tomada de decisões. Os principais ganhos com a aplicação desses processos 
foram à obtenção de respostas antecipadas sobre os valores de custos e 
quantidades de falhas que irão acontecer com os veículos montados com os 
sensores defeituosos em intervalos de tempo pré-definidos, contribuindo para um 
melhor controle orçamentário da indústria, atuando de forma antecipada na 
resolução de problemas com a emissão de campanhas preventivas, aumentando a 
satisfação de clientes e gerando maior lucratividade para indústria com o manuseio 
correto do capital alocado. 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
6 REFERÊNCIAS 
 
SPANÓ, C. Cláudio. Confiabilidade de veículos. Artigo publicado em CD-
ROM pela ReliaSoft Brasil, Copyright 1992-2001. 
O’CONNOR, P. D. T.. Practical Reliability Engineering. John Wiley & Sons, 
2002 – 4th Edition. 
Engenharia da Confiabilidade. Apresentação publicada em CD-ROM pela 
ReliaSoft Brasil, Copyright 1992-2001. 
Resumo Teórico – Engenharia da Confiabilidade. Apostila publicada em 
CD-ROM pela ReliaSoft Brasil, Copyright 1992-2001.