Cálculo Técnico Aplicado à Mecânica

Prévia do material em texto

Cálculo 
Técnico 
Aplicado à 
Mecânica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
Cálculo 
Técnico 
Aplicado à 
Mecânica 
 
 
Técnico em eletromecânica – PRONATEC 
Sesi Senai SAMA 
 
Cícera Ribeiro Barros 
Coordenadora pedagógica 
 
Luciano Jorge Menezes 
Coordenador técnico 
 
Josué Teixeira de Moura 
Diretor unidade SESI SENAI SAMA 
 
 2 
 
 
Sumário 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
Conceitos Básicos ....................................................................................................................... 3 
Operações e expressões numéricas ........................................................................................ 6 
Unidades de medida .................................................................................................................. 11 
Múltiplos e submúltiplos ............................................................................................................. 16 
Cálculo RPM e Velocidade de corte .......................................................................................... 17 
Transmissões ............................................................................................................................. 18 
Polias – Relação simples ....................................................................................................... 18 
Relações múltiplas ................................................................................................................. 22 
Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas..................................................... 24 
Cálculo trigonométrico ............................................................................................................... 37 
Área e Perímetro de Figuras Planas .......................................................................................... 40 
Área dos Polígonos .............................................................................................................. 44 
Finalizando ................................................................................................................................. 54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
Diariamente, docentes e alunos se utilizam das informações contidas nos 
materiais didáticos para transformá-los em conhecimentos, ampliar suas experiências, 
embasar e enriquecer sua vida profissional. O material didático torna-se, então, 
importante elemento no processo ensino-aprendizagem. 
Compreende-se que quando o professor se apropria, desenvolve e adapta o 
material didático e o utiliza adaptando ao contexto dos alunos a aula resulta mais 
produtiva para o professor e para o aluno. Por isso, ao planejar, o docente observa 
possibilidades de uso destes, quer seja um filme, uma maquete, um jogo, ou mesmo um 
livro e, vai combinando estes em ação educativa visando o desenvolvimento de seus 
alunos e de seu próprio estilo de pedagogia. 
No contexto educativo é fundamental estabelecer a estreita correlação entre os 
materiais didáticos, a criatividade e os objetivos educacionais. Nesta direção percebe-se 
que há muito ainda o que se fazer no que se refere a constituição de maior correlação 
entre o sistema de ensino, dimensão macro, possibilita e adota materiais didáticos 
padronizados e o contexto da sala de aula, sua dimensão micro. 
 
 
 
 
 
Gleito Kunde 
Instrutor de educação profissional 
 
 
 3 
Conceitos Básicos 
Os conjuntos numéricos são uma forma de classificar os números segundo algumas 
características básicas, como propriedades e complexidade. Classificando os números você 
pode compreender melhor suas aplicações na Mecânica. 
Conjunto dos Números Naturais, N 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} 
Os Números Naturais foram os primeiros utilizados pelo homem, empregados na 
contagem de alimentos, utensílios e pessoas. Sua forma primitiva não permite obter respostas 
negativas neste conjunto de cálculos, tais como 3 - 5 e 3 ÷ 5. Por isso, surgiram outros 
conjuntos numéricos que você conhecerá a seguir. 
Conjunto dos Números Inteiros, Z 
Z = {..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...} 
Estes números surgiram com a necessidade dos comerciantes e dos bancos em 
representar dívidas e saldos negativos. Com este conjunto você pode efetuar o seguinte 
cálculo, 3 - 5 = - 2. 
Conjunto dos Números Racionais, Q 
Racional é todo número que pode ser escrito na forma de fração, a/b sendo a e b 
Números Naturais e b diferente de zero. 
Q = { ( a ) / b | a , b ε Ν e b ≠ 0 } 
Acompanhe a seguir alguns exemplos: 
... _ 3 , _ 1 , 0 , 2 , 10 , 11 ... 1 2 5 1 3 2 { Q = } 
Os Números Racionais têm seu correspondente decimal. Veja abaixo os números 
decimais correspondentes aos Racionais mostrados no exemplo anterior: 
Q = {...; - 3 ; - 0,5 ; 0 ; 2 ; 3,333... ; 5,5 ; ...} 
O Conjunto dos Números Racionais surgiu com a necessidade do homem de representar 
divisões não exatas, tais como, 3 ÷ 5 = 3 . 5 
Conjunto dos Números Reais, R 
O Conjunto dos Números Reais engloba os Números Racionais, que você conheceu 
anteriormente, e todos os outros números que não podem ser escritos na forma de fração, os 
chamados Irracionais: 
 
 
 
 4 
Irracionais = {...; - sen (34o) ; √2 ; log 70 ; ...} = {...; - 0,559... ; 1,414... ; 1,845... ; ...} 
R = ... ; - 3 ; - sen ( 34° ) ; _ 1 ; 0 ; Ѵ2; log 70 ; 2 ; 10 ; 11 ; ... 2 3 2{} 
Uma forma interessante de apresentar os Números Reais é por meio da Reta Real. 
Acompanhe a figura a seguir. : 
 
 Figura 1 - Reta Real - 3 -2 -1 0 1 2 3Ѵ2 e πR 
 Nessa imagem você tem a noção de sequência dos Números Reais, cada ponto da reta 
representa um número e vice-versa. Para qualquer número da reta, têm-se os números 
maiores que ele à direita e os menores à esquerda. 
Outra maneira de visualizar o Conjunto dos Números Reais é utilizando o Diagrama de 
Venn, conheça-o a seguir: 
 
Por meio do Diagrama de Venn você 
pode observar que os Naturais estão 
contidos nos Inteiros, que por sua vez 
estão contidos nos Racionais e os 
Reais englobam todos os Conjuntos. 
 
 
 
 
 
 Figura 2 –Diagrama de Venn. R IR Q Z N 
 
 5 
Os números decimais não são um conjunto numérico, mas uma forma de escrever os 
números. Este sistema é a evolução natural do sistema numérico indo-arábico. Trata-se de um 
sistema posicional, onde o algarismo vale não só por si, mas também pela sua posição. 
 
No número acima foi utilizado apenas o algarismo 8, porém em cada posição ele indica 
uma quantidade diferente. O 1º vale 80.000, o 2º vale 8.000 e assim por diante até o último que 
vale 0,008. O único que vale 8 é o que está imediatamente à esquerda da vírgula. Sendo 
assim, cada número é uma soma, confira a seguir: 
 
 
O Sistema Internacional de Medidas utiliza a vírgula para separar a unidade do décimo e 
o ponto para separar a unidade de milhar da centena. Nos países de língua inglesa, que não 
utilizam o Sistema Internacional de Medidas, essa notação é exatamente ao contrário, devido a 
isso as calculadoras vêm com ponto no lugar da vírgula para separar a unidade do décimo. 
Assim, as operações com os números decimais são facilmente resolvidas com 
calculadoras, porém é importante tomar cuidado principalmente com a vírgula, pois como 
colocado, nas calculadoras a vírgula deve ser representada por ponto e os pontos não são 
representados. 
 
 
 
 
 6 
 Operações e expressões numéricas 
As operações com números decimais e comNúmeros Naturais são básicas e possíveis 
de se resolver com o auxílio de calculadoras científicas e comuns. Portanto, o próximo passo 
de estudos são as operações no Conjunto dos Números Inteiros. 
Adição de Números Inteiros 
Quando dois números tiverem o mesmo sinal, soma-se os valores absolutos 
conservando o sinal. Acompanhe os exemplos: 
 
Quando os dois tiverem sinais opostos, subtrai-se um do outro mantendo o sinal do 
maior valor absoluto. Observe os exemplos: 
 
Subtração de Números Inteiros 
Para efetuar a subtração entre Números Inteiros, basta inverter o sinal do subtraendo e 
efetuar uma adição. Confira os exemplos a seguir: 
 
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros 
A multiplicação e a divisão no Conjunto dos Números Inteiros possuem as mesmas 
regras de sinais. Observe os exemplos: 
 
 
 
 
 
 7 
 
 
As regras de sinais aplicadas aos Inteiros também valem para todo o Conjunto dos Números 
Reais. 
 
Potenciação 
Potenciação nada mais é do que a simplificação de uma série de multiplicações de 
fatores iguais, como você pode observar nos exemplos a seguir: 
 
 
Na potenciação se utiliza uma notação da seguinte forma: 
 
 
 
Observe a seguir algumas características desta operação: 
 
 
 
 8 
Nesta operação, dizemos que a base de uma potência é negativa quando ela está entre 
parênteses, caso contrário, quem está negativa é a potência. 
 
Potências de Base negativa 
Para iniciarmos este tema, que tal resolver as seguintes potências? 
 
Você pôde observar nos resultados que quando o expoente é par o resultado é positivo, e 
quando o expoente é ímpar o resultado tem o mesmo sinal da base. 
 
 
 
Potências de Expoente Negativo 
Quando uma potência possui expoente negativo, 
inverte-se a base (troca-se de posição o numerador e o 
denominador), como nos exemplos a seguir: 
 
 
 
 
 
 9 
 
 
Quando o expoente é zero e a base diferente de zero, o resultado é sempre 1. Veja 
alguns exemplos: 
 
 
 
Radiciação 
Você pode dizer que a potenciação possui duas operações inversas, uma é a radiciação 
e a outra é o logaritmo, veja o esquema apresentado a seguir: 
 
 
O logaritmo é a operação que determina o expoente de uma potência. Entretanto, esta 
operação não será estudada nesta apostila, o objeto de estudo desta seção será a radiciação 
que possui grande aplicação na área de Mecânica. 
Confira a seguir os entes das raízes: 
 
 
 
 
 10 
 
 
Após conhecer os entes das raízes, vamos aos exemplos: 
 
 
Vale destacar que algumas raízes não possuem resultado no Conjunto dos Números 
Reais, os casos são: 
• índice par e radicando negativo: 
 
 
• índice zero, 0: 
 
 
 
 
 
 
 11 
Unidades de medida 
 
Por muito tempo, o mundo usou medidas imprecisas, como aquelas baseadas no corpo 
humano: palmo, pé, polegada, braça, côvado. Isso acabou gerando muitos problemas, 
principalmente no comércio, devido à falta de um padrão para determinar quantidades de 
produtos. 
Para resolver o problema, o Governo Republicano Francês, em 1789, pediu à Academia 
de Ciências da França que criasse um sistema de medidas baseado numa "constante natural". 
Assim foi criado o Sistema Métrico Decimal. Este sistema adotou, inicialmente, três unidades 
básicas de medida: o metro, o litro e o quilograma. 
O sistema métrico decimal acabou sendo substituído pelo Sistema Internacional de 
Unidades (SI), mais complexo e sofisticado. No Brasil, o SI foi adotado em 1962 e ratificado 
pela Resolução nº 12 de 1998 do Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade 
Industrial (Conmetro), tornando-se de uso obrigatório em todo o Território Nacional. 
Logo abaixo, você conhecerá as grandezas e suas unidades de medida. À direita da 
tabela, verá o símbolo da unidade e suas equilavências. No pé da página, confira os principais 
prefixos do sistema internacional. 
 
 
Principais Unidades SI 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo 
Comprimento Metro Metros m 
Área metro quadrado metros quadrados m² 
Volume metro cúbico metros cúbicos m³ 
ângulo plano Radiano Radianos rad 
Tempo Segundo Segundos s 
Freqüência Hertz Hertz Hz 
Velocidade metro por segundo metros por segundo m/s 
Aceleração metro por segundo 
 
metros por segundo 
 
m/s² 
 
 12 
Massa Quilograma quilogramas kg 
massa específica quilograma por 
metro cúbico 
quilogramas por 
metro cúbico kg/m³ 
Vazão metro cúbico por segundo 
metros cúbicos 
por segundo m³/s 
quantidade de matéria Mol mols mol 
Força Newton newtons N 
Pressão Pascal pascals Pa 
trabalho, energia 
quantidade de calor Joule joules J 
potência, fluxo de energia Watt watts W 
corrente elétrica Ampère ampères A 
carga elétrica Coulomb coulombs C 
tensão elétrica Volt volts V 
resistência elétrica Ohm ohms 
 
Condutância Siemens siemens S 
Capacitância Farad farads F 
temperatura Celsius grau Celsius graus Celsius ºC 
temp. termodinâmica Kelvin kelvins K 
intensidade luminosa Candela candelas cd 
fluxo luminoso Lúmen lúmens lm 
Iluminamento Lux lux lx 
 
 
 
 
 
 13 
Algumas Unidades em uso com o SI, sem restrição de prazo 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência 
volume litro Litros l ou L 0,001 m³ 
ângulo plano grau Graus º p/180 rad 
ângulo plano minuto Minutos ´ p/10 800 rad 
ângulo plano segundo segundos ´´ p/648 000 rad 
Massa tonelada toneladas t 1 000 kg 
Tempo minuto Minutos min 60 s 
Tempo hora Horas h 3 600 s 
velocidade 
angular 
rotação 
por minuto 
rotações 
por minuto rpm p/30 rad/s 
 
 
 
 
Algumas Unidades fora do SI, admitidas temporariamente 
 
Grandeza Nome Plural Símbolo Equivalência 
Pressão atmosfera atmosferas atm 101 325 Pa 
Pressão Bar Bars bar Pa 
Pressão milímetro de mercúrio 
milímetros 
de mercúrio mmHg 
133,322 Pa 
aprox. 
quantidade 
de calor caloria Calorias cal 4,186 8 J 
Área Hectare Hectares ha m² 
Força quilograma- força 
quilogramas- 
força kgf 9,806 65 N 
 
 14 
comprimento milha 
marítima 
milhas 
marítimas 1 852 m 
velocidade Nó Nós (1852/3600)m/s 
 
 
 
Principais prefixos das Unidades SI 
 
Nome Símbolo Fator de multiplição da unidade 
tera T = 1 000 000 000 000 
giga G = 1 000 000 000 
mega M = 1 000 000 
quilo K 10³ = 1000 
hecto H 10² = 100 
deca Da 10 
Unidade 
deci D = 0,1 
centi C = 0,01 
mili M = 0,001 
micro µ = 0,000 001 
nano N = 0,000 000 001 
pico P = 0,000 000 000 001 
 
Massa 
1 QUILOGRAMA 
(kg) 1000 g 
1 TONELADA (T) 1000 kg 
 
 15 
1 QUILATE 0,205 g 
1 ONÇA (oz) 28,352 g 
1 LIBRA (lb) 16 oz 
1 LIBRA (lb) 453,6 g 
1 ARROBA 32,38 lb 
1 ARROBA 14,687 kg 
Distância 
1 METRO 10O cm 
1 QUILÔMETRO 
(km) 1000 m 
1 POLEGADA 2,54 cm 
1 PÉ 30,48 cm 
1 JARDA 0,914 m 
1 MILHA 1,6093 km 
1 MILHA MARÍTIMA 1,853 km 
1 BRAÇA 2,2 m 
Área 
1 M² 10000 cm² 
1 CM² 100 mm² 
1 ARE (A) 100 m² 
1 HECTARE (HA) 100 A 
1 HECTARE (HA) 10000 m² 
1 ACRE 4064 m² 
1 ALQUEIRE 
PAULISTA 24200 m² 
1 ALQUEIRE 
MINEIRO 48400 m² 
 
 16 
Múltiplos e submúltiplos 
A unidade principal de comprimento é o metro, entretanto existem situações em que essa 
unidade deixa de ser prática. Se quisermos medir grandes extensões ela é muito pequena. Por 
outro lado, se queremos medir extensões muito "pequenas", a unidade metro é muito "grande". 
Os múltiplos e submúltiplos do metro são chamados de unidades secundárias de 
comprimento. 
No Sistema Internacional de Medidas (SI) são usados múltiplos e divisões do metro: 
Múltiplo Nome SímboloSubmúltiplo Nome Símbolo 
100 Metro m 
 
100 metro M 
10¹ decâmetro dam 
 
10−1 decímetro DM 
10² hectômetro hm 
 
10−2 centímetro Cm 
103 quilômetro / km 
 
10−3 milímetro Mm 
106 megametro Mm 
 
10−6 micrometro µm 
109 Giametro Gm 
 
10−9 nanometro Nm 
1012 Terametro Tm 
 
10−12 picometro PM 
1015 petametro Pm 
 
10−15 femtômetro/fentómetro4 FM 
1018 Exametro Em 
 
10−18 attometro/atometro4 AM 
1021 zettametro/zetametro Zm 
 
10−21 
zeptômetro / 
/ zeptómetro4 
Zm 
1024 iotametro Ym 
 
10−24 
yoctômetro / 
/ ioctómetro4 
ym 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo RPM e Velocidade de corte
 
O cálculo da rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de 
corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando
apenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado.
Fórmulas: 
 
 
 
 
Onde: 
N = RPM 
Vc = Velocidade de corte 
D = Diâmetro usinado 
N= Números de Rotações por minuto ( RPM)
 
Obs: 
Quanto maior o diâmetro menor o rpm, e quanto menor o diâmetro maior o rpm.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
Cálculo RPM e Velocidade de corte 
rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de 
corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando
apenas a rotação, à medida que se varia o diâmetro usinado. 
= Números de Rotações por minuto ( RPM) 
Quanto maior o diâmetro menor o rpm, e quanto menor o diâmetro maior o rpm.
rotação é feito em função do diâmetro usinado e do valor da velocidade de 
corte requerida pela função "S", deste modo a velocidade de corte é mantida variando-se 
Quanto maior o diâmetro menor o rpm, e quanto menor o diâmetro maior o rpm. 
 
 18 
Transmissões 
 
São órgãos que servem para transmitir um movimento de rotação, lineares e 
excêntricos. Nesta unidade iremos estudar apenas os cálculos relacionados à transmissão por 
correias planas, correias trapezoidais, engrenagens e rodas de fricção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Polias – Relação simples 
 Em nossos exemplos vamos utilizar cálculos para os sistemas de polias, porém para 
realizar os cálculos das engrenagens utiliza-se o mesmo raciocínio com a quantidade de 
dentes das engrenagens. Nos moto-redutores esse cálculo é feito pelo fabricante e indicado 
em sua placa juntamente com outros dados. 
 
 
 
 19 
CALCULANDO 
A velocidade final fornecida por um conjunto transmissor depende da relação do 
diâmetro das polias. Polias com o mesmo diâmetro transmitem para máquina a mesma 
velocidade. 
 
Polias de diâmetros diferentes transmitem velocidade maior ou menor à máquina. No 
caso onde a polia motora (polia que fornece o movimento) é maior que a movida (polia que 
recebe o movimento) a velocidade transmitida para a máquina será maior. 
 
Quando a polia motora é menor que a polia movida, a velocidade será menor, ou seja, 
haverá menor rotação na saída do sistema. 
 
 20 
 
Matematicamente utiliza-se a seguinte expressão para mostrar essa relação: 
 
 R= 
 
Onde, n1 é a rotação (rpm) da polia motora, n2 a rotação da polia movida, D2 o diâmetro 
da polia movida e D1 o diâmetro da polia motora. 
Dada a fórmula, vamos partir para um exemplo pratico utilizando uma furadeira de 
bancada, onde a velocidade do motor é fixa e o objetivo é obter velocidades diferentes na 
broca. 
 
Vamos aplicar a fórmula para o cálculo da rotação de saída quando a correia estiver em 
todas as posições? 
 
 
 
 21 
Encontrando o D2 ( Diâmetro da polia movida). 
Um motor munido de uma polia de 180 milímetros gira a 800 RPM. Ele aciona um 
compressor que faz 200 RPM, pergunta-se: 
a) O diâmetro da polia do compressor; 
b) A relação de transmissão; 
c) O diâmetro exato da polia do compressor, se a correia tiver um deslizamento de 5% 
( o deslizamento das correias planas varia de 2 a 5%). 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrando o D1 ( diâmetro da polia motora) 
 
Duas polias estão na relação de transmissão i de 3,5/1, a polia acionadora tem um 
diâmetro de 120 milímetros, ela aciona uma 
serra circular girando a 180 RPM ( figura 8) 
a) Qual é o diâmetro da polia montada 
na serra circular? 
b) Qual é o numero de rotações por 
minuto da polia acionadora? 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
 Relações múltiplas 
 
Nesse caso utiliza-se a mesma fórmula para o cálculo, porém deve-se realizar o cálculo 
por estágios, com o cuidado de observar qual é a polia motora e a movida. Observe que entre 
os dois estágios encontra-se a polia movida do primeiro estágio e acoplada a ela a polia motora 
do segundo. 
Aplicando a fórmula já conhecida para calcular a rotação na saída do sistema na figura 
acima: 
Primeiro estágio 
 
Calculando: 
 
Para o cálculo do segundo estágio utiliza-se a mesma fórmula e como a polia motora do 
segundo estágio está acoplada na polia movida do primeiro então n2=n1. Portanto o valor de 
n1 do segundo estágio é 400rpm. 
 Calculando: 
 
 23 
 
Portanto, a velocidade final do sistema é 100rpm. 
Fórmula direta: 
 
 
 
 
 
No sistema de transmissão por quatro polias representado abaixo, o eixo motor 
desenvolve 1000 rpm. Os diâmetros das polias medem: D1 =150 mm, D 2 =300 mm, D3 =80 
mm e D4 =400 mm. Determine a RPM final do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 24 
Calculando o comprimento de peças dobradas ou curvadas 
 
O problema 
 
Vamos supor que você seja dono de uma pequena empresa mecânica e alguém lhe 
encomende 10.000 peças de fixação, que deverão ser fabricadas por dobramento de chapas 
de aço. O seu provável cliente, além de querer uma amostra do produto que você fabrica, 
certamente também desejará saber quanto isso vai custar. 
 
Um dos itens do orçamento que você terá de fazer corresponde ao custo da matéria-
prima necessária para a fabricação das peças. 
 
Para obter esta resposta, você terá de calcular o comprimento de cada peça antes de 
elas serem dobradas, já que você vai trabalhar com chapas. 
 
Como resolverá este problema? 
 
 
Peças dobradas 
 
Calcular o comprimento das peças antes que sejam dobradas, não é um problema tão 
difícil de ser resolvido. Basta apenas empregar conhecimentos de Matemática referentes ao 
cálculo de perímetro. 
 
Recordar é aprender 
Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica plana. 
 
Analise o desenho abaixo e pense em um modo de resolver o problema. 
 
 
 
 
O que você viu na figura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são 
iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com 
eles em termos de cálculo? 
 
Você tem duas alternativas de solução:
a) Calcular o comprimento da p
b) Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).
 
Vamos ver se isso dá certo com a alternativa 
Essa alternativa considera a linha média da chapa. Você sabe por quê?
É simples: se você usar as medid
Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você 
deve usar a linha média. 
Tomando-se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida 
interna mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:
50 + 2 x 3 = 
50 + 6 = 56mm 
Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora, 
você tem de calcular a altura dos segmentos A e C.
Pelo desenho da figura da página 
Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida 
que procuramos. 
30 - 3 = 27mm 
 
25igura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são 
iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com 
Você tem duas alternativas de solução: 
Calcular o comprimento da peça pela linha média da chapa. 
Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm).
Vamos ver se isso dá certo com a alternativa a. 
Essa alternativa considera a linha média da chapa. Você sabe por quê?
É simples: se você usar as medidas externas da peça, ela ficará maior que o necessário. 
Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você 
se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida 
a mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos:
Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora, 
você tem de calcular a altura dos segmentos A e C. 
Pelo desenho da figura da página anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm. 
Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida 
igura? Basicamente, são três segmentos de reta (A, B, C). A e C são 
iguais e correspondem à altura da peça. B, por sua vez, é a base. O que pode ser feito com 
Multiplicar a altura (30mm) por 2 e somar com a medida interna (50mm). 
Essa alternativa considera a linha média da chapa. Você sabe por quê? 
as externas da peça, ela ficará maior que o necessário. 
Da mesma forma, se você usar as medidas internas, ela ficará menor. Assim, pela lógica, você 
se a linha média como referência, o segmento B corresponde à medida 
a mais duas vezes a metade da espessura da chapa. Então, temos: 
Com esse valor, você obteve o comprimento da linha média da base da peça. Agora, 
anterior, você viu que a altura da peça é 30 mm. 
Desse valor, temos de subtrair metade da espessura da chapa, a fim de encontrar a medida 
 
 26 
Com isso, obtemos as três medidas: A = 27mm, B = 56mm e C = 27mm. O comprimento 
é obtido pela soma das três medidas. 
27 + 56 + 27 = 110mm 
 
Portanto, a chapa de que você necessita deve ter 110mm de comprimento. 
 
 
Tente você também 
 
Agora vamos treinar um pouco esse tipo de cálculo. 
 
Exercício 1 
A alternativa b é um método prático. Calcule o comprimento do material necessário para 
a peça que mostramos em nossa explicação, usando essa alternativa. Você deverá obter o 
mesmo resultado. 
Solução: 30 x 2 + 50 = ................ + 50 = 
 
Peças curvadas circulares 
Vamos supor agora que, em vez de peças dobradas, a sua encomenda seja para a 
produção de anéis de aço. 
Mais uma vez, você terá de utilizar o perímetro. É preciso considerar, também, a 
maneira como os materiais se comportam ao sofrer deformações. 
 
Os anéis que você tem de fabricar serão curvados a partir de perfis planos. Por isso, 
não é possível calcular a quantidade de material necessário nem pelo diâmetro interno nem 
pelo diâmetro externo do anel. Você sabe por quê? 
 
Se você pudesse pôr um pedaço de aço no microscópio, veria que ele é formado de 
cristais arrumados de forma geométrica. 
 
 
 
Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando 
são curvados, esses cristais mudam de forma, alongando
menos o que acontece com a palma de su
ou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer.
No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado 
como referência para o cálculo, porque a peça ficará 
Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a 
peça ficará maior do que o especificado.
 
O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de 
deformação quando a peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.
 
 
Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um 
pequeno problema aqui. 
 
Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em 
Mecânica, de um ensaio, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o 
auxílio de equipamentos apropriados.
No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O 
que você poderá fazer para encontrar a linha ne
A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa 
média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do 
anel e dividir o resultado por 2. Vamos ten
 
Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte.
27 
Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando 
são curvados, esses cristais mudam de forma, alongando-se ou comprimindo
menos o que acontece com a palma de sua mão se você abri-la ou fechá
ou se contrairá, dependendo do movimento que você fizer. 
No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado 
como referência para o cálculo, porque a peça ficará menor do que o tamanho especificado.
Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a 
do que o especificado. 
O que se usa, para fins de cálculo, é o que chamamos de linha neutra
peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra.
 
Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um 
Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em 
, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o 
auxílio de equipamentos apropriados. 
No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O 
que você poderá fazer para encontrar a linha neutra do material e realizar a tarefa?
A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa 
média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do 
anel e dividir o resultado por 2. Vamos tentar? 
Suponha que o desenho que você recebeu seja o seguinte. 
Quando esse tipo de material sofre qualquer deformação, como, por exemplo, quando 
se ou comprimindo-se. É mais ou 
la ou fechá-la. A pele se esticará 
No caso de anéis, por causa dessa deformação, o diâmetro interno não pode ser usado 
o que o tamanho especificado. 
Pelo mesmo motivo, o diâmetro externo também não poderá ser usado, uma vez que a 
linha neutra, que não sofre 
peça é curvada. A figura a seguir dá a idéia do que é essa linha neutra. 
Mas como se determina a posição da linha neutra? É, parece que teremos mais um 
Em grandes empresas, essa linha é determinada por meio do que chamamos, em 
, isto é, um estudo do comportamento do material, realizado com o 
No entanto, “sua” empresa é muito pequena e não possui esse tipo de equipamento. O 
utra do material e realizar a tarefa? 
A solução é fazer um cálculo aproximado pelo diâmetro médio do anel. Para achar essa 
média, você precisa apenas somar os valores do diâmetro externo e do diâmetro interno do 
 
 
 
 
Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a 
soma: 
100 + 80 = 180mm 
 
O resultado obtido, você divide por 2:
180 ÷ 2 = 90mm 
 
O diâmetro médio é, portanto, 
 
Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência 
formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria
Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou men
perímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o 
valor desse perímetro. 
 
Recordar é aprender 
A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é 
circunferência e pi é a constante igual a 3,14.
P = 90 x 3,14 
P = 282,6mm 
 
28 
 
Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a 
O resultado obtido, você dividepor 2: 
O diâmetro médio é, portanto, de 90mm. 
Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência 
formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria
Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou men
perímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o 
A fórmula para calcular o perímetro da circunferência é P = D . pi, em que 
é a constante igual a 3,14. 
Com as medidas do diâmetro interno e do diâmetro externo do desenho, você faz a 
Esse valor (90mm) corresponde aproximadamente ao diâmetro da circunferência 
formada pela linha neutra, do qual você precisa para calcular a matéria-prima necessária. 
Como o comprimento do material para a fabricação do anel corresponde mais ou menos ao 
perímetro da circunferência formada pela linha média, o que você tem de fazer agora é achar o 
, em que D é o diâmetro da 
 
 
Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma 
chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando 
ele for curvado, muito provavelm
(282,6mm). 
Nesses casos, a tendência é que o anel fique 
empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado 
e fazer as correções necessárias. 
 
Dica tecnológica 
Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de 
correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do 
diâmetro médio do anel. 
 
Tente você também 
Vamos a mais um exercício para reforçar o que foi explicado
Exercício 2 
Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao 
seguinte desenho: 
 
 
 
Solução: P = Diâmetro médio . pi
Diâmetro médio = 31 
pi = 3,14 
29 
Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma 
chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando 
ele for curvado, muito provavelmente haverá necessidade de correção na medida obtida 
Nesses casos, a tendência é que o anel fique maior que o especificado. Em uma 
empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado 
ecessárias. 
Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de 
correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do 
s um exercício para reforçar o que foi explicado 
Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao 
pi 
Como você pôde observar no desenho, para a realização do trabalho, terá de usar uma 
chapa com 10mm de espessura. Por causa da deformação que ocorrerá no material quando 
ente haverá necessidade de correção na medida obtida 
que o especificado. Em uma 
empresa pequena, o procedimento é fazer amostras com a medida obtida, analisar o resultado 
Quando se trabalha com uma chapa de até 1mm de espessura, não há necessidade de 
correção nessa medida, porque, neste caso, a linha neutra do material está bem próxima do 
Calcule o comprimento do material necessário para construir o anel correspondente ao 
 
 
P = 
 
 
 
Peças curvadas semicirculares
 
Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a 
circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do 
material para a peça que está no desenho a seguir?
 
 
O primeiro passo é analisar o desenho e descobrir quais os elementos geométricos 
contidos na figura. Você deve ver nela duas semicircunferências e dois segmentos de reta. 
 
Mas, se você está tendo dificuldade para “en
com o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo.
 
 
30 
Peças curvadas semicirculares 
Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a 
circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do 
peça que está no desenho a seguir? 
 
O primeiro passo é analisar o desenho e descobrir quais os elementos geométricos 
contidos na figura. Você deve ver nela duas semicircunferências e dois segmentos de reta. 
Mas, se você está tendo dificuldade para “enxergar” esses elementos, vamos mostrá
com o auxílio de linhas pontilhadas na figura abaixo. 
 
Você deve estar se perguntando o que deve fazer se as peças não apresentarem a 
circunferência completa. Por exemplo, como seria o cálculo para descobrir o comprimento do 
O primeiro passo é analisar o desenho e descobrir quais os elementos geométricos 
contidos na figura. Você deve ver nela duas semicircunferências e dois segmentos de reta. 
xergar” esses elementos, vamos mostrá-los 
 
 31 
Com as linhas pontilhadas dessa nova figura, formam-se duas circunferências 
absolutamente iguais. Isso significa que você pode fazer seus cálculos baseado apenas nas 
medidas de uma dessas circunferências. 
 
Como você tem a medida do raio dessa circunferência, basta calcular o seu perímetro e 
somar com o valor dos dois segmentos de reta. 
 
Recordar é aprender 
Como estamos trabalhando com a medida do raio, lembre-se de que, para o cálculo do 
perímetro, você terá de usar a fórmula P = 2 pi R. 
 
Vamos ao cálculo: 
P = 2 pi R 
 
Substituindo os valores: 
P = 2 x 3,14 x 10 
P = 6, 28 x 10 
P = 62,8mm 
 
Por enquanto, temos apenas o valor das duas semicircunferências. Precisamos 
adicionar o valor dos dois segmentos de reta. 
62,8 + 30 + 30 = 122,8mm 
 
Portanto, o comprimento do material necessário para a fabricação desse elo de corrente 
é aproximadamente 122,8mm. 
 
 
Tente você também 
 
 
 
Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir.
 
Exercício 3 
Calcule o comprimento 
do material necessário 
para confeccionar a 
peça de fixação em 
forma de “U”, cujo 
desenho é mostrado a 
seguir. 
 
Solução: 
Linha média: 6 / 2 = 
Raio: 10 + 3 = 
Perímetro da semicircunferência: 
P = ......... 
Comprimento: 20 + 20 + ......... = .........
Outro exemplo. 
Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não. 
Observe esta figura. 
 
 
Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja, 
um arco. Como resolver esse problema?
32 
Releia essa parte da lição e faça o exercício a seguir. 
Perímetro da semicircunferência: 
 x3,14=.R
2
R2
pi=
pi
 ......... 
Comprimento: 20 + 20 + ......... = ......... 
Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não. 
 
Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja, 
um arco. Como resolver esse problema? 
Será que esgotamos todas as possibilidades desse tipo de cálculo? Provavelmente, não. 
Nela temos um segmento de reta e uma circunferência que não está completa, ou seja, 
 
 33 
 
Como você já sabe, a primeira coisa a fazer é analisar a figura com cuidado para 
verificar todas as medidas que você tem à sua disposição. 
 
Nesse caso, você tem: a espessura do material (6mm), o comprimento do segmento de 
reta (50mm), o raio interno do arco de circunferência (12mm) e o valor do ângulo 
correspondente ao arco que se quer obter (340º). 
 
O passo seguinte é calcular o raio da linha média. Esse valor é necessário para que 
você calcule o perímetro da circunferência. As medidas que você vai usar para esse cálculo 
são: o raio (12mm) e a metade da espessura do material (3mm). Esses dois valores são 
somados e você terá: 
12 + 3 = 15mm 
 
Então, você calcula o perímetro da circunferência, aplicando a fórmula que já foi vista 
nesta aula. 
P = 2 x 3,14 x 15 = 94,20mm 
 
Como você temum arco e não toda a circunferência, o próximo passo é calcular quantos 
milímetros do arco correspondem a 1 grau da circunferência. 
Como a circunferência completa tem 360°, divide-se o valor do perímetro (94,20mm) por 360. 
94,20 � 360 = 0,26166mm 
 
Agora você tem de calcular a medida em milímetros do arco de 340º. Para chegar a 
esse resultado, multiplica-se 0,26166mm, que é o valor correspondente para cada grau do 
arco, por 340, que é o ângulo correspondente ao arco. 
0,26166 x 340 = 88,96mm 
 
Por último, você adiciona o valor do segmento de reta (50mm) ao valor do arco 
(88,96mm). 
50 + 88,96 = 138,96mm. 
 
 
 
Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de 
138,96mm. 
 
 
Tente você também 
 
As coisas parecem mais fáceis quando a g
como é fácil. 
 
Exercício 4 
Calcule o 
comprimento do 
material 
necessário à 
fabricação da 
seguinte peça. 
 
 
Solução: 
Linha média: 6 /2 .......... = 
Raio: 12 + .......... = 
Perímetro = 
............ ÷÷÷÷ 360º = 
............ x ............ = 
............ + ............ + ............ = 
 
Teste o que você aprendeu 
 
Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter 
dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você.
34 
Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de 
As coisas parecem mais fáceis quando a gente as faz. Faça o exercício a seguir e veja 
Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter 
dificuldade para resolver o desafio que preparamos para você. 
Portanto, o comprimento aproximado do material para esse tipo de peça é de 
ente as faz. Faça o exercício a seguir e veja 
Se você estudou a lição com cuidado e fez os exercícios com atenção, não vai ter 
 
 
 
Exercício 5 
Calcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.
 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
Exercício 6 
35 
alcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas.alcule o material necessário para a fabricação das seguintes peças dobradas. 
 
 
Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.
 
a) 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças.Calcule o comprimento do material necessário para fabricar as seguintes peças. 
 
 
 
 37 
Cálculo trigonométrico 
A resolução de triângulos retângulos faz parte do cotidiano dos cálculos envolvidos em 
usinagem mecânica, desenho técnico, programação CNC, processos etc. 
Neste tópico, abordaremos a resolução de triângulos retângulos, abrangendo o 
"Teorema de Pitágoras" e as funções básicas: seno, co-seno e tangente. 
Lembramos que triângulo retângulo é todo triângulo que possui um ângulo reto (90 
graus). Neste triângulo, o maior lado é chamado de Hipotenusa, enquanto os menores de 
catetos (Oposto e Adjacente) a um determinado ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitágoras 
O "teorema de Pitágoras" trabalha apenas com os lados do triângulo não envolvendo os 
ângulos. 
Fórmula: 
 
Desmembrando a Fórmula, teremos: 
 
 
 
 
 
a) Aplicação de Seno 
 
 38 
Seno: A função seno envolve o cateto oposto ao ângulo implicado (cateto que está à 
frente do ângulo) e a hipotenusa. Assim temos: 
 
 
 
Desmembrando a Fórmula, teremos: 
 
 
 
 
b) Aplicação do co - seno 
Co-seno: A função co-seno envolve o cateto adjacente ao ângulo implicado (cateto que 
está do lado) e a hipotenusa. Assim temos: 
 
 
 
Desmembrando a Fórmula, teremos: 
 
 
c) Aplicação da tangente 
Tangente: A função tangente envolve os dois catetos, não levando em consideração a 
hipotenusa. 
Assim temos: 
 
 
 
 39 
 
 
Desmembrando a Fórmula, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 40 
 
Área e Perímetro de Figuras Planas 
 
A geometria plana é a parte da matemática que estuda as relações entre as figuras 
planas e as figuras que têm duas dimensões: comprimento e largura ou comprimento e altura. 
Já a geometria espacial se preocupa com o estudo dos objetos no espaço, ou seja, estuda o 
objeto envolvendo três dimensões: comprimento, largura e altura. 
 
 
Polígonos 
Seja (A, B, C, D, ...) n pontos de um plano, com n ≥ 3, onde três pontos 
consecutivos estão em pontos distintos do plano, a união desses pontos com segmentos 
de reta determina um polígono. 
Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em que: A, B, C e D são os vértices do polígono, e AB, BD, DC e CA são os segmentos 
que formam os lados do polígono. 
 
 
 
 
Superfície Poligonal 
A superfície poligonal corresponde à reunião de um polígono com o seu interior. As 
superfícies poligonais podem ser cônicas ou convexas. 
 
 
 41 
 
 
 
Os polígonos são classificados de acordo com o seu número (n) de lados, dessa forma 
eles recebem os nomes. Conheça a seguir as nomenclaturas dos polígonos. 
 
 
 
 
 
 42 
 
Medida de Superfície – Área 
 
Para medir uma superfície você deve compará-la com outra tomada como 
unidade, na figura anterior foi utilizado um quadrado de 1 m de lado. 
Unidade de área. 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicação 1 
 
O retângulo ABCD tem 10 quadrados, se cada quadrado tem 1 m de lado, então a 
medida da superfície ocupada por essa figura tem 10 m2. 
Na Mecânica utiliza-se esse conhecimento para determinar a medida da superfície de 
chapas. Por exemplo, a quantidade de chapas necessárias para confeccionar um baú da 
carroceria de um caminhão. 
 
A unidade fundamental é o metro quadrado, mas é comum na Mecânica trabalhar com 
unidades menores, por exemplo, o mm2, que é um submúltiplo do metro. Já na construção civil 
utiliza-se os múltiplos do metro, por exemplo, o km2. Acompanhe o quadro a seguir. 
 
 
 
 43 
 
 
Representação e Leitura 
As unidades de medidas de área variam de 100 em 100, em vez de escrever 54,3 dm2 é 
conveniente escrever 54,30 dm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando ocorre a mudança de unidade, a vírgula se desloca duas casas para a direita ou 
esquerda. 
 
 
 
 
 
 44 
 
Área dos Polígonos 
 
Área do Retângulo 
 
Observe a figura a seguir, nela você tem um retângulo de 4 cm de altura e 9 cm de base, 
cuja área é de 2 cm x 5 cm = 10 cm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Representa-se por A a área do retângulo, por b a base e por h a altura. 
 
Área do Quadrado 
O quadrado é um retângulo cuja base é igual à altura, assim a área pode ser encontrada 
da mesma forma que o retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 45 
 
A área do quadrado A = 3.3, A = 9 cm2 
 
Área do Paralelogramo 
Você já ouviu falar de paralelogramo? Visualize atentamente as figuras a seguir. 
 
 
Se você cortar o triângulo direito do paralelogramo e colocar sobre o lado oposto, ficará 
com um retângulo. Para calcular a área do paralelogramo será utilizada a fórmula do retângulo. 
 
 
Área do Triângulo 
Observe na figura que a área do triângulo é metade da área do retângulo, assim a área 
do retângulo é A = b.h. Para calcular a área do triângulo, basta dividir por dois a área do 
retângulo. Veja a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 46 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo na fórmula as medidas da página anterior, que estão emcm, tem-se: 
 
 
Área do Losango 
Para calcular a área de um losango, deve-se partir da área de um retângulo, pois 
conforme veremos na figura a seguir, o losango é formado por oito triângulos iguais. 
Como a área do retângulo é A = b.h, conforme a figura acima, tem-se b = D e h = d. 
A área do losango é: 
 
 
Substituindo as medidas do desenho você terá: 
 
 47 
 
 
Área do Trapézio 
Dado um trapézio qualquer para determinar a área, estabeleça o seguinte: ajustar outro 
trapézio igual ao primeiro em sentido inverso, nota-se dessa forma que temos um 
paralelogramo. 
 
 
 
 
Área do Polígono Regular 
Seja um polígono regular com números de lado maior do que quatro, utilize o hexágono 
conforme figura a seguir. O hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros iguais 
(congruentes). 
 
 
 48 
 
Observe que o paralelogramo contém 12 triângulos semelhantes dos quais 6 constituem 
a área do hexágono. 
Como a área do paralelogramo é dada por A = b.h, a área da figura é: A = 6.ℓ.apótema. 
Para determinar a área do hexágono você deve dividir a área da figura por dois, o 
hexágono corresponde exatamente à metade do paralelogramo da figura. 
 
Assim você poderá calcular qualquer área de qualquer polígono regular desde que seja 
dada a medida do lado e do apótema. 
Aplicação 1 
Dada uma chapa de aço em forma de octógono, determine a área da chapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
 
Área do Círculo 
Círculo é a região interna à circunferência. Para determinar a área do círculo você 
deverá dividi-lo em 16 partes iguais (congruentes). 
 
 
 
Observe que ao abrir a circunferência você obterá 32 partes congruentes, dos quais 16 
constituem a área do círculo, usando a fórmula do paralelogramo terá: 
A = b.h como b = C e h = r temos: A = C.r mas, C = 2π.r assim: 
 
 
 
Aplicação 1 
Determine a área de uma chapa de forma circular que apresenta um diâmetro de 232,5 
mm de diâmetro. 
 
 50 
 
 
Observe que o resultado em milímetro quadrado é um número grande, podendo ser 
transformado, por exemplo, para cm2. Desta forma ficaria com: 
 
 
Na Mecânica é comum arredondar esse valor, pode-se assim utilizar a área de 424,35 
cm2. 
 
Área da Coroa Circular 
Denomina-se coroa circular a região da figura plana formada entre duas circunferências 
concêntricas, conforme figura a seguir. 
 
 
 51 
 
 
 
 
 
 
 
 
Acompanhe a seguir um resumo das fórmulas para cálculo das áreas 
dos polígonos. Aproveite! 
 
 
 52 
 
 
 
 53 
Exercícios de fixação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 54 
Finalizando 
 
Procuramos apresentar nesta unidade curricular os elementos necessários para que 
você possa utilizar os conhecimentos matemáticos de forma clara e objetiva. Os conteúdos 
abordados são essenciais na sua vida profissional como técnico; frações, números decimais, 
regra de três, porcentagem, cálculo de área e volume e muitos outros conhecimentos são 
indispensáveis para que você se torne um profissional seguro e dedicado naquilo que faz. 
Muitos desses conhecimentos você irá aperfeiçoar ao longo da sua vida profissional, 
portanto, dedique-se, o sucesso só depende de você. 
Pratique, faça as coisas com carinho e quando não conseguir resolver um problema de 
qualquer área do conhecimento, peça ajuda, pois um profissional só se faz quando trabalha 
junto com outras pessoas, ou seja, trabalha em equipe. 
Um ótimo estudo!