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Estácio de Sá – Campus São José/SC Engenharia Civil 1º Semestre / 2017 Discentes: Edimar Laurentino Maycon Gabriel Amin Gabriel Pires Experimento 3: Pêndulo Simples São José, 10 de Abril de 2017 Objetivo Experimento realizado para que seja determinada a aceleração da gravidade através do Pêndulo Simples. O mesmo possui duas partes distintas, onde será calculado o Período T(s) para cada comprimento L(m). Na primeira parte calcularemos a aceleração da gravidade utilizando a relação . Para esta etapa será calculada a média aritmética das acelerações da gravidade encontradas e calculado o desvio padrão propagado através da seguinte fórmula . Após determinação de todos os desvios, será obtido o valor de desvio médio através da equação , 5 representa o número de desvios medidos. Na segunda parte teremos a construção do gráfico T² em função de L. Então será calculado o coeficiente angular através a melhor reta, calculada pelo método da regressão linear. Faremos um comparativo entre e . Onde: Após a determinação do valor da aceleração da gravidade será obtida a porcentagem de erro experimental através da equação . Introdução Teórica Um pêndulo é um sistema composto por uma massa acoplada a um pivô que permite sua movimentação livremente. A massa fica sujeita à força restauradora causada pela gravidade. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos, alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples, e que tem maior utilização é o Pêndulo Simples. Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma: Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma: A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então: No entanto, o ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por ℓ, assim: Onde ao substituirmos em F: Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos pequenos, , o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo. Então, ao considerarmos os caso de pequenos ângulos de oscilação: Como P=mg, e m, g e ℓ são constantes neste sistema, podemos considerar que: Então, reescrevemos a força restauradora do sistema como: Sendo assim, a análise de um pêndulo simples nos mostra que, para pequenas oscilações, um pêndulo simples descreve um MHS. Como para qualquer MHS, o período é dado por: e como Então o período de um pêndulo simples pode ser expresso por: Procedimentos Experimentais Materiais Utilizados: Disco Metálico; Haste com barbante; Régua graduada; Cronômetro; As aferições foram realizadas em duas etapas, sendo a primeira com ângulo de 10º e a segunda com ângulo de 51º. Para cada uma delas foram cronometrados os tempos para 10 oscilações em cinco comprimentos diferentes. Para cada comprimento foram realizadas 3 aferições, entendendo como tempo para 10 voltas a médias das mesmas. Dividindo o valor médio do tempo para 10 voltas obtivemos o valor do período T para cada oscilação. Consideramos o desvio padrão do período como 0,01 s. Calculado também T². Os dados foram dispostos em tabelas. Resultados Comprimento do Pêndulo L(m) Ordem das medidas Número de Voltas Tempo t(s) 0,40 1 2 3 10 12,94 13,00 12,87 12,93 1,293 0,01 1,66 0,60 1 2 3 10 15,72 15,50 15,75 15,65 1,565 0,01 2,43 0,80 1 2 3 10 18,09 18,16 18,10 18,11 1,811 0,01 3,27 1,00 1 2 3 10 20,29 20,31 20,35 20,31 2,031 0,01 4,12 1,20 1 2 3 10 22,31 22,19 22,32 22,27 2,227 0,01 4,92 Tabela1 - Dados para o ângulo 10º Comprimento do Pêndulo L(m) Ordem das medidas Número de Voltas Tempo t(s) 0,40 1 2 3 10 13,15 13,44 13,41 13,33 1,333 0,01 1,7768 0,60 1 2 3 10 16,53 16,44 16,31 16,42 1,642 0,01 2,696 0,80 1 2 3 10 18,81 18,94 18,84 18,86 1,886 0,01 3,556 1,00 1 2 3 10 20,88 20,87 20,85 20,86 2,086 0,01 4,351 1,20 1 2 3 10 22,81 22,75 22,85 22,80 2,280 0,01 5,1984 Tabela 2 - Dados para o ângulo 51º L T² L X T² L² (T²)² 0,4 1,66 0,664 0,16 2,7556 0,6 2,43 1,458 0,36 5,9049 0,8 3,27 2,616 0,64 10,6929 1,0 4,12 4,12 1,0 16,9744 1,2 4,92 5,904 1,44 24,2064 ∑ 4,0 16,4 14,762 3,6 60,5342 Tabela 3 - Dados coletados para T² X L para 10º. L T² L X T² L² (T²)² 0,4 1,78 0,712 0,16 3,1684 0,6 2,70 1,62 0,36 7,29 0,8 3,56 2,848 0,64 12,6736 1,0 4,35 4,35 1,0 18,9225 1,2 5,20 6,24 1,44 27,04 ∑ 4,0 17,59 15,77 3,6 69,0945 Tabela 4 - Dados coletados para T² X L para 51º. Etapa 1: Cálculos para o ângulo de 10º Aceleração da gravidade para o comprimento 1 (0,4 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 2 (0,6 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 3 (0,8 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 4 (1 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 5 (1,2 m): Aceleração da gravidade média: Desvio 1: Desvio 2: Desvio 3: Desvio 4: Desvio 5: Desvio Médio: Resultado final: Cálculos para o ângulo de 51º Aceleração da gravidade para o comprimento 1 (0,4 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 2 (0,6 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 3 (0,8 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 4 (1 m): Aceleração da gravidade para o comprimento 5 (1,2 m): Aceleração da gravidade média: Desvio 1: Desvio 2: Desvio 3: Desvio 4: Desvio 5: Desvio Médio: Resultado final: Etapa 2: Cálculos para o ângulo de 10º Coeficiente de Correlação Linear Desvios padrões: Valor de b: Melhor Reta: Valor da gravidade Experimental: ERRO: Etapa 2: Cálculos para o ângulo de 51º Coeficiente de Correlação Linear Desvios padrões: Valor de b: Melhor Reta: Valor da gravidade Experimental: ERRO: Ângulo 10º – Gráfico T² x L Ângulo 51º – Gráfico T² x L Discussões Com o experimento foi comprovado que é possível determinar a aceleração da gravidade a partir de um pêndulo Simples, uma vez que as grandezas que atuam neste sistema são a aceleração da gravidade e força de tração. Com isto comprovamos que a aceleração da gravidade independe do comprimento L do pêndulo, pois a mesma depende apenas da altitudeem que se encontra. Testes foram realizados a nível do mar onde g = 9,81 m/s². Utilizando os métodos especificados neste mesmo relatório notamos que para um ângulo de 10º temos um ERRO experimental de 9.17%, quando para 51º encontramos um ERRO experimental 16,81. Comprovando a teoria de que, para que tenhamos um resultado mais próximo do real, o ângulo deve ser pelo menos abaixo de 10º. Com ângulos maiores teremos uma atuação mais forte do atrito do AR, e notamos que o erro humano nos testes se acentua. Os erros experimentais existem em ambas as etapas de testes, pois não temos um ambiente idealizado. Entretanto obtivemos valores razoavelmente próximo aos da Literatura, onde ficam claras as teorias expostas. Conclusão Foi demonstrado através deste experimento a relação entre o comprimento L do pêndulo e seu Período de oscilação T. Com estas informações e sabendo que a aceleração da gravidade é constante para todos os casos, foi possível traçar um comportamento do sistema. Para cada comprimento L, temos um Período T, assim sempre resultando em g padrão, salvo os erros experimentais que estão sempre presentes nestes tipos de testes. A literatura explica que com um ângulo de start abaixo de 10º, teremos um valor de g através da relação entre T e L, muito próxima da realidade. Foi comprovado com o gráfico T²xL, encontrando o valor do coeficiente angular da melhor reta através da regressão Linear, que podemos encontrar o valor da aceleração da gravidade. Sendo y= mx + n, onde, . Bibliografia SO FISICA, Apresenta temas educacionais relacionados aos estudos da Física. Disponível em:< http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php>. Acesso em 06 de Abril de 2017.
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