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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
LISTA EXERCICIOS TAXAS RELACIONADAS E ANALISE MARGINAL 
Prof. Dra. Denise Candal 
 
1. Um cubo de metal mantém a sua forma ao ser aquecido. Uma aresta aumenta a uma 
taxa que, no instante t0, vale 0,05cm/s, instante no qual a aresta mede 10cm. Calcule a 
taxa de expansão do volume do cubo no instante t0. 
 
2. Uma escada de comprimento 2m desliza no chão, mantendo-se apoiada em uma parede. 
Em um determinado instante, sua base dista 0,6m da parede e, se afasta da mesma à razão 
de 0,3m/s. Calcule a velocidade com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em 
questão. 
 
3. Podemos afirmar que taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao 
comprimento x de sua aresta é igual a... 
 
4. Uma população de tâmias se transfere para uma nova região no tempo t = 0. No instante 
t a população é dada por 𝑃(𝑡) = 100(1 + 0,3𝑡 + 0,04𝑡2). Podemos então afirmar que a 
taxa de crescimento da população quando P = 200 é dada por... 
 
5. Uma moeda que está sendo aquecida, mantém a sua forma. Calcule o quociente entre 
a taxa de variação com o tempo da área de uma face e a taxa de variação com o tempo do 
diâmetro, num instante em que o diâmetro vale 1cm. 
 
6. Um balão esférico, que está sendo inflado, mantém sua forma esférica. Seu raio 
aumenta a uma taxa constante de 0,05m/s. Calcule a taxa de variação do seu volume no 
instante em que seu raio vale 2m. 
 
7. Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio-tanque se espalhe 
em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que 
velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 50 pés? 
 
8. Está sendo bombeado ar para dentro de um balão esférico, e seu volume cresce a uma 
taxa de 100 cm3/seg. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro é 50 
cm? 
 
9. Uma partícula se desloca para cima e para a direita ao longo de uma curva 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥. 
Sua abscissa aumenta a uma taxa de 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= √𝑥 𝑚/𝑠. A que taxa a ordenada varia no ponto 
(𝑒2, 3)? 
 
10. Dada a equação 4𝑥2 + 9𝑦2 = 1 e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 3 calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 quando (𝑥, 𝑦) = (
1
2√2
,
1
3√2
) 
 
11. Dada a equação 𝑦 = 3𝑥 + 5 e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 2. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 quando 𝑥 = 1. 
 
12. Uma escada com 5 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base 
da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa de 1m/s, quão rápido o topo da 
escada está escorrendo para baixo na parede quando a base da escada está a 3m da parede? 
 
13. O ar está sendo bombeado para dentro de um balão esférico e seu volume cresce a 
uma taxa de 100 cm3/s. Quão rápido o raio do balão está crescendo quando o diâmetro 
for 50 cm? 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 
LISTA EXERCICIOS TAXAS RELACIONADAS E ANALISE MARGINAL 
Prof. Dra. Denise Candal 
 
 
 
14. Um homem tem 1,80m de altura e está a 12 m da base de um poste de luz com 20m 
de altura. Sabendo que o homem caminha em direção ao poste a uma velocidade de 
4,0metros por segundo, a que taxa o comprimento de sua sombra está variando? 
 
15. Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um navio tanque se espalhe 
em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 pés/s. Com que 
velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés? 
 
16. Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela Companhia Polaraire 
para fabricação de x refrigeradores seja dado pela função custo total. 
C(x) = 8000 + 200x – 0,2x2 , 0 ≤ x ≤ 400. Determine o custo total envolvido na fabricação 
do 251-ésimo refrigerador e a taxa de variação da função custo total com relação a x 
quando x = 250. 
 
17. Considere que a função custo para fabricação de determinada mercadoria seja 
C(x)=0,02x3-0,4x2+400x+200. Quanto custará, aproximadamente, para se produzir a 21a 
mercadoria? 
 
18. A fabricação de x unidades de uma mercadoria rende R(x)= 24x. O custo total da 
produção de x unidades é dado pela equação 
2003,09,3150)( xxxC 
 
(a) Ache o custo marginal quando x=1000. 
(b) Quanto custará aproximadamente para fabricar a 1001a unidade? 
(c) Quanto custará exatamente ao fabricante para produzir a 1001a unidade? (d) 
Determine o lucro total do fabricante em função de x. 
(e) Quantas unidades deveriam ser fabricadas e vendidas para o fabricante obter lucro 
máximo? 
 
19. Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a 
granel a um preço de $200 por unidade. Se o custo total de produção (em dólares) para x 
unidades for 𝐶(𝑥) = 500.000 + 80𝑥 + 0,003𝑥2e se a capacidade de produção da firma for 
de, no máximo, 30.000 unidades em um tempo especificado, quantas unidades de 
penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro?