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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
1. Conceito 
 
- Chama-se de equação diferencial a toda equação que relaciona uma função incógnita 
com suas derivadas. 
- Variáveis Dependentes ou Exógenas e Independentes ou Endógenas. A variável 
dependente é a incógnita da equação. 
 
Exemplo: 
 
a) 
12  x
dt
dx
 b)
034
2
2
 x
dt
dx
dt
xd
 c)
z
y
xy
x
y





 
d) 
42'  yxy
 e) 
axx 
 f) 
032  xx 
 
g) 
yx
y
z
x
z





 2
2
2
2
2 h) 
232 3)'()"( xyyy 
 i) 
034
24
2
2












x
dt
dx
dt
xd 
 
2. Notação 
 
- Leibniz 
- Newton (sistemas e fluxons) 
 
3. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Parciais (EDP) 
 
- Se a função incógnita é função de uma só variável independente, a equação é chamada 
de Equação Diferencial Ordinária (EDO). Se ela é função de mais de uma, ela é chamada 
de Equação diferencial Parcial (EDP). 
- Os nomes se dão pela natureza das derivadas envolvidas. 
- Só se vai estudar aqui as EDO’s. 
 
4. Ordem e Grau de uma Equação Diferencial 
 
- Uma Equação Diferencial é dita de ordem n se a derivada de ordem mais elevada da 
função incógnita é de ordem n. 
- O grau de uma Equação Diferencial, que pode ser escrita como um polinômio, é o grau 
do termo de sua derivada de ordem mais elevada. 
- Ex: No exemplo anterior, h) acima é de 2ª ordem e 2º grau; i) é de 2ª ordem e 4º grau; f) 
é de 2ª ordem e 1º grau; e c) é de 1ª ordem e 1º grau 
 
5. O tempo como variável independente 
 
- Dinâmica de sistemas como um todo, os econômicos são apenas um caso particular. 
- Quando o tempo é a variável independente as soluções das equações diferenciais 
expressarão o que aconteceu e o que acontecerá com as variáveis num dado instantte de 
tempo. 
6. Solução de uma Equação Diferencial 
 2 
 
- A solução de uma Equação Diferencial na função incógnita y na variável x, no intervalo 
I, é uma função y = f(x) que verifica a equação, qualquer que seja x  I. 
- Ex: 
é. não )sen( enquanto solução, uma é ;02'3" xyeyyyy x 
 
 
7. Soluções Analíticas 
 
- Geralmente não há solução analítica 
 
8. Achando a Solução 
 
- Para achar a solução da Equação Diferencial é necessário apenas achar a primitiva que 
gerou a Equação Diferencial (algumas vezes tarefa dolorosa). 
 
9. Classificação Utilizada 
 
- As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) tem uma grande divisão entre EDO lineares 
e EDO não lineares. 
- Estuda-se aqui os dois tipos. 
- Com relação a ordem, vai-se estudar (obter solução de) todas as ordens das EDO’s 
lineares. Das não lineares vai-se estudar as formas analíticas quando existirem das de 1ª 
ordem e vai-se estudar as soluções qualitativas das outras ordem quando possível. 
 
10. Solução Geral, Particular e Singular de uma EDO 
 
- Quando se procura a primitiva que gerou a ED na verdade está se integrando a ED e, 
como é do conhecimento da teoria da integração, aparecerão constantes arbitrárias que 
poderão assumir qualquer valor no domínio da função. 
- Ex: 
03  x
dx
dy
 
- i) 
23xy 
 é solução. 
- ii) 
23 2  xy
 é solução. 
- iii) 
Cxy  23
 é solução. 
- Solução Geral 
- É a solução que determina o conjunto de todas as soluções da equação, exceto um 
conjunto finito vazio ou não vazio delas. 
- Ex. iii) acima 
- Solução Particular 
- É toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores as constantes 
- Ex. i) com C = 0; e ii) com C = 2, acima 
- Solução Singular 
- São funções do tipo y = f(x) que verificam a equação diferencial, porém não 
dependem da solução geral. 
11. Problema do Valor Inicial ou de Cauchy 
 
- Consiste numa ED juntamente com condições dadas à função incógnita e suas derivadas, 
para um mesmo valor dado à variável independente. 
- Ex: 
02'3"  yyy
 satisfazendo à 
1)0(' e 2)0(  yy
 
 
 3 
12. Solução do Problema do Valor Inicial 
 
- É toda solução particular da ED que satisfaz às condições dadas. 
- Ex: se y=Cx é solução de 
x
y
y '
 determine qual a solução particular que passa pelo 
ponto (1,2). Substituindo x=1 e y=2 em y=Cx acha-se C = 2. Logo, y = 2x é a solução. 
 
13. Representação das EDO’s 
 
- Representam-se as EDO’s de ordem n pela forma normal de representação. A forma 
normal consiste em representar as derivadas explicitamente. 
- As EDO’s de 1ª ordem podem ser representadas pela forma normal ou diferencial. 
- Forma Normal: 
- É toda relação f(x, y, y’,y”,....., yn)=0 (para equações de qualquer ordem) Onde y é 
uma função de x, y = (x) e y', y'' , ... , yn são derivadas de ordem menor ou igual a n 
da função incógnita. 
Exemplo: (x, y, y') = 0 
 (x, y, y' ,y'') = 0 
- Forma Diferencial: 
- É toda relação M(x,y) dx + N(x, y)dy =0 (só para equações de 1ª ordem) 
 
 
14. Forma Normal e Diferencial de uma Equação Diferencial de 1ª Ordem 
 
Normal (x, y, y') = 0 ou y' = (x, y) 
 
 Exemplo: y'= y + senx ; y'= 2xy; y'- (3x
2
 -1) =0 
 
Diferencial M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0 
 
 Exemplo: 3xydx + (2y - xsenx)dy = 0 
 X arctg y dx - (2x
2
 -3x)dy =0 
Representação: 
 
 Como y'= dy/dx e (x, y) = M(x,y) / - N(x, y) ; N(x, y)  0 
 
 Então: y'=  (x, y) => dy/dx = M(x,y) / - N(x, y) 
 
M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0 logo pode-se passar de uma forma a outra quando necessário. 
 
 Exemplo: y'= y + senx => dy/dx = y + senx 
 
 (y + senx)dx - dy = 0 onde M(x, y) = y + senx e N(x, y) = -1 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE E.D.O DE 1ª ORDEM E 1º GRAU 
 4 
 
1. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ( E. V. S.) 
 
 São E.D. que podem ser escrita na forma 
 
 A(x) dx + B(y) dy = 0 
 
Solução de E.V.S 
 Para determinar a solução geral das E.V.S integra-se termo a termo a equação: 
   CdyyBdxxA )()(
 
Exemplo: 1) x
2
dx + seny dy = 0 
 
   Cydydxx sen
2
 integrando 
 
Cy
x
 cos
3
3 é a solução da E.D.O. 
 2) ( x +1)(y -1)dx + (x -1)(y +1)dy = 0 sendo x  1 e y  1 pode-se encontrar através 
de operações básicas que: 
0
1
)1(
)1(
)1(






dy
y
y
dx
x
x
 
integrando tem-se que
)( )1)(1( yxeCyx 
é a solução. 
 
2. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A FORMA SEPARADA 
 
2.1 EQUAÇÕES DE COEFICIENTES HOMOGÊNEAS 
 
Uma E.D de 1ª ordem e 1º grau de coeficientes homogêneos sse M(x,y) e N(x,y) são 
funções homogêneas de mesmo grau. 
 
Observação: Função homogênea 
(x,y) é homogênea de grau n sse (tx,ty) = tn(x,y)  (x,y)  I C/R2 onde(x,y) 
é definida. 
 
Exemplo: 1) (x,y) = x2 - y 2 (grau 2) 
 g (x,y) =x
3
 + 2y
3
sem(x/y) (grau 3) 
 2) (x +y) dx - 2xdy = 0 (grau 1) 
 (3x
2
 - 4y
2
)dx + x
2
sem(x/y)dy = 0 (grau 2) 
TEOREMA: 
Se M(x,y)dx + N(x,y) = 0 é uma equação de coeficientes homogêneos, então a 
substituição de y por u.x, transforma a mesma numa equação de variáveis separadas. 
 
PROVA E EXEMPLO 
 
 
 
 5 
3. EQUAÇÃO EXATA 
 
 
Uma E.D.O 1ª ordem e 1ºgrau é exata se  (x,y) tal que d = M(x,y)dx + 
N(x,y)dy. 
 
 
TEOREMA: 
 
 "Seja M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0, com N(x,y)  0, uma E.D Se  (x,y) tal que 
/x= M(x,y) e /y= N(x,y) então (x,y) = C é solução geral da E.D." 
 
 
A condição necessária e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 seja exata é 
que: 
 
M/y = N/x 
 
Se (x,y) = C é solução então /x= M(x,y) e /y = N(x,y) então (/x)dx= M(x,y)dx 
e
 
x
ydxyxMyxf )(),(),(
onde (y) é a constante de integração. 
Porém, /y = 
),(
)(
),( yxN
dy
yd
dxyxM
y
x




, que dá 
)('
)(
y
dy
yd



 e (y) pode ser 
determinado. 
 
Exemplo: (2x
3
 + 3y)dx + (3x + y -1)dy = 0 
 
A equação é exata pois, M/y = (2x3 + 3y)/y = 3 e N/x = (3x + y -1)/x = 3 
 
Solução: 
 
 
x
yxyxydxyxyxf )(3)()32(),( 4
2
13  
 
/y = 
13)('3)(34
2
1 


yxyxyxyx
y
 
 
logo '(y) = y - 1 e (y) ='(y)dy , (y) =  (y - 1)dy = y2/2 – y 
 
Então: 
Cyxyxyxf
y

2
4
2
1
2
3),(
 é a solução da E.D. 
 
 
 
 
 
 6 
4. FATORES INTEGRANTE 
 
 
Definição: 
 
Uma função F(x, y) é um fator integrante da equação M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 sse 
F(x, y) [M(x,y) dx + N(x, y) dy] = 0, é uma equação exata. 
 
4.1 PROBLEMA DE DETERMINAÇÃO DE FATORES INTEGRANTE 
 
Determinação de Fatores Integrantes: 
 
 Se F(x , y) é F.I. de M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 então: 
 
F(x,y) M(x,y) dx + F(x, y)N(x, y) dy = 0 é exata. Então é verdade a C.N.S. 
 
x
FN
y
FM





 
Ou fazendo a derivada do produto: 
 
x
N
F
x
F
N
y
M
F
y
F
M










 
Rearrumando, 
 
 
y
F
M
x
F
NF
x
N
y
M















 Fórmula Básica. 
 
1) Se F é função só de y , F(y), então: 
0


x
F
 
Logo: 
y
yF
MyF
x
N
y
M












 )(
)(
 
Ou 
dy
ydF
MyF
x
N
y
M )(
)( 









 e 
 
dy
x
N
y
M
M
ydF
yF 












1
)(
)(
1 
 
fazendo 
)(
1
yg
x
N
y
M
M










 
 7 
  cdyygyFdyygydFyF
)()(ln)()(
)(
1 
 
Como qualquer membro da família dessa função nos interessa podemos fazer c = 0. Então 
 



dyygdyygyF eyFee
)()()(ln )(
 
 
 e F(y) é o fator integrante. 
 
2) Se F é função só de x , F(x), então: 
0


y
F
 
Logo: 
y
yF
MyF
x
N
y
M












 )(
)(
 
Ou 
dx
xdF
NxF
x
N
y
M )(
)( 









 e 
dx
x
N
y
M
N
xdF
xF 












1
)(
)(
1 
 
fazendo 
)(
1
xg
x
N
y
M
N










 
  cdxxgxFdxxgxdFxF
)()(ln)()(
)(
1 
 
Como qualquer membro da família dessa função nos interessa podemos fazer c = 0. Então 
 
 
dxxgdxxgxF exFee
)()()(ln )(
 
 
 e F(x) é o fator integrante. 
 
Exemplo: Achar o fator integrante sendo F função apenas de x de equação: (x
2
+2y)dy + xdx = 0. 
 
Se xM +yN = 0, então xM = -yN e M/N = -y/x logo, Mdx + Ndy =0 => M/Ndx +dy = 0 
 
=> -y/xdx + dy =0 =>-1/xdx +-1/ydy =0 => - ln x + lny = ln c => ln y/x = ln c ou y = c.x 
 
 
 
 
 
 8 
5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES (E.D.L) 
 
 
São equações do tipo: 
 
(1) y ( n) + an-1y 
( n-1)
 +...+ a2(x)y”+a1(x)y’ + a0 y = r (x) 
 
onde os expoentes representam as derivadas de ordem n, n-1, etc. Os ai’s são os coeficientes e 
r(x) é conhecido como o termo independente, muitas vezes referido apenas como termo da EDL. 
 
Por exemplo: 
 
a) y’’’+xy”+5y’ + y = x
2
 b) y’’’’+x2y”’+2xy’ + y =0 c) 5y”+2y’ + 9 y = 3 
d) y’’’+ln(x)y”+y’ + y = 0 e) y’ + e
x
 y = x
2x
 f) y”+y’ + y = x
2
 
 
são equações diferenciais lineares, já: 
 
g) y’’’+xyy”+5y’ + y = x
2
 h) y’’’’+x2y”’+2xy’ + y
2
 =0 i) 5y”+2y’ + 9 y = 3 
j) y’’’+ln(y)y”+y’ + y = 0 k) y’ + e
y
 y = x
2x
 l) (y”)2+y’ + y = 0 
 
não são lineares. 
 
Classificação das Equações Diferenciais Lineares 
 
1) Homogêneas e não homogêneas: 
Uma Equação Diferencial Linear é homogênea se r (x) = 0 caso contrário ela é dita não 
homogênea. 
 
2) De coeficientes constantes e de coeficientes variáveis: 
Uma Equação Diferencial Linear é de coeficiente constante se os ai(x)’s forem constante 
reais se não forem é uma Equação Diferencial Linear de coeficientes variáveis. 
 
3) De termo independente constante e variável 
Uma Equação Diferencial Linear é de termo (independente) constante se r(x) for uma 
constante real, se não é uma Equação Diferencial Linear de termo variável. 
 
Dessa forma, dada uma Equação Diferencial Linear ela pode ser uma Equação Diferencial 
Linear Homogênea de Coeficientes Constantes, Equação Diferencial Linear Não Homogênea de 
Coeficientes Variáveis e Termo Constante, Equação Diferencial Linear Não Homogênea de 
Coeficientes Constantes e Termo Variável, etc. Note que não faz sentido se referir a uma EDL 
Homogênea de termo constante ou variável, dado que, por ser zero este termo ele já é constante. 
 
Aqui o interesse será centrado em: 
 
1) Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem todos os casos. 
2) E.D.L de ordem elevada: apenas de coeficientes constantes. 
 
 
 
 9 
E.D.L de 1ª Ordem 
 
São equações do tipo: 
y' + a(x)y = r (x) 
 
Homogêneas (r (x) = 0) 
 
y' + a(x)y = 0 
 
colocando da forma diferencial: 
0)()(0)(  dxxa
y
dy
ydyxadyyxa
dx
dy 
integrando e, em seguida, tomando a exponencial: 
 
1
)(ln
1)(ln
cdxxay eeecdxxay  
 
 

 dxxa
eAy
)(
0
 é a solução geral. 
 
 
onde Ao = e
c
 . 
 
Exemplo: 
 
1) p' + x2 p = 0 
 
a(x) =x
2 
=> -  a(x)dx = -x3/3 +c, como o problema da constante da integração já foi resolvido 
quando da obtenção da regra da solução, pode-se fazer, sem medo de errar, c=0, logo, 
 
3
3
)(
x
Aexp


 é a solução geral. 
 
2) ' + 2t = 0 
 
a(t) = 2t => -  a(t)dt = - t2 (fazendo também a constante de integração igual a zero), logo, 
 
2
)( tAet 
 
 
Não Homogênea (r (x)  0) 
 
y' + a (x)y = r (x) 
 
Se r(x) = 0 a solução particular seria y = Ae 
- a(x)dx 
é o que se chama solução da homogênea 
associada. A homogênea associada seria a mesma equação com o termo independente igual a 
zero. 
 
 10 
Suponha que a solução seja do tipo:   dxxaexuy )()( ( i ) 
 
Então se ( i ) é a solução ela deve satisfazer a equação. Derivando   dxxaexuy )()( , tem-se: 

 dxxadxxa
exaxuexuy
)()(
)()()(''
 (usando a regra da derivada do produto) 
 
Substituindo y e y' na equação y' + a(x)y = r (x), tem-se: 
)()()()()()('
)()()(
xrexuxaexaxuexu
dxxadxxadxxa

 , ou, 
)()('
)(
xrexu
dxxa
 ou ainda 
dxxredu
dxxa
)(
)(
 
 
integrando 
 
 cdxexrxu
dxxa )(
)()(
 
 
Como a solução geral, por hipótese, é: 
 
basta substituir o u(x) achado nessa equação ou seja, 
 
 


 dxxadxxa
ecdxexry
)()(
])([
 (b) 
 
 
Exemplo: 
Ex.1 y ' +xy = x aplicando a fórmula resulta em: 2
2
1
x
cey

 
Ex.2 y '+ y = 5 aplicando a fórmula resulta em: 
xcey  5
 
 
A fórmula (b) resume todas as soluções de E.D.L. 1ª ordem. 
 
 
E.D.L de ordem elevada e de coeficiente constante 
 
Novamente são equações do tipo: 
 
y 
( n)
 + an-1y 
( n-1)
 +...+ a1(x)y ' + a0 y = r (x) 
 
Do curso anterior, álgebra linear, sabe-se que a operação derivada é uma TransformaçãoLinear (T.L.) de um espaço vetorial nele mesmo. Isto é, a derivada é uma T.L. especial chamada 
de operador linear. 
 

 dxxa
exuy
)(
)(
 11 
Seja D: PnPn onde Pn é um polinômio e D é a aplicação derivada (uma T.L que leva 
uma função  em sua derivada '. 
 
Das Regras de derivação sabe-se que: 
 
D( + g ) = D ( ) + D (g ) e D(k) = kD() onde k  . Logo, D é uma T.L. 
 
Bem, como as E.D. são equações que envolvem derivadas então as propriedades desse 
operador nos interessa quando a E.D. é linear de coeficientes constantes. 
Particularmente, quando uma E.D. é linear de coeficiente constante e homogênea, sua 
solução nada mais é que o núcleo do operador linear. Reveja então o que é núcleo. 
 
Núcleo: 
 
Seja T: V  W uma T.L. O conjunto de todos os vetores   V tais que T() = 0 é 
chamado núcleo de T, denotado por Ker(T) ou N(T) ou C(T). 
Aqui o interesse é na T.L. D: V  V logo, N(D) = {  V / D() = 0} 
 
Propriedades do núcleo: 
 
1) O núcleo de um operador linear forma um subespaço V cuja dimensão é igual a dimensão do 
operador. 
Assim, para se formar uma base do núcleo de um operador de ordem n são necessário n 
vetores Lineares Independente. 
 
2) Teorema: 
 
"Se L1, L 2, ..., L n são operadores diferenciais de coeficiente constantes, então o núcleo de 
cada operador está contido no núcleo do produto”. 
 
Bem, já sabe-se bastante sobre os operadores e o núcleo, só falta algum conceito ou auxílio 
que permita operar com os operadores. Esse conceito auxiliar vem da topologia e chama-se 
ISOMORFISMO (formas iguais). 
 
ISOMORFISMO 
 
Definição: 
Quando a correspondência biunívoca entre dois espaço vetoriais preserva as operações 
de adição de vetores e multiplicação por escalar dizemos que esses espaços são isomorfos. 
 
Isso ocorre com os polinômios de grau n e os operadores lineares, em particular, com as 
derivadas, de grau n. Assim, pode-se operar com os operadores diferenciais como se fossem 
polinômios. Precisa-se definir uma notação para os operadores diferencias (O.D). 
 
Notação: 
 
O.D 1ª ordem, L1 = D + a0 
O.D 2ª ordem, L2 = D
2
 + a1D + a0 
O.D ordem n, Ln = D
n 
 + a n-1D
n - 1
 + ... + a1D + a0 
 
 12 
Agora veja como os operadores são aplicados a uma função p qualquer. 
 
Aplicação sobre uma função p. 
 
L1p = D + a0 = p'+ a0p 
L2p = D
2
 + a1D + a0 = p'' + a1p' + a0p 
Lnp = D
n 
 + a n-1D
n - 1
 + ... + a1D + a0 = P
n 
 + a n-1p
n - 1
 + ... + a1p + a0 
 
Assim, uma E.D.L pode ser escrita como: 
 
Lnp = r (x) ou Ln y = r (x) onde p e y são as funções incógnitas. 
 
Pode-se agora resolver as equações diferenciais lineares de coeficientes constantes de 
qualquer ordem. Começa-se pelas homogêneas. 
 
 
E.D.L Homogêneas 
 
Lny = 0 
 
A solução, segundo as propriedades do núcleo do operador, é uma combinação linear de 
n soluções L.I. Para equações de 1ª ordem temos: 
 
E.D.L de coeficientes constantes de 1ª ordem homogêneas 
 
L1y = 0 ou (D + a0)y = 0 Caso y seja diferente de zero, isto é, caso a solução exista, 
estamos atrás do núcleo do operador D + a. 
Sabemos que o núcleo é de 1ª ordem logo, precisamos de um vetor L.I. Como qualquer 
vetor único é L.I então basta achar uma solução qualquer, que servirá de base para a 
representação do núcleo. 
 
Sabemos que a solução é: 
 
 
 Onde - a é a solução da equação do operador linear isso é: 
 
D + a = 0 => D = - a 
 
Isso é verdade e pode ser feito graças ao Isomorfismo dos operadores lineares com os 
polinômios. Chamamos a equação D + a ou m + a, de equação característica da E.D.L. 
Vamos as equações de 2ª ordem. 
 
E.D.L de coeficientes constantes de 2ª ordem homogêneas 
 
L2y = 0 ou (D
2
 + aD + b) y =0 Analogamente caso a solução exista (y  0) estamos 
procurando pelo núcleo do operador D
2
 + aD +b que é de 2ª dimensão. Precisamos então de 2 
vetores linearmente independentes. E agora? 
axcey 
 13 
Como o ISOMORFISMO com os polinômios existe, então podemos fatorar o operador 
em dois operadores de 1ª ordem, para isso basta conhecermos as raízes do polinômios 
característicos de operador, ou seja, se m1 e m2 resolve m
2
 + am +b =0 então poderia-se escrever 
o operador assim: 
 
(D - m1)(D - m2) e a equação assim: (D - m1)(D - m2) y =0 
 
Voltando ao início se y  0 então ou D - m1 = 0 ou D - m2 = 0, isso é basta achar a base 
dos núcleos de dois operadores de 1ª ordem se essas forem L.I o problema, a equação, está 
resolvida. 
Sabemos que a representação do núcleo de um operador de 1ª ordem é dado por um 
vetor. 
 
Onde - a é a raiz de D + a. Assim, a solução de uma E.D.L.H.C.C 2ª ordem é dada pela 
combinação linear de dois desses vetores L.I. 
 
 Como a equação característica é de 2ª ordem existem 3 tipos de raízes. 
 
i) Raízes reais distintas 
ii) Raízes reais iguais 
iii) Raízes complexas conjugadas 
 
i) Raízes reais distintas: 
 
Nesse caso m1  m2 e y1 = C1e
m1x
 e y2e
m2x 
 são dois vetores linearmente 
independentes logo forma uma representação do núcleo da T.L. 
Assim a solução da E.D.L. H. C.C. 2ª ordem é uma combinação linear deles ou 
seja, 
 xmxm
eCeCy 21 21 
 
Isso é verdade pelo teorema que nos diz que o núcleo de cada operador está 
contido no núcleo do produto. 
ii) Raízes reais iguais 
 
Nesse caso m1 = m2 e os vetores e
m1x
 e e
m2x
 não são linearmente independentes. 
Precisamos então de um artifício para achar um outro vetor linearmente independente. 
Usando novamente o ISOMORFISMO com os polinômios e sabendo que 1 , x , x 
2
, x
3
 forma uma base para o espaço dos polinômios então usando a combinação linear 
dos dois primeiros ( 1 + x ) e multiplicando por nosso vetores acharemos dois vetores L. 
I. 1e
m1x
 e xe
m2x 
como esses vetores satisfazem a equação, eles podem representar o 
núcleo dessa T.L. 
Assim, para raízes iguais a solução é: 
 
mxmx xeCeCy 21 
 
 
onde m é a raiz multipla do polinômio característico da E.D. 
 
axcey 
 14 
iii) As Raízes são complexas conjugadas 
 
Isso é, m1 =  + i e m2 =  - i como xixi eCeCy )(2)(1    são L.I a 
solução é a combinação linear dessas duas. Porém, isso daria uma resposta fora dos 
números reais ( pelo menos aparentemente ) o que não interessa pois procura-se soluções 
reais. 
 
Pela equação de Euler: 
 sencos ie i  e  sencos ie i  assim seja: 
 
1
)( )sen(cos rxixee xxi   
 
2
)( )sen(cos rxixee xxi   
 
onde r1 e r2 são as soluções e representam a base desse subespaço. Assim entra a 
criatividade matemática. Ora, se r1 e r2 são soluções então qualquer combinação linear 
delas também é. Escolhendo-se convenientemente essas soluções como: 
 
 
2
21 rr 
e 
i
rr
2
21 
(L.I.) tem-se: 
xe
rr
y x  cos
2
21
1 


 (real) 
 
xe
i
rr
y x  sen
2
21
1 


 (real) 
 
Assim, 
 
xeCxeCy xx   sencos 21  
 
é a solução procurada. 
 
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Coeficiente Constante de Ordem n 
 
 
Ln y = 0 
 
ou (D
n
 + an-1D
n-1
 + an-2D
n-2
 + ... + a1D + a0) y = 0 onde rn, rn-1, ..., r3, r2, r1 são as raízes da 
equação característica do operador. 
Assim, a solução é uma combinação linear das soluções dos operadores de 1ª ordem. 
Porém, caso ocorram raízes repetidas e complexas conjugadas os cuidados devem ser tomados. 
Exemplo: Caso tenhamos 5 raízes iguais deveremos tornar as soluções L.I. com base na 
base dos polinômios issoé: 
 
y = C0e
mx
 + C1xe
mx
 + C2x
2
e
mx
 + C3x
3
e
mx
 + C4x
4
e
mx 
 15 
 
 
As conjugadas só aparecem aos pares, então para cada par teremos um conjunto 
Cie
x
cos + Cje
x
senx . As distintas são do tipo Cie
r
i
x
. 
 
 Assim, dada uma equação D.L.H.C.C. de ordem n o nosso grande problema é achar as 
raízes do polinômio característico. Feito isso é só ajustar as soluções individuais e fazer uma 
combinação linear delas. 
 
Equações Diferenciais Ordinárias Lineares não Homogêneas de Coeficiente Constante 
 
 
 As de 1ª ordem nós já resolvemos. 
 
 As de 2ª ordem precisamos de um teorema. 
 
 
Teorema: 
 
 "Seja yp uma solução de L2y = r(x) e yh a solução geral da homogênea associada (L2y = 
0), então y = yp + yh é solução geral para L2y = r(x)" 
 
 Assim, Para obtermos a solução de uma E.D.ñ.H.C.C. de 2ª ordem devemos conhecer 
uma solução particular. 
 
Exemplo: y '' - 2 y ' + y = 3e
2x
 , dada yp = 3e
2x 
 
yL => y ' - 2 y ' + y = 0 => m1 = m2 =1 => yh = C1e
x
 + C2xe
x 
 
A solução é : y = C1e
x
 + C2xe
x 
+ 3e
2x 
 
Existem vários métodos para determinar a solução particular mais isso nós não veremos aqui. 
Veremos apenas o caso em que o termo r(x) é uma constante, ou seja veremos as E.D.L.ñ.HC.C. 
e termo constante. 
 Nesse caso a solução particular é sempre uma constante e os termos de derivadas de 
ordem superior são sempre nulos de forma que é fácil obter yp. 
 
Exemplo: y''
 
- 2y'
 
+ y = 5 
 
y h = C1e
x
 + C2xe
x
 e yp = cte. Então y '' = 0 e y ' = 0
 
logo 0 -2.0 + y = 5 e yp = 5 
 
A solução é: 
 
y = C1e
x
 + C2xe
x
 + 5 
 
 16 
ESTABILIDADE EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES 
CONSTANTES 
 
Estabilidade 
 
 Diremos que o operador diferencial P(D) ou polinômio P() é estável se todas as 
funções de N(P(D)) (isto é, todas as soluções da equação homogênea P(D)z = 0) forem limitadas 
quando t  . 
 
Estabilidade Assintótica 
 
Diremos que o operador P(D) ou o polinômio P() é assintoticamente estável se todas as 
funções de N(P(D)) se aproximarem de zero quanto t  , ou seja, quando todas as raízes  de 
P() tiverem Re () < 0 . 
 
Ou maneira de dizer: 
 
 
 Estabilidade 
 
Se pequenas mudanças nas condições iniciais não tem efeito no comportamento de longo 
prazo da solução, o sistema é dito estável. 
 
 
 Instabilidade 
 
Se pequenas mudanças nas condições iniciais podem levar a diferenças significativas no 
comportamento de longo prazo da solução , então o sistema é instável. 
 
Outros 
 
Steady States - Estado estático ou soluções estacionárias ou ponto de equilíbrio referece aos 
pontos críticos. 
 
Outra 
 
 Estabilidade Assintótica. 
Dizemos que um ponto de equilíbrio y* é assintoticamente estável se toda solução y(t) que 
se desenvolve próxima a y* converge para y* quando t  . 
 
 Estabilidade Assintótica Global 
Se toda equação tende para y* quando t  . 
 
 Estabilidade Neutra 
Se toda solução próxima a y* permanece próxima a y* quando t  . 
 
 Estabilidade 
Se y* é assintoticamente estável ou de estabilidade neutra diz que y* é estável. Se não é não 
estável. 
 17 
APLICAÇÃO 
 
Suponha um caso particular de um mercado de um bem que apresenta demanda e oferta 
linear: 
0,,, 





dcba
dPcQ
bPaQ
s
d 
 
Observação: Escreve-se a função demanda e desenha-se a função demanda inversa. 
 
 Segundo as equações de mercado o preço de equilíbrio(Pe) deve ser: 
Qd = Qs => 
db
ca
Pe



 
 
 Se o preço inicial de mercado P0 é igual ao preço de equilíbrio Pe, o mercado está 
supostamente em equilíbrio. No entanto o caso mais provável é que P0  Pe, então , só será 
possível obter Pe depois de um processo de ajuste. Dessa forma tanto o preço do bem (P) quanto 
as funções variam com o tempo. 
 A questão é: dado um tempo suficiente para que o processo de ajustamento atue, esse 
processo tende a levar o preço ao nível de equilíbrio? A trajetória temporal P(t) tende a ser 
convergente para Pe, quando t  ? 
 Precisamos então das leis que regem os movimentos do preço desse mercado. Em geral, 
as forças que mais atual, (que são mais relevantes nas mudanças do preço), são as forças de 
oferta e demanda do mercado. Suponha, por simplicidade pois o objetivo de um modelo é captar 
a essência do processo, que a taxa de mudança de preço (em relação ao tempo ) é diretamente 
proporcional a demanda excedente de ( Qd - Qs ) que prevalece no momento. Pode-se expressar 
essa taxa por: 
)( sd QQ
dt
dP

 
)( sd QQP  )0( 
 
onde  é um coeficiente de ajuste(cte.) 
Assim, 
PdbcadPcbPaP )()()(   . 
 
 Sabendo que 
db
ca
Pe



 podemos escrever:
PdbPdbP e )()(  
 
fazendo K = ( b+ d ) temos, 
eKPKPP 

que é uma equação diferencial linear de 1ª 
ordem cuja a solução é: 





 dttatdta
ecdtetrtP
)()(
].)([)(
 
onde r( t ) = KPe = cte. e a(t) = K = cte. logo. 
 
   KtKdtdtta )(
 e 
 
kt
e
Kt
e ePdteKP
 
 
Kt
e
Kt
e
KtKt
e cePtPcePecePtP
  )(][)(
 
 
para t = 0 , P(t) = P0 => P0 = Pe + ce 
-K0
 => C=P0 - Pe 
 18 
kt
ee ePPPtP
 )()( 0
 
 
Dada a trajetória: 
 
kt
ee ePPPtP
 )()( 0
onde K = ( b + d ) > 0. 
 
Assim, quando t   => e-kt  0 logo 
e
t
PtP 

)(lim
 , assim o mercado tende a equilibra-se: 
Se P0 = Pe P(t) = Pe 
Se P0 > Pe P (t)  Pe por cima 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se P0 < Pe P (t)  Pe por baixo 
 
 
 
 
 
 
 
P0 é a condição inicial da equação diferencial. 
Pe é a condição estática. 
(P0 - Pe) e
-Kt
 é a componente dinâmica. 
Observação: Milhões de situações podem ser imaginadas com esse modelo. A essência do 
modelo é a proporcionalidade da variação de preço à demanda excedente. 
P(t) 
t 
Pe 
P(t) 
t 
Pe 
P0 
P(t) 
Pe 
P0 
t

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