Polinômios e operações (Material de apoio)

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Polinômios e operações
Prof. Msc. Jeferson Gomes Moriel JuniorProf. Msc. Jeferson Gomes Moriel Junior
Adição: P(x) + Q(x) = (P + Q)(x)Adição: P(x) + Q(x) = (P + Q)(x)
• P(x) = 2x4 – x3 – 7x2 + 4x – 10
• Q(x) = – 6x3 + 3x2 – 9xQ(x)    6x + 3x 9x
( )( )(o que fazer?) (P+Q)(x) = 
(reescrever) = (2x4 – x3 – 7x2 + 4x – 10) + (– 6x3 + 3x2 – 9x)(reescrever)    (2x x 7x  4x  10)   ( 6x  3x 9x)
(tirar parênteses) = 2x4 – x3 – 7x2 + 4x–10 – 6x3 + 3x2 – 9x
(agrupar potências)  = 2x4 – x3 – 6x3 – 7x2 + 3x2 + 4x – 9x–10
(somar coeficientes) = 2x4 – 7x3 – 4x2 – 5x – 10(somar coeficientes)  2x 7x 4x 5x 10
Subtração: P(x) Q(x) = (P Q)(x)Subtração: P(x) – Q(x) = (P – Q)(x)
• P(x) = 2x4 – x3 – 7x2 + 4x – 10
• Q(x) = – 6x3 + 3x2 – 9xQ(x)    6x + 3x 9x
( )( )(o que fazer?)        (P – Q)(x) = 
(reescrever) = (2x4 – x3 – 7x2 + 4x – 10) – (– 6x3 + 3x2 – 9x)(reescrever)  (2x x 7x  4x  10)  ( 6x  3x 9x)
(tirar parênteses)      = 2x4 – x3 – 7x2 + 4x–10 + 6x3 – 3x2 + 9x
(agrupar potências)  = 2x4 – x3 + 6x3 – 7x2 – 3x2 + 4x + 9x–10
(somar coeficientes) = 2x4 + 5x3 – 10x2 + 13x – 10(somar coeficientes)    2x + 5x 10x + 13x 10
Multiplicação: P(x) Q(x) = (PQ)(x)
( ) 2 10
Multiplicação: P(x).Q(x) = (P.Q)(x)
• P(x) = x2 + 4x – 10
• Q(x) = x3 – 9x
(o que fazer?)       (P.Q)(x) = 
(reescrever) = (x2 + 4x – 10).(x3 – 9x)
(distributividade) = x2.(x3 – 9x) + 4x.(x3 – 9x) – 10.(x3 – 9x)
(distrib.) = x2.x3 + x2.(–9x) + 4x.x3 + 4x.(–9x) –10.x3 –10.(–9x)
(multiplicar) = x5 – 9x3 + 4x4 – 36x2 –10x3 + 90x(multiplicar) = x 9x + 4x 36x 10x + 90x
(agrupar potências) = x5 + 4x4 – 9x3 –10x3 – 36x2 + 90x
5 4 4 19 3 36 2 90(somar coeficientes) = x5 + 4x4 – 19x3 – 36x2 + 90x
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
( ) 5 4 3 2• P(x) = 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1
• Q(x) = x2 – 2x + 3( )
P (x) = 3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1
Q                        x2 – 2x + 3
(Dividendo)                                                                     (Divisor)
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3|
? (Quociente)
?? (Resto)
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
=
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
?
X
?          
Que número (?) multiplicado por x2 resulta 3x5?Que número (?) multiplicado por x resulta 3x ?
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
3x5 – 6x4 + 9x3 3x33x 6x +   9x 3x
0  +  0   +    4x3
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
3x5 – 6x4 + 9x3 3x33x 6x +   9x 3x
0  +  0   +    4x3 – 9x2 + 11x – 1 
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
3x5 – 6x4 + 9x3 3x3    ?3x 6x +   9x 3x ?
0  +  0   +    4x3 – 9x2 + 11x – 1 
Q ú (?) lti li d 2 lt 4 3?Que número (?) multiplicado por x2 resulta 4x3?
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
3x5 – 6x4 + 9x3 3x3 +4x3x 6x +   9x 3x +4x
0  +  0   +    4x3 – 9x2 + 11x – 1 
4x3 – 8x2 + 12x
0 – x2 – x0 x x
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
3x5 – 6x4 + 9x3 3x3 +4x ?3x 6x +   9x 3x +4x  ?
0  +  0   +    4x3 – 9x2 + 11x – 1 
4x3 – 8x2 + 12x
0 – x2 – x – 10 x x    1
Que número (?) multiplicado por x2 resulta –x2?
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
3x5 – 6x4 + 13x3 – 9x2 + 11x – 1 | x2 – 2x + 3
3x5 – 6x4 + 9x3 3x3 +4x –13x 6x +   9x 3x +4x   1
0  +  0   +    4x3 – 9x2 + 11x – 1 
4x3 – 8x2 + 12x
0 – x2 – x – 10 x x    1
– x2 + 2x  – 3
0 – 3x  + 2
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
Calcule D (x) sabendo que D(x) = x4 – 3x2 + 5x + 1 
dd
e d(x) = x – 2.
Solução:Solução:
D (x) = x4 – 3x2 + 5x + 1 , logo,
d                    x – 2
usando o método da chave temos:usando o método da chave temos:
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
x4 – 3x2 + 5x + 1 | x – 2
Se necessário, complete o(s) polinômio(s) antes 
de resolver.
x4 + 0x3 – 3x2 + 5x + 1 | x – 2
Divisão:Método da chaveDivisão: Método da chave
x4 + 0x3 3x2 + 5x + 1 | x 2x4 + 0x3 – 3x2 + 5x + 1 | x – 2
x4 – 2x3 x3 +2x2 +x  +7 
0 + 2x3 – 3x2 + 5x + 1 
2x3 4x22x3 – 4x2
0 + x2 + 5x + 1
x2 – 2x
7 1+ 7x + 1
7x – 14 
0 + 15
x5 + x4 + 0x3 – 2x2 + 0x + 1 | x + 2x + x + 0x 2x + 0x + 1 | x + 2
x5 + 2x4 x4 –x3 +2x2 –6x +12 
0    –x4 + 0x3 – 2x2 + 0x + 1 
–x4 – 2x3
0 +2x3 – 2x2 + 0x + 1 
2 3 + 4 22x3 + 4x2
–6x2 + 0x + 1 
–6x2 –12x 
0 + 12x + 10 + 12x + 1
12x + 24
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