Aula 1 Física Óptica Moderna

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FÍSICA – ÓTICA E PRINCÍPIOS 
DA FÍSICA MODERNA 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Bruno Charneski 
 
 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Historicamente, uma classe de pesquisadores defendia o 
comportamento corpuscular da luz, enquanto outra parcela defendia o 
comportamento ondulatório. O experimento de Young demonstra a difração da 
luz, fenômeno tipicamente associado a ondas, o que reforça a ideia de a luz ser 
uma onda. Atualmente, sabemos que a luz exibe um comportamento dual de 
onda-partícula. As ondas eletromagnéticas são representadas por funções 
trigonométricas, usualmente denominadas funções de onda. Vamos verificar, a 
seguir, os fenômenos de interferência, isto é, o encontro de duas ou mais 
ondas em determinado ponto. Veremos que a descrição matemática desses 
fenômenos pode ser realizada por meio da soma algébrica de cada uma das 
funções de onda das ondas que se encontram. 
Nesta aula aprenderemos o conceito de coerência associada a fontes 
luminosas e sua importância na formação de figuras de interferência. 
Estudaremos o efeito da difração da luz através de duas fendas estreitas, 
através de uma fenda larga, por duas fendas largas e, finalmente, veremos o 
conceito de redes de difração. 
 
TEMA 1 – INTERFERÊNCIA E COERÊNCIA 
A óptica física estuda o comportamento ondulatório da luz. Do ponto de 
vista matemático, representamos as ondas, em geral, por funções 
trigonométricas. A interferência é um dos fenômenos típicos do comportamento 
ondulatório, ou seja, as partículas não exibem essa característica. Na prática, a 
interferência se deve ao encontro de duas ou mais ondas em determinado 
ponto, tal que a diferença de fase entre elas tem efeito direto sobre a amplitude 
da onda resultante (imagine que duas ondas, de mesma amplitude e mesma 
frequência, encontram-se em um determinado ponto. Se nesse ponto tivermos 
dois picos ou dois vales, a interferência será construtiva, e a diferença de fase 
entre as ondas será de ou graus ou 1 comprimento de onda. Caso uma 
onda esteja em um pico e a outra em um vale, a interferência será destrutiva e 
a diferença de fase entre as ondas será de ou graus ou meio 
comprimento de onda). Para formar figuras de interferência estáveis, é 
 
 
3 
necessário que as ondas que se combinam sejam produzidas por fontes 
coerentes, isto é, a diferença de fase entre as ondas deve ser constante. A luz 
de uma lâmpada não produz uma figura de interferência estável porque a 
radiação emitida pelos átomos é aleatória, ou seja, a diferença de fase entre as 
ondas que interagem não é constante, portanto, a fonte não é coerente. 
Exercício: 
Duas fontes coerentes de micro-ondas cujo comprimento de onda é 
 estão no plano , uma sobre o eixo dos , em , e a outra no 
ponto , . Se as fontes estão em fase, calcule a diferença de 
fase na origem entre as ondas provenientes destas fontes. 
Resolução 
A distância de uma das fontes até a origem é de . 
A distância da outra fonte à origem corresponde à hipotenusa de um 
triângulo de Pitágoras, com catetos de e . Sendo assim, 
 
A diferença de percurso entre as ondas é de 
. 
A diferença de fase pode ser obtida por uma regra de proporção simples, 
isto é 
 
 
TEMA 2 – INTERFERÊNCIA PRODUZIDA POR DUAS FENDAS (EXPERIÊNCIA 
DE YOUNG) 
Atualmente, sabemos que a luz exibe um comportamento dual, isto é, de 
acordo com de Broglie, ela se comporta como onda e como partícula. Contudo, 
anteriormente a essa ideia, uma classe de cientistas acreditava que a luz se 
comportava como onda (Christiaan Huygens), outra classe afirmava que seu 
 
 
4 
comportamento era de partícula (Isaac Newton). No início do século XIX, 
Thomas Young realizou o experimento da dupla fenda, no qual um faixo de luz 
incide sobre uma chapa com duas fendas muito pequenas e muito próximas, 
resultando em uma figura de difração para a luz, como pode ser visto na Figura 
1.1 (lembre-se de que fenômenos de interferência são característicos das 
ondas). 
Figura 1.1 – Difração da luz por duas fendas (experimento de Young). 
 
Fonte: <http://carlosorsi.blogspot.com.br/2015/11/fenda-dupla-consciencia-mente-
materia.html>. 
Este experimento foi muito importante para a Física e, do ponto de vista 
histórico, praticamente consolida o comportamento da luz como sendo o de 
uma onda (Figura 1.2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Figura 1. 2 – A luz se propaga como uma onda eletromagnética formada por campos 
elétricos e magnéticos que se alternam. 
 
 
Fonte: < http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/fisica/o-que-sao-ondas-eletromagneticas.htm>. 
 
Dada a importância do experimento de Young, faremos uma análise 
mais cuidadosa dos conceitos envolvidos e dos resultados obtidos. Sabe-se 
que, para produzir uma figura de interferência estável, é necessário que as 
fontes sejam coerentes. De fato, quando montamos um aparato de dupla fenda 
e a luz proveniente de uma única fonte incide sobre ele, o resultado é a 
geração de duas fontes de luz coerentes. De acordo com o princípio de 
Huygens, esse comportamento se deve ao fato de que, quando uma onda 
encontra uma barreira com pequenas aberturas, cada abertura se comporta 
como se fosse uma fonte pontual. Pois bem, se determinada onda encontra 
dois orifícios, cada um deles se comportará como uma fonte pontual de ondas, 
cujas características são as mesmas da onda original, ou seja, mesma 
amplitude, mesma frequência e ambas terão a mesma fase (veja a Figura 1.1). 
Agora que temos duas fontes coerentes, veremos que a diferença no 
percurso de cada onda é o fator responsável pelo surgimento de uma 
disparidade de fase entre elas, resultando na formação de uma figura de 
difração estável. Sendo assim, considere a situação esquematizada na Figura 
1.3. 
 
 
 
 
 
6 
Figura 1.3 – Esquema de difração da luz por duas fendas. 
 
 
Tendo em vista que a distância do aparato ao anteparo é muito maior 
que a distância entre as fendas, podemos considerar que as retas que ligam 
cada fenda ao ponto , no anteparo, são paralelas e a diferença de percurso 
entre as ondas se deve somente ao pequeno triângulo evidenciado na Figura 3. 
Sabendo que os máximos de interferência ocorrem quando há o encontro de 
picos ou vales, a diferença de percurso entre as ondas deve ser de 
comprimentos de onda inteiros, isto é: 
1.2.1 
Onde é o comprimento de onda e é o número de ordem, o qual está 
associado à posição de cada franja de interferência. De maneira semelhante, 
os mínimos de interferência ocorrem quando a diferença de percurso é de meio 
comprimento de onda, então teremos: 
1.2.2 
De acordo com a Figura 1.3, podemos relacionar a distância e a 
posição de uma determinada franja para encontrar o ângulo , o que 
fornece: 
1.2.3 
 
 
7 
Note que estamos considerando valores pequenos do ângulo , nesse 
caso, a expansão em série de Taylor da tangente nos diz que , 
então, , o que permite reescrever a equação 1.2.1 da seguinte 
maneira: 
1.2.4 
Observe que são fixos, assim, determina a ordem da franja e 
sua posição e, de acordo com esse resultado, vemos que a distribuição das 
franjas de interferência é uniforme. 
A intensidade da luz em um ponto qualquer da tela pode ser calculada 
por meio da soma das funções de onda que se interferem. Assim como fizemos 
anteriormente, vamos considerar que as ondas são paralelas e, além disso, 
elas possuem a mesma amplitude e a mesma frequência, tendo em vistaque 
são produzidas pela mesma fonte. Sendo assim, considere duas ondas 
eletromagnéticas representadas pelas funções a seguir: 
1.2.5 e 
Onde representa a diferença de fase entre as ondas devido à diferença 
de percurso entre elas. Somando-se as equações acima, obtemos a função de 
onda resultante, isto é: 
1.2.6 
Note que usamos a identidade trigonométrica 
 
A partir da equação 1.2.6, podemos ver que a amplitude da onda 
resultante é , ou seja, o valor máximo é obtido quando as ondas 
estão em fase e o valor mínimo, zero, quando estão defasadas de 
. Sabendo que a intensidade de uma onda é proporcional ao quadrado da 
amplitude, teremos 
1.2.7 
 
 
8 
tal que é a intensidade de luz produzida por apenas uma das fendas e 
 pode ser obtido por meio de uma simples regra de proporção direta, ou seja 
1.2.8 
Exercício 
A luz de um laser de hélio-neônio, cujo comprimento de onda é , 
incide normalmente em um plano onde existem duas fendas. O primeiro 
máximo de interferência está a do máximo central em uma tela a 
de distância. 
a) Calcule a distância entre as fendas. 
b) Quantos máximos de interferência podem ser observados? 
Resolução 
A distância entre as fendas pode ser obtida por meio da equação 1.2.1. 
O ângulo referente ao primeiro máximo de interferência será dado por 
. Com isso, 
 
O número de máximos também pode ser obtido da equação 1.2.1, 
considerando o maior ângulo possível para o último máximo de interferência, 
ou seja, , então: 
 
 
Isso implica que, a partir do máximo central (m = 0), existem 14 franjas 
para um lado e mais 14 franjas para o outro lado, totalizando 29 máximos. 
 
TEMA 3 – DIFRAÇÃO PRODUZIDA POR UMA ÚNICA FENDA 
 
 
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Diferentemente do caso de interferência, em que as fendas são estreitas 
e cada uma delas se comporta como uma fonte de mesma intensidade , no 
caso da difração, a fenda é larga e a intensidade luminosa da figura projetada 
varia com a posição (Figura 1.4). 
Figura 1.4 – Intensidade luminosa na difração por uma fenda larga. 
 
 
Para descrever o fenômeno da difração, vamos considerar uma fenda de 
largura . Podemos imaginar que, ao longo da fenda, está distribuído um 
grande número de fontes pontuais, as quais emitem ondas coerentes com 
mesma intensidade. Com o intuito de encontrar os mínimos de intensidade, 
vamos considerar a interferência dessas fontes aos pares, isto é, um zero de 
intensidade se deve ao encontro das ondas oriundas da primeira fonte, 
localizada na borda da fenda, e de uma fonte central, situada no meio da fenda 
(Figura 1.5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Figura 1.5 – Esquema de difração da luz por uma fenda larga. 
 
Dessa maneira, um raciocínio semelhante pode ser aplicado às fontes 
subsequentes. Assim como no experimento de Young, os mínimos se devem à 
interferência destrutiva resultante da diferença de percurso entre as ondas, o 
qual deve ser de meio comprimento de onda. Sendo assim, para o primeiro 
zero de intensidade teremos: 
1.3.1 
Para determinar a posição do segundo mínimo, podemos aplicar um 
procedimento semelhante; contudo, devemos formar os pares de interferência 
com a primeira fonte, e outra localizada a uma distância de , o que resulta 
em: 
1.3.2 
Seguindo esse esquema, a expressão geral para os zeros de 
interferência será dada por 
1.3.3 
 
 
 
 
 
11 
 
 
Figura 1.6 – Posição do mínimo de difração. 
 
A posição do primeiro mínimo está relacionada ao ângulo através da 
trigonometria (Figura 1.6), de fato 
1.3.4 
Tendo em vista que é pequeno, podemos considerar . 
Assim, a equação 1.3.1 pode ser reescrita como 
1.3.5 
a qual fornece a largura do máximo central da imagem de interferência, 
como pode ser visto na Figura 1.6. 
Exercício 
Um feixe de micro-ondas incide normalmente em uma fenda longa e 
estreita com de largura. O primeiro mínimo de difração é observado para 
. Qual é o comprimento de onda das micro-ondas? 
Resolução 
O comprimento de onda pode ser obtido através da equação 1.3.1, ou 
seja 
 
 
 
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TEMA 4 – DIFRAÇÃO PRODUZIDA POR DUAS FENDAS LARGAS 
A imagem de interferência formada pela difração da luz através de duas 
fendas de largura é uma composição dos fenômenos de interferência e 
difração, como pode ser visto na Figura 1.7. 
Figura 1.7 – Imagem de difração produzida por duas fendas de largura . A distância 
entre cada fenda é dez vezes maior que seu tamanho. 
 
Note que a parte central da ilustração é formada por uma linha mediana 
e outras nove franjas de cada lado. Além disso, as franjas das extremidades 
delimitam o primeiro mínimo de intensidade (devido ao efeito da difração), o 
qual é dado pela equação 1.3.1, resultando em: 
 
Sabemos que a posição dos máximos de interferência são dados pela 
expressão 1.2.4, assim como a posição do primeiro zero de intensidade, por 
conta da difração, está representado por 1.3.5. Podemos combinar esses 
resultados para estabelecer o número de franjas existentes na parte central da 
figura. Sendo assim, 
 
1.4.1 
 
 
13 
Nesse caso da Figura 1.7, . Contudo, a décima franja, a partir 
do centro, não é visível, o que implica que o número de franjas na parte central 
da figura é dado por 
1.4.2 
 
Exercícios 
Uma figura de interferência e difração produzida por duas fendas é 
observada com uma luz cujo comprimento de onda é . As fendas têm 
largura e estão separadas por uma distância de . 
a) Calcule qual deve ser a largura para que o quinto máximo de 
interferência ocorra para o mesmo ângulo que o primeiro mínimo de difração. 
b) Nas condições do item (a), quantas franjas claras de interferência 
serão observadas na região central da figura de difração? 
Resolução 
A largura da fenda pode ser encontrada a partir da equação 1.4.1, sendo 
assim: 
 
O número de franjas é dado pela equação 1.4.2 
 
 
TEMA 5 – REDES DE DIFRAÇÃO 
Uma rede de difração consiste em um aparato com uma sequência de 
pequenas fendas, muito próximas, tal que, quando iluminadas por uma fonte, 
cada fenda se comporta como uma fonte pontual. A imagem projetada é 
semelhante àquela produzida por duas fendas, contudo linhas menos intensas 
aparecem entre os máximos, como pode ser visto na Figura 1.8. 
 
 
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(Figura 1-8: imagem de interferência produzida por uma fenda, duas fendas e 
dez fendas, de largura e distância entre elas.) 
 
 
Fonte: < http://sites.ifi.unicamp.br/laboptica/roteiros-do-laboratorio/3-difracao-
de-fendas/>. 
Além disso, as figuras apresentam uma resolução maior, tendo em vista 
que a amplitude da onda resultante é vezes a amplitude produzida por uma 
única fenda , consequentemente, a intensidade máxima, que é 
proporcional ao quadrado da amplitude, será . Para encontrar a 
posição dos máximos na figura de interferência vamos admitir a existência de 
 fendas separadas por uma distância . Considere que as fontes interagem 
em pares contíguos, dessa forma, a análise da localização dos máximos se dá 
como no caso da experiência de dupla fenda (figura 1-3), isto é 
1.5.1 
Note que a posição dos máximos não é afetada pela quantidade defendas, mas, como veremos, a espessura das linhas sim (veja na figura 1-8). 
Para demonstrar esse fato, dessa vez adotaremos um tratamento semelhante 
ao da difração por uma única fenda. Sendo assim, a largura da fenda , do 
caso da difração, deve ser substituída pela distância entre a primeira fenda e a 
de ordem , dada por . De acordo com a equação 1.3.3, a 
espessura do meio-máximo central será 
 
 
Tendo em vista que o ângulo é muito pequeno, podemos a expandir a 
função seno, então 
 
 
15 
 
Note que o resultado acima se refere à largura da linha em relação ao 
centro. Devemos considerar, portanto, seu simétrico oposto, o que pode ser 
feito multiplicando o resultado por dois, ou seja, a largura total será . Com 
isso, vemos que quanto maior o número de fendas, menor será a espessura 
das linhas. 
Uma das principais aplicações das redes de difração se dá no 
espectroscópio. Este aparelho é utilizado para determinar o comprimento de 
onda emitido por fontes luminosas através da medida do ângulo (figura 1-9). 
Figura 1.9 – Esquema de funcionamento de um espectrômetro. 
 
Fonte: < http://player.slideplayer.com.br/1/333696/data/images/img34.jpg >. 
 
Outra função importante do espectroscópio está relacionada à sua 
capacidade de separar linhas espectrais de comprimentos de onda muito 
próximos. Duas linhas do espectro podem ser vistas separadamente se seus 
máximos de difração não estiverem superpostos. Como vimos na figura 1-8, a 
largura dos máximos de difração estão associados ao número de fendas da 
rede, sendo assim, o poder separador , que é a capacidade de distinguir duas 
linhas de comprimentos de onda distintos, é definido por 
1.5.2 
onde é o número de ordem e a quantidade de fendas. 
 
 
 
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Exercício 
Uma lâmpada de vapor de sódio tem duas linhas amarelas intensas, 
com comprimentos de onda muito próximos, de e . Qual é 
a quantidade mínima de fendas para que essas linhas sejam vistas 
separadamente em primeira ordem? 
Resolução 
De acordo com o a equação 1.5.2 o número de fendas será 
 
 
Sendo assim, serão necessárias 1000 fendas para observar as linhas 
separadamente. 
 
Exercício 
Qual é o maior comprimento de onda que pode ser observado no 
espectro de quinta ordem usando uma rede de difração com 4.000 fendas por 
centímetro? 
 
Resolução 
Podemos empregar a equação 1.5.1 para encontrar a solução. Nesse 
caso, o maior comprimento de onda será obtido quando assumir seu valor 
máximo, 1. Além disso, a distância entre as fendas será 
. Sendo assim, 
 
 
 
 
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SÍNTESE 
Nesta aula, analisamos o comportamento das ondas eletromagnéticas 
nos fenômenos de interferência. Vimos como se dá difração da luz através de 
fendas dupla, simples e múltiplas fendas. Estudamos as imagens projetadas, 
calculamos a intensidade e a espessura da franja principal, além da posição 
dos mínimos de interferência. 
 
 
REFERÊNCIA 
PAUL, A. T. Física – Volume 2. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000.