Função afim

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Prof. Jorge
Função afim: a função geral 
de 1º grau
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A temperatura de uma substância é 30 ºC. 
Vamos analisar duas situações distintas.
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① Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, 
aumentando 10 ºC por minuto.
t(min) 0 1 2 3 4 5
T(oC) 30 40 50 60 70 80
Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a 
minuto.
A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min).
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,
T = 30 + 10.t
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② Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, 
diminuindo 10 ºC por minuto. 
t(min) 0 1 2 3 4 5
T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20
Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a 
minuto.
A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min).
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,
T = 30 – 10.t
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Veja os gráficos cartesianos das duas funções
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
t(min) T(oC)
0 30
1 40
2 50
3 60
4 70
5 80
20
40
60
80
5
T = 30 + 10.t
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Veja os gráficos cartesianos das duas funções
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
t(min) T(oC)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 –10
5 –20
–20
–40
20
40
5
T = 30 – 10.t
60
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Função afim ou de 1º grau é toda função do tipo
y = f(x) = ax + b
Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0.
Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função 
linear.
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Exemplos
 y = f(x) = 5x – 3
é uma função afim com a = 5 e b = –3.
 y = f(x) = –2x
é uma função afim, com a = –2 e b = 0
Nesse caso a função é chamada de linear.
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Características da função afim y = f(x) = ax + b
 A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu 
termo independente pode ser nulo ou não.
 Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função 
linear.
 A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a 
mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.
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Características da função afim y = f(x) = ax + b.
 A constante real b é o coeficiente linear.
 Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos 
eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter 
origem (caso b ≠ 0).
 O crescimento ou o decrescimento da função estão 
relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para 
a > 0 e descendente para a < 0.
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Crescimento e decrescimento.
a > 0 ⇒ função crescente
⇒ reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita)
a < 0 ⇒ função decrescente
⇒ reta descendente (desce da esquerda p/ direita)
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Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = x
y = x/2
y = 2x
a > 0
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Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –x
y = –x/2
y = –2x
a < 0
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A partir do gráfico da função linear y = ax, podemos
obter os gráficos de todas as funções afins y = ax + b.
Deslocamos o gráfico da função y = ax para cima ou
para baixo, de acordo com o valor da constante b.
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Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = x; y = x + 2 e y = x – 3.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = x
a > 0
y = x – 3
y = x + 2
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Exemplos 
 Veja o gráficos das funções y = –2x; y = –2x – 3 e y = –2x + 4.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –2x + 4
y = –2x
a < 0
y = –2x – 3
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A análise das duas últimas figuras nos sugere um caso geral 
em relação a todas as funções afins do tipo y = f(x) = ax + b.
 Que relação existe entre o coeficiente b e o ponto onde 
cada reta corta o eixo y?
b é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo y. Ou 
seja, a reta intercepta o eixo y no ponto de coordenadas 
(0, b).
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Construir o gráfico da função y = 2x + 3.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = 2x + 3
x y = 2x + 3
0 y = 2.0 + 3 = 3
1 y = 2.1 + 3 = 5
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Construir o gráfico da função y = –2x – 2.
x
y
0 1 2 3–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5–4–5
–5
–4
4
5
y = –2x – 2
x y = –2x – 2
0 y = –2.0 – 2 = –2
1 y = –2.1 – 2 = –4
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Dois pontos determinam uma reta. Por isso, se
conhecermos dois de seus pontos, podemos obter a
função afim que ela representa. Ou seja, podemos
obter os coeficientes a e b da função.
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Exemplos 
 Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.
x
y
0 2
4
A função é do tipo y = ax + b, 
com a e b reais (a ≠ 0).
Para x = 0 ⇒ y = 
4
Para x = 2 ⇒ y = 0, substituindo 
em y = ax + b, temos
0 = a.2 + 4 ⇒ –2a = 4
⇒ a = –2
y = –2x + 4
⇒ b = 4.
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Exemplos 
 Para o gráfico abaixo, obtenha a fórmula da função.
A função é do tipo y = ax + b, 
com a e b reais (a ≠ 0).
Para x = 0 ⇒ y = 
1
Para x = –2 ⇒ y = –1, 
substituindo em y = ax + b, 
temos
–1 = a.(–2) + 1 ⇒ 2a = 2
⇒ a = 1
y = x + 1
⇒ b = 1.
x
y
0–2
1
–1
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Raízes e sinal da
função afim
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Nos gráficos das funções de 1º grau, a reta sempre
corta o eixo x. A abscissa do ponto por onde o
gráfico da função intercepta esse eixo é chamada de
zero ou raiz da função.
Raiz da função é o valor de x tais que f(x) = 0.
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Exemplos
 Encontrar as raízes das funções de IR em IR definidas 
por f(x) = 3x – 6 e g(x) = –2x – 2.
Queremos obter os valores de x que anulam as duas funções.
f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
g(x) = 0 ⇒ –2x – 2 = 0⇒ –2x = 2⇒ x = –1
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Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico 
abaixo.
x
y
0
–2 ++ + + +
–– –
Raiz:
y = 0 para x = –2
Sinais:
y < 0 para x < –2
y > 0 para x > –2
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x
y
0 –– –
Raiz:
y = 0 para x = 1
Sinais:
y < 0 para x > 1
y > 0 para x < 1
1
+ ++ + +
Obter a raiz e analisar os sinais da função definida pelo gráfico 
abaixo.
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Estudar o sinal de uma função é determinar para
que valores do domínio (valores de x) a função é
positiva, negativa ou nula.
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Exemplos
 Estudar o sinal da função definida por f(x) = 3x – 6.
Queremos saber para que valores reais de x a função é positiva, 
negativa ou nula.
f(x) = 0 ⇒ 3x – 6 = 0 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2
Primeiro vamos achar sua raiz.
x2–
+
Portanto,
y = 0 para x = 2
y > 0 para x > 2
y < 0 para x < 2
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Exemplos
 Estudar o sinal da função definida por g(x) = –2x + 2.
g(x) = 0 ⇒ –2x + 2 = 0 ⇒ –2x = –2 ⇒ x = 1
Primeiro vamos achar sua raiz.
x1 –
+
Portanto,
y = 0 para x = 1
y > 0 para x < 1
y < 0 para x > 1
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Inequações de 1º grau
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Suponhamos que y = f(x) e y = g(x) sejam duas
funções reais. Chamamos Inequação de incógnita
x toda desigualdade condicional que apresenta
uma das formas seguintes:
f(x) > g(x) f(x) < g(x)
f(x) ≥ g(x) f(x) ≤ g(x)
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Solução e Conjunto-solução 
 Solução de uma inequação é cada valor real de x
que a satisfaz. Conjunto-solução de uma inequação
é o conjunto de todas as soluções.
 Resolver uma inequação é encontrar o seu conjunto
solução.
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Equivalência de inequações
Princípios de equivalênciaProf. Jorge
Princípios de equivalência
 Podemos adicionar uma mesma expressão aos dois
membros de uma inequação. Isso equivale a transpor
um termo de um membro para outro, invertendo o seu
sinal.
 3x + 5 > 2 ⇒ 3x > 2 – 5 ⇒ 3x > –3 ⇒ x > –1
Troca de sinal
 –3x ≤ 6 – 4x ⇒ –3x + 4x ≤ 6 ⇒ x ≤ 6
Troca de sinal
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Princípios de equivalência
 Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma
inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No
caso, o sentido da desigualdade
 se mantém, se k for positivo.
 se inverte, se k for negativo.
 3x > –12 ⇒ x > –12/3 ⇒ x > – 4
Manteve o sentido
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Princípios de equivalência
 Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma
inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No
caso, o sentido da desigualdade
 se mantém, se k for positivo.
 se inverte, se k for negativo.
 –5x ≤ – 15 ⇒ x ≥ 15/5 ⇒ x ≥ 3
Inverteu o sentido
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Princípios de equivalência
 < 3 ⇒ x + 1 > 3.(–2) ⇒ x + 1 > –6
Inverteu o sentido
2
1x


 Podemos multiplicar ou dividir os dois membros de uma
inequação por um mesmo número real k (k ≠ 0) . No
caso, o sentido da desigualdade
 se mantém, se k for positivo.
 se inverte, se k for negativo.
⇒ x > –7
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Analisando inequações graficamente
 A linha vermelha da figura é o gráfico da função y = f(x). 
Ele é formado por duas semi-retas. A partir dele, resolver 
as inequações f(x) > 0 e f(x) ≤ 0.
x
y
0
2–4
Raízes: – 4 e 2.
f(x) = 0 para x = – 4 ou x = 2
f(x) ≤ 0 para – 4 ≤ x ≤ 2
f(x) > 0 para x < – 4 ou x > 2
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Inequação de função polinomial de 1° grau
 Exemplo:
Resolução:
Verificar se é uma inequação de 1º grau.   1314 2  xxxxx
xxxxx  22 344
0344 22  xxxxx
042 x
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Resolução de Inequação de Função Polinomial de 1º Grau
xxxxx  22 344
434 22  xxxxx
42 x
2
4
x
2x
SOLUÇÃO
REALRETA NA 
ÇÃOREPRESENTA
SOLUÇÃO
CONJUNTO
 2/  xRxS
Resolver a inequação: . Represente a solução na reta 
real, além disso, dê o conjunto solução.
   1314 2  xxxxx
Exemplo
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Sistema de Inequação de Função Polinomial de 1º Grau
Resolver a inequação . Apresente o conjunto solução e 
represente a solução na reta real.
xx  321
Exemplo 
xx  321
321  x e
SOLUÇÃO
REALRETA NA ÇÃOREPRESENTA
SOLUÇÃO CONJUNTO
 31/  xRxS
S
xx 32
x231 
x22 
x
2
2
1x
32  xx
3x
I II
R
R
R
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Inequação-Produto de Função Polinomial de 1º Grau
Resolver a inequação .
   022  xx
Exemplo 
02 x
e
SOLUÇÃO
REALRETA NA ÇÃOREPRESENTA
SOLUÇÃO CONJUNTO
 2ou 2/  xxRxS
02 x
2x
I II
   022  xx
2x
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Inequação-Quociente de Função Polinomial de 1º Grau
Resolver a inequação .
0
2
13



x
x
Exemplo 
013  x
e
SOLUÇÃO
REALRETA NA ÇÃOREPRESENTA
SOLUÇÃO CONJUNTO
02 x
2x
I II
3
1
x
0
2
13



x
x
02 x
2x
13  x
13 x






 2
3
1
/ xRxS