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Ótica e Princípios 
de Física Moderna
Aula 1
Prof. Bruno Charneski
Óptica Física
Interferência e Coerência
A óptica física estuda 
o comportamento 
ondulatório da luz
As ondas são 
representadas 
por funções 
trigonométricas
A interferência 
é um fenômeno 
ondulatório 
Encontro de duas 
ou mais ondas em 
um determinado 
ponto
Para formar figuras de 
interferência estáveis, 
as ondas que se 
combinam devem ser 
produzidas por fontes 
coerentes (a diferença 
de fase entre as ondas 
deve ser constante)
A luz de uma lâmpada 
não produz uma 
figura de interferência 
estável porque a 
radiação emitida 
pelos átomos é 
aleatória
Duas fontes coerentes, cujo 
comprimento de onda é de 
1,5 ܿ݉, estão no plano ݔݕ, uma 
sobre o eixo dos ݕ, em ݕ ൌ
15 ܿ݉, e a outra no 
ponto ݔ ൌ 3 ܿ݉, ݕ ൌ 14 ܿ݉. 
Se as fontes estão 
em fase, calcule a 
diferença de fase 
na origem
A distância de uma fonte 
à origem é de 15 ܿ݉
A distância da outra 
fonte à origem é a 
hipotenusa: 
݄ଶ ൌ 3ଶ ൅ 14ଶ → ݄ ൌ
14,32 ܿ݉
A diferença de percurso será: 
݀ ൌ 15 ܿ݉ 14,32 ܿ݉ ൌ 0,68 ܿ݉
A diferença de fase 
será:
ߜ ൌ ௗ ଷ଺଴°
ఒ
ൌ ଴,଺଼ ଷ଺଴°
ଵ,ହ
ൎ 163°
Interferência Produzida por Duas 
Fendas (Experiência de Young)
Thomas Young realizou o 
experimento da dupla fenda
Historicamente, 
ele praticamente 
consolida o 
comportamento 
da luz como sendo 
o de uma onda
A luz propaga-se 
como uma onda
Experimento de 
Young
Para produzir uma 
figura de interferência 
estável, as fontes 
devem ser coerentes
Um aparato de dupla 
fenda produz duas 
fontes de luz 
coerentes
Segundo Huygens, cada 
abertura comporta-se 
como uma fonte pontual 
com as mesmas 
características 
da onda original 
(amplitude, 
frequência e fase)
A distância ܮ é 
muito maior do 
que a distância ݀
As retas entre as 
fendas e o ponto ܲ
são paralelas
A diferença de 
percurso deve-se 
ao triângulo
Os máximos ocorrem quando 
há o encontro de picos ou vales
A diferença de 
percurso deve ser 
de comprimentos 
de onda inteiros: 
 ݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ, ݉ ൌ 0, 1, 2, …
ߣ é o comprimento 
de 
onda e ݉ é o 
número 
de ordem, o qual 
está 
associado à 
posição 
de cada franja de
interferência
Os mínimos de 
interferência 
ocorrem quando há 
o encontro de um 
pico e um vale, isto 
é, a diferença de 
percurso é de meio 
comprimento de 
onda
݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ ൅
1
2
ߣ,
 ݉ ൌ 0, 1, 2, …
Podemos relacionar 
a distância ܮ e a 
posição ݕ௠ de uma 
determinada franja 
ao ângulo ߠ:
tan ߠ ൌ ௬೘
௅
Para ߠ pequeno: 
ݐܽ݊ߠ ൎ ݏ݁݊ ߠ
Então, ݏ݁݊ ߠ ൌ ௬೘
௅
Substituindo 
na equação 
dos máximos 
teremos:
ݕ௠ ൌ ݉
ఒ௅
ௗ
ߣ, ܮ, ݀ são fixos, 
assim, vemos 
que a distribuição 
das franjas é 
uniforme
A intensidade da 
luz projetada é 
calculada pela 
soma das funções 
de onda que se 
interferem
Considere duas ondas 
eletromagnéticas representadas 
pelas funções a seguir:
 ܧଵൌ ܣ଴ ݏ݁݊ ߱ݐ
 ܧଶൌ ܣ଴ ݏ݁݊ ߱ݐ ൅ ߜ
ߜ representa a 
diferença de fase 
entre as ondas
Somando as ondas, 
obtemos:
ܧ ൌ ܧଵ ൅ ܧଶ ൌ
2ܣ଴ cos
ఋ
ଶ
 ݏ݁݊ ߱ݐ ൅ ఋ
ଶ
Onde usamos a 
identidade 
trigonométrica: 
ݏ݁݊ ߙ ൅ ݏ݁݊ ߚ
ൌ 2 cos
ߙ െ ߚ
2
 ݏ݁݊
ߙ ൅ ߚ
2
 
A amplitude da onda 
resultante é: 
2ܣ଴ cos ߜ 2⁄
O valor máximo: 
ondas em fase 
O valor mínimo: 
defasadas de 180°
A intensidade da onda será: 
ܫ ൌ 4ܫ଴ ܿ݋ݏଶ 
ఋ
ଶ
Tal que ܫ଴ é a intensidade 
produzida por apenas 
uma das fendas e ߜ
pode ser obtido por 
meio de uma regra 
de proporção direta, 
ou seja: 
ߜ ൌ ଶగ
ఒ
݀ ݏ݁݊ ߠ
A luz de um laser, cujo 
comprimento de onda é 633 ߟ݉, 
incide normalmente em 
um plano no qual existem 
duas fendas. O 
primeiro máximo 
de interferência está 
a 82 ܿ݉ do máximo 
central em uma tela 
a 12 ݉ de distância 
a)Calcule a distância 
entre as fendas 
b)Quantos máximos de 
interferência podem 
ser observados?
O ângulo ߠ referente ao 
primeiro máximo será: 
ߠ ൌ ܽݎܿ ܿ݋ ܿܽ⁄ ൌ
ܽݎܿݐ݃ 0,82 12⁄ ൌ 3,91°
Com isso: 
݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ → ݀ ൌ 9,28 ߤ݉ 
Para encontrar o 
número de máximos 
admitimos, o maior 
ângulo possível, ou 
seja, ߠ ൌ ߨ 2⁄
݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ → ݉ ൌ 14,66 
A partir do máximo 
central (m = 0), 
existem 14 franjas 
para um lado e 
14 para o outro, 
totalizando 29 
máximos
Difração Produzida por 
uma Única Fenda
Nesse caso, a intensidade luminosa 
da figura varia com a posição
Para descrever 
o fenômeno da 
difração, vamos 
considerar uma 
fenda de largura ܽ
Podemos imaginar 
que ao longo da 
fenda está 
distribuído um 
grande número de 
fontes pontuais, as 
quais emitem ondas 
coerentes com a
mesma intensidade
Para encontrar 
os mínimos, vamos 
considerar que um 
zero de intensidade 
se deve à interferência 
das ondas da primeira 
fonte e de uma fonte 
central, e assim por 
diante
Sendo assim, para 
o primeiro zero de 
intensidade 
teremos: 
ݏ݁݊ ߠ ൌ ఒ
௔
 
Para a posição do 
segundo mínimo, 
devemos considerar os 
pares formados pela 
primeira fonte e 
outra localizada a 
uma distância de ܽ/4, 
o que resulta: 
ܽ ݏ݁݊ ߠ ൌ 2ߣ
Seguindo esse esquema, 
a expressão geral para os 
zeros será dada por: 
ܽ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ ݉ ൌ 1, 2, 3, …
A posição do 
primeiro mínimo 
está relacionada 
ao ângulo ߠ:
tan ߠ ൌ ௬
௅
Para ߠ pequeno: ݐܽ݊ߠ ൎ ݏ݁݊ ߠ
Assim, a equação 
para o primeiro 
mínimo será:
 ݕ ൌ ௅ఒ
௔
A qual fornece a largura 
do máximo central
Um feixe de micro-
ondas incide 
normalmente em 
uma fenda com 5 ܿ݉
de largura. O 
primeiro mínimo de 
difração é 
observado para ߠ ൌ
37°. Qual é o 
comprimento 
da onda?
Com o ângulo e a largura 
da fenda, o comprimento 
de onda pode ser obtido 
da aplicação direta da
fórmula:
ݏ݁݊ ߠ ൌ 
ߣ
ܽ
ݏ݁݊ 37° ൌ ఒ
଴,଴ହ
→ ߣ ൌ 0,03 ݉
Difração Produzida por 
Duas Fendas Largas
A imagem é uma composição dos 
fenômenos de interferência e 
difração
Figura de difração formada a partir de duas 
fendas de largura ܽ e distância ݀ = ૚૙ܽ
Note que a parte central tem uma 
linha mediana e outras nove 
franjas de cada lado 
As franjas das 
extremidades 
delimitam o 
primeiro mínimo de 
intensidade devido 
à difração, 
resultando:
ݏ݁݊ ߠ ൌ ఒ
௔
ൌ ଵ଴ఒ
ௗ
O número de franjas na parte 
central será dado pela combinação 
da posição dos máximos 
de interferência com a 
posição do primeiro 
mínimo de difração, 
sendo assim: 
௠ఒ௅
ௗ
ൌ ఒ௅
௔
→ ݉ ൌ ௗ
௔
 
No caso anterior 
݉ ൌ 10. Como a 
décima franja, 
a partir do centro, 
não 
é visível, o número 
de franjas será 
dado por:
 ܰ ൌ 2 ݉ െ 1 ൅ 1 ൌ 2݉ െ 1 
Uma figura de 
interferência e difração 
produzida por duas 
fendas é observada 
com uma luz cujo 
comprimento de onda 
é 500 ߟ݉. As fendas têm 
largura ܽ e estão 
separadas por uma 
distância de 0,1 ݉݉. 
a)Qual deve ser a largura ܽ
para que o quinto máximo 
de interferência ocorra para 
o mesmo ângulo que 
o primeiro mínimo 
de difração? 
b)Nas condições do 
item (a), quantas 
franjas claras serão 
observadas na 
região central?
A largura da fenda será:
݉ ൌ ௗ
௔
→ 5 ൌ ଴,ଵ ൈ ଵ଴
షయ
௔
→ ܽ ൌ 20 ߤ݉ 
E o número de 
franjas:
ܰ ൌ 2݉ െ 1 ൌ 2 5 െ 1 ൌ 9
Redes de Difração
Uma sequência de 
pequenas fendas 
muito próximas
Cada fenda 
comporta-se como 
uma fonte pontual
Maior resolução, 
pois a amplitudeda onda é ܰ vezes 
a produzida por 
uma única fenda, 
logo:
ܫ ൌ ܰଶܫ଴
A imagem é semelhante àquela 
produzida por duas fendas, com 
linhas menos intensas entre os 
máximos
Imagem produzida 
por uma fenda, duas 
fendas e dez fendas
Largura ܽ e distância 
݀ = 3ܽ entre elas
As fontes interagem 
em pares contíguos, 
a localização dos 
máximos dá-se como 
na experiência de 
dupla fenda:
݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ, 
݉ ൌ 0, 1, 2, …
A posição dos máximos 
não é afetada pela 
quantidade de fendas, 
mas a espessura das 
linhas sim 
Para demonstrar esse 
fato, adotaremos 
um tratamento 
semelhante ao da 
difração por uma 
única fenda
A largura da fenda ܽ
deve ser substituída 
pela distância entre 
a primeira fenda e a 
de ordem ܰ, dada 
por: 
ܰ െ 1 ݀ ൎ ܰ݀
A espessura do 
meio máximo 
central será:
ݏ݁݊ ߠ ൌ ఒ
௔
→ ݏ݁݊ ߠ ൌ ఒ
ேௗ
Para ߠ pequeno: 
ߠ ൎ
ߣ
ܰ݀
O resultado refere-se 
à largura da linha em 
relação ao centro, a 
largura total será 2ߠ
Quanto maior o 
número de fendas, 
menor será a 
espessura das linhas
O espectroscópio é 
utilizado para determinar 
o comprimento de onda 
emitido por fontes 
luminosas por meio da 
medida do ângulo ߠ
Separar linhas espectrais de 
comprimentos de onda muito 
próximos
Duas linhas podem ser 
vistas separadamente 
se seus máximos de 
difração não estiverem 
superpostos 
A largura dos máximos 
de difração está 
associada ao número 
de fendas da rede
O poder separador 
ܴ é definido por:
ܴ ൌ ఒ
|୼ఒ|
ൌ ݉ܰ
Onde ݉ é o número 
de ordem e ܰ a 
quantidade de 
fendas
Qual é o maior 
comprimento de 
onda que pode 
ser observado no 
espectro de quinta 
ordem usando uma 
rede de difração 
com 4.000 fendas 
por centímetro?
Como ݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ,
teremos o maior 
comprimento de onda 
quando ݏ݁݊ ߠ ൌ 1
A distância entre 
as fendas será: 
݀ ൌ 1 4000 ൌ 250 ߤܿ݉ ൌ 2,5 ߤ݉⁄
Sendo assim: 
݀ ݏ݁݊ ߠ ൌ ݉ߣ
2,5 ൈ 10ି଺ 1 ൌ 5 ߣ
ߣ ൌ 500 ߟ݉
Referências
TIPLER, Paul A., 
Física. 4. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 
2000. v. 3. 
http://carlosorsi.blogs
pot.com.br/2015/11/f
enda-dupla-
consciencia-mente-
materia.html
http://mundoeducaca
o.bol.uol.com.br/fisica
/o-que-sao-ondas-
eletromagneticas.htm
http://sites.ifi.unica
mp.br/laboptica/rote
iros-do-
laboratorio/3-
difracao-de-fendas/
http://player.slidepl
ayer.com.br/1/3336
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