Apostila de Mecânica Aplicada IFES

Prévia do material em texto

CSO-Ifes-55-2009 
GERÊNCIA DE ENSINO 
COORDENADORIA DE RECURSOS DIDÁTICOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA APLICADA 
E 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica 
 
 
CSO-Ifes-55-2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECÂNICA APLICADA 
E 
RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
JOÃO PAULO BARBOSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Mateus, Maio de 2011. 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
1 Sistemas de Unidades ................................................................................... 4 
1.1 Sistema Internacional - SI .............................................................................. 7 
1.2 Sistema Inglês ................................................................................................ 7 
1.3 Sistema Gravitacional Britânico ...................................................................... 8 
 
2 Estática de pontos materiais ...................................................................... 13 
2.1 Introdução .................................................................................................... 13 
2.2 Força Resultante .......................................................................................... 13 
2.3 Forças no Plano ........................................................................................... 13 
2.4 Componentes Cartesianas de uma força ..................................................... 14 
2.5 Equilíbrio de um ponto material .................................................................... 16 
 
3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças ................................... 24 
3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos ................................... 24 
3.2 Princípio de transmissibilidade ..................................................................... 25 
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto ........................................... 26 
3.4 Momento de um conjugado .......................................................................... 26 
3.5 Conjuntos Equivalentes ................................................................................ 27 
 
4 Equilíbrio de corpos rígidos ....................................................................... 34 
4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões: ................................... 34 
4.2 Reações nos Apoios e Conexões. ............................................................... 35 
 
5 Análise das Estruturas ................................................................................ 46 
5.1 Análise de Treliças ....................................................................................... 46 
5.2 Análise de uma estrutura.............................................................................. 49 
5.3 Máquinas ...................................................................................................... 52 
 
6 Centróide e Baricentro ................................................................................ 73 
6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos ............................................ 74 
 
7 Movimento Circular ..................................................................................... 81 
7.1 Velocidade Angular () ............................................................................... 81 
7.2 Período (T) ................................................................................................... 81 
7.3 Frequencia (f) ............................................................................................... 81 
7.4 Rotação (n) ................................................................................................... 82 
7.5 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) ....................................................... 82 
 
8 Relação de Transmissão (i)......................................................................... 84 
8.1 Transmissão por Correias ............................................................................ 84 
8.2 Transmissão por engrenagens ..................................................................... 85 
 
9 Torção Simples ............................................................................................ 87 
9.1 Momento Torçor ou Torque (MT) .................................................................. 87 
9.2 Torque nas Transmissões ............................................................................ 88 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
2 
 
 
10 Potência (P) .................................................................................................. 90 
10.1 Torque X Potência .................................................................................... 91 
10.2 Força Tangencial (FT) ............................................................................... 92 
 
11 Rendimento das Transmissões () .......................................................... 102 
11.1 Rendimento das transmissões ................................................................ 102 
11.2 Perdas nas Transmissões ....................................................................... 103 
 
12 Noções de Resistência dos Materiais ...................................................... 113 
12.1 Introdução ............................................................................................... 113 
12.2 Esforços externos ou carregamentos ...................................................... 114 
12.3 Solicitações Simples ............................................................................... 116 
12.4 Solicitações Compostas .......................................................................... 118 
12.5 Ensaio de Tração .................................................................................... 119 
12.6 Modos de falhas trativas: ........................................................................ 120 
12.7 Tensões .................................................................................................. 120 
12.8 Módulo de Elasticidade ........................................................................... 121 
12.9 Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência:............ 122 
 
13 Tração e compressão ................................................................................ 124 
13.1 Carregamento Axial ................................................................................ 124 
13.2 Deformação sob Carregamento Axial ..................................................... 124 
13.3 Tensão Normal  .................................................................................... 125 
13.4 Deformação Longitudinal (ε) ................................................................... 125 
13.5 Deformação Transversal (εt) ................................................................... 126 
13.6 Estricção ................................................................................................. 126 
13.7 Coeficiente de Segurança k .................................................................... 126 
 
14 Flexão ......................................................................................................... 133 
14.1 Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor ...................................... 133 
14.2 Tensão de Flexão ................................................................................... 134 
 
15 Torção ......................................................................................................... 138 
15.1Transmissão de Potência ........................................................................ 138 
15.2 Análise das Tensões num Eixo ............................................................... 139 
15.3 Deformações nos Eixos de Secção Circular ........................................... 140 
15.4 Tensão de Torque ................................................................................... 141 
15.5 Tensões no Regime Elástico................................................................... 141 
15.6 Modos de Falhas Torcionais ................................................................... 142 
15.7 Ângulo de Torção no Regime Elástico .................................................... 145 
15.8 Eixos Estaticamente Indeterminados ...................................................... 145 
 
16 Flambagem ................................................................................................. 149 
16.1 Módulo de Young .................................................................................... 149 
16.2 Carga Crítica de Flambagem .................................................................. 149 
16.3 Indice de Esbeltez ................................................................................... 150 
16.4 Flambagem de Colunas .......................................................................... 151 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
3 
 
 
17 Equipamentos de Elevação e Transporte ................................................ 152 
17.1 Movimentação de Cargas ....................................................................... 152 
17.2 Tipos de Cintas: ...................................................................................... 155 
17.3 Amarração............................................................................................... 165 
17.4 Proteções ................................................................................................ 168 
 
18 Equipamentos de elevação e Transporte ................................................ 174 
18.1 Equipamentos de elevação: .................................................................... 174 
18.2 Equipamentos de Guindar ...................................................................... 174 
18.3 Equipamento para Içamento ................................................................... 180 
18.4 Plano de Rigging ..................................................................................... 181 
18.5 Capacidade da Carga ............................................................................. 183 
18.6 Rigger Sinaleiro....................................................................................... 183 
18.7 Travamentos ........................................................................................... 184 
18.8 Cordas Guias .......................................................................................... 185 
18.9 Patolamento ............................................................................................ 186 
18.10 Condições Gerais para Operação de Guindastes ................................... 187 
18.11 Operação de Giro – Área de Giro ........................................................... 189 
18.12 Local de Descarga – Área de montagem ................................................ 190 
18.13 Caminhão Munck .................................................................................... 191 
18.14 Uso dos Equipamentos de Elevação e Transporte ................................. 193 
18.15 Código de Sinais para Içamento e Movimentação de Cargas ................ 195 
 
Referencias Bibliográficas: ............................................................................. 199 
 
Respostas dos Exercícios: .............................................................................. 200 
 
ANEXO A ........................................................................................................... 205 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
4 
 
CAPÍTULO 1 
 
1 Sistemas de Unidades 
 
Se o instrumento é utilizado para medir variáveis de processos, convém então 
mencionar rapidamente sobre sistemas de unidades usados para medir a 
magnitude de grandezas (as variáveis dos processo mecânicos) e expressá-las 
como dimensões. Na medida em que ainda há diversos sistemas de unidades 
utilizados pelo homem, a sua definição e estabelecimento corretos auxiliam no 
processo de conversão de unidades entre os vários sistemas de unidades 
disponíveis. 
 
Há vários sistemas de unidades em uso nos ambientes industrial, comercial, 
laboratorial, residencial, etc. Por convenção, há um sistema aceito 
internacionalmente, estabelecido pela Conferência Geral de Pesos e Medidas 
(toda a documentação das Conferências é mantida e divulgada pelo Bureau 
International des Poids et Mesures – BIPM), o Sistema Internacional de 
Unidades - SI. As unidades básicas do SI, como todos sabemos, são o metro [m], 
a massa [kg], o segundo [s], o Kelvin [K], o Ampere [A] o mole [mol] e a candela [cd], 
para as dimensões comprimento, a massa, o tempo, a temperatura, a corrente, a 
quantidade de matéria e a intensidade luminosa, respectivamente. Todas as outras 
unidades são chamadas de unidades derivadas (joule [J] para trabalho, watt [W] 
para potência, etc), pois são definidas em termos das unidades básicas. 
 
Atribui valores numéricos específicos para fenômenos físicos observáveis, de 
maneira que estes possam ser descritos analiticamente. 
 
DIMENSÃO quantidade física utilizada para definir qualitativamente uma 
propriedade que pode ser medida ou observada. 
 
Exemplo: Comprimento [L], Tempo [t], Massa [M], Força [F] e Temperatura []. 
 
UNIDADE são nomes arbitrários atribuídos às dimensões. 
 
Exemplo: dimensão  comprimento 
 unidades  centímetros, pés, polegadas, 
 
 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
5 
 
 
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades 
 
 
Assim, a dimensão especifica a magnitude da grandeza (variável do processo) 
medida de acordo com o sistema de unidades adotado. No SI a unidade da 
grandeza comprimento é o metro, em outros sistemas de unidade podem ser em a 
polegada, o centímetro, o kilômetro, a milha, etc. 
 
Em várias áreas industriais diferentes sistemas de unidades que misturam unidades 
do SI, com unidades inglesas e antigas unidades de comércio têm uso corrente. São 
comumente referidas como Unidades de Engenharia. É o caso, por exemplo, da 
indústria hidráulica: o diâmetro de tubulações é usualmente referido em polegadas 
(dimensão típica em uso nos USA e outros países de língua e industrialização de 
origem inglesa e americana), e o comprimento desta mesma tubulação pode ser 
referido em metros. Compra-se no comércio, mesmo no Brasil, uma tubulação de 
PVC de 6 m comprimento e 2” (polegadas) de diâmetro, classe 10 - pressão de 
trabalho de 10 atm (atmosferas, ou 1.01325 x 106 N/m2). Na indústria do petróleo a 
produção (a vazão de óleo, volume na unidade de tempo) é medida em barris/dia 
[bbl/dia]. 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
6 
 
 
Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades 
 
 
O Sistema CGS foi corrente na área da mecânica, e se baseava em três dimensões 
e suas unidades básicas: o centímetro, o grama e o segundo. 
 
Na indústria automobilística de matriz baseada nos USA, todas as dimensões – 
folgas de válvulas, bitola de parafusos e porcas, tamanho de rodas, etc, têm por 
base o Sistema Inglês de Unidades. O SistemaInglês, por sua vez, tem unidades 
de uso próprio nos USA, que diferem, em valor, de unidades usadas na Inglaterra: o 
pé inglês é maior que o pé americano, assim como o galão, etc. 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
7 
 
 
1.1 Sistema Internacional - SI 
 
 
L Comprimento metro m 
M Massa quilograma kg 
t Tempo segundo s 
 Temperatura graus Celsius ou Kelvin C ou K 
 
Força: definida pela 2ª Lei de Newton 
 
a.mF  
 
F - força [N] 
m - massa [kg] 


  N
s
mkgamF
2
 . 
a - aceleração [m/s2] 
 
1.2 Sistema Inglês 
 
 
L Comprimento Pés ft 
M Massa libra-massa lbm 
F Força libra-força lbf 
t Tempo Segundo s 
 Temperatura graus Fahrenheit ou Rankine F ou R 
 
 
Força: é estabelecido como uma quantidade independente definida por 
procedimento experimental: a força de 1 lbf acelerará a massa de 1 lbm 32,174 pés 
por segundo ao quadrado. 
 
- Ao relacionar força e massa pela lei de Newton, surge uma constante de 
proporcionalidade, gc: 
lbf
g
sftlbm
g
amF
cc
1)/174,32.(1.
2
 
 
- gc terá as dimensões MLF-1t-2 
- para sistema inglês: 2.
.174,32
slbf
ftlbmgc  
 
gc tem o mesmo valor numérico que a aceleração da gravidade ao nível do mar, mas 
não é aceleração da gravidade. Serve para relacionar estas quantidades. 
 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
8 
 
1.3 Sistema Gravitacional Britânico 
 
 
L Comprimento pés ft 
M Massa slug slug 
F Força libra-força lbf 
t Tempo segundo s 
 Temperatura graus Fahrenheit ou Rankine F ou R 
 
Outros: 
 - Sistema Técnico de Engenharia: kg, m, s, kgf 
 gc= 9,80665 kg.m/(kgf.s2) 
 
- Sistema CGS: g, cm, s, dina 
 
 
PESO  MASSA 
 
O Peso de um corpo é definido como a força que age no corpo resultante da 
aceleração da gravidade. Varia com a altitude. 
 
Prefixo usados no SI 
 
Para facilitar a escrita de grandezas de magnitude muito grande ou muito pequenas, 
as unidades podem ser acompanhadas de prefixos que designam seus múltiplos e 
submúltiplos. 
 
Prefixos do SI 
 
Prefixo Símbolo Fator multiplicador 
exa E 1.000.000.000.000.000.000 
peta P 1.000.000.000.000.000 
terá T 1.000.000.000.000 
giga G 1.000.000.000 
mega M 1.000.000 
quilo k 1.000 
hecto h 100 
deca da 10 
deci d 0,1 
centi c 0,01 
mili m 0,001 
micro µ 0,000 001 
nano n 0,000 000 001 
pico p 0,000 000 000 001 
femto f 0,000 000 000 000 001 
atto a 0,000 000 000 000 000 001 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
10 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
11 
 
1) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado. 
 
a) 20000mm: m 
b) 14000000000 W: GW 
c) 2,75x104Pa: kPa 
d) 0,000055kg: g 
e) 0,00023cm: µm 
f) 250kN: N 
g) 0,0043 MPa: Pa 
h) 0,000025A: mA 
 
2) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado. 
a) 50000N: kN 
b) 200000MPa: GPa 
c) 75000N: kN 
d) 0,000014kg: g 
e) 0,1x10-3 mm µm 
f) 500 000 000 N/m² kN/mm² 
g) 150km/h: m/s 
h) 20m/s km/h 
i) 30m/s km/min 
j) 120km/h m/min 
k) 50l m³ 
l) 100m³ l 
m) 200m² cm² 
n) 10pol cm 
o) 100mm pol 
p) 120HP KW 
q) 2000W CV 
r) 50Bar Psi 
 
3) Exercícios: 
 
a) A saltadora Marren Maggi conquistou medalha de ouro em Pequim 2008 saltando 
7,04m. Transforme essa marca em polegada. 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
12 
 
b) Uma viagem de trem, no trem de passageiro na estrada de ferro Vitória-Minas dura 
em media 13h e 30min, transforme esse tempo em segundo. 
 
c) Um elefante em média tem 12 toneladas de massa. Uma bola de futebol tem 0,45kg 
de massa. Transforme ambas as massas em g. 
 
d) Um homem aplicou uma força de 18kgf para carregar uma grade de cerveja cheia. 
Transforme essa força em kN. 
 
e) O professor João Paulo, uma vez por semana, calibra os pneus de seu super carro 
com 30PSI. Transforme essa pressão em Bar. 
 
f) A caixa d’água de 1000L leva 1h e 40min para encher completamente. Qual a vazão 
em dm³/min do dispositivo de abastecimento da caixa d’água? 
 
g) Uma garrafa de água mineral de 1,5L tem um volume de quantos cm³ ? 
 
h) No campo de futebol oficial, a distância entre as balizas verticais é de 7320mm, e a 
distância entre a baliza horizontal e o solo é de 244cm. Qual é a área do gol em m² ? 
 
i) Em Pequim 2008, César Cielo venceu os 50 metros livres da natação em 21,30 
segundos qual é a velocidade dele em km/h? 
 
j) Em um dia ensolarado o professor João Paulo foi à praia com sua prancha, neste dia 
as ondas estavam pequenas. A maior onda que João Paulo conseguiu se divertir foi 
de 1,65 m. Transforme a altura da onda de metros para polegadas. 
 
k) O vôo entre Rio e Madri dura em media 12h e 25min. Transforme esse tempo em 
segundo. 
 
l) Uma girafa em media tem 3,5 toneladas de massa. Uma bola de basquete tem 0,565 
Kg de massa. Transforme ambas as massas em g. 
 
m) Um homem aplicou uma força de 2 KN para empurrar um carro. Transforme essa 
força em Kgf. 
 
n) A pressão atmosférica em Fortaleza, ao nível do mar é de 1 atm , ou 1Kgf/cm². Em la 
Paz a 3600 m de altitude ela cai 2/3. Calcule a pressão em Pa em La Paz. 
 
o) Em uma piscina olímpica as dimensões são 0,05km de comprimento, 2.500cm de 
largura e 2.000mm de profundidade. Quantos litros de água cabe na piscina? 
 
p) Uma garrafa pet de 2,25 L tem um volume de quantos cm³ ? 
 
q) A FIBA determina que para competições oficiais a quadra de basquete devera ter 
2800cm de comprimento e 150dm de largura. Qual é a área da quadra de basquete 
m² ? 
 
r) Usain Bolt em Pequim correu 100m em 9,69 segundos qual é a velocidade dele em 
Km/h? 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
13 
 
CAPÍTULO 2 
 
2 Estática de pontos materiais 
 
2.1 Introdução 
 
O que é Mecânica? 
Pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou 
movimento de corpos sob ação de forças. 
 
Corpos rígidos, deformáveis e fluidos. 
 
2.2 Força Resultante 
 
A somatória das forças que atuam em um dado ponto material é a força resultante. 
(produz o mesmo efeito que as forças originais) 
 
2.3 Forças no Plano 
 
Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela é caracterizada por seu 
ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 
 
2ª Lei Newton: F=m.a e no SI (N) 
 
Fazendo a regra do Paralelograma. 
 
 
As forças não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou na aritmética. 
 
Caso possua mais de um vetor 
 
P 
P + Q + S 
Q + S 
Q 
S 
P 
R 
Q 
P 
R 
Q 
ou 
A 
P P 
Q Q 
R R = P + Q 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
14 
 
2.4 Componentes Cartesianas de uma força 
 
Em muitos problemas é desejável decompor uma força em duas componentes 
normais uma à outra. 
 
Fx = F cos θ e Fy = F sen θ 
 
F² = Fx²+ Fy² 
 
 
Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y. 
 
Resultante da soma dos vetores P, Q e S. 
 
Teremos as componentes: 
Rx + Ry; Px + Py ; Qx + Qy ; Sx + Sy.Sendo assim: Rx = Px + Qx + Sx e Ry = Py + Qy + Sy 
 
Aonde: Rx = ΣFx e Ry = ΣFy 
 
 
 
 R² = Rx²+ Ry² 
 
S 
P 
Q 
A 
S 
P 
Q 
A 
Sx 
Sy 
Px 
Py 
Qx 
Qy 
Ry 
Rx 
R 
Fy 
Fx 
F 
y 
x o 
θ 
F 
x 
y 
θ Fy 
Fx 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
15 
 
Exemplo 1: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um 
terceiro cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que 
a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical. 
 
 
 
Calculando a distância AC = 25 m. 
 
Como é vertical Rx = ΣFx=0 
 
Logo a Resultante é Ry 
 
Decompondo os vetores XY 
 
F1 = (-30.cos 25°) em x e (-30.sen 25°) em y 
 
F2 = (12.sen 10°) em x e (-12.cos 10°) em y 
 
 
TAC = (TAC.sen θ) em x e (-TAC.cos θ) em y (adotado o sentido de TAC) 
 
 
25
15
sen 
 
 
25
20cos  
 
010cos1225cos30  senTFR ACxx 
kNTAC 619,25sen 
10 cos 12 - 25 cos 30




 
 
 
 
A 
B C 
10° 25° 
30kN=F1 
12kN=F2 
15
m 
20
m 
θ 20 
25 
15 
F1 = 30 KN 
F2 = 12 KN 
Tac= ? 
R ↨ 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
16 
 
2.5 Equilíbrio de um ponto material 
 
Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, 
este ponto está em equilíbrio. 
 0R 




0
0
yy
xx
FR
FR
 
 
100N 100N 
 
Exemplo 2: Como parte do projeto de um novo veleiro deseja-se determinar a força 
de arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é 
colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal por 
meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetro indicam que, para 
uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200N e de 300N no cabo 
AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC. 
 
 
Decompondo os vetores XY 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrar α e β 
75,1
2,1
1,2
tg e 375,0
2,1
45,0
tg 
α = 60,26° β = 20,56° 
 
AEACAB TTTTR  
 
Corpo em equilíbrio 
 NF
senTsenTF
F
ACAB
x
37,98
0
0




 NT
TTT
F
AC
ACABAE
y
5,214
0coscos
0




A 
B C 
E 
Fluxo 
1,2m 
1,2m 
0,45m 2,10m 
α 
β 
AB = 200N 
AE = 300N 
Fmastro = ? 
AC = ? 
 
TAB 
TAc 
F 
TAE 
A 
α β 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
17 
 
Exemplo 3: A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem atrito. 
A mola presa à manga tem constante 1751 N/mm e elongação nula quando a manga 
está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P 
necessária para manter o equilíbrio quando: (a) c= 228 mm e (b) c= 406 mm. 
 
 
mmLLx
mmLCLL
8,75
8,380²²²
0
0


 
 
NF
xKF
72,132
1088,751751 3

  (F: força da mola; Δx: deslocamento da mola) 
 
 
D.C.L 
 
 
 
 
 
 
F 
Fat=0 
Μ=0 N 
ω 
P 
Equilíbrio 
L
CFP
FP
Fx


 
0cos
0

L
C
cos 
L 
L0 
C 
A 
B 
C 
305 mm 
P 
k = 1751 N/m 
P = ? 
C = 228 mm 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
18 
 
Exemplo 4: Caixotes de 30 kg estão suspensos por diversas combinações de corda 
e roldana. Determine, em cada caso, a tração na corda. (A tração na corda é a 
mesma dos dois lados da roldana, Veremos isto mais tarde). 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
A 
T 
T 
T 
T 
T 
P 
T’ 
T T 
T’ 
B 
C 
Roldana B 
T T 
T’ 
Roldana C 
T T 
T’ 
P 
T’ = 2T 
4
22
02'0
PT
PTT
PTTFy



 
T 
T T 
T 
T T T 
T T 
R 
P 
P 
TR
Fy
2
0

 
2
02
0
PT
PT
Fy



 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
19 
 
Exercícios: 
 
1) Determine a Força resultante das quatros forças aplicadas na figura abaixo: 
 
a) b) 
 
 
2) Determine a Força Resultante das Forças aplicada no desenho abaixo. 
 
 
a) b) 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
20 
 
 
3) Determine o peso máximo do motor que pode ser suportado sem exceder uma 
força de 450N na corrente AB e de 480N na corrente AC. 
 
4) Uma caixa é erguida com um guincho pelas cordas AB e AC. Cada corda resiste a 
uma força de tração máxima de 2500 N sem se romper. Se AB permanece sempre 
horizontal e AC permanece com θ = 30°, determine o peso máximo da caixa para 
que ela posa ser levantada. 
 
 3) 4) 
 
5) João tenta alcançar Maria subindo com velocidade constante por uma corta 
amarrada no ponto A. Qualquer um dos três segmentos de corda suporta uma força 
máxima de 2 kN sem se romper. Determine se João, que tem massa de 65 kg, pode 
subir pela corda. Em caso positivo, verifique se ele, juntamente com Maria, que tem 
massa de 60 kg, pode descer pela corda com velocidade constante. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
21 
 
 
6) Um bloco de 200kg pende de uma pequena polia que pode rolar sobre o cabo 
ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição mostrada abaixo por um segundo 
cabo DF, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine a tração no cabo ACB e no cabo 
DF. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana. Adote gravidade 
10m/s². 
 
7) Determine a força resultante das 4 forças aplicadas no ponto O. Sendo F1 = 6kN, 
F2 = 4kN e θ = 25°. 
 
8) Duas esferas carregadas eletricamente, cada uma com massa de 0,2g, estão 
suspensas por fios leves de igual comprimento. Determine a força horizontal de 
repulsão F que atua em cada esfera se a distancia medida entre elas é r = 200mm. 
(considere gravidade 10m/s²). 
 
 
 7) 8) 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
22 
 
9) Determine a força resultante das 3 forças aplicadas no ponto indicado na figura. 
 
10) Determine o peso da luminária suspensa, sabendo que a deformação da mola é 
de 0,3m na posição mostrada. 
 
 
 
 9) 10) 
 
 
11) Determine a força resultante das 3 forças aplicadas no ponto A. 
 
12) Determine a força resultante das 3 forças aplicadas no ponto O. 
 
 
 11) 12) 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
23 
 
13) Determine a força necessária nos cabos AB e AC para suporta o semáforo de 15 
kg. (Gravidade 10m/s²). 
 
 
14) Determine o peso da Bola suspensa em E, sabendo que a deformação da mola 
é de 0,2m na posição mostrada e sua constante elástica é k = 300N/m 
 
 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
24 
 
CAPÍTULO 3 
 
3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças 
 
3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos 
 
a) Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido 
considerado. 
Causarão o movimento (rotação/translação) ou assegurarão a permanência em 
repouso. 
 
b) Forças Internas: Mantémunidas as partículas que formam o corpo rígido. Se o 
corpo rígido é composto de diversas partes, essa força que mantém estas partes 
unidas. 
(Somatório das forças internas é zero) 
 
Guindastes: 
 
 
 
 
D.C.L. Guindaste (estrutura) 
 
 
D.C.L. da Barra BE D.C.L. da Barra ABC 
EBBE FF  jCiCC yx  
P TDG 
A Ay 
Ax 
jAiAA yx  
0 DGext TPAF 
P 
Barras: 
.,, ABCDCEFBE 
D C E F 
G A 
 B 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
25 
 
 
 
D.C.L. da Barra DCEF 
 
 
 
 
3.2 Princípio de transmissibilidade 
 
Este princípio é definido pelos pontos em que a força pode estar atuando em um 
corpo, sem que altere o efeito que ela exerce sobre o corpo. Uma força pode atuar 
em qualquer ponto sobre a sua linha de ação que o efeito causado no corpo será o 
mesmo. 
 
 
 
F 
F’ 
F” 
A 
A’ A” 
= 
R1 R1 R2 R2 
P P 
F F 
Cx Cy 
FEB 
P 
TDE 
α 
E 
FBE 
B 
FEB 
FBE 
Ay 
Ax 
Cy 
Cx 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
26 
 
 
3.3 Momento de uma força em relação a um ponto 
 
Momento é a tendência de giro que uma força aplicada a um ponto tende a outro 
ponto do corpo. 
 
Força no Plano xy 
 


FsenF
FF
FeF
Fdescomponente
y
x
yx

 cos
 

rsend
rd
ded
rdescomponente
y
x
yx

 cos
 
 
Momento de uma força em relação a um ponto é força vezes a distancia da linha de 
ação da força ao ponto aonde quero calcular o momento. 
 
yxxy dFdFM 0 
 
3.4 Momento de um conjugado 
 
Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e 
sentidos opostos formam binários 
 
0
0




M
F
 
 
Podemos calcular o momento das duas forças em relação a qualquer ponto do 
corpo, que o momento sempre será o mesmo. 
 
x 
y 
A 
B 
d 
F -F 
No caso de forças 
binárias, o momento 
é calculado pela 
força e a menor 
distância entre elas. 
 
M=F.d 
A 
Fy 
Fx 
F 
α 
r 
y 
x 
 
θ 
x 
y 
A 
B 
rA 
rB 
F -F 
= 
A 
F 
α 
r 
y 
x 
 
= 
θ 
F -F 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
27 
 
 
3.5 Conjuntos Equivalentes 
 
 
(Os três binários têm o mesmo efeito sobre a caixa) 
 
 
 
 
Exemplo 1: Uma força P de 300 N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o 
momento de P em relação a O utilizando as componentes horizontal e vertical da 
força. 
 
 
P = 300N 
a) POM = ? (componentes y e x) 
 
a) 




40200
40cos200
30cos
30
seny
x
PP
PsenP
y
x
 
 
 mmNM
xpyPM
O
yxo


20527
..
 
A B 
o 
30° 
40° 
40° 200mm 
120mm 
P 
M M M 
y 
z 
x 
100N 
100N 
0,15m 150N 
150N 
150N 
150N 
0,1m 
0,1m 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
28 
 
Exemplo 2: A força P é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo 
ACB. Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750N, determine o 
módulo de P. 
 
 
 
TABC = 750N 
P = ? 
NTTT ABCBCAC 750 
 
D.C.L Roda 
 
 
 


cos
45
45cos
30
30cos
PPy
PsenPx
senTT
TT
senTT
TT
BCBCx
BCBCx
ACACy
ACACx










 
 
NPx
PxTT
F
BCAC
x
19,119
045cos30cos
0



 
NPy
PysenTsenT
F
BCAC
y
33,905
04530
0



 
 
Sendo: 33,905;19,119  PyPx , teremos: 
 
P²=Px²=Py² -> P = 913,15N 
TAC TBC 
P 
30° 45° 
α 
A B 
C 
α 
P 
30° 45° 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
29 
 
Exercícios: 
1) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam 
sobre o corpo. 
 
2) Determine o Momento das três forças em relação ao ponto A. 
 
3)Determine o momento da força F em relação ao ponto A. θ = 45°. 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
30 
 
 
4) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam 
sobre o corpo. 
 
5) Determine a intensidade F da força aplicada no cabo da alavanca, de modo que a 
resultante das três forças passe pelo ponto 0. 
 
 4) 5) 
 
6) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas e do momento 
(conjugado), mostrados, que atuam sobre o suporte vertical. 
 
7) Uma força F e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que F = 500N, determine 
o momento de F em relação a B. ( as medidas estão em milímetros). 
 
 
 6) 7) 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
31 
 
 
8) O corpo de 330N é mantido dentro no equilíbrio pelo peso W. E o sistema das 
polias excedentes B e C tem uma corda é contínua. As duas polias B e C estão 
presas em A e giram como uma unidade as cordas de A para B e C é prendido às 
bordas das polias em A. Determine o peso W para o equilíbrio do sistema e Todas 
as tensões nas demais cordas. 
 
 
 
9) Quatro pinos são presos a tábua. Dois barbantes, apoiados nos pinos, são 
tracionadas. Determine o diâmetro dos pinos sabendo que o momento do binário 
resultante aplicado à tábua é de 54,8N, anti-horário. 
 
 
 
 
A B 
C D 
111N 
111N 
156N 
156N 
203mm 
152mm 
x 
y 
z 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
32 
 
10) Determine o momento resultante das 3 forças aplicadas a estrutura em relação 
ao ponto A. 
 
 
 
 
11) Determine o momento resultante em relação ao ponto A das 3 forças e o 
momento aplicado a estrutura. 
 
 
12) Determine o momento resultante das forças aplicadas a estrutura em relação 
ao ponto O. 
 
 
 
 
 11) 12) 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
33 
 
 
13) Determine o momento resultante das 2 forças aplicadas a estrutura em relação 
ao ponto O. 
 
 
 
14) Determine o momento resultante em relação ao ponto A das forças e o 
momento aplicado a estrutura. 
 
 
 
 
15) Determine o momento resultante em relação ao ponto A das 4 forças e o 
momento aplicado a estrutura. (Despreze a espessura da barra). 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
34 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
4 Equilíbrio de corpos rígidos 
 
 
4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões: 
 
 
;0F

 
)2(
)1(
;0
;0




y
x
F
F
 
 
 
  0OM

 )3(   0zM

 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
35 
 
4.2 Reações nos Apoios e Conexões. 
 
Vinculo Reação Numero de incógnitas 
 
1 
 
 
1 
 
1 
 
2 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
36 
 
Exemplo 1: Um tanque cilíndrico de 250 kg tem 2 m de diâmetro e deve galgar uma 
plataforma de0,5 m de altura. Um cabo é enrolado no tanque e puxado 
horizontalmente. Sabendo que o canto A da plataforma é áspero, calcule a força de 
tração no cabo necessária para levantar o tanque e a reação em A. 
 
 
 
- Massa do tanque: 250kg 
- Canto A é áspero 
T = ? 
Reação em A = ? 
 
 
 
 
TR
TR
F
AX
AX
X



0
0
 
mgPR
RP
F
Ay
Ay
y



0
0
 
 
5,1
05,1
0
lPT
lPT
M A





 ²5,0²1 l 
 
 
Exemplo 2: Determine em A e B quando: (a) α = 0, (b) α = 90 (c) α = 30 . 
 
 
 
 
 
 
 
02,0cos2,0
0
0250
0
0cos
0












BB
A
BAy
y
BAx
x
RsenR
M
senRR
F
RR
F

 
 
obs: 0BR

 (força T para retirar 
o tanque do chão ) 
 
1 
l 
0,5 
A 
G 
P 
B 
T 
2m 
0,5m 
A 
B 
0,15m 0,15m 
0,2m 
250N 
α 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
37 
 
 
Exemplo 3: Sabendo que a tração em todos os pontos da correia é 300N, determine 
as reações nos apoios A e B, quando: (a) α = 0 (b) α = 90 e (c) α = 30 . 
 
 
 
T = 300N 
Reações nos apoios A e B para: 
a) α = 0° 
b) α = 90° 
c) α = 30° 
 
D.C.L 
 
 
yyyy
y
xxxx
x
BABA
F
BABA
F






0
0
0300300
0
 
75000400250
0400250350300100300
0



xy
xy
A
BB
BB
M
 
Para cada α dado, encontramos os valores das reações 
 
 
α 
Ax 
By 
Bx 
Ay 
Ax 
300N 
300N 
A 
Ay 
A
Aysen
A
Ax   ;cos 
A 
B 
300N 
300mm 
250mm 200mm 
300N 
50mm 
α 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
38 
 
Exemplo 4: Uma haste delgada BC de comprimento e peso P está presa a dois 
cabos, como se vê. Sabendo que o cabo AB está na horizontal, determine: (a) o 
ângulo θ que o cabo CD forma com a horizontal e (b) a força de tração em cada 
cabo. 
 
 
 
a) θ = ? 
b) TCD = ? e TAB = ? 
 
D.C.L. 
 
 








40
1
2
40cos
040cos40
2
40cos
0
sen
PT
lTlsenTlP
M
CDx
CDyCDx
B

 
 
 
TCD 
TCDx 
TCDy 
TAB P 
l 
lcos40° 
lsen40° 40° 
A B 
C l 
40° 
θ 
PTPT
F
TT
F
CDyCDy
y
ABCDx
x






0
0
0
0
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
39 
 
Exemplo 5: Uma barra delgada de comprimento L está apoiada em C e na parede 
vertical. Ela suporta uma carga P em sua extremidade A. Desprezando o atrito e o 
peso da barra, determine o ângulo θ correspondente ao equilíbrio. 
 
 
 
D.C.L. 
 
 
 
 
  )2(00
)1(00








aC
tg
aClsenPM
tg
aBaLsenPM
y
x
B
C






 
 














L
aarcsen
L
asen
aPLsenP
aPaPLsenPLsenP
aP
tg
aBLsenP
tg
aBaLsenP







22
0
0
0
 
 
 
P 
B 
Cx 
Cy 
A 
P 
L 
a 
B 
θ 
00
00




PCF
BCF
yy
xx 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
40 
 
Exemplo 6: Uma barra leve AD suporta uma carga vertical P e esta presa a mangas 
B e C que deslizam livremente nas hastes. Sabendo que o fio preso em A forma um 
ângulo α = 30 com a horizontal, determine: (a) a força de tração no fio e (b) as 
reações em B e C. 
 
 
 
 
 
)2(030cos30cos300
)1(0303030cos0




PCBAsenF
CsenBsenAF
y
x
 
 
CBasenCasenB
M A
2023030
0

 
 
eq (1) 
 
CA
CACCA


866,0
5,0
05,0866,005,0866,0
 
60° 
60° 
30° 
P 
A 
B 
C 
A 
B 
C 
D 
30° 
30° 
30° 
a 
a 
a 







30cos
30
30cos
30
30
30cos
CCy
CsenCx
BBy
BsenBx
PyP
AsenAy
AAx
 
P 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
41 
 
 
eq (2) 
 
577,0
0577,0
0866,0866,025,0
866,0
5,0
PCPC
PCCC


 
 
577,0
2PB  
577,0866,0
5,0 PA  
 
Exercícios: 
1) Determine as reações nos apoios em A (rolete) e B (pino) da estrutura. 
2) Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura da 
viga. 
 
 
 
 
 1) 
 
 (2) 
 
 
3) Determine as componentes horizontal e vertical do pino A e a reação no rolete B, 
necessárias para treliça. Considere F= 600N. 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
42 
 
4) Determine as reações em A e B. A barra tem espessura de 0,1m. 
 
 
5) A barra uniforme de 30 kg com roldanas nas extremidades está apoiada pelas 
superfícies horizontal e vertical e pelo arame AC. Calcule a força no arame e as 
reações contra as roldanas em A e B. 
 
 
6) Determine as reações em A e B. 
 
 
 
 (5) 
 
 
 
 
 
 (6) 
 
 
 
 
 
 
7) Determine as reações em A (roletes) e B (pino). 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
43 
 
8) O redutor de engrenagens, esta sujeito a dois conjugados, o seu peso de 200 N e 
a uma força vertical em cada uma das bases A e B. Se a resultante deste sistema de 
dois conjugados e de três forças for zero, determinar as forças em A e B. 
 
 
9) Determine as reações em A e B. 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
44 
 
10) Determine as forças nas reações de apoio de A (rolete) e B (pino) da estrutura 
em equilíbrio. 
 
 
11) Determine às reações nos apoios A (Rolete) e B (pino). 
 
12) Determine as forças nas reações de apoio de A (pino) e B (haste - barra reta) da 
estrutura em equilíbrio 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
45 
 
13) Determine as reações nos apoios A e B do sistema em equilíbrio. A haste é 
conectada por um pino em A e sua extremidade B tem o movimento limitado pelo 
apoio liso em B. 
 
 
14) Determine as forças nas reações de apoio de A (pino) e E (rolete) da estrutura 
em equilíbrio. 
 
 
15) Determine as forças nas reações de apoio de A (pino) e B (rolete) da estrutura 
em equilíbrio 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
46 
 
CAPÍTULO 5 
 
5 Análise das Estruturas 
 
Princípio Básico: 
 
3ª lei de Newton- Estabelece que forças de ação e reação entre corpos em contato, 
possuem o mesmo módulo, mesma linha de ação e sentidos opostos. 
 
Categoria de estruturas: 
 
1) Treliça; 
2) Estruturas; 
3) Máquinas; 
 
 
5.1 Análise de Treliças 
 
Treliça: Barra comprimida ou tracionada 
 
 
Método dos Nós 
Eficaz quando é necessáriodeterminar as forças em todas as barras da treliça. 
 
 
Método das Seções 
Eficaz quando a força em uma ou poucas barras são desejadas. 
 
5.1.1 Análise das treliças pelo método dos nós. 
 
F = 1000N 
A B 
C 
D 
1 1 
1 
Ay 
Ax 
By F 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
47 
 
Estrutura de 5 barras 
Análise de toda estrutura: 
 
  ;00 xx AF NAFBAF yyyy 50000  
  0210 yA BFM 
NBB yy 5002
1000

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nó A: 
 
  0º45cos0 ACAD FFAxFx 
NFAD 500 Tração 
  0º450 senFAF ACyy 
NFAC 707 Compressão 
 
 
Nó B: 
 
  0º450 senFBF BCyy 
NFBC 707 Compressão 
 
  0º45cos0 BCBDx FFF 
NFBD 500 Tração 
 
 
Nó D: 
  0yF 
0FFDC 
NFDC 1000 )(T 
 
  0xF 
0 DADB FF DADB FF  
ACF BCF
CBF
DBFBDFADF
DAF
CAF
CDF
A D 
A 
C 
B 
B 
F 
D 
C 
C 
D 
DCF
yA 
xA 
yB 
45º 
ACF
ADF
yA 
xA 
ADF
CDF
F 
BDF
BCF
BCF
yB 
45º 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
48 
 
5.1.2 Análise das treliças pelo método das Seções. 
 
 
 
D.C.L. da treliça: 
  0xF 0xG 
  0yF 0321  yy GEFFF NGy 3000 
 
 0  GM 
 
01123 321  yEFFF 
NE y 6000 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 1 
 
  0Fx 
0º45  senFFF BEBDCE 
 
  0yF 
0º45cos21  BEFFF N
FFFBE 4,2828º45cos
2 

 
 0  BM 
NFNFF
FF
BDCE
CE
30001000
011
1
1


 
1 1 1 
2F 3F 1F 
A B D 
C E 
G 
xG 
yG 
yE 
1 
 
3F 
1F 2F 
A 
B 
BDF 
BEF 
CEF E C 
º45 
YG
 
xG 
B 
E 
D 
yE 
EBF 
DBF 
ECF 
G 
+ 
NFFF ³10321  
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
49 
 
5.2 Análise de uma estrutura 
 
 Treliças  É uma estrutura com barras retas submetidas a apenas duas forças. 
 
 Vamos considerar agora estruturas que possuem pelo menos uma barra 
submetida a três ou mais forças. 
 
 
 
 
 
2
1
LCB
LAC


 
1F e 2F atuam no ponto médio de cada barra. 
 
D.C.L. da estrutura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D.C.L. barra AC : D.C.L. barra CB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
F1 
F2 
β α 
xA
2F 1F 
yA 
xB 
yB 
xA
yA
yC 
1F 
xC 
xB 
yB 
2F 
yC 
xC 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
50 
 
D.C.L estrutura 
 
00
00
21 

FFBAF
BABAF
yyy
xxxxx 
 
 
 
 
  0coscoscos
2
coscos
2 21
2
12
1
1 





  LLBLLFLF y
 
 
 
 








coscos
2coscos2cos
21
21211
LL
LLFLFBy Com isso teremos, By e Ay 
 
D.C.L AC 
 








00
00
1FCAF
CAF
yyy
xxx Logo teremos xC e yC também. 
 
 
  0CM 
 
0cos
2
cos 1111  
LFsenLALA xy
 
 








senL
LFLA
Ax y
1
111 2coscos Teremos xA 
  0AM 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
51 
 
Exemplo 1: Sabendo que a polia tem um raio de 0,5m, determine a componente das 
reações em A e E. 
 
 
 
 
 
 
Raio da Polia é 0,5m. 
Reações “A” e “B”. 
 
 
D.C.L da estrutura 
 
  00 xxx EAF 
 
NAEAF yyyy 25007000  
 
 
   0AM 
 
NE
E
y
y
450
05,47007


 
 
D.C.L (Polia) 
 
 
   NDF xx 7000 
   NDF yy 7000 
 
 
 
A 
B 
C 
D 
E 
Ax 
Ay 
Ex 
Ey 
1m 
1m 
2m 
3m 3m 
700N 
xD 
 
700 
700 
yD 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
52 
 
D.C.L (Barra ABC) 
 
 
 
   0CM 
 
0131700  yx AA 
 
NAA xx 1503
250700


 
 
Logo: 
 
NE
NC
x
x
150
550


 
 
5.3 Máquinas 
 
 Máquinas são estruturas projetadas para transmitir e modificar forças. 
Seu principal objetivo é transformar forças de entrada em forças de saída. 
 
Exemplo 2: 
 
 
Analisamos as forças e momentos nas partes separadas 
 
ΣF=0; 
 
ΣM=0. 
xA
 yA 
yC 
xC 
700 
  07000 xxx CAF 
NCCAF yyyy 25000  
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
53 
 
Exemplo 3: A tesoura de poda pode ser ajustada apoiando-se o pino A em um dos 
vários dentes da lâmina ACE. Sabendo que forças verticais de 1500N são 
necessárias para cortar um ramo, determine o modulo P das forças que devem ser 
aplicadas nos apoios de mão quando a tesoura está ajustada como ilustrada. 
 
 
D.C.L(Barra AB) 
 
 
 
D.C.L (ACE) 
 
 
   0CM 
NF
FF
AB
ABAB
1740
01,3565,05,1276,05,371500


 
logo 
NC
NC
y
x
2631
1323


 
FAB 
FC E 
37,5 35,1 
12,5 
3,16
 
A 
B
 
ABF 
BAF 
8,13

 
65,0
76,0cos
º25,40
3,16
8,13



ABABABY
ABABABX
FsenFF
FFF
arctg



 
076,0
0
0150065,0
0






ABx
x
yAB
y
FC
F
CF
F
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
54 
 
 
D.C.L (MCD) 
 
 
 
   0DM 
NPP
CP x
7,150
5,87
132355,325,371500
055,325,3715005,87




 
 
Exemplo 4: Uma barra uniforme de forma circular está presa por um pino em B e 
apoiada em uma parede sem atrito em A. determine as reações em A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  0BM 
PBPBF
r
r
r
PBBAF
rr
rPA
r
rPrA
yyy
xxxx
x
x






 





 





 


00
200
12
020



 
 
P 
1500 
32,55 
37,5 87,5 
Cx 
Cy 
Dy 
Dx 
Bx 
r 
2r/π 
By 
Ax 
P 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
55 
 
Exemplo 5: Determine as forças nas barras GJ, GK e IK da treliça. 
 
 
 
 
KNkT
kTLF
KNjT
LjT
M
G
Gxx
G
xG
50
0cos0
30
034
01








 
 
D.C.L (estrutura) 
KNLL
F
KNLLA
F
KNA
A
M
yy
y
xxx
x
x
x
L
45151515
0
400
0
10
041581512159
0










 
 
kNkTLkTsenkTjTF IyIGGy 4500   
J 
L 
TGk TIk TGj θ 
3 
3 
4 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
56 
 
Exemplo 6: Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça. 
Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida. 
 
D.C.L (Estrutura) 
  0CM 





6,16,1
300
306,136,1
yyy
xxxx
xx
CCF
KNCFCF
KNFF
 
 
Método dos Nós 
D.C.L (A) 
 
kNT
TTF
arctg
BA
DABAx
3
0cos0
07,28
5,1
8,0








 

 
 
BAT
DAT
1,6 
kNT
senT
F
DA
DA
y
4,3
06,1
0



 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
57 
 
 
Exemplo 7: Determine a força P que deve ser aplicada ao elo articulado CDE para 
manter o suporte ABC na posição. 
 
 
 
D.C.L (toda estrutura) 
60
09000
00
0150900150300150
0








x
yyy
xxx
yx
E
A
EAF
PEAF
PAA
M
 
 
D.C.L (ABC) 
09000
00
0150900450300
0







yyy
xxx
xy
C
CAF
CAF
AA
M
 
 
D.C.L (ED) 
00
00
025150






yyy
xxx
yxD
DEF
PDEF
EEM
 
 
D.C.L (D.C) 
00
00
025150
0







yyy
xxx
yx
D
DCF
PDCF
CC
M
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
58 
 
Exercícios: 
 
1) Determine as forças em todas as Barras, e indique se ela esta sofrendo tração ou 
compressão. 
 
2) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob 
ação de tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4 kN. 
 
 
 
3) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob 
tração ou compressão. Considere que P1 = 0 eP2 = 20 kN. 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
59 
 
4) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob 
tração ou compressão. 
 
5) Determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada 
ou comprimida. As forças estão em [N]. 
 
6) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob 
tração ou compressão. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
60 
 
7) Determine as forças nas barras BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se 
eles estão sob tração ou compressão. 
 
8) Determine as forças nas barras GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se 
eles estão sob tração ou compressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7) e 8) 
 
 
9) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles 
estão sob tração ou compressão. 
 
10) Determine as forças nas Barras CE, CD e BD, e indique se ela esta sofrendo 
tração ou compressão. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
61 
 
11) Determine as forças nas barras DF, EF e EG da treliça. As forças estão em [N]. 
 
 
 
12) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles 
estão sob tração ou compressão. 
 
13) Calcular a força suportada pela barra BH da treliça, em balanço, carregada. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
62 
 
14) Calcular as forças que atuam nas barras IH, BH e BC da treliça, carregada pelas 
forças de 40 E 60 kN. 
 
15) Calcular as forças que atuam nas barras CH, CB e GH da treliça em balanço. 
 
16) No guindaste em ponte rolante mostrado, todos os elementos cruzados são 
barras de amarração esbeltas incapazes de suportar compressão. Determine as 
forças nos elementos DF e EF e encontre a reação horizontal na treliça em A. 
(15) (16) 
17) Calcule a força no elemento HN da treliça carregada. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
63 
 
18) Determine a força no elemento DK da treliça para placas de sinalização 
carregada. 
 
19) As estruturas articuladas ACE e DFB estão interligadas pelas duas barras 
articuladas, AB e CD, que se cruzam sem estarem ligadas. Calcular a força que atua 
em AB. 
 
20) A treliça é composta de triângulos retângulos isósceles. As barras cruzadas nos 
dois painéis centrais são tirantes esbeltos, incapazes de suportar compressão. 
Calcular as forças nas barras MN, GM e FN. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
64 
 
21) A treliça suporta uma rampa (mostrada com uma linha tracejada) que se estende 
de um nível de chegada fixo próximo ao ponto F até um nível de saída fixo perto de 
J. As cargas mostradas representam o peso da rampa. Determine as forças nos 
elementos BH e CD e indique se eles estão sob tração ou compressão. 
 
 
22) Determine as forças nos elementos CD, CF e CG e indique se eles estão sob 
tração ou compressão. 
 
 
23) Determine as forças nos elementos DE, EI, FI e HI da treliça do telhado em arco 
e indique se eles estão sob tração ou compressão. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
65 
 
24) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para as cargas aplicadas. 
As duas barras ABC e BD estão ligadas por este pino. 
 
25) Determine os componentes horizontal e vertical da força em C exercida pelo 
elemento ABC sobre o elemento CEF. 
 
 
 
26) Determine a maior força P que deve ser aplicada à estrutura, sabendo-se que a 
maior força resultante em A deve ter intensidade de 2 kN. 
 
30 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
66 
 
27) Determinar a força suportada pelo pino C da estrutura carregada. 
 
28) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para a carga aplicada de 
300 kg. As duas polias estão ligadas entre si, formando uma unidade integral. 
 
29) O elevador para carros permite que o carro seja movido para a plataforma, após 
o que as rodas traseiras são levantadas. Se o carregamento devido a ambas as 
rodas traseiras vale 6 kN, determine a força no cilindro hidráulico AB. Despreze o 
peso da plataforma. O elemento BCD é um suporte em ângulo reto preso por pino à 
plataforma em C. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
67 
 
30) Uma força de 75 N é aplicada ao cabo OAB do saca-rolha. Determine a força de 
extração F exercida sobre a rolha. 
 
31) Para a tesoura de poda mostrada, determine a força Q aplicada ao galho circular 
de 15 mm de diâmetro para uma força de aperto P=200 N. 
 
32) O rebitador é usado para inúmeras operações de junção. Para a posição do 
cabo dada por α �= 10º e um aperto no cabo P = 150 N, calcule a força de aperto C 
gerada. Observe que os pinos A e D são simétricos em relação à linha de centro 
horizontal da ferramenta. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
68 
 
33) Um lingote de aço pesando 40kN é levantado pela tenaz. Determine as forças 
aplicadas nos pontos C e E da peça BCE. 
 
34) Determine as forças que cada barra da treliça esta sofrendo, indique se a barra 
esta sofrendo tração ou compressão. A (rolete) e C (pino). 
 
 
 
33) 34) 
 
35) Determine as forças nas barras BC, BF e EF da treliça esta sofrendo, indique se 
a barra esta sofrendo tração ou compressão. A (pino) e G (rolete). 
 
36) Determine as forças que cada barra da treliça esta sofrendo, indique se a barra 
esta sofrendo tração ou compressão. A força P = 12,5kN. A (pino) e E (rolete). 
 
 
 
 35) 36) 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES– Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
69 
 
37) Determine as forças nas barras BC, BF e EF da treliça esta sofrendo, indique se 
a barra esta sofrendo tração ou compressão. A (pino) e E (pino). 
 
 
38) A Armação de guindaste mostrada é usada para levantar o peso P. Como 
mostrado, o puxão T na polia balanceia o peso P = 4kN, determine as reações de 
apoio A (pino) e E (superfície lisa) e as forças que agem no ponto D. 
 
39) Determine as forças nas reações de apoio A e E (pino) e as forças que agem 
nos pontos B, C e D. 
 
 38) 39) 
 
40) É necessário uma força de 1200 N na superfície cortante para cortar um 
parafuso. Determine a magnitude P das forças que devem ser aplicada aos cabos do 
alicate de corte. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
70 
 
41) O sistema estrutural é usado para apoiar cargas em A. Determine as reações de 
apoio G e H (rolete) e D (pino) e as forças que agem no ponto E. 
 
42) Determine às reações de apoio A (pino) e B (rolete) e as forças que agem no 
ponto C. 
 
43) Determine as forças nas barras BD, CD e CE da treliça e indique se ela esta 
sofrendo tração ou compressão. A e B (pino) 
 
42) 43) 
 
44) Uma carga de 1000N é aplicada ao cabo do mecanismo de rebitar. Calcule a 
força F do rebite em A. 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
71 
 
45) Determine as forças nas barras BC, FC e FG da treliça e indique se ela esta 
sofrendo tração ou compressão. A (pino) e H (rolete) 
 
46) Determine as forças nas barras FD, CD e CB da treliça e indique se ela esta 
sofrendo tração ou compressão. F e C (pino) 
 
 
 45) 46) 
 
47) Determine as reações de apoios B (pino) e E (rolete) e as forças nos pontos C e 
D do sistema polia-armação. Despreze o atrito e os pesos da polia e das barras. 
 
48) Determine as forças nas barras AB, AE e DE da treliça e indique se ela esta 
sofrendo tração ou compressão. C (pino) e F (rolete) 
 
 
 
 47) 48) 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
72 
 
49) Determine as reações de apoios A (pino), F (pino) e as forças que agem no 
membro ABC no ponto B. 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
73 
 
CAPÍTULO 6 
 
6 Centróide e Baricentro 
 
 
Baricentro: Centro de Gravidade 
 
Centróide: Centro Geométrico 
 
 
gAtgVgmP   g  
 
específicopeso
espessurat
específicamassadadensidade
:
:
:


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 
G 
x 
y 
z 
x 
y 
ΔP 
x 
y 
z 
x 
y 
= 
Aço Madeira 
Baricentro 
Centróide 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
74 
 
6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos 
 
Placas Arames 




AiiYAiY
AiiXAiX
 




LiiYLiY
LiiXLiX
 
 
 
 
 
Alguns centróides são tabelados devidos as suas formas comuns como veremos nas 
tabelas a seguir. 
 
 
 AiA 
x 
y 
X
Y C 
x 
y 
C1 
C2 
C3 
A3 
A2 
A1 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
75 
 
 
Forma de Superfície x y Área 
Triângulo 
 3
h 2
bh 
Quarto de círculo 
 
 
 
 
 
 
3
4r 3
4r 4
πr 2 
Semicírculo 0 3
4r 2
r 2 
Limitada por dois 
segmentos de reta 
perpendiculares e um 
quarto de elipse 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
4a 3π
4b 4
ab 
Limitada por um 
segmento de reta e 
uma semi-elipse 
0 3π
4b 2
ab 
Limitada por dois 
segmentos de reta 
perpendiculares e 
uma semiparábola 
 
 
 
 
 
 
 
8
3a 5
3h 3
2ah 
Limitada por um 
segmento de reta e 
uma parábola 
0 5
3h 3
4ah 
Limitada por dois 
segmentos de reta 
perpendiculares e um 
arco de parábola do 
2° grau. 
 
 
 
 
 
 
4
3a 10
3h 3
ah 
Limitada por dois 
segmentos de reta 
perpendiculares e um 
arco de parábola do 
grau n. 
 
 
 
 
a2n
1 n

 h24n
1 n

 1n
ah
 
Setor circular 
 
 
 
 


3
 sen2r 0 2r 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
76 
 
 
Exemplo 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
i Xi Ai XiAi 
1 - + - 
2 + + + 
3 + - - 
 
 
Forma da Curva x y Comprimento 
Quarto de 
circunferência 
 

 2r 
 2r 2
r π 
Semicircunferência 
 0 
 2r r π 
Arco de 
circunferência 
 

 senr 0 r 2α 
+ _ 
A1 A2 A3 
A1 A2 A3 
Furo 
x 
y 
0Y , pois tem o eixo de 
simetria no eixo x. 
Ai
XiAi
X  
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
77 
 
Exemplo 2: 
 
 
 
 
 
i X Y L LX LY 
1 
2
L 0 L 
2
²L 0 
2 rL 

r2
 r   rrL   ²2r 
 
 
 
   
 
rL
rrLL
X
rrLLrLX
iLiXLiX








2
²
2
² 
rL
rY




²20
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y. 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
1 
2 
y 
x r 
L 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
78 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
e) f) 
 
 
g) 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
79 
 
 
2) Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y: as 
medidas estão em centímetros. 
y
x
50 50
50
10
0
10
0
y
x
R5
0
250
75
150
15
0
75
75
 
 
3) Determine o centróide da linha em relação aos eixos x e y: as medidas estão 
em metros. 
 
 
4) Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y: as 
medidas estão em metros. 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
80 
 
 
5) Determine o centróide e o Baricentro da área sombreada em relação aos eixos x e 
y: as medidas estão em metros 
 
Densidade dos materiais: ρA = 10 kg/m³; ρB = 20 kg/m³; ρC = 25 kg/m³ 
 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
81 
 
CAPÍTULO 7 
 
7 Movimento Circular 
 
7.1 Velocidade Angular () 
 
Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma 
variação angular (Δ) em um determinado intervalo de tempo (Δt). A relação entre a 
variação angular (Δ) e o intervalo de tempo (Δt) define a velocidade angular do 
movimento. 
 
t



 
 
Em que: 
 = velocidade angular [rad/s] 
Δ = variação angular [rad] 
Δt = variação de tempo [s] 
 
7.2 Período (T) 
 
É o tempo necessário para que um ponto material "P",movimentando-se em uma 
trajetória circular de raio "r",complete um ciclo. 
 

2T 
 
Em que: 
T = período [s] 
 = velocidade angular [rad/s] 
 =constante trigonométrica 3,1415... 
 
7.3 Frequencia (f) 
 
É o número de ciclos que um ponto material "P" descreve em um segundo, 
movimentando-se em trajetória circular de raio "r". 
A freqüência (f) é o inverso do período (T). 
 


2
1

T
f 
 
Em que: 
f = freqüência [Hz] 
T = período [s] 
 = velocidade angular [rad/s] 
 = constante trigonométrica 3,1415... 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
82 
 
Radiano 
 
É o arco de circunferência cuja medida é o raio. 
 
7.4 Rotação (n) 
 
É o número de ciclos que um ponto material "P", movimentando-se em trajetória 
circular de raio "r", descreve em um minuto. 
Desta forma,podemos escrever que: 
 
Logo: fn 60 
 
Como 


2
f , tem-se 


2
60
n , portanto: 

30
n 
 
Em que: 
n = rotação [rpm] 
f = freqüência [Hz] 
 = velocidade angular [rad/s] 
 =constante trigonométrica 3,1415... 
 
7.5 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) 
 
A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de 
trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante 
 
 
 
A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular () é definida pelo 
raio da peça. 
 
rv 

, portanto: rv . 
mas,isolando  na expressão da rotação,obtém-se: 
 
substituindo  na expressão anterior,obtém-se: 
 
Em que: 
v =velocidade periférica [m/s] 
 =constante trigonométrica 3,1415... 
n =rotação [rpm] 
r =raio [m] 
 =velocidade angular [rad/s] 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
83 
 
Exercícios: 
 
1) A roda da figura possui d= 300mm ,gira com velocidade angular (J) = 10 rad/s. 
Determinar para o movimento da roda: 
 
a) Período(T) 
b) Freqüência (f) 
c) Rotação(n) 
d) Velocidade periférica (Vp) 
 
 
 
 
 
2) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação 
n= 1740rpm. 
Determine as seguintes características de desempenho do motor: 
 
a) Velocidade angular () 
b) Período (T) 
c) Freqüência (f) 
 
 
 
 
 
 
 
3) O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d=660mm), viajando com um 
movimento que faz com que as rodas girem com n= 240rpm. Qual a velocidade do 
ciclista? V[km/h]. 
 
 
 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
84 
 
CAPÍTULO 8 
 
8 Relação de Transmissão (i) 
 
8.1 Transmissão por Correias 
 
 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
T
T
M
M
n
n
f
f
d
di 


 
 
Em que: 
i = relação de transmissão [adimensional] 
d1 =diâmetro da polia (1) (menor) [m; ...] 
d2 =diâmetro da polia (2) (maior) [m; ...] 
1 =velocidade angular (1) [rad/s] 
2 =velocidade angular (2) [rad/s] 
f1 =freqüência (1) [Hz] 
f2 =freqüência (2) [Hz] 
n1 =rotação (1) [rpm] 
n2 =rotação (2) [rpm] 
MT1 =torque (1) [N.m] 
MT2 =torque (2) [N.m] 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
85 
 
 
Exercício: 
 
1) A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias 
com os seguintes diâmetros respectivamente: 
 
polia (1) motora d1 =100mm 
polia (2) movida d2 =180mm 
 
A polia (1) (motora) atua com velocidade angular  =39 rad/ s. 
 
Determinar para transmissão: 
 
a) Período da polia (1) (T1) 
b) Freqüência da polia (1) (f1) 
c) Rotação da polia (1) (n1) 
d) Velocidade angular da polia (2) (2) 
e) Freqüência da polia (2) (f2) 
f) Período da polia (2) (T2) 
g) Rotação da polia (2) (n2) 
h) Velocidade periférica da transmissão (vp) 
i) Relação de transmissão (i) 
 
 
8.2 Transmissão por engrenagens 
 
 
 
Diâmetro primitivo da engrenagem: do= m . z 
Em que: 
do - diâmetro primitivo 
m – módulo da engrenagem 
z – número de dentes 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
.
.
T
T
o
o
M
M
n
n
f
f
zm
zm
d
di 

 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
86 
 
Observação 
 
Para que haja engrenamento entre duas engrenagens, é condição indispensável que 
os módulos sejam iguais. Portanto: 
 
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
T
T
o
o
M
M
n
n
f
f
z
z
d
di 

 
 
Em que: 
i – relação de transmissão [adimensional] 
d01 - diâmetro primitivo do pinhão (1) [m] 
d02 – diâmetro primitivo da coroa (2) [m] 
Z1 – número de dentes do pinhão(1) [adimensional] 
Z2 – número de dentes da coroa (2) [adimensional] 
1 – velocidade angular do pinhão(1) [rad/s] 
2 – velocidade angular da coroa (2) [rad/s] 
f1 – freqüência do pinhão (1) [Hz] 
f2 – freqüência da coroa (2)[Hz] 
n1 – rotação do pinhão(1) [rpm] 
n2 – rotação da coroa (2) [rpm] 
MT1 - torque do pinhão (1) [Nm] 
MT2 – torque da coroa (2) [Nm] 
 
REDUTOR DE VELOCIDADE 
A transmissão será redutora de velocidade quando o pinhão acionara coroa. 
 
AMPLlADOR DE VELOCIDADE 
A transmissão será ampliadora de velocidade quando a coroa acionar o pinhão. 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
87 
 
CAPÍTULO 9 
 
9 Torção Simples 
 
Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção,quando sofre a ação de um 
torque (MT) em uma das extremidades e um contra-torque (MT) na extremidades 
oposta. 
 
9.1 Momento Torsor ou Torque (MT) 
 
É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de 
aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior). 
 
MT=2F.S 
 
Em que: 
MT- torque (Nm) 
F – carga aplicada (N) 
S – distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da 
peça (m). 
 
Exemplo1: 
 
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do 
torno. A carga aplicada nas extremidades da haste F=80N. O comprimento da haste 
é l= 200mm. 
 
Resolução: 
 
MT=2Fs 
MT=2.80.100 
MT=16000 Nmm 
MT=16 Nm 
 
Exemplo 2: 
 
Dada a figura, determinar o torque de aperto (MT) no parafuso da roda do 
automóvel. A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N,e o 
comprimento dos braços é l=200mm. 
 
 
Resolução: 
 
MT=2F.l 
MT=2.120.200 
MT=48000 Nmm 
MT=48 Nm 
 
 
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
88 
 
9.2 Torque nas Transmissões 
 
Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a 
força tangencial (FT) e o raio(r) da peça. 
 
MT=F.r 
 
Em que: 
MT- Torque [Nm] 
FT – Força tangencial [N] 
r – raio da peça [m] 
 
 
Exemplo 3: 
 
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora (1) 
que possui diâmetro d1= 100mm e a polia movida (2) que possui diâmetro 
d2=240mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial FT= 600N. 
 
 
 
Determinar para transmissão: 
a) Torque na polia (1) 
b) Torque na polia (2) 
 
Resolução: 
a) Torque na polia (1) 
a.1) raio da polia (1) 
mm502
100
2
d1 1r 
 
 
a.2) torque na polia 
Nm30M
m05,0N600M
rFM
1
1
1
T
T
1TT



 
mm501r m05.01r
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa, M.Sc. 
 
 
89 
 
b) Torque na polia (2) 
b.1) raio da polia (2) 
mm120
2
240
2
d2 2r 
 
 
b.2) torque na polia 
Nm72M
m12,0N600M