ESTRUTURAS II SLIDE 1

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ENGENHARIA CIVIL
ESTRUTURAS II
LINHAS DE INFLUÊNCIA
Prof. Paulo Emilio M. Bezerra
FACULDADE MAURÍCIO DE NASSAU
Prof. Paulo Emilio M. Bezerra7º PERÍODO – ESTRUTURAS I
Até aqui, analisamos estruturas para uma variedade de cargas, sem
considerar como a posição de uma carga concentrada ou a distribuição de
uma carga uniforme era estabelecida. Além disso, não fizemos distinção
entre carga permanente, que tem posição fixa, e sobrecarga, que pode
mudar de posição. Neste capítulo, nosso objetivo é estabelecer a posição da
carga móvel (por exemplo, um caminhão ou um trem) para maximizar o
valor de certo tipo de força (cortante ou momento em uma viga ou axial em
uma treliça) em uma seção designada de uma estrutura
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INTRODUÇÃO: 
À medida que uma carga em movimento passa por uma estrutura, as forças internas em
cada ponto da estrutura variam. Intuitivamente, reconhecemos que uma carga
concentrada aplicada em uma viga em meio vão produz tensões de flexão e deflexão
muito maiores do que a mesma carga aplicada perto de um apoio. Por exemplo,
suponha que você tivesse que atravessar um pequeno curso d’água repleto de
crocodilos, passando por cima de uma velha tábua flexível e parcialmente rachada. Você
ficaria mais preocupado com a capacidade da tábua de suportar seu peso à medida que
se aproximasse do meio vão do que quando estivesse parado no apoio da extremidade
da tábua
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
À medida que uma carga em movimento passa por uma
estrutura, as forças internas em cada ponto da estrutura variam.
Intuitivamente, reconhecemos que uma carga concentrada aplicada
em uma viga em meio vão produz tensões de flexão e deflexão
muito maiores do que a mesma carga aplicada perto de um apoio.
Por exemplo, suponha que você tivesse que atravessar um pequeno
curso d’água repleto de crocodilos, passando por cima de uma
velha tábua flexível e parcialmente rachada. Você ficaria mais
preocupado com a capacidade da tábua de suportar seu peso à
medida que se aproximasse do meio vão do que quando estivesse
parado no apoio da extremidade da tábua
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
Se uma estrutura deve ser projetada com
segurança, devemos dimensionar suas barras e
nós de modo que a força máxima em cada
seção, produzida pela sobrecarga e pela carga
permanente, seja menor ou igual à capacidade
admissível da seção. Para estabelecer as forças
de projeto máximas nas seções críticas,
produzidas por cargas que se movem,
frequentemente construímos linhas de
influência.
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
Linha de influência é um diagrama cujas ordenadas, que são
plotadas como uma função da distância ao longo do vão, fornecem o
valor de uma força interna, uma reação ou um deslocamento em um
ponto específico de uma estrutura quando uma carga unitária de 1 kN
se move pela estrutura.
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
Uma vez construída a linha de influência, podemos utilizá-la
1) para determinar onde devemos colocar carga móvel em uma estrutura
para maximizar a força (cortante, momento etc.) para a qual a linha de
influência é desenhada
2) para avaliar a magnitude da força (representada pela linha de influência)
produzida pela carga móvel. Embora represente a ação de uma única
carga em movimento, a linha de influência também pode ser usada para
estabelecer a força em um ponto produzida por várias cargas
concentradas ou por uma carga uniformemente distribuída.
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LINHAS DE INFLUÊNCIA
Para apresentar o procedimento
de construção de linhas de influência,
discutiremos em detalhes os passos
necessários para desenhar a linha de
influência da reação RA no apoio A da
viga com apoios simples da Figura (a).
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
Conforme observado anteriormente,
podemos estabelecer as ordenadas
das linhas de influência para a reação
em A calculando o valor de RA para
sucessivas posições de uma carga
unitária à medida que ela se move
pelo vão. Começamos colocando a
carga unitária no apoio A. Somando os
momentos sobre o apoio B, Figura (b).
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
calculamos RA = 1 kN. Então,
movemos a carga unitária
arbitrariamente para uma segunda
posição, localizada a uma distância L/4
à direita do apoio A, Figura (c).
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
Novamente, somando os momentos 
sobre B, calculamos RA ¾ kN Figura 
(c). Em seguida, movemos a carga 
para o meio vão e calculamos RA ½ 
kN Figura (d).
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
Para o cálculo final, posicionamos a 
carga de 1 kN diretamente sobre o 
apoio B e calculamos RA = 0 (Figura 
(e). Para construir a linha de 
influência, plotamos agora os valores 
numéricos de RA diretamente abaixo 
de cada posição da carga unitária 
associada ao valor de RA
correspondente.
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
A linha de influência mostra que a
reação em A varia linearmente de 1
kN, quando a carga está em A, até o
valor 0, quando a carga está em B.
Como a reação em A é avaliada em
kNs, as ordenadas da linha de
influência têm unidades de kN por 1
KN de carga.
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
1. Todas as ordenadas da linha de
influência representam valores de RA.
2. Cada valor de RA está plotado
diretamente abaixo da posição da
carga unitária que o produziu.
3. O valor máximo de RA ocorre
quando a carga unitária atua em A.
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
4. Como todas as ordenadas da linha de influência são positivas, uma carga
atuando verticalmente para baixo em qualquer lugar do vão produz uma
reação em A dirigida para cima. (Uma ordenada negativa indicaria que a
reação em A seria dirigida para baixo.)
5. A linha de influência é uma linha reta. Conforme você verá, as linhas de
influência de estruturas determinadas são retas ou compostas de
segmentos lineares.
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
Plotando os valores da reação de B para várias posições da carga
unitária, geramos a linha de influência de RB mostrada na Figura (g). Como
a soma das reações em A e B sempre deve ser igual a 1 (o valor da carga
aplicada) para todas as posições da carga unitária, a soma das ordenadas
das duas linhas de influência em qualquer seção também deve ser igual a 1
kip.
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CONSTRUÇÃO DE UMA LINHA DE INFLUÊNCIA
Construa as linhas de influência das reações em A e C para a viga da
Figura 8.3a.
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EXERCÍCIO 1
SOLUÇÃO
Para estabelecer uma expressão geral para os valores de RA para qualquer
posição da carga unitária entre osapoios A e C, colocamos a carga unitária a
uma distância x1 à direita do apoio A (ver Figura 8.3b) e somamos os
momentos sobre o apoio C.
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EXERCÍCIO 1
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EXERCÍCIO 1
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EXERCÍCIO 1
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EXERCÍCIO 1
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EXERCÍCIO 2
CALCULAR O ESFORÇO CORTANTE MÁXIMO E MÍNIO, DEVIDO AO CARREGAMENTO
MOVEL NA SEÇÃO ( C ) DA ESTRUTURA A BAIXO:
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
PASSO 1 – DETERMINAR OS TRECHOS
TRECHO – 2 = CDTRECHO – 1 = AC
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
PASSO 2 – ANÁLISE DO TRECHO AC
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
LI Vc(x1)=𝟔𝟔−𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
-1= 𝟔𝟔−𝑿𝑿𝑿𝑿−𝟔𝟔
𝟔𝟔
= −𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
TRECHO 1
LI Vc (0)=−𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
LI Vc (4)= −𝑿𝑿
𝟔𝟔
= −𝟒𝟒
𝟔𝟔
= −𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
LI Vc(x1)=𝟔𝟔−𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
-1= 𝟔𝟔−𝑿𝑿𝑿𝑿−𝟔𝟔
𝟔𝟔
= −𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
TRECHO 1
LI Vc (0)=−𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
LI Vc (4)= −𝑿𝑿
𝟔𝟔
= −𝟒𝟒
𝟔𝟔
= −𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
LI Vc(x1)=𝟔𝟔−𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
-1= 𝟔𝟔−𝑿𝑿𝑿𝑿−𝟔𝟔
𝟔𝟔
= −𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
TRECHO 1
LI Vc (0)=−𝑿𝑿𝑿𝑿
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
LI Vc (4)= −𝑿𝑿
𝟔𝟔
= −𝟒𝟒
𝟔𝟔
= −𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
PASSO 3 – ANÁLISE DO TRECHO CD
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
PASSO 3 – ANÁLISE DO TRECHO CD
TRECHO 2
LI Vc(x2)=𝟐𝟐−𝑿𝑿𝟐𝟐
𝟔𝟔
LI Vc (0)=𝟐𝟐−𝑿𝑿𝟐𝟐
𝟔𝟔
= 𝟐𝟐𝟎𝟎
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
LI Vc (2)= 𝟐𝟐−𝑿𝑿𝟐𝟐
𝟔𝟔
= 𝟐𝟐−𝟐𝟐
𝟔𝟔
= 𝟎𝟎
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EXERCÍCIO 2
DETERMINAR A LINHA DE INFLUÊNCIA PARA ESFORÇO CORTANTE
PASSO 4 – CRIAÇÃO DO GRÁFICO
LI Vc (0)=𝟎𝟎
LI Vc (4)= −𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
TRECHO 1
TRECHO 2
LI Vc (0)=𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
LI Vc (2)=𝟎𝟎
−𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔
𝟎𝟎,𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑
𝟎𝟎 𝟎𝟎
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EXERCÍCIO 3
CALCULAR O ESFORÇO CORTANTE MÁXIMO E MÍNIO, DEVIDO AO CARREGAMENTO
MOVEL NA SEÇÃO ( B ) DA ESTRUTURA A BAIXO:
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