Apostila - Álgebra Linear

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Sistemas de Equações Lineares
Um sistema de m equações lineares, L¹, L² , ..., Lm com n incógnitas x¹, x² , ..., x ⁿ, que pode ser posto na forma padrão:
a¹¹ x¹ + a¹² x² + . . . + a¹ⁿ x ⁿ = b¹
a²¹ x¹ + a²² x² + . . . + a²ⁿ x ⁿ = b²
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am¹ x¹ + am² x² + ... + amⁿ x ⁿ = bm
onde os a ij, bi são constantes.
Uma solução do sistema acima é um conjunto de valores das incógnitas, x¹ = R¹ , x² = R² , . . . , x ⁿ = R ⁿ ou uma ênupla u = (R¹ , R² , . . . , R ⁿ ) de constantes, que é uma solução de cada uma das equações do sistema.
Exemplo: 
Considere o sistema:
 x¹ + 2x² - 5x³ + 4x4 = 3
2x¹ + 3x² + x³ - 2x4 = 1
 
Determinar se x¹= -8 , x²= 4 , x³= 1 , x4= 2 , é solução do sistema. Levando os valores em cada equação, obtemos: 
– 8 + 2.(4) – 5. (1) + 4.(2) = 3 ou - 8 + 8 – 5 + 8 = 3 ou 3 = 3
+ 2.(-8) + 3.(4) + 1 – 2.(2) = 1 ou -16 + 12 + 1 – 4 = 1 ou -7 = 3
Sistemas Equivalentes
Resolução de um sistema de equações lineares por eliminação Gaussiana.
Exemplo: A solução do sistema x + 2y – 4z = -4		, se obtém como segue:
				 5x + 11y – 21z = -22
				 3x – 2y + 3z = 11
1º Passo: 
Primeiro eliminamos x da 2ª equação, pela operação elementar ( -5 L¹+ L² ) L³:
-5 . L¹: -5x - 10y + 20z = 20			-3 . L¹: -3x - 6y + 12z = 12
 L²: 5x + 11y – 21z = -22		 L³: 3x – 2y + 3z = 11
Nova L²: y – z = -2 		 Nova L³: -8y + 15z = 23 
Assim, o sistema original é equivalente ao sistema:
x + 2y – 4z = -4
 y – z = -2
 -8y + 15z = 23 
Em seguida eliminamos y da terceira equação aplicando ( 8 L²+ L³ ) L³:
8. L²: 8y – 8z = -16
 L³: -8y + 15z = 23 
Nova L³: 7z = 7 
Obtemos o seguinte sistema triangular equivalente:
x + 2y – 4z = - 4
 y – z = - 2
 7z = 7
2º Passo:
Resolvemos agora o sistema triangular, mais simples, por substituição. Da terceira equação temos z = 1. Levando na 2ª equação, temos:
y – 1 = -2 ou y = -2 +1 .: y = -1
Fazendo z = 1 e y = -1 na 1ª equação, obtemos:
x + 2y -4y = -4
x + 2.(-1) -4.(1) = -4 ou x – 2 – 4 = -4 ou x = 2
Assim, x = 2, y = -1, z = 1, o terno ordenado ( 2, -1, 1 ) é a solução (única) do sistema dado.
Teorema: Suponhamos que um sistema de equação linear contenha a equação degenerada.
L: 0x¹ + 0x² + . . . + 0x ⁿ = b
Se b = 0, L pode ser omitida do sistema sem modificar o conjunto solução.
Se b ≠ 0, o sistema não tem solução.
Sistemas em Forma Triangular e Escalonada
Forma Triangular
Um sistema de equação lineares está na forma triangular se o número de equações é igual ao número de incógnitas e se xk é a incógnita principal da Rma equação.
Assim, um sistema na forma triangular de equações lineares tem a seguinte forma:
a¹¹ x¹ + a¹² x² + . . . + a¹,ⁿ-¹ x ⁿ-¹ + a¹ⁿ x ⁿ = b¹
 + a²² x² + . . . + a², ⁿ-¹ x ⁿ-¹ + a²ⁿ x ⁿ = b²
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 a ⁿ-¹,ⁿ-¹ x ⁿ-¹ + a ⁿ-¹,ⁿ x ⁿ = b ⁿ-¹
 a ⁿⁿ xⁿ = bⁿ
Onde,
a¹¹ ≠ 0, a²² ≠ 0, . . . , am ≠ 0
O sistema triangular acima tem solução única que pode ser obtida pelo processo seguinte, conhecido como retro-substituição. Primeiro, resolvemos a última equação em relação a última incógnita,
 
Em seguida, levamos este valor xⁿ na penúltima equação e a resolvemos em relação à penúltima incógnita:
a ⁿ-¹, ⁿ-¹ x ⁿ-¹ + a ⁿ-¹, ⁿ x ⁿ = bⁿ-¹ 
 bⁿ-¹ - a ⁿ-¹, ⁿ . (bⁿ / a ⁿ ⁿ )
xⁿ-¹ = ___________________________
 		a ⁿ-¹, ⁿ-¹ 
Terceiro, levamos estes valores de xⁿ e xⁿ-¹ na antepenúltima equação e a resolveremos em relação à antepenúltima incógnita, 
xⁿ-²: aⁿ-², ⁿ-² xⁿ-² + aⁿ-², ⁿ-1 + aⁿ-², ⁿ-1 x ⁿ = bⁿ-²
bⁿ-² - (aⁿ-², ⁿ-1 / a ⁿ-1, ⁿ-1 ) [bⁿ-1 - aⁿ-1 , n (bⁿ / a ⁿ ⁿ) b ⁿ
xⁿ-²: ________________________________________________ 
			aⁿ-², ⁿ-² 
Em geral, determinamos nk levando os valores previamente obtidos de xⁿ, xⁿ-1 , . . . , xR+1 , na Rma equação:
 n
 bR - ∑ m =R +1 aRm xm 
xR = ​​​​​​​​​​​​________________________
		a kk
O processo cessa ao determinarmos a primeira incógnita x1 .
Exemplo:
Consideremos o sistema 2x + 4y – z = 11
 				 5y + z = 2
				 3z = -9
Como o sistema está na forma triangular, pode ser resolvido por retro-substituição:
( i ) a última equação dá z = -3;
( ii ) levando na 2ª equação, obtemos 5y -3 = 2, ou 5y = 5 .: y =1;
( iii ) fazendo z = -3 e y = 1, na 1ª equação, obtemos.
2x + 4.(1) – (-3) = 11 ou 2x + 4 + 3 = 11 ou 2x = 4 : x = 2
Assim, o vetor u = (2,1,-3) é solução única do sistema.
Forma Escalonada, Variáveis Livres
Diz-se que um sistema de equações lineares está na forma escalonada se nenhuma equação é degenerada e se a incógnita principal em cada equação, está à direita da incógnita principal da equação precedente. O paradigma é:
a 11 x 1 + a 12 x 3 + a 14 x 4 + . . . + a 1ⁿ x ⁿ = b 1
 a2j2 x j2 + a 2,j2 + 1 x j2+1 + . . . + a 2n x n = b 2		(β)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 a rjr x jr + a r,jr+1 x jr+1 + . . . + a rn x n = b r
Onde 1 < j2 < . . . <jr e onde a11 ≠ 0 , a 2j2 ≠ 0, . . . , a rjr ≠ 0. Note que r ≤ n.
Uma incógnita xR no sistema escalonado (β) é chamada variável livre se xR não é a incógnita principal em qualquer equação, isto é, se xR ≠ x 1 , xR ≠ x j2 , . . . , xR ≠ x jr .
O Teorema seguinte descreve o conjunto solução de um sistema escalonado.
Teorema: Consideremos o sistema β em forma escalonada. Há dois casos:
( i ) r = n. Isto é, há tantas equações quantas incógnitas. Então o sistema tem solução única.
( ii ) r < n. Isto é, há menos equações do que incógnitas. Então podemos atribuir valores arbitrários às n – r variáveis livres, obtemos uma solução do sistema em termos destas.
Suponhamos que o sistema (β) contenha mais incógnitas do que equações. Então o sistema tem um número infinito de soluções, pois a cada uma das r – n variáveis livres pode ser atribuído um número real arbitrário. A solução geral do sistema se obtém como segue. Atribuem-se às variáveis livres valores arbitrários, chamados parâmetros digamos t 1 , t 2 , . . . , t n-r e usa-se a retro-substituição para obter os valores das variáveis não livres em termos dos parâmetros. 
Exemplo: Consideremos o sistema x + 4y – 3z + 2t = 5 					
					 z – 4t = 2
o sistema está na forma escalonada. As incógnitas principais são x e z; logo as variáveis livres são as outras incógnitas y e t. 
Para achar a solução geral do sistema, atribuímos valores arbitrários às variáveis livres y e t , digamos y = a e t = b e utilizamos então a retro-substituição para resolver em relação às variáveis x e z. Substituindo na última equação temos z – 4b = 2 ou z = 2 + 4b. A substituição na 1ª equação resulta:
x + 4a – 3.(2 + 4b) + 2b = 5 ou x + 4ª – 6 – 12b + 2b = 5 ou x = 11 – 4ª + 10b
Assim, x = 11 – 4a + 10 b , y = a , z = 2 + 4b , t = b ou ( 11 – 4a + 10b , a , 2 + 4b , b ) é a solução geral em forma paramétrica.
Espaço Vetorial
As propriedades da adição de vetores e da multiplicação de um vetor por escalar (número real) caracterizam um conceito matemático importante: o de Espaço Vetorial sobre o conjunto dos reais.
Definição:
Seja V um conjunto no qual definimos duas operações:
 ( i ) Adição dos elementos de V (+);
( ii ) Multiplicaçãode um número real por um elemento de V (-).
Suponhamos que estejam satisfeitas as seguintes propriedades:
�
Adição
	 
Fechamento		
 
v1 , v2 � INCLUDEPICTURE "http://www.alunosonline.com.br/img/pertence.JPG" \* MERGEFORMATINET ��� V ↔ v1 + v 2 V		 	
Multiplicação por um nº real
 
Se a e v V ↔ a . v V
 
 
�
Comutativa				 2) Se a, b e v V ↔ ( a . b) v = 
v1 + v2 = v2 + v1 = a . ( b v )
3) Associativa	 3) Se v V ↔ 1 v = v
( v1 + v2 ) + v3 = v1 + ( v2 + v3 )
4) Elemento Neutro 4) Se a, b e v V ↔ ( a + b) . v =
E 0 V / 0 + v = v + 0 = v a v + b v 
Simétrico				 5) Se a e v, w V ↔
E v V , E – v V / v + ( -v ) = 0			a . ( v + w ) = av + aw
 
Dizemos, então, que V é um Espaço Vetorial sobre o conjunto dos números reais.
Assim por exemplo:
A) 2 = { ( x , y ) / x , y }, onde definimos as operações:
( x1, y1 ) + ( x2 , y2 ) = (x1 + x2, y1 + y2)
K . ( x1, y1 ) = ( kx1, ky1 ) , k é um espaço vetorial sobre o conjunto dos números reais.
b) O conjunto de todas as funções polinomiais de grau ≤ 3, definidas por:
p : → 
x → ax3 + bx2 + cx + d , a , b , c , d , onde definimos as operações:
p1 ( x ) + p2 ( x ) = a1x3 + b1x2 + c1x + d1 ) + ( a2x3 + b2x2 + c2x + d2 ) =
= ( a1 + a2 ) x3 + (b1 + b2) x2 + ( c1 + c2 ) x + ( d1 + d2 )
k . p ( x ) = k . ( ax3 + bx2 + cx + d ) = kax3 + kbx2 + kcx + kd , k , é um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais.
c) 3 = { ( x , y , z ) / x , y , z , } onde definimos as operações:
( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 ) = ( x1 + x2, y1 + y2 , z1 + z2 ) 
 
			 e
k . ( x , y , z ) + ( kx , ky , kz ) , k é um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais.
 
Subespaço
Seja V um espaço vetorial sobre o conjunto dos reais e S um subconjunto não vazio de V.
Definição:
S é um Subespaço Vetorial de V se:
 →
( i ) 0 S; 
 → → → →
( i i ) quaisquer que sejam u e v S, então u + v S. ( Propriedade Fechamento );
 →
( iii ) Se k e v S.
Assim por exemplo:
a) 2 , conforme o exemplo a) do item anterior, é um subespaço vetorial de 3 .
b) O conjunto de todas as funções polinomiais de grau ≤ 2 , definidas como no exemplo b) do item anterior, é um Subespaço Vetorial das funções polinomiais do referido exemplo.
c) Verifique que o conjunto das funções polinomiais de grau igual a 2 não é um Subespaço Vetorial.
Da definição acima, concluímos que:
Os subespaços de 2 são: 
( i ) 2 ;
( ii) As retas que passam pela origem dos eixos coordenados;
( iii ) A origem dos eixos coordenados.
Os subespaços de 3 são :
( i ) 3 ;
( ii) Os planos contêm a origem;
( iii ) As retas que passam pela origem;
( iv) A origem.
Combinação Linear
Vimos que a adição de vetores tem como resultado um vetor.
 →
Reciprocamente, um vetor v sempre pode ser decomposto numa soma de diversos vetores.
→ → → → →
v = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 + . . . kn vn onde k1 , k2 , . . . , kn são números reais.
→ → → →
v é dito uma combinação linear (C.L.) dos vetores v1 , v2 , . . . , vn com os escalares k1 , k2 , k3 , . . . , kn.
 → →
Exemplo: Escrever o vetor v = (14,7) como C.L. dos vetores v1 = (1,2) e v2 = (4,1).
Dependência e Independência Linear
Definição:
 → → →
Os vetores v1 , v2 , v3 , . . . , vn são “Linearmente Dependentes” (L.D.) se, e somente se, 
 → → →
existem números reais k1 , k2 , k3 , . . . , kn dos quais pelo menos uns é diferente de zero, tais que:
→ → → → →
v = k1 v1 + k2 v2 + k3 v3 + . . . + kn vn = 0
Exemplos:
 → →
1) Dados dois vetores a e b de mesma direção, existe sempre um número real (m) tal que 
→ → → → → →
b = m a ou b = m a ou b – ma = 0. Assim por exemplo:
E existe sempre um número real n tal que:
→ → → → →
a = n b ou a – n b + 0
 → → 
No nono caso, a + 1 b : n = 1
3
Logo, haverá sempre infinitos pares de números reais m e n, para os quais tem-se:
 → →
ma + nb = 0
No caso abaixo, temos:
 → → →
m = 1		n = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a – 1 b = 0
 3 3
 		 → → →
m = 3		n = -1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3a – b = 0
 → → → 
m = 0		n = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0a – 0b = 0 . . . etc.
Quando há inúmeros valores de m e n que anulam a Combinação Linear de dois vetores, eles são chamados “ Linearmente Dependentes “ (L.D).
 → → → →
Ex. 2) Dados a = (4,1) b = (8,2) e v = 0 = (0,0), determinar k1 e k2 tais que:
k1 a + k2 b = 0.
Definição:
 → → → → 
Os vetores v1 , v2 , v3 , . . . , vn são “ Linearmente Independentes “ (L.I.), se, e somente se,
→ → → → → → → → 
v = k1v1 + k2v2 + k3v3 + . . . + knvn = 0 ↔ k1 = k2 = k3 , . . . = kn = 0, isto é, v = 0 somente se todos os coeficientes forem nulos.
 → →
Dados dois vetores a e b de direções diferentes, verificamos que os únicos valores que anulam a combinação linear.
 → → 
m a + n b são m = 0 ou n=0
�
Ex. 3) Dados a = (1,3) e b = (4,1), determinar k1 e k2, tais que:
 → →
k1 a + k2b =0
Verificar se n vetores são L.I. ou L.D. nos leva sempre à resolução de um sistema homogêneo S com n incógnitas.
Se S for determinado ↔ vetores L.I.
Se S for indeterminado ↔ vetores L.D.
 → → →
Verificar se os vetores u = (1,1,0) , v = (1,1,1) e w = (0,1,-1) são L.I ou L.D.
Vetores Paralelos
Dois vetores são paralelos ↔ são Linearmente Dependentes.
Vimos que:
→ → → →
v1 // v2 ↔ v1 = kv2 , k , e v1 ≠ 0;
→ → → → →
v1 – kv2 = 0 e o coeficiente de v1 ≠ 0. Portanto v1 e v2 são L.D.
Conclusão:
Dois vetores paralelos têm coordenadas respectivamente proporcionais.
Sejam u = ( x , y , z ) e v = ( a , b , c ) 
u // v ↔ u = kv ↔ ( x , y , z ) = k . ( a , b , c )
ou seja: x = k.a , y = k.b e z.k.c
logo: x = y = z = k
 a b c
Bases
Definição:
 → → →
Chama-se base de um espaço vetorial todo conjunto de vetores {v1 , v2 , . . . , vn} , linearmente independente, tal que qualquer vetor v do referido espaço pode ser expresso como 
 → → →
uma combinação linear única de v1 , v2 , . . . , vn . Isto é:
→ → → →
v = k1v1 + k2v2 + . . . + knvn
Assim, por exemplo:
 → →
Os vetores v1 = (1,2) e v2 = (2,1) constituem uma base para o 2 pois são Linearmente Independentes. ( Verifique).
 → → →
Os vetores v1 = (1,1,1), v2 = (1,0,1) e v3 = (0,1,1) constituem uma base para o 3 pois são Linearmente Independentes. ( Verifique).
→ → → → →
v = k1v1 + k2v2 + k3v3 , v = ( a , b , c )
 → →
Os vetores Os vetores v1 = (2,5) e v2 = (-4,10) não formam uma base para o 2 pois são Linearmente Dependentes. ( Verifique).
 → → →
Notação: Se v1 , v2 e v3 formam uma base β , indica-se:
 → → →
Β = { v1 , v2 , v3 }
Da definição da base, podemos concluir que:
 → →
Uma base de 2 é um par de vetores l1 e l2, linearmente independentes, tal que qualquer 
 → 							 → →
vetor v 2 pode ser expresso de maneira única como uma Combinação Linear de l1 e l2 .
→ → → 
v = k1l1 + k2l2 , k1 , k2 
II) Qualquer conjunto de dois vetores L.I. de 2 constitui uma base para o 2 e o número máximo de vetores L.I. em 2 é 2.
III) Analogicamente, uma base 3 é constituída de 3 vetores L.I. e o número máximo de vetores L.I. em 3 é 3.
Dimensão de um espaço é o nº máximo de vetores Linearmente Independentes neste espaço.
Assim dizemos que:
Dois vetores L.I. “geram” um espaço de dimensão 2. (um plano);
Três vetores L.I. “geram” um espaço de dimensão 3. (o espaço);
Dois vetores paralelos “geram” uma espaço de dimensão 1. (uma reta).
 → →
Base Canônica do 2 . { i , j } é uma base de 2 , denominada base canônica.
 → → →
Base Canônica do 3 . { i , j , k } é uma base de 3 , denominada base canônica.
Exercícios
Seja o subconjunto S de 3 formado pelos vetores cujos coordenadas têm a terceira componente nula ou seja S = { ( x , y , z ) 3 / z = 0}. Verificar se S é um Subespaço de 3 .
Calcule a e b para que sejam paralelos (L.D.) os vetores:
→ →
u = (3a -1 , 2 , 4 )	e	v = ( 2 , b , 2)		R.: a = 5	b= 1
 3 
3) Calcule a e b para que os vetores u = ( a , 1 , b+1 ) e v = ( 2 , 1-1 , b) sejam (L.D.). 
R.: a = -1	b= -2
 3
4) Expressar o vetor m como uma C.L. dos vetores a , b e c. Dados:
→		 → 			 →			 →
m = ( 1 , 0 , 0 ) , a = ( 1 , 1 , 1 )	, 	b = ( -1 , 1 , 0 ) 	e c = ( 1 , 0 , -1 )
 → → → → → →
R.: m = 1	, n= -1 e p = 1	sendo m = ua + nb = PC
 3 3 3
5) Verificar se os seguintes conjuntos de vetores são L.I ou L.D.
a) { ( 1 , 0) , ( 0 , 1 ) } (L.I.)		e) { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 1 , -1) , ( 1 , 3 , 4 ) } (L.I.)
b) { ( 1 , 0) , ( -1 , 0 ) } (L.D.)	f) { ( 1 , 1 , 1 ) , ( 2 , 3 , -2) , ( 3 , 4 , -1 ) } (L.D.)
c) { ( 3 , -2) , ( -3/2 , 1 ) } (L.D.) g) { ( 5 , 4 , -2 ) , ( 1 , 8 , 2) , ( 2 , 0 , 0 ) } (L.I.)
d) { ( 10 , -5) , ( -5 , 10 ) } (L.I.) h) { (5 , 4 , -2) , ( -1 , 2 , 3) , ( 4 , 6 , 1 ) } (L.D.)
				 →		 →		 →
6) Determine k para que os vetores a = ( 1 , -2 , k ) b = ( 3 , 0 , 2 ) e c = ( 2 , -1 , 5) sejam:
(a) L.I. 	R: k ≠ 8
(b) L.D.	R: k = 8
Lúcia resolve organizar uma festa de aniversário para seu filho e encomenda, para servir aos convidados, 107 refrigerante, 95 sanduíches, 113 salgadinhos e 151 doces. Servirá, a cada homem: 3 refrigerantes, 3 sanduíches, 3 salgadinhos e 3 doces. A cada mulher: 2 refrigerantes, 2 sanduíches, 5 salgadinhos e 4 doces. A cada criança: 2 refrigerantes, 1 sanduíche e 4 doces. Para que não sobrem nem faltem refrigerantes, sanduíches, salgadinhos e doces, o número de pessoas que devem ser convidadas é: 
a) 39	b) 40	c) 41	d) 42	e) 43
				Álgebra Linear
Lista de Exercícios # 01
Identifique as Equações Lineares:
a) 3x + 2y – z = -4		c) x – y + 4z –t = 0
b) 4x –yt + 2z –t = 1		d) 1/2x + yz = -1/4
Resolva os seguintes sistemas usando o algoritmo da redução:
a) x = 3y = 5
 2x + 8y = 20
b) 4x + y = 5
 3x – 2y = 8
c) x + y = 4
 3x + 3y = 7
d) 4x – y = 2
 8x – 2y = 4
e) 2x + y – 2z = 10
 3x + 2y + 2z = 1
 5x + 4y + 3z = 4
f) x + 2y + z = 3
 2x + 5y – z = -4
 3x – 2y – z = 5
g) x + 2y – 3z = -1
 3x – y + 2z = 7 
 5x + 3y – 4z = 2
h) x + 2y – 3z = 1
 2x + 5y – 8z = 4
 3x + 8y – 13z = 7
				Álgebra Linear
Lista de Exercícios # 01
Considere a equação linear x + 2y – 3z = 4. Determine se u = ( 8 , 1 , 2 ) é solução.
Determine se (a) u = ( 3 , 2 , 1 , 0 ) e (b) v = ( 1 , 2 , 4 , 5 ) são soluções da equação
x1 + 2x2 – 4x3 + x4 =3
3) Resolva cada equação:
a) ex = log4			c) 3x – 4 – x = 2x +3
b) cv = 0 			d) 7 + 2x – 4 = 3x + 3 –x
4) Descreva as soluções da equação 2y + 3x – y + 4 = x + 3 + y + 1 + 2x
5) Considere a equação linear x -2y + 3z = 4. Determine (a) três soluções particulares e (b) a solução geral.
6) Resolva o sistema		2x – 3y + 5z - 2t = 9
 5y – z + 3t = 1
					 7z – t = 3
					 2t = 1
Resolva os seguintes sistemas usando o algoritmo da redução.
a) x – 2y + z = 7				c) 2x + 3y – 2z = 5	
 2x – y + 4z =17				 x – 2y + 3z = 2
 3x – 2y + 2z =14				 4x – y + 4z = 1
b) 2x – y - 3z = 5				d) x + 2y + 3z = 3
 3x – 2y + 2z = 5 				 2x + 3y + 8z = 4
 5x – 3y – z = 16				 3x + 2y + 17z = 1
 
 
 
 
� EMBED Figura ���				
Prof. Alexandre Marinho
Álgebra Linear			
									Apostila 1
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xⁿ
 
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 b
 b = 3 . a : m = 3
n b
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