EP8 Met_Est_I Tutor CEDERJ UFRRJ

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
EXERCI´CIO PROGRAMADO 8
2o Semestre de 2017
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. Se P (A) = 1
2
, P (B) = 1
3
e P (A ∩B) = 1
4
, enta˜o determine:
a) P (A ∪B) ; b) P (A ∪B) ; c) P (A ∩B) .
2. Se P (A) = 1
2
, P (B) = 1
4
e A e B sa˜o mutuamente exclusivos, determine:
a) P (A) ; b) P (B) ; c) P (A ∩B) ; d) P (A ∪B) ; e) P (A ∩B) .
3. Determine a probabilidade de cada evento:
a) um nu´mero par aparece no lanc¸amento de um dado na˜o viciado;
b) um rei aparece na extrac¸a˜o de uma carta de um baralho;
c) pelo menos uma cara aparece no lanc¸amento de treˆs moedas;
d) pelo menos uma cara aparece no lanc¸amento de “n” moedas;
e) duas copas aparecem ao retirarem-se duas cartas de um baralho;
f) uma carta de copas e uma de ouros aparecem ao extra´ırem-se duas cartas de um baralho.
4. Um nu´mero inteiro e´ escolhido aleatoriamente dentre os nu´meros 1, 2, 3, ..., 50. Qual a probabilidade
de:
a) o nu´mero ser divis´ıvel por 5;
b) terminar em 3;
c) ser menor ou igual a` 20.
5. Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de copas ao retirarmos uma carta de um baralho?
6. Numa urna sa˜o misturadas 10 bolas numerads de 1 a 10. Duas bolas sa˜o retiradas (a, b) sem
reposic¸a˜o. Qual a probabilidade de a + b = 10 ?
7. Uma urna conte´m 5 bolas brancas e 6 pretas. Treˆs bolas sa˜o retiradas. Determine a probabilidade
de:
a) todas serem pretas;
b) exatamente uma seja branca;
c) ao menos uma seja preta.
8. Numa classe existem 5 alunos do 4o ano, 4 do 2o 3 do 3o ano. Qual a probabilidade de serem
sorteados 2 alunos do 2o ano, 3 do 4o e 2 do 3o ?
1
Soluc¸o˜es:
1.
a)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1
2
+
1
3
− 1
4
=
6 + 4− 3
12
=
7
12
.
b)
P (A ∪B) = P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 1
4
=
3
4
.
c)
P (A ∩B) = P (A ∪B) = 1− P (A ∪B) = 1− 7
12
=
5
12
.
2.
a)
P (A) = 1− P (A) = 1− 1
2
=
1
2
.
b)
P (B) = 1− P (B) = 1− 1
4
=
3
4
.
c)
Como A e B sa˜o mutuamente exclusivos, enta˜o:
P (A ∩B) = 0.
d)
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = 1
2
+
1
4
− 0 = 2 + 1
4
=
3
4
.
e)
P (A ∩B) = 1− P (A ∩B) = 1− 0 = 1.
3.
a)
O espac¸o amostral de um lanc¸amento de um dado na˜o viciado e´:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Seja A o evento: “os nu´meros extra´ıdos sa˜o pares”, enta˜o:
A = {2, 4, 6}
2
P (A) =
#A
#Ω
=
3
6
=
1
2
.
b)
Um baralho tem 52 cartas assim dividido:
A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
♣ A♣ 2♣ 3♣ 4♣ 5♣ 6♣ 7♣ 8♣ 9♣ 10♣ J♣ Q♣ K♣
♦ A♦ 2♦ 3♦ 4♦ 5♦ 6♦ 7♦ 8♦ 9♦ 10♦ J♦ Q♦ K♦
♥ A♥ 2♥ 3♥ 4♥ 5♥ 6♥ 7♥ 8♥ 9♥ 10♥ J♥ Q♥ K♥
♠ A♠ 2♠ 3♠ 4♠ 5♠ 6♠ 7♠ 8♠ 9♠ 10♠ J♠ Q♠ K♠
Assim, se Ω e´ o espac¸o amostral das cartas do baralho, enta˜o #Ω = 52.
Se B e´ o evento “sair rei”, enta˜o B = {K♣, K♦, K♥, K♠} e #B = 4 .
Assim, a probabilidade de retirar uma carta de reis de um baralho e´:
P (B) =
#B
#Ω
=
4
52
=
1
13
.
c)
Ao lanc¸armos uma moeda, temos duas possibilidades (cara ou coroa). Como estamos lanc¸ando treˆs
moedas, temos estas duas possibilidades para cada uma ds treˆs moedas independentemente uma das
outras. Assim, o nu´mero de possibilidades sera´:
Moeda1 Moeda2 Moeda3
2 2 2
#Ω = 2n = 23 = 8.
Mais precisamente, Ω = {(ccc), (cck), (ckc), (kcc), (kkk), (kkc), (kck), (ckk)} , onde c = cara e k =coroa.
Seja A o evento “aparecer pelo menos uma cara nos treˆs lanc¸amentos”.
Assim, A e´ o evento “na˜o aparece nenhuma cara nos treˆs lanc¸amentos”.
Ou seja, A e´ o evento “aparecem treˆs coroas nos treˆs lanc¸amentos”.
A = {(kkk)}.
Enta˜o:
#A = 1.
Segundo as propriedades da probabilidade,
P (A) = 1− P (A) = 1− #A
#Ω
= 1− 1
23
= 1− 1
8
=
8− 1
8
=
7
8
.
d)
Para o lanc¸amento de n moedas temos o seguinte nu´mero de possibilidades:
Moeda1 Moeda2 Moeda3 Moeda4 · · · Moeda“n”
2 2 2 2 2
3
Logo:
#Ω = 2n.
Analogamente ao caso anterior:
Seja A o evento “aparecer pelo menos uma cara nos n lanc¸amentos”.
Assim, A e´ o evento “na˜o aparece nenhuma cara nos n lanc¸amentos”.
Ou seja, A e´ o evento “aparecem n coroas nos n lanc¸amentos”.
A = {(kkkkkk · · · k)}.
Enta˜o:
#A = 1.
Assim,
P (A) = 1− P (A) = 1− #A
#Ω
= 1− 1
2n
=
2n − 1
2n
e)
Ja´ sabemos quais sa˜o as cartas do baralho (mostrado no item b)).
Assim, ao retirarmos duas cartas, sabendo que existem 13 cartas de copas de um total de 52 e que ao
retirarmos a primeira, restam apenas 12 cartas de copas de um total de 51 cartas, teremos:
♥
carta1
× ♥
carta2
=
13
52
× 12
51
=
1
4
× 12
51
=
3
51
=
1
17
.
f)
Agora, temos duas possibilidades: copas seguida de ouros OU ouros seguido de copas.
Pore´m, ao retirarmos a primeira das 13 carta de copas, ainda restam 13 cartas de ouros dentre as 51
cartas restantes.
Analogamente, ao retirarmos a primeira das 13 carta de ouros, ainda restam 13 cartas de copas dentre
as 51 cartas restantes.
Assim, a probabilidade sera´:
♥
carta1
× ♦
carta2
ou
♦
carta1
× ♥
carta2
=
♥
carta1
× ♦
carta2
+
♦
carta1
× ♥
carta2
=
13
52
× 13
51
+
13
52
× 13
51
= 2× 1
4
× 13
51
=
13
2× 51 =
13
102
.
4.
a)
Ω = {1, 2, 3 . . . , 50} ⇒ #Ω = 50.
Seja A o evento “mu´ltiplos de 5”. Assim:
A = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50} ⇒ #A = 10.
Assim:
P (A) =
#A
#Ω
=
10
50
=
1
5
.
4
b)
Ω = {1, 2, 3 . . . , 50} ⇒ #Ω = 50.
Seja B o evento “nu´meros que terminam em 3”. Assim:
B = {3, 13, 23, 33, 43} ⇒ #A = 5.
Assim:
P (A) =
#A
#Ω
=
5
50
=
1
10
.
c)
Ω = {1, 2, 3 . . . , 50} ⇒ #Ω = 50.
Seja C o evento “nu´meros menores ou iguais a` 20”. Assim:
C = {1, 2, 3, 4, 5 . . . , 20} ⇒ #A = 20.
Assim:
P (A) =
#A
#Ω
=
20
50
=
2
5
.
5.
Sabemos que, em um baralho de 52 cartas, existem 4 cartas reis e que existem 13 cartas de copas e
que apenas uma delas e´ o rei de copas (ver quadro da questa˜o 3, item b)).
Assim, se definirmos os eventos:
A =“sair uma carta de reis” e B =“sair uma carta de copas”, enta˜o:
#A = 4 e #B = 13 . Como o rei de copas e´ a intersec¸a˜o entre reis e copas, enta˜o: #(A ∩B) = 1 .
Estamos interessados em P (A ∪B) .
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) = #A
#Ω
+
#B
#Ω
− #(A ∩B)
#Ω
=
4
52
+
13
52
− 1
52
=
16
52
=
4
13
.
6.
Ao retirarmos duas bolas de um conjunto de 10 bolas numeradas de 1 a 10, na˜o existe a possibilidade
de duas bolas sa´ırem com a mesma numerac¸a˜o. O espac¸o amostral das poss´ıveis retiradas de duas
bolas e´:
(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10)
(2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (2,10)
(3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (3,10)
(4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (4,10)
Ω = (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (5,10)
(6,7) (6,8) (6,9) (6,10)
(7,8) (7,9) (7,10)
(8,9) (8,10)
(9,10)
5
Temos que
#Ω = 45
Agora vejamos o espac¸o amostral da soma dos vlaores mostrado nas duas bolas:
3 4 5 6 7 8 9 10 11
5 6 7 8 9 10 11 12
7 8 9 10 11 12 13
9 10 11 12 13 14
Ωsoma = 11 12 13 14 15
13 14 15 16
15 16 17
17 18
19
Seja A o evento “a soma dos valores e´ igual a` 10”.
Assim: #A = 4 , como vemos acima.
Logo:
P (A) =
#A
#Ω
=
4
45
.
7.
a)
Na urna ha´ 6 bolas pretas e 5 brancas. assim, ao retirarmos a primeira bola, ha´ 6 pretas de um total de
11 bolas. apo´s esta retirada, restam 5 bolas pretas de um total de 10 bolas e apo´s estas duas retiradas,
restam 4 bolas pretas de um total de 9 bolas restantes.
Sejam os eventos: P =“a bola retirada e´ preta” e B =“a bola retirada e´ branca”.
Estamos interessados em treˆs bolas pretas retiradas.
Logo:
P (P ∩ P ∩ P ) = p× p× p = 6
11
× 5
10
× 4
9
=
120
990
=
4
33
.
b)
Agora sa˜o duas bolas pretas e uma branca. Mas isso pode ocorrer de treˆsformas poss´ıveis.
pbp + bpp + ppb =
6
11
× 5
10
× 5
9
+
5
11
× 6
10
× 5
9
+
6
11
× 5
10
× 5
9
=
3× 6
11
× 5
10
× 5
9
= 3× 150
990
=
450
990
=
45
99
=
5
11
.
c)
Seja A o evento “pelo menos uma bola e´ preta”.
Assim, A e´ o evento: “nenhuma bola e´ preta”.
Ou seja: A e´ o evento: “todas bolas sa˜o brancas”.
P (A) = 1− P (A) = 1− P (B ∩B ∩B) = 1− bbb = 1−
[
5
11
× 4
10
× 3
9
]
= 1− 120
990
= 1− 12
99
=
6
1− 4
33
=
33− 4
33
=
31
33
.
8.
No 2o ano temos 2 pessoas a serem sorteadas de um total de 4;
No 3o ano temos 2 pessoas a serem sorteadas de um total de 3;
No 4o ano temos 3 pessoas a serem sorteadas de um total de 5;
Ao todo temos 7 pessoas a serem sorteadas de um total de 12;
Sejam:
A , as formas de selecionar as 2 pessoas do 2o ano;
B , as formas de selecionar as 2 pessoas do 3o ano;
C , as formas de selecionar as 3 pessoas do 4o ano;
e Ω as formas de selecionar as 7 pessoas do total das pessoas.
P (A ∩B ∩ C) = n(A)× n(B)× n(C)
n(Ω)
=
(
4
2
)
×
(
3
2
)
×
(
5
3
)
(
12
7
) = 6× 3× 10
792
=
180
792
=
5
22
.
7