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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS CONCEITOS BÁSICOS 1. Conceito - Chama-se de equação diferencial a toda equação que relaciona uma função incógnita com suas derivadas. - Variáveis Dependentes ou Exógenas e Independentes ou Endógenas. A variável dependente é a incógnita da equação. Exemplo: a) 12 x dt dx b) 034 2 2 x dt dx dt xd c) z y xy x y d) 42' yxy e) axx f) 032 xx g) yx y z x z 2 2 2 2 2 h) 232 3)'()"( xyyy i) 034 24 2 2 x dt dx dt xd 2. Notação - Leibniz - Newton (sistemas e fluxons) 3. Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) e Parciais (EDP) - Se a função incógnita é função de uma só variável independente, a equação é chamada de Equação Diferencial Ordinária (EDO). Se ela é função de mais de uma, ela é chamada de Equação diferencial Parcial (EDP). - Os nomes se dão pela natureza das derivadas envolvidas. - Só se vai estudar aqui as EDO’s. 4. Ordem e Grau de uma Equação Diferencial - Uma Equação Diferencial é dita de ordem n se a derivada de ordem mais elevada da função incógnita é de ordem n. - O grau de uma Equação Diferencial, que pode ser escrita como um polinômio, é o grau do termo de sua derivada de ordem mais elevada. - Ex: No exemplo anterior, h) acima é de 2ª ordem e 2º grau; i) é de 2ª ordem e 4º grau; f) é de 2ª ordem e 1º grau; e c) é de 1ª ordem e 1º grau 5. O tempo como variável independente - Dinâmica de sistemas como um todo, os econômicos são apenas um caso particular. - Quando o tempo é a variável independente as soluções das equações diferenciais expressarão o que aconteceu e o que acontecerá com as variáveis num dado instantte de tempo. 6. Solução de uma Equação Diferencial 2 - A solução de uma Equação Diferencial na função incógnita y na variável x, no intervalo I, é uma função y = f(x) que verifica a equação, qualquer que seja x I. - Ex: é. não )sen( enquanto solução, uma é ;02'3" xyeyyyy x 7. Soluções Analíticas - Geralmente não há solução analítica 8. Achando a Solução - Para achar a solução da Equação Diferencial é necessário apenas achar a primitiva que gerou a Equação Diferencial (algumas vezes tarefa dolorosa). 9. Classificação Utilizada - As Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) tem uma grande divisão entre EDO lineares e EDO não lineares. - Estuda-se aqui os dois tipos. - Com relação a ordem, vai-se estudar (obter solução de) todas as ordens das EDO’s lineares. Das não lineares vai-se estudar as formas analíticas quando existirem das de 1ª ordem e vai-se estudar as soluções qualitativas das outras ordem quando possível. 10. Solução Geral, Particular e Singular de uma EDO - Quando se procura a primitiva que gerou a ED na verdade está se integrando a ED e, como é do conhecimento da teoria da integração, aparecerão constantes arbitrárias que poderão assumir qualquer valor no domínio da função. - Ex: 03 x dx dy - i) 23xy é solução. - ii) 23 2 xy é solução. - iii) Cxy 23 é solução. - Solução Geral - É a solução que determina o conjunto de todas as soluções da equação, exceto um conjunto finito vazio ou não vazio delas. - Ex. iii) acima - Solução Particular - É toda solução obtida da solução geral atribuindo-se valores as constantes - Ex. i) com C = 0; e ii) com C = 2, acima - Solução Singular - São funções do tipo y = f(x) que verificam a equação diferencial, porém não dependem da solução geral. 11. Problema do Valor Inicial ou de Cauchy - Consiste numa ED juntamente com condições dadas à função incógnita e suas derivadas, para um mesmo valor dado à variável independente. - Ex: 02'3" yyy satisfazendo à 1)0(' e 2)0( yy 3 12. Solução do Problema do Valor Inicial - É toda solução particular da ED que satisfaz às condições dadas. - Ex: se y=Cx é solução de x y y ' determine qual a solução particular que passa pelo ponto (1,2). Substituindo x=1 e y=2 em y=Cx acha-se C = 2. Logo, y = 2x é a solução. 13. Representação das EDO’s - Representam-se as EDO’s de ordem n pela forma normal de representação. A forma normal consiste em representar as derivadas explicitamente. - As EDO’s de 1ª ordem podem ser representadas pela forma normal ou diferencial. - Forma Normal: - É toda relação f(x, y, y’,y”,....., yn)=0 (para equações de qualquer ordem) Onde y é uma função de x, y = (x) e y', y'' , ... , yn são derivadas de ordem menor ou igual a n da função incógnita. Exemplo: (x, y, y') = 0 (x, y, y' ,y'') = 0 - Forma Diferencial: - É toda relação M(x,y) dx + N(x, y)dy =0 (só para equações de 1ª ordem) 14. Forma Normal e Diferencial de uma Equação Diferencial de 1ª Ordem Normal (x, y, y') = 0 ou y' = (x, y) Exemplo: y'= y + senx ; y'= 2xy; y'- (3x 2 -1) =0 Diferencial M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0 Exemplo: 3xydx + (2y - xsenx)dy = 0 X arctg y dx - (2x 2 -3x)dy =0 Representação: Como y'= dy/dx e (x, y) = M(x,y) / - N(x, y) ; N(x, y) 0 Então: y'= (x, y) => dy/dx = M(x,y) / - N(x, y) M(x,y)dx + N(x, y)dy = 0 logo pode-se passar de uma forma a outra quando necessário. Exemplo: y'= y + senx => dy/dx = y + senx (y + senx)dx - dy = 0 onde M(x, y) = y + senx e N(x, y) = -1 TIPOS DE E.D.O DE 1ª ORDEM E 1º GRAU 4 1. EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS ( E. V. S.) São E.D. que podem ser escrita na forma A(x) dx + B(y) dy = 0 Solução de E.V.S Para determinar a solução geral das E.V.S integra-se termo a termo a equação: CdyyBdxxA )()( Exemplo: 1) x 2 dx + seny dy = 0 Cydydxx sen 2 integrando Cy x cos 3 3 é a solução da E.D.O. 2) ( x +1)(y -1)dx + (x -1)(y +1)dy = 0 sendo x 1 e y 1 pode-se encontrar através de operações básicas que: 0 1 )1( )1( )1( dy y y dx x x integrando tem-se que )( )1)(1( yxeCyx é a solução. 2. EQUAÇÕES REDUTÍVEIS A FORMA SEPARADA 2.1 EQUAÇÕES DE COEFICIENTES HOMOGÊNEAS Uma E.D de 1ª ordem e 1º grau de coeficientes homogêneos sse M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de mesmo grau. Observação: Função homogênea (x,y) é homogênea de grau n sse (tx,ty) = tn(x,y) (x,y) I C/R2 onde(x,y) é definida. Exemplo: 1) (x,y) = x2 - y 2 (grau 2) g (x,y) =x 3 + 2y 3 sem(x/y) (grau 3) 2) (x +y) dx - 2xdy = 0 (grau 1) (3x 2 - 4y 2 )dx + x 2 sem(x/y)dy = 0 (grau 2) TEOREMA: Se M(x,y)dx + N(x,y) = 0 é uma equação de coeficientes homogêneos, então a substituição de y por u.x, transforma a mesma numa equação de variáveis separadas. PROVA E EXEMPLO 5 3. EQUAÇÃO EXATA Uma E.D.O 1ª ordem e 1ºgrau é exata se (x,y) tal que d = M(x,y)dx + N(x,y)dy. TEOREMA: "Seja M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0, com N(x,y) 0, uma E.D Se (x,y) tal que /x= M(x,y) e /y= N(x,y) então (x,y) = C é solução geral da E.D." A condição necessária e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 seja exata é que: M/y = N/x Se (x,y) = C é solução então /x= M(x,y) e /y = N(x,y) então (/x)dx= M(x,y)dx e x ydxyxMyxf )(),(),( onde (y) é a constante de integração. Porém, /y = ),( )( ),( yxN dy yd dxyxM y x , que dá )(' )( y dy yd e (y) pode ser determinado. Exemplo: (2x 3 + 3y)dx + (3x + y -1)dy = 0 A equação é exata pois, M/y = (2x3 + 3y)/y = 3 e N/x = (3x + y -1)/x = 3 Solução: x yxyxydxyxyxf )(3)()32(),( 4 2 13 /y = 13)('3)(34 2 1 yxyxyxyx y logo '(y) = y - 1 e (y) ='(y)dy , (y) = (y - 1)dy = y2/2 – y Então: Cyxyxyxf y 2 4 2 1 2 3),( é a solução da E.D. 6 4. FATORES INTEGRANTE Definição: Uma função F(x, y) é um fator integrante da equação M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 sse F(x, y) [M(x,y) dx + N(x, y) dy] = 0, é uma equação exata. 4.1 PROBLEMA DE DETERMINAÇÃO DE FATORES INTEGRANTE Determinação de Fatores Integrantes: Se F(x , y) é F.I. de M(x,y) dx + N(x, y) dy = 0 então: F(x,y) M(x,y) dx + F(x, y)N(x, y) dy = 0 é exata. Então é verdade a C.N.S. x FN y FM Ou fazendo a derivada do produto: x N F x F N y M F y F M Rearrumando, y F M x F NF x N y M Fórmula Básica. 1) Se F é função só de y , F(y), então: 0 x F Logo: y yF MyF x N y M )( )( Ou dy ydF MyF x N y M )( )( e dy x N y M M ydF yF 1 )( )( 1 fazendo )( 1 yg x N y M M 7 cdyygyFdyygydFyF )()(ln)()( )( 1 Como qualquer membro da família dessa função nos interessa podemos fazer c = 0. Então dyygdyygyF eyFee )()()(ln )( e F(y) é o fator integrante. 2) Se F é função só de x , F(x), então: 0 y F Logo: y yF MyF x N y M )( )( Ou dx xdF NxF x N y M )( )( e dx x N y M N xdF xF 1 )( )( 1 fazendo )( 1 xg x N y M N cdxxgxFdxxgxdFxF )()(ln)()( )( 1 Como qualquer membro da família dessa função nos interessa podemos fazer c = 0. Então dxxgdxxgxF exFee )()()(ln )( e F(x) é o fator integrante. Exemplo: Achar o fator integrante sendo F função apenas de x de equação: (x 2 +2y)dy + xdx = 0. Se xM +yN = 0, então xM = -yN e M/N = -y/x logo, Mdx + Ndy =0 => M/Ndx +dy = 0 => -y/xdx + dy =0 =>-1/xdx +-1/ydy =0 => - ln x + lny = ln c => ln y/x = ln c ou y = c.x 8 5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES (E.D.L) São equações do tipo: (1) y ( n) + an-1y ( n-1) +...+ a2(x)y”+a1(x)y’ + a0 y = r (x) onde os expoentes representam as derivadas de ordem n, n-1, etc. Os ai’s são os coeficientes e r(x) é conhecido como o termo independente, muitas vezes referido apenas como termo da EDL. Por exemplo: a) y’’’+xy”+5y’ + y = x 2 b) y’’’’+x2y”’+2xy’ + y =0 c) 5y”+2y’ + 9 y = 3 d) y’’’+ln(x)y”+y’ + y = 0 e) y’ + e x y = x 2x f) y”+y’ + y = x 2 são equações diferenciais lineares, já: g) y’’’+xyy”+5y’ + y = x 2 h) y’’’’+x2y”’+2xy’ + y 2 =0 i) 5y”+2y’ + 9 y = 3 j) y’’’+ln(y)y”+y’ + y = 0 k) y’ + e y y = x 2x l) (y”)2+y’ + y = 0 não são lineares. Classificação das Equações Diferenciais Lineares 1) Homogêneas e não homogêneas: Uma Equação Diferencial Linear é homogênea se r (x) = 0 caso contrário ela é dita não homogênea. 2) De coeficientes constantes e de coeficientes variáveis: Uma Equação Diferencial Linear é de coeficiente constante se os ai(x)’s forem constante reais se não forem é uma Equação Diferencial Linear de coeficientes variáveis. 3) De termo independente constante e variável Uma Equação Diferencial Linear é de termo (independente) constante se r(x) for uma constante real, se não é uma Equação Diferencial Linear de termo variável. Dessa forma, dada uma Equação Diferencial Linear ela pode ser uma Equação Diferencial Linear Homogênea de Coeficientes Constantes, Equação Diferencial Linear Não Homogênea de Coeficientes Variáveis e Termo Constante, Equação Diferencial Linear Não Homogênea de Coeficientes Constantes e Termo Variável, etc. Note que não faz sentido se referir a uma EDL Homogênea de termo constante ou variável, dado que, por ser zero este termo ele já é constante. Aqui o interesse será centrado em: 1) Equações Diferenciais Lineares de 1ª ordem todos os casos. 2) E.D.L de ordem elevada: apenas de coeficientes constantes. 9 E.D.L de 1ª Ordem São equações do tipo: y' + a(x)y = r (x) Homogêneas (r (x) = 0) y' + a(x)y = 0 colocando da forma diferencial: 0)()(0)( dxxa y dy ydyxadyyxa dx dy integrando e, em seguida, tomando a exponencial: 1 )(ln 1)(ln cdxxay eeecdxxay dxxa eAy )( 0 é a solução geral. onde Ao = e c . Exemplo: 1) p' + x2 p = 0 a(x) =x 2 => - a(x)dx = -x3/3 +c, como o problema da constante da integração já foi resolvido quando da obtenção da regra da solução, pode-se fazer, sem medo de errar, c=0, logo, 3 3 )( x Aexp é a solução geral. 2) ' + 2t = 0 a(t) = 2t => - a(t)dt = - t2 (fazendo também a constante de integração igual a zero), logo, 2 )( tAet Não Homogênea (r (x) 0) y' + a (x)y = r (x) Se r(x) = 0 a solução particular seria y = Ae - a(x)dx é o que se chama solução da homogênea associada. A homogênea associada seria a mesma equação com o termo independente igual a zero. 10 Suponha que a solução seja do tipo: dxxaexuy )()( ( i ) Então se ( i ) é a solução ela deve satisfazer a equação. Derivando dxxaexuy )()( , tem-se: dxxadxxa exaxuexuy )()( )()()('' (usando a regra da derivada do produto) Substituindo y e y' na equação y' + a(x)y = r (x), tem-se: )()()()()()(' )()()( xrexuxaexaxuexu dxxadxxadxxa , ou, )()(' )( xrexu dxxa ou ainda dxxredu dxxa )( )( integrando cdxexrxu dxxa )( )()( Como a solução geral, por hipótese, é: basta substituir o u(x) achado nessa equação ou seja, dxxadxxa ecdxexry )()( ])([ (b) Exemplo: Ex.1 y ' +xy = x aplicando a fórmula resulta em: 2 2 1 x cey Ex.2 y '+ y = 5 aplicando a fórmula resulta em: xcey 5 A fórmula (b) resume todas as soluções de E.D.L. 1ª ordem. E.D.L de ordem elevada e de coeficiente constante Novamente são equações do tipo: y ( n) + an-1y ( n-1) +...+ a1(x)y ' + a0 y = r (x) Do curso anterior, álgebra linear, sabe-se que a operação derivada é uma TransformaçãoLinear (T.L.) de um espaço vetorial nele mesmo. Isto é, a derivada é uma T.L. especial chamada de operador linear. dxxa exuy )( )( 11 Seja D: PnPn onde Pn é um polinômio e D é a aplicação derivada (uma T.L que leva uma função em sua derivada '. Das Regras de derivação sabe-se que: D( + g ) = D ( ) + D (g ) e D(k) = kD() onde k . Logo, D é uma T.L. Bem, como as E.D. são equações que envolvem derivadas então as propriedades desse operador nos interessa quando a E.D. é linear de coeficientes constantes. Particularmente, quando uma E.D. é linear de coeficiente constante e homogênea, sua solução nada mais é que o núcleo do operador linear. Reveja então o que é núcleo. Núcleo: Seja T: V W uma T.L. O conjunto de todos os vetores V tais que T() = 0 é chamado núcleo de T, denotado por Ker(T) ou N(T) ou C(T). Aqui o interesse é na T.L. D: V V logo, N(D) = { V / D() = 0} Propriedades do núcleo: 1) O núcleo de um operador linear forma um subespaço V cuja dimensão é igual a dimensão do operador. Assim, para se formar uma base do núcleo de um operador de ordem n são necessário n vetores Lineares Independente. 2) Teorema: "Se L1, L 2, ..., L n são operadores diferenciais de coeficiente constantes, então o núcleo de cada operador está contido no núcleo do produto”. Bem, já sabe-se bastante sobre os operadores e o núcleo, só falta algum conceito ou auxílio que permita operar com os operadores. Esse conceito auxiliar vem da topologia e chama-se ISOMORFISMO (formas iguais). ISOMORFISMO Definição: Quando a correspondência biunívoca entre dois espaço vetoriais preserva as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar dizemos que esses espaços são isomorfos. Isso ocorre com os polinômios de grau n e os operadores lineares, em particular, com as derivadas, de grau n. Assim, pode-se operar com os operadores diferenciais como se fossem polinômios. Precisa-se definir uma notação para os operadores diferencias (O.D). Notação: O.D 1ª ordem, L1 = D + a0 O.D 2ª ordem, L2 = D 2 + a1D + a0 O.D ordem n, Ln = D n + a n-1D n - 1 + ... + a1D + a0 12 Agora veja como os operadores são aplicados a uma função p qualquer. Aplicação sobre uma função p. L1p = D + a0 = p'+ a0p L2p = D 2 + a1D + a0 = p'' + a1p' + a0p Lnp = D n + a n-1D n - 1 + ... + a1D + a0 = P n + a n-1p n - 1 + ... + a1p + a0 Assim, uma E.D.L pode ser escrita como: Lnp = r (x) ou Ln y = r (x) onde p e y são as funções incógnitas. Pode-se agora resolver as equações diferenciais lineares de coeficientes constantes de qualquer ordem. Começa-se pelas homogêneas. E.D.L Homogêneas Lny = 0 A solução, segundo as propriedades do núcleo do operador, é uma combinação linear de n soluções L.I. Para equações de 1ª ordem temos: E.D.L de coeficientes constantes de 1ª ordem homogêneas L1y = 0 ou (D + a0)y = 0 Caso y seja diferente de zero, isto é, caso a solução exista, estamos atrás do núcleo do operador D + a. Sabemos que o núcleo é de 1ª ordem logo, precisamos de um vetor L.I. Como qualquer vetor único é L.I então basta achar uma solução qualquer, que servirá de base para a representação do núcleo. Sabemos que a solução é: Onde - a é a solução da equação do operador linear isso é: D + a = 0 => D = - a Isso é verdade e pode ser feito graças ao Isomorfismo dos operadores lineares com os polinômios. Chamamos a equação D + a ou m + a, de equação característica da E.D.L. Vamos as equações de 2ª ordem. E.D.L de coeficientes constantes de 2ª ordem homogêneas L2y = 0 ou (D 2 + aD + b) y =0 Analogamente caso a solução exista (y 0) estamos procurando pelo núcleo do operador D 2 + aD +b que é de 2ª dimensão. Precisamos então de 2 vetores linearmente independentes. E agora? axcey 13 Como o ISOMORFISMO com os polinômios existe, então podemos fatorar o operador em dois operadores de 1ª ordem, para isso basta conhecermos as raízes do polinômios característicos de operador, ou seja, se m1 e m2 resolve m 2 + am +b =0 então poderia-se escrever o operador assim: (D - m1)(D - m2) e a equação assim: (D - m1)(D - m2) y =0 Voltando ao início se y 0 então ou D - m1 = 0 ou D - m2 = 0, isso é basta achar a base dos núcleos de dois operadores de 1ª ordem se essas forem L.I o problema, a equação, está resolvida. Sabemos que a representação do núcleo de um operador de 1ª ordem é dado por um vetor. Onde - a é a raiz de D + a. Assim, a solução de uma E.D.L.H.C.C 2ª ordem é dada pela combinação linear de dois desses vetores L.I. Como a equação característica é de 2ª ordem existem 3 tipos de raízes. i) Raízes reais distintas ii) Raízes reais iguais iii) Raízes complexas conjugadas i) Raízes reais distintas: Nesse caso m1 m2 e y1 = C1e m1x e y2e m2x são dois vetores linearmente independentes logo forma uma representação do núcleo da T.L. Assim a solução da E.D.L. H. C.C. 2ª ordem é uma combinação linear deles ou seja, xmxm eCeCy 21 21 Isso é verdade pelo teorema que nos diz que o núcleo de cada operador está contido no núcleo do produto. ii) Raízes reais iguais Nesse caso m1 = m2 e os vetores e m1x e e m2x não são linearmente independentes. Precisamos então de um artifício para achar um outro vetor linearmente independente. Usando novamente o ISOMORFISMO com os polinômios e sabendo que 1 , x , x 2 , x 3 forma uma base para o espaço dos polinômios então usando a combinação linear dos dois primeiros ( 1 + x ) e multiplicando por nosso vetores acharemos dois vetores L. I. 1e m1x e xe m2x como esses vetores satisfazem a equação, eles podem representar o núcleo dessa T.L. Assim, para raízes iguais a solução é: mxmx xeCeCy 21 onde m é a raiz multipla do polinômio característico da E.D. axcey 14 iii) As Raízes são complexas conjugadas Isso é, m1 = + i e m2 = - i como xixi eCeCy )(2)(1 são L.I a solução é a combinação linear dessas duas. Porém, isso daria uma resposta fora dos números reais ( pelo menos aparentemente ) o que não interessa pois procura-se soluções reais. Pela equação de Euler: sencos ie i e sencos ie i assim seja: 1 )( )sen(cos rxixee xxi 2 )( )sen(cos rxixee xxi onde r1 e r2 são as soluções e representam a base desse subespaço. Assim entra a criatividade matemática. Ora, se r1 e r2 são soluções então qualquer combinação linear delas também é. Escolhendo-se convenientemente essas soluções como: 2 21 rr e i rr 2 21 (L.I.) tem-se: xe rr y x cos 2 21 1 (real) xe i rr y x sen 2 21 1 (real) Assim, xeCxeCy xx sencos 21 é a solução procurada. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares Homogêneas de Coeficiente Constante de Ordem n Ln y = 0 ou (D n + an-1D n-1 + an-2D n-2 + ... + a1D + a0) y = 0 onde rn, rn-1, ..., r3, r2, r1 são as raízes da equação característica do operador. Assim, a solução é uma combinação linear das soluções dos operadores de 1ª ordem. Porém, caso ocorram raízes repetidas e complexas conjugadas os cuidados devem ser tomados. Exemplo: Caso tenhamos 5 raízes iguais deveremos tornar as soluções L.I. com base na base dos polinômios issoé: y = C0e mx + C1xe mx + C2x 2 e mx + C3x 3 e mx + C4x 4 e mx 15 As conjugadas só aparecem aos pares, então para cada par teremos um conjunto Cie x cos + Cje x senx . As distintas são do tipo Cie r i x . Assim, dada uma equação D.L.H.C.C. de ordem n o nosso grande problema é achar as raízes do polinômio característico. Feito isso é só ajustar as soluções individuais e fazer uma combinação linear delas. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares não Homogêneas de Coeficiente Constante As de 1ª ordem nós já resolvemos. As de 2ª ordem precisamos de um teorema. Teorema: "Seja yp uma solução de L2y = r(x) e yh a solução geral da homogênea associada (L2y = 0), então y = yp + yh é solução geral para L2y = r(x)" Assim, Para obtermos a solução de uma E.D.ñ.H.C.C. de 2ª ordem devemos conhecer uma solução particular. Exemplo: y '' - 2 y ' + y = 3e 2x , dada yp = 3e 2x yL => y ' - 2 y ' + y = 0 => m1 = m2 =1 => yh = C1e x + C2xe x A solução é : y = C1e x + C2xe x + 3e 2x Existem vários métodos para determinar a solução particular mais isso nós não veremos aqui. Veremos apenas o caso em que o termo r(x) é uma constante, ou seja veremos as E.D.L.ñ.HC.C. e termo constante. Nesse caso a solução particular é sempre uma constante e os termos de derivadas de ordem superior são sempre nulos de forma que é fácil obter yp. Exemplo: y'' - 2y' + y = 5 y h = C1e x + C2xe x e yp = cte. Então y '' = 0 e y ' = 0 logo 0 -2.0 + y = 5 e yp = 5 A solução é: y = C1e x + C2xe x + 5 16 ESTABILIDADE EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE COEFICIENTES CONSTANTES Estabilidade Diremos que o operador diferencial P(D) ou polinômio P() é estável se todas as funções de N(P(D)) (isto é, todas as soluções da equação homogênea P(D)z = 0) forem limitadas quando t . Estabilidade Assintótica Diremos que o operador P(D) ou o polinômio P() é assintoticamente estável se todas as funções de N(P(D)) se aproximarem de zero quanto t , ou seja, quando todas as raízes de P() tiverem Re () < 0 . Ou maneira de dizer: Estabilidade Se pequenas mudanças nas condições iniciais não tem efeito no comportamento de longo prazo da solução, o sistema é dito estável. Instabilidade Se pequenas mudanças nas condições iniciais podem levar a diferenças significativas no comportamento de longo prazo da solução , então o sistema é instável. Outros Steady States - Estado estático ou soluções estacionárias ou ponto de equilíbrio referece aos pontos críticos. Outra Estabilidade Assintótica. Dizemos que um ponto de equilíbrio y* é assintoticamente estável se toda solução y(t) que se desenvolve próxima a y* converge para y* quando t . Estabilidade Assintótica Global Se toda equação tende para y* quando t . Estabilidade Neutra Se toda solução próxima a y* permanece próxima a y* quando t . Estabilidade Se y* é assintoticamente estável ou de estabilidade neutra diz que y* é estável. Se não é não estável. 17 APLICAÇÃO Suponha um caso particular de um mercado de um bem que apresenta demanda e oferta linear: 0,,, dcba dPcQ bPaQ s d Observação: Escreve-se a função demanda e desenha-se a função demanda inversa. Segundo as equações de mercado o preço de equilíbrio(Pe) deve ser: Qd = Qs => db ca Pe Se o preço inicial de mercado P0 é igual ao preço de equilíbrio Pe, o mercado está supostamente em equilíbrio. No entanto o caso mais provável é que P0 Pe, então , só será possível obter Pe depois de um processo de ajuste. Dessa forma tanto o preço do bem (P) quanto as funções variam com o tempo. A questão é: dado um tempo suficiente para que o processo de ajustamento atue, esse processo tende a levar o preço ao nível de equilíbrio? A trajetória temporal P(t) tende a ser convergente para Pe, quando t ? Precisamos então das leis que regem os movimentos do preço desse mercado. Em geral, as forças que mais atual, (que são mais relevantes nas mudanças do preço), são as forças de oferta e demanda do mercado. Suponha, por simplicidade pois o objetivo de um modelo é captar a essência do processo, que a taxa de mudança de preço (em relação ao tempo ) é diretamente proporcional a demanda excedente de ( Qd - Qs ) que prevalece no momento. Pode-se expressar essa taxa por: )( sd QQ dt dP )( sd QQP )0( onde é um coeficiente de ajuste(cte.) Assim, PdbcadPcbPaP )()()( . Sabendo que db ca Pe podemos escrever: PdbPdbP e )()( fazendo K = ( b+ d ) temos, eKPKPP que é uma equação diferencial linear de 1ª ordem cuja a solução é: dttatdta ecdtetrtP )()( ].)([)( onde r( t ) = KPe = cte. e a(t) = K = cte. logo. KtKdtdtta )( e kt e Kt e ePdteKP Kt e Kt e KtKt e cePtPcePecePtP )(][)( para t = 0 , P(t) = P0 => P0 = Pe + ce -K0 => C=P0 - Pe 18 kt ee ePPPtP )()( 0 Dada a trajetória: kt ee ePPPtP )()( 0 onde K = ( b + d ) > 0. Assim, quando t => e-kt 0 logo e t PtP )(lim , assim o mercado tende a equilibra-se: Se P0 = Pe P(t) = Pe Se P0 > Pe P (t) Pe por cima Se P0 < Pe P (t) Pe por baixo P0 é a condição inicial da equação diferencial. Pe é a condição estática. (P0 - Pe) e -Kt é a componente dinâmica. Observação: Milhões de situações podem ser imaginadas com esse modelo. A essência do modelo é a proporcionalidade da variação de preço à demanda excedente. P(t) t Pe P(t) t Pe P0 P(t) Pe P0 t
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