Probabilidade Condicional e Independência

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Probabilidade 
Condicional e 
Independência 
Rodrigo de Moraes Melo 
Questões Motivacionais 
1. Ao sortearmos uma carta de um baralho comum com 52 
cartas (lusófono), qual a probabilidade de retirarmos um 
Rei? 
a) E se quiséssemos uma Rei de Paus, qual a probabilidade? 
b) E se quiséssemos um Rei, mas já nos fosse garantido 
previamente que a carta retirada é de Paus, qual a seria 
a probabilidade? 
 
HÁ DIFERENÇA ENTRE O CÁLCULO DOS ITENS (a) e (b)? 
Quais? 
Obs.: o baralho (lusófono) possui 52 cartas divididas em 4 Naipes (Paus, 
Ouros, Espadas e Copas) com 13 cartas de cada um deles (ás, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, 10, valete, Dama e Rei). 
Questões Motivacionais 
2. Uma urna contém 10 bolas Vermelhas e 8 Bolas azuis. 
Desta urna são retiradas duas bolas sucessivamente (sem 
reposição). Pergunta-se: 
a) Qual a probabilidade de saírem duas bolas azuis? 
b) Qual a probabilidade de saírem duas bolas vermelhas? 
c) Qual a probabilidade de saírem duas bolas da mesma cor? 
d) Qual a probabilidade de saírem duas bolas azuis, sabendo 
que ao retirá-las já são da mesma cor? 
e) Qual a probabilidade de saírem duas bolas verdes, 
sabendo que ao retirá-las já são da mesma cor? 
 
Probabilidade Condicional (Definição) 
Se E1 e E2 são dois eventos, a probabilidade de E2 ocorrer, 
depois de E1 ter acontecido, é definido por P(E2|E1) e é 
denominada de Probabilidade condicional de E2, depois de 
E1 ter ocorrido. 
 
𝑃 𝐸2 𝐸1 =
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)
𝑃(𝐸1)
=
𝑛(𝐸1 ∩ 𝐸2)
𝑛(𝐸1)
 
E1 E2 
E1E2 
Portanto, para calcular a probabilidade 
condicional, basta conhecer a probabilidade dos 
eventos, e não necessariamente seus espaços 
amostrais. 
 
Exemplo1: 
Qual a probabilidade de sortearmos um aluno do sexo 
feminino, sabendo que este é do curso de estatística? 
Exemplo 1: (resolução) 
 
Exemplo2: 
Uma urna contém 2 bolas brancas (B) e 3 vermelhas (V). 
Suponha que sorteamos duas bolas ao acaso sem reposição. 
Determine as probabilidades: 
a) Retirarmos a segunda bola branca, sabendo que a 
primeira foi branca. 
b) Retirarmos a segunda bola vermelha, sabendo que a 
primeira foi branca. 
c) Retirarmos a segunda bola branca, sabendo que a 
primeira foi vermelha. 
d) Retirarmos a segunda bola vermelha, sabendo que a 
primeira foi vermelha. 
Exemplo2: (resolução) 
 
Que tal 
voltarmos as 
nossa questões 
Motivacionais e 
tentarmos 
resolvê-las agora? 
Eventos Independentes 
Se a ocorrência ou não de E1 não afetar a probabilidade da 
ocorrência de E2, então P(E2|E1)=P(E2) e diz-se que E1 e E2 
são eventos independentes. Caso contrário, eles são 
dependentes. 
 
𝑃 𝐸2 𝐸1 =
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)
𝑃(𝐸1)
 
𝑃(𝐸2) =
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)
𝑃(𝐸1)
 
𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑃(𝐸1)x𝑃(𝐸2) 
Exemplo 1: 
Em uma gaveta temos 12 camisas, das quais, quatro são de 
gola polo (P) e o restante, de gola normal (N). Retirando 
duas camisas sucessivamente ao acaso e com reposição, qual 
é a probabilidade de as duas camisas serem de gola polo? 
Exemplo 1: (resolução) 
Camisas com gola normal: 8 em 12 
Camisas com gola polo: 4 em 12 
 
Retirando camisas polo sucessivamente com reposição, 
temos que o espaço amostral continua com 12 elementos. 
 
𝑃(p 𝑝)= P(p)x P(p) 
𝑃(p  𝑝)= 
4
12
x
4
12
 
𝑃(p 𝑝)= 
1
9
 
 
 
Exemplo 2: 
Em uma cesta, temos oito bombons de morango, dez 
bombons de maracujá e quatro bombons de uva. Determine 
a probabilidade de retiramos sucessivamente com reposição, 
três bombons de maracujá. 
Exemplo 2: (resolução) 
O que ocorreria se os enunciados dos 
exemplos anteriores fossem sem reposição? 
1.Em uma gaveta temos 12 camisas, das quais, quatro são de 
gola polo e o restante, de gola normal. Retirando duas 
camisas sucessivamente ao acaso e sem reposição, qual é a 
probabilidade de as duas camisas serem de gola polo? 
 
2.Em uma cesta, temos oito bombons de morango, dez 
bombons de maracujá e quatro bombons de uva. Determine 
a probabilidade de retiramos sucessivamente sem reposição, 
três bombons de maracujá. 
Eventos Dependentes 
(Regra da Probabilidade Total) 
 
𝑃 𝐸2 𝐸1 =
𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2)
𝑃(𝐸1)
 
𝑃 𝐸1 ∩ 𝐸2 = 𝑃(𝐸1)x𝑃(𝐸2|E1)