Dinamica Vetorial

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ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
 
 
 
 
 
 
 
DINÂMICA VETORIAL 
TEORIA 
 
 
 
 
MARIO FRANCISCO MUCHERONI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO CARLOS - 2011 
1 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
CINEMÁTICA VETORIAL DA PARTÍCULA 
 
 
 
 Freqüentemente a segunda lei de Newton é escrita na forma clássica que 
relaciona a força resultante com a aceleração da partícula. O estudo da cinemática 
da partícula tem como objetivo obter as relações matemáticas entre as grandezas 
posição, velocidade e aceleração, num determinado referencial. 
 
1.1 VETORES POSIÇÃO, VELOCIDADE E ACELERAÇÃO 
 
 Seja o sistema xyz da Figura 1.1 fixo num espaço inercial e seja o 
movimento em relação a este referencial denominado como movimento absoluto. 
O vetor r representa a posição da partícula P no instante t, indicado por 
)(trr
, e 
o vetor r representa a posição desta mesma partícula no instante t , indicado por 
)(trr
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 - Vetores posição e deslocamento de uma partícula P. 
 
z 
x 
y 
r 
r 
r 
P(t) 
P(t´) 
S 
2 
 
 
 Por definição, a velocidade no instante t é dada por: 
 
 
v
r r r r
t t t
lim
t t
lim
t
d
dt
'
' 0
 (1.1) 
 
onde 
r r r
 é o vetor deslocamento no intervalo de tempo 
ttt
, conforme 
mostra a Figura 1.1. Analisando o limite dado na equação (1.1) pode-se concluir 
que o vetor velocidade v é tangente à curva S no instante t. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.2 - Vetores velocidade de uma partícula P. 
 
 De maneira semelhante, define-se a aceleração da partícula P no instante t 
como: 
 
 
a
v v v v r
t t t
lim
t t
lim
t
d
dt
d
dt'
'
' 0
2
2
 (1.2) 
 
onde 
v v v
 corresponde à variação do vetor velocidade, conforme mostra a 
Figura 1.2. Analisando o limite na equação (1.2) pode-se concluir que o vetor 
aceleração possui uma componente tangencial e uma componente normal (exceto 
para trajetórias retilíneas) em relação à curva S no instante t. 
 
 
 
 
 
z 
x 
y 
v 
v 
r 
r 
r 
P(t) 
P(t’) 
S 
v 
v 
v 
P 
3 
 
1.2 COMPONENTES TANGENCIAL E NORMAL 
 
 Muito frequentemente desejamos trabalhar com as coordenadas tangente e 
normal à curva do movimento s(t). Conforme visto na seção anterior, de uma 
forma gráfica e através da geometria, podemos representar os vetores velocidade e 
aceleração num determinado instante, nas coordenadas móveis tangente e normal, 
conforme mostra a Figura 1.3. Vamos demonstrar de forma mais precisa estes 
afirmações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.3 - Direções tangencial e normal: 
vetores velocidade e aceleração de uma partícula P. 
 
 Vamos tomar uma dada curva s(t) e duas posições nos instantes t e t’. 
Vamos representar o deslocamento escalar sobre a curva entre est es dois instantes 
por
s
 e o deslocamento vetorial através de
r
, conforme já definido. 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.4 - Deslocamentos escalar e vetorial. 
 
 Uma relação geométrica fundamental entre estes deslocamentos, isto é, 
entre os comprimentos da corda e do arco é dada por: 
z 
x 
y 
v 
a P 
S un 
ut 
P 
S 
s 
s 
P s 
r 
4 
 
 
1
s
lim
0t
r
 (1.3) 
 
onde 
r r r
 é o vetor deslocamento e 
sss
 é o comprimento do trecho da 
curva percorrido no intervalo de tempo 
t
, conforme mostra a Figura 1.3. 
Analisando o limite dado na equação (1.3) pode-se concluir que: 
 
 
t
0t ds
d
s
lim u
rr
 (1.4) 
 
onde 
tu
 é o vetor unitário da direção tangente ou versor tangente. Lembrando que 
 
 
dt
dr
v
 (1.5) 
então 
 
tv
ds
d
dt
ds
dt
d
u
rr
v
 (1.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5 - Vetor velocidade de uma partícula P. 
 
Assim, podemos concluir que o vetor velocidade v é tangente à curva S no instante 
t. Portanto, dada s = s(t) uma função do percurso sobre a curva S, podemos definir 
a derivada 
 
 
dt
ds
v
 (1.7) 
z 
x 
y 
v 
P(t) 
S 
s 
s 
P(t’) s 
5 
 
 
como a velocidade na forma escalar, uma função positiva ou negativa de acordo 
com o sentido do percurso sobre S. 
 A aceleração da partícula P em componentes tangencial e normal pode ser 
obtida através de 
 
 
dt
dv
a
 (1.8) 
 
Substituindo (1.6) em (1.8) obtemos 
 
 
dt
d
v
dt
dv
v
dt
d
dt
d t
tt
u
uu
v
a )(
 (1.9) 
 
É necessário analisar a segunda parcela de (1.9). Inicialmente vamos decompor a 
derivada temporal do versor tangente pela regra da cadeia e, em seguida, 
aplicamos (1.7) e a relação geométrica 
dds
 para obter 
 
 
d
dv
sd
d
dt
sd
dt
d ttt uuu
 (1.10) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.5 - Versores tangentes. 
 
Para calcularmos a derivada do versor tangente em θ vamos lembrar que 
 
z 
x 
y 
ut 
P(t) 
S 
ut 
P(t’) 
ut 
ut 
ut’ 
 
s 
 
´ 
 
6 
 
 
t
0
t
lim
d
d uu
 (1.11) 
 
Vamos analisar a Figura 1.5. Verificamos que os versores nos instantes t e t’, e o 
vetor da variação entre estes dois instantes, formam um triângulo isósceles tendo 
os dois lados iguais de comprimento unitário e a sua base dada por 
 
 
uu
2
sen2t
 (1.12) 
onde 
u
 é o versor da direção de 
tu
. Substituindo (1.12) em (1.11), obtemos 
 
 
n
00
t
2
2
sen
lim
2
sen2
lim
d
d
uuu
u (1.13) 
 
Levando (1.13) em (1.10), obtemos 
 
 
n
t v
dt
d
u
u
 (1.14) 
 
O resultado obtido em (1.14) é então aplicado em (1.9) 
 
 
n
2
tt
v
dt
dv
v
dt
d
dt
d
uuu
v
)(
 (1.15) 
 
Assim obtemos as componentes tangencial e normal da aceleração, ou seja, 
 
 
nntt aa
dt
d
uu
v
a
 (1.16) 
onde 
 
v
dt
dv
at 
 aceleração tangencial (1.17) 
 2
n
v
a
 aceleração normal (1.18) 
7 
 
Observemos inicialmente que em qualquer movimento retilíneo a aceleração 
normal é nula, enquanto que nos movimentos curvilíneos esta aceleração será 
sempre diferente de zero, mesmo quando a velocidade tiver módulo constan te. 
Assim podemos concluir que o único movimento possível com aceleração total 
nula é o retilíneo uniforme. Neste caso tanto a aceleração tangencial como a 
aceleração normal são nulas. O movimento retilíneo não uniforme terá aceleração 
tangencial diferente de zero e qualquer movimento curvilíneo terá aceleração 
normal diferente de zero, além da tangencial no caso de movimento não uniforme. 
 Neste sistema de coordenadas, há uma terceira direção que é perpendicular 
ao plano que contém os vetores ut e un, denominada direção binormal. Nesta 
direção a componente da aceleração é sempre nula. É definida pelo versor: 
 
 
ntb uuu
 (1.19) 
 
1.3 COMPONENTES RETANGULARES 
 
 Escolhendo as coordenadas retangulares xyz e os versores de suas direções 
indicados por i, j e k, respectivamente, podemos escrever o vetor posição r = r(t) 
 
 
kjir zyx
 (1.20) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cartesianas. 
 
z 
x 
y 
v 
a P 
S 
i 
j 
k 
r 
8 
 
Nestas coordenadas o movimento dapartícula P é dado pela composição de três 
movimentos retilíneos x=x(t), y=y(t) e z=z(t). A velocidade deste movimento em 
relação ao referencial xyz é dada por: 
 
 
kjikji
r
v zyx
dt
dz
dt
dy
dt
dx
dt
d

 (1.21) 
onde 
i
, 
j
 e 
k
 são os vetores unitários do referencial xyz. A aceleração deste 
movimento em relação a este referencial é dada por 
 
 
kjikji
v
a zyx
dt
zd
dt
yd
dt
xd
dt
d
2
2
2
2
2
2

 (1.22) 
 
Sendo a velocidade um vetor tangente à trajetória, é possível obter o versor 
tangente através de 
 
 
222
t
zyx 
v
v
v
u
 (1.23) 
 
Quando houver interesse, pode-se obter a componente tangencial da aceleração 
 
 
tta ua
 (1.24) 
 
e a aceleração normal 
 
 
2
t
2
n aaa
 (1.25) 
 
ou, vetorialmente, 
 
 
tn aaa
 (1.26) 
 
Portanto, o versor da direção normal pode ser obtido através de 
 
 
n
n
n
a
a
u
 (1.27) 
9 
 
1.4 COMPONENTES CILÍNDRICAS 
 
 Escolhendo as coordenadas cilíndricas r, e z e os versores de suas 
direções radial ur e transversal u , ambos no plano xy, e k da direção z, podemos 
escrever o vetor posição rP = rP(t) 
 
 
kur zr rP
 (1.28) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cilíndricas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.7 - Projeção no plano xy do movimento em coordenadas cilíndricas. 
 
Nestas coordenadas, o movimento da partícula P é dado pela composição de três 
movimentos: radial r = r(t), transversal = (t) e vertical z = z(t). A velocidade 
deste movimento é dada por: 
 
y 
z 
x 
ur u 
Projeção de P 
projeção de S 
r 
 
z 
x 
y 
ur 
u 
S 
projeção de S r 
 
P 
rP 
z 
10 
 
 
k
u
u
r
v
dt
dz
dt
d
r
dt
dr
dt
d r
r
P
 (1.29) 
 
A derivada da segunda parcela é dada por 
 
 
d
d
dt
d
dt
d rr uu
 (1.30) 
 
usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que 
 
 
u
u
dt
d
dt
d r
 (1.31) 
 
Aplicando (1.31) em (1.29), obtém-se a velocidade 
 
 
kuu
r
v
dt
dz
dt
d
r
dt
dr
dt
d
r
P
 (1.32) 
onde 
 
r
dt
dr
vr 
 (1.33) 
 
r
dt
d
rv
 (1.34) 
 
z
dt
dz
vz 
 (1.35) 
 
Derivando a velocidade dada em (1.32), obtemos a aceleração 
 
 
k
u
uu
u
u
v
a
2
2
2
2
r
r2
2
dt
zd
dt
d
dt
d
r
dt
d
r
dt
d
dt
dr
dt
d
dt
dr
dt
rd
dt
d
 (1.36) 
 
Aplicando (1.31) em (1.36) obtemos 
 
 
k
u
uuu
v
a
2
2
2
2
r2
2
dt
zd
dt
d
dt
d
r
dt
d
r
dt
d
dt
dr
2
dt
rd
dt
d
 (1.37) 
 
Usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que 
11 
 
 
 
r
dt
d
dt
d
u
u
 (1.38) 
 
e aplicando (1.38) em (1.37) obtemos finalmente: 
 
 
kuuuu
v
a
2
2
r2
2
r2
2
dt
zd
dt
d
dt
d
r
dt
d
r
dt
d
dt
dr
2
dt
rd
dt
d
 (1.39) 
ou 
 
kuu
v
a
2
2
2
2
r
2
2
2
dt
zd
dt
d
dt
dr
2
dt
d
r
dt
d
r
dt
rd
dt
d (1.40) 
 
Assim, em componentes 
 
 
2
2
2
2
r rr
dt
d
r
dt
rd
a 
 (1.41) 
 
 
 r2r
dt
d
dt
dr
2
dt
d
ra
2
2 (1.42) 
 
 
z
dt
zd
a
2
2
z

 (1.43) 
 
 
1.5 MOVIMENTO RELATIVO ENTRE PARTÍCULAS 
 
 Até aqui, os referenciais utilizados foram considerados como absolutos. 
Frequentemente, em movimentos mais complexos, é interessante determinar as 
características cinemáticas desses movimentos a partir de dois ou mais 
movimentos identificados como relativos. Sejam os movimentos de duas partículas 
A e B, num referencial absoluto xyz, conforme mostra a Figura 1.8, e os seus 
vetores posição, dados por 
 
 
kjir AAAA zyx
 e 
kjir BBBB zyx
 (1.44) 
 
12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.8 - Movimento relativo de duas partículas. 
 
Vamos tomar um referencial móvel x’y’z’, fixo na partícula A de tal forma que 
seus eixos não sofram rotação, isto é, mantém as suas direções fixas ao longo de 
todo o movimento. Nós dizemos que este referencial realiza um movimento de 
translação em relação ao referencial fixo xyz. Assim podemos escrever 
 
 
ABAB /rrr
 (1.45) 
 
onde dizemos que 
AB /r
 é o “vetor posição de B em relação a A”. Observe que é 
uma forma livre de se expressar, pois, de fato, não existe movimento relativo a 
uma partícula A, mas sim a um referencial x’y’z’, fixo em A. Para se obter a 
relação entre as velocidades, deriva-se (1.45) para se obter 
 
 
ABAB /vvv
 (1.46) 
 
onde 
Av
 e 
Bv
 são, respectivamente, as velocidades das partículas A e B em relação 
ao referencial xyz, enquanto que 
AB /v
 é a velocidade da partícula B em relação ao 
referencial x’y’z’, também chamada de forma simplificada como velocidade 
relativa de B em relação a A. Para obtermos a relação entre as acelerações, basta 
derivarmos a (1.46): 
 
 
ABAB /aaa
 (1.47) 
z 
x 
y 
O 
A SA 
rA 
SB 
y' 
z' 
rB 
rB/A 
x' 
B 
13 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
DINÂMICA DA PARTÍCULA: FORÇA E ACELERAÇÃO 
 
 
 
 Neste capítulo será analisada a lei de Newton na sua forma diferencial, 
aplicada ao movimento de partículas. Nesta forma a força resultante das forças 
aplicadas numa partícula está relacionada com a sua aceleração. 
 
2.1 LEIS DE NEWTON PARA MOVIMENTOS 
 
 A mecânica vetorial está baseada na teoria de Newton, apresentada 
originalmente em 1687. Newton utilizou para o desenvolvimento de sua teoria os 
trabalhos de outros cientistas que o precederam, especialmente de Galileo e de 
Kepler. Através de experimentos práticos, Galileo demonstrou alguns princípios do 
movimento dos corpos. Entretanto Newton foi o primeiro a estabelecer de uma 
forma sistemática um conjunto de leis gerais para o estudo desses movimentos. 
Estas leis foram formuladas inicialmente para partículas simples , assumindo a 
existência de sistemas de referência, em relação aos quais são válidas. Estes 
sistemas de referência, chamados sistemas inerciais ou galileanos, formam um 
conjunto especial de sistemas de referência que estão em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme, um em relação ao outro. Na mecânica newtoniana 
um sistema inercial é definido como aquele que está em repouso ou em movimento 
uniforme em relação a uma suposta posição média de estrelas fixas e distantes. 
Entretanto, para muitos objetivos práticos é possível adotar como inercial um 
sistema fixo ao sistema solar. Em muitas aplicações da engenharia é possível 
adotar como inercial um sistema de referência fixo à superfície da terra. Newton 
enunciou suas leis como axiomas do movimento, hoje apresentadas da seguinte 
forma: 
14 
 
 
 Primeira lei: Uma partícula se move em linha reta com velocidade 
constante quando não há forças atuando sobre ela . 
 Uma partícula é a idealização de um corpo material cujas dimensões são 
muito pequenas quando comparadas com as distâncias a outros corpos e cujo 
movimento relativo entre seus pontos não é relevante para o movimento do corpo. 
Matematicamente estes corpos são representados por massas pontuais. 
 Sendo FR a força resultante numapartícula e v a sua velocidade em relação 
a um referencial inercial, a primeira lei pode ser estabelecida por: 
 
 
0
dt
d
0R
v
F
 ou v = constante (2.1) 
 
 Segunda lei: Uma partícula se move de maneira tal que a força resultante a 
ela aplicada é igual à derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento 
linear. 
 A quantidade de movimento linear, ou simplesmente quantidade de 
movimento, é definida como o produto da massa pela velocidade, ou seja, igual a 
mv. Assim a segunda lei pode ser dada por: 
 
 
dt
md
R
)( v
F
 (2.2) 
 
 Sendo constante a massa da partícula, então a equação (2.2) pode ser escrita 
como: 
 
 
a
v
F m
dt
md
R
)(
 (2.3) 
 
 Terceira lei: Quando duas partículas atuam uma sobre a outra, as forças 
de interação correspondentes situam-se sobre a linha que une estas partículas; 
são iguais em módulo e de sentidos contrários. 
 Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Indicando por 
FAB
 a 
força exercida pela partícula A sobre a partícula B e 
FBA
 a força que a partícula B 
exerce em A, a terceira lei pode ser estabelecida matematicamente por: 
15 
 
 
 
F FAB BA
 (2.4) 
 
 
 Newton também propôs uma lei para reger a atração mútua entre duas 
partículas, denominada Lei de Newton da Atração Gravitacional, dada por 
 
 
2
21
G
r
mm
GF
 (2.5) 
onde 
 FG é força de atração entre as duas partículas 
 G = 66,73 (10
-12
) m
3
/(kg.s
2
) é uma constante universal de gravitação 
 m1, m2 são as massas de cada uma das partículas 
 r é a distância entre as partículas 
 
 Analisando a lei dada por (2.5) poderemos considerar como desprezível esta 
força quando se trata da atração entre dois corpos sobre a terra. Se considerarmos, 
por outro lado, a atração que a terra exerce sobre um corpo em sua superfície, 
pode-se mostrar que esta força é dada por 
 
 
mg
R
Mm
GW
2
 (2.6) 
onde 
 W é a força de atração entre a terra e o corpo, denominada peso 
 M é a massa da terra 
 R é igual ao raio da terra 
 m é a massa corpo na superfície da terra 
 
2R
M
Gg
 é denominada aceleração da gravidade 
 
 Esta constante de fato varia ao longo da superfície da terra, mas estas 
variações são consideradas pequenas na maioria das aplicações em engenharia. Os 
valores de referência adotados universalmente são: g = 9,81 m/s
2
 ou 32,2 ft/s
2
 . 
 
 
16 
 
 
2.2 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA PARTÍCULA 
 
 Quando várias forças atuam sobre uma partícula, a equação (2.3) pode ser 
escrita como 
 
 
aFF mR
 (2.7) 
 
onde FR é a força resultante do sistema de forças que atua na partícula de massa m. 
A Figura 2.1 ilustra o diagrama do corpo livre de uma partícula P onde atuam duas 
forças. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 - Diagrama do corpo livre de uma partícula P. 
 
2.3 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PARA UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 
 
 Seja um sistema de várias partículas e sejam as forças externas ao sistema 
indicada por F e as internas indicadas por f. Aplicando a lei de Newton para cada 
partícula deste sistema podemos escrever 
 
 
iijii mafF
 (2.8) 
onde 
 Fi é a força resultante externa na partícula i 
 fji é a força da partícula j sobre a partícula i 
 mi é a massa da partícula i 
 
Podemos agora somar a equação (2.8) aplicada a todas as partículas internas ao 
sistema, cujo resultado é 
= 
P 
F1 
F2 
P 
FR = ma 
17 
 
 
 
iijii mafF
 (2.9) 
 
Sendo as fji forças internas ao sistema dado, sempre ocorrerão em pares de ação e 
reação, resultando numa soma nula. Assim (2.9) é igual a 
 
 
iiiR maFF
 (2.10) 
 
Agora vamos lembrar que a posição rG do centro de massa de um sistema de 
partículas de massas mi é dada por 
 
 
iiG mm rr
 (2.11) 
onde 
 
imm
 é a massa total do sistema 
 
Derivando (2.11) duas vezes no tempo, obtemos 
 
 
iiG mm aa
 (2.12) 
 
Substituindo (2.12) em (2.10), resulta 
 
 
GR maF
 (2.13) 
 
que é uma forma parecida com a equação de movimento para uma partícula, mas 
cujos termos devem ser interpretados de forma diferente. A força FR é a força 
resultante de todas as forças externas que atuam no sistema de partículas; a massa 
m é a soma de todas as massas das partículas e a aceleração aG é a aceleração do 
centro de massa do sistema. O centro de massa do sistema está localizado numa 
posição que varia com o tempo, em geral não coincidente com nenhuma partícula 
do sistema. 
 
 
 
18 
 
2.4 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS RETANGULARES 
 
 Vamos tomar um sistema inercial de referência nas coordenadas xyz. A força 
resultante aplicada a uma partícula de massa m pode ser escrita como 
 
 
kjiFF zyxR FFF
 (2.14) 
 
e a equação do movimento 
 
 
)( kjikji zyxzyx aaamFFF
 (2.15) 
 
Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares 
 
 
xx amF
 
 
yy amF
 (2.16) 
 
zz amF
 
 
A Figura 2.2 mostra as componentes retangulares de uma dada força aplicada a 
uma partícula P de massa m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 - Componentes Retangulares. 
 
 
 
 
z 
x 
y 
Fz 
m 
Fy 
Fx 
19 
 
2.5 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS TANGENCIAL E NORMAL 
 
 Em muitos movimentos que ocorrem em trajetórias curvilíneas conhecidas, 
forças aplicadas podem ser escritas em função das coordenadas tangencial, normal 
e binormal (esta completa o sistema de referência numa direção normal ao plano 
do movimento) como 
 
 
bbnnttR FFF uuuFF
 (2.17) 
 
e a equação do movimento 
 
 
)( nnttbbnntt aamFFF uuuuu
 (2.18) 
 
Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares 
 
 
tt amF
 
 
nn amF
 (2.19) 
 
0Fb
 
 
A Figura 2.3 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num 
dado instante do movimento de uma partícula P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 - Direções tangencial, normal e binormal. 
 
y 
t 
z 
x 
ub 
P 
ut 
un 
n 
O 
b 
20 
 
2.6 EQUAÇÃO DE MOVIMENTO: COORDENADAS CILÍNDRICAS 
 
 Alguns movimentos são mais facilmente escritos em função de coordenadas 
cilíndricas. Nestes casos as forças aplicadas podem ser escritas como 
 
 
zzrrR FFF uuuFF
 (2.20) 
 
e a equação do movimento 
 
 
)( zzrrzzrr aaamFFF uuuuuu
 (2.21) 
 
Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares 
 
 
rr amF
 
 
amF
 (2.22) 
 
zz amF
 
 
A Figura 2.4 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num 
dado instante do movimento de uma partícula P. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 - Coordenadas cilíndricas. 
 
 
y 
r 
z 
x 
uz 
P 
ur 
u 
 
u 
ur 
21 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
DINÂMICA DA PARTÍCULA: TRABALHO E ENERGIA 
 
 
 
 Neste capítulo será analisada a lei de Newton numa de suas formas 
integrais, aplicada ao movimento de partículas. Define-se o conceito de trabalho e 
energia cinética e através da integração da lei de Newton ao longo da trajetória do 
movimento podemos relacionar as forças aplicadas num intervalo de tempo com a 
variação da velocidade. 
 
3.1 TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA 
 
 O conceito de trabalho como definido na Mecânica da partícula está 
relacionado à ação de forças aplicadas na direção do movimento. Numa formadiferencial, o trabalho U de uma força F é dado por 
 
 
rF ddU
 (3.1) 
 
A Figura 3.1 ilustra as grandezas envolvidas nesta definição. Logo 
 
 
dsFdU cos
 (3.2) 
 
Podemos observar que 
 
0dsFdU cos
 quando 
900
 
 
0dsFdU cos
 quando 
90
 
 
0dsFdU cos
 quando 
18090
 
 
22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 - Elementos da definição de trabalho de uma força. 
 
Logo, a partir de (3.1) e (3.2), o trabalho U de uma força F durante o movimento 
que vai da posição r1 até a posição r2 é uma grandeza escala dada por 
 
 
2
1
2
1
s
s
21 dsFdU cos
r
r
rF
 (3.3) 
 
Observe que o trabalho de uma força constante FC, ao longo de uma trajetória 
retilínea, é dado por 
 
 
)(coscos 12C
s
s
CC21 ssFdsFdU
2
1
2
1
r
r
rF
 (3.4) 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.2 - Trabalho de uma força constante. 
 
O trabalho da força peso W, sendo y a direção vertical, é dado por 
 
 
2
1
2
1
dzdydxWdU 21
r
r
r
r
kjijrF )()(
 (3.5) 
ou seja 
r 
ds 
S 
P 
 
F 
r’ 
dr 
s 
s 
s1 
FC 
s2 
 
23 
 
 
yWyyWWdyU 21
y
y
21
2
1
)(
 (3.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 - Trabalho da força-peso W. 
 
O trabalho da força de uma mola linear aplicada a uma partícula P que se desloca 
ao longo do eixo x pode ser obtido a partir de: 
 
 
2
1
x
x
m21 dU rF
 (3.7) 
 
O modelo linear de força de mola estabelece que sua intensidade é proporcional ao 
seu deslocamento x, quando x = 0 corresponde à posição de mola livre. Assim a 
força sobre uma mola de constante elástica k possui a forma kx. Aplicada sobre a 
partícula P esta força tem sinal contrário ao deslocamento x. Portanto, a força de 
mola sobre a partícula P é dada por 
 
 
xkFm
 (3.8) 
Logo 
 
)( 22
2
1
x
x
21 xxk
2
1
dxxkU
2
1
 (3.9) 
 
3.2 PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA 
 
 Considere agora a lei de Newton dada pela equação do movimento, aplicada 
a uma partícula P de massa m: 
 
y 
z 
x 
W 
P 
r1 
r2 
24 
 
 
aF m
 (3.10) 
 
 Vamos calcular o trabalho da força resultante, num movimento desta 
partícula entre duas posições r1 e r2, com t2 > t1: 
 
 
2
1
2
1
dmd
r
r
r
r
rarF
 (3.11) 
 
Nesta equação, como o processo de integração é linear, então: 
 
 
2
1
2
1
dmd
r
r
r
r
rarF
 (3.12) 
ou seja 
 
2
1
dmU 21
r
r
ra
 (3.13) 
 
Aplicando a relação cinemática diferencial 
vvra dd
 em (3.13) obtemos 
 
 
2
1
dmU 21
v
v
vv
 (3.14) 
 
Realizando a integração do lado direito da igualdade (3.14) obtemos 
 
 
2
1
2
2
v
v
21 mv
2
1
mv
2
1
dvvmU
2
1
 (3.15) 
Definindo a energia cinética de uma partícula de massa m como 
 
 
2mv
2
1
T
 (3.16) 
e aplicando em (3.15), obtemos o princípio do trabalho e energia para uma 
partícula P, da seguinte forma 
 
 
1221 TTU
 (3.17) 
ou 
 
2211 TUT
 (3.18) 
25 
 
 
3.3 PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA: SISTEMAS DE PARTÍCULAS 
 
 Vamos estender o princípio do trabalho e energia para um sistema de 
partículas. Seja um sistema formado por n partículas, cada uma de massa mi. 
Aplicando (3.18) para a i-ésima partícula 
 
 
i2i21i1 TUT )(
 (3.19) 
 
Somando para todas a i partículas do sistema resulta: 
 
 
i2i21i1 TUT )(
 (3.20) 
 
ou, de forma compacta 
 
 
2211 TUT
 (3.21) 
onde 
 
2
i1i1 vm
2
1
T
 é a energia cinética do sistema no instante 1 
 
2
i2i2 vm
2
1
T
 é a energia cinética do sistema no instante 2 
 
i2
i1
i2
i1
iiii21 ddU
r
r
r
r
rFrf
 é o trabalho do sistema. 
 
Para a definição do trabalho do sistema entre as posições iniciais e finais, foi usada 
a notação f para forças internas e F para forças externas ao sistema. Deve-se notar 
que em determinadas condições, o trabalho total das forças internas é nulo: isto 
ocorre quando todas as partículas têm igual deslocamento (translação) e as 
conexões entre elas são rígidas. Estas condições são satisfeitas, por exemplo, para 
o caso de corpos rígidos em translação. 
 Observamos que a equação (3.21) é igual a (3.18), mas cada um de seus 
termos tem definição diferente, como visto nesta seção. 
 
 
26 
 
3.4 POTÊNCIA E EFICIÊNCIA 
 
 A potência é definida com a taxa de variação do trabalho por unidade de 
tempo, ou seja 
 
 
dt
dU
P
 (3.22) 
Aplicando (3.1) em (3.22), resulta 
 
 
vF
rF
dt
d
P
 (3.23) 
 
 Um conceito prático utilizado em engenharia é o da eficiência, às vezes 
denominado rendimento. Define-se, num sistema mecânico, a eficiência mecânica 
como o quociente entre a potência de saída e a potência de entrada. 
 
 
E
S
P
P
 (3.24) 
 
A potência de entrada, em geral, é aquela fornecida pelos motores que acionam o 
sistema. Podem ter várias fontes de energia, sendo a energia elétrica muito 
utilizada. A potência de saída é a responsável pelo trabalho que se deseja realizar 
com o sistema. Se o sistema for considerado ideal, este quociente é igual a 1, pois 
não há perda de energia. Entretanto, nos sistemas reais a eficiência é sempre menor 
que 1, pois sempre há perda de energia mecânica ao se realizar um trabalho. 
 
3.5 FORÇAS CONSERVATIVAS E ENERGIA POTENCIAL 
 
 Chamamos forças conservativas aquelas cujo trabalho realizado entre duas 
posições não depende da trajetória do movimento. Para a aplicação neste curso 
vamos destacar duas forças conservativas: a força peso e a força de mola. Como 
visto anteriormente em (3.6), o trabalho da força peso é dado por 
 
 
yWyyWU 2121 )(
 (3.25) 
27 
 
Definimos a energia potencial gravitacional como 
 
 
yWVg
 (3.26) 
 
onde y é a posição vertical da partícula em relação a um plano referencial 
escolhido arbitrariamente como plano de potencial nulo. Neste caso, podemos 
calcular o trabalho realizado pela força peso, qualquer que seja a trajetória entre as 
posições 1 e 2, através de 
 
 
g2g121 VVU
 (3.27) 
 
De forma semelhante, como visto em (3.9), o trabalho da força de mola é dado por 
 
 
)( 22
2
121 xxk
2
1
U
 (3.28) 
 
Definimos a energia potencial elástica como 
 
 
2
e xk
2
1
V
 (3.29) 
 
onde x é a deformação mola em relação à posição de força nula. Neste caso, 
podemos calcular o trabalho realizado pela força de mola, qualquer que seja a 
trajetória entre as posições 1 e 2, através de 
 
 
e2e121 VVU
 (3.30) 
 
Podemos definir a energia potencial como 
 
 
eg VVV
 (3.31) 
 
 Há outras forças conservativas, geradas por campos elétricos, energia 
química, etc. Entretanto para os estudos que faremos neste texto, a definição dada 
28 
 
em (3.31) é suficiente. Portanto o trabalho total realizado por forças conservativas 
pode ser calculado por 
 
 
2121 VVU
 (3.32) 
 
3.6 PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA: SISTEMAS CONSERVATIVOS 
 
 O princípio do trabalho e energia, dado em (3.18), pode ser modificado 
quando todas as forças atuantes numa partícula são forças conservativas. Neste 
caso, combinando (3.18) e (3.32), obtemos 
 
 
2211 TVVT
 (3.33) 
ou 
 
2211 VTVT
 (3.34) 
 
Esta igualdade é conhecida como a conservação da energia mecânica. È uma forma 
particular do princípio do trabalho e energia para sistemas conservativos.Nestes 
casos a soma das energias cinética e potencial é constante ao longo do tempo, ou 
 
 
0
dt
VTd
CVT
)(
ou
 (3.35) 
 
onde C é uma constante. Observe-se que, para casos gerais onde há forças 
conservativas e forças não conservativas, o princípio geral dado por (3.18) pode 
ser escrito como 
 
 
22
nc
2111 VTUVT
 (3.36) 
onde 
nc
21U
 é a soma de todos os trabalhos das forças não conservativas. 
 Para um sistema de partículas sujeito apenas à atuação de forças 
conservativas, uma extensão de (3.34) pode ser escrita como 
 
 
2211 VTVT
 (3.37) 
29 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
DINÂMICA DA PARTÍCULA: IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
 
 
 Neste capítulo será analisada a lei de Newton na forma de integral no 
domínio do tempo, aplicada ao movimento de partículas. Define-se o conceito de 
impulso e quantidade de movimento e através da integração da lei de Newton ao 
longo do tempo podemos relacionar as forças aplicadas num intervalo de tempo 
com a variação da velocidade vetorial. 
 
4.1 PRINCÍPIO DO IMPULSO E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR 
 
 Vamos partir da formulação diferencial da lei de Newton 
 
 
dt
d
mmF
v
a
 (4.1) 
 
Tomando a diferencial de (4.1) e integrando entre os instantes de tempo t1 e t2, 
sendo v1 e v2 as velocidades da massa m nestes instantes, obtemos 
 
 
2
1
2
1
dmdt
t
t
v
v
vF
 (4.2) 
ou 
 
12
t
t
mmdt
2
1
vvF
 (4.3) 
 
Vamos definir o impulso de uma força num intervalo de tempo como 
 
30 
 
 
2
1
t
t
21 dtFI
 (4.4) 
 
Esta grandeza é vetorial e a sua intensidade corresponde à área da curva mostrada 
na Figura 4.1, entre os instantes t1 e t2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 - Impulso de uma força F. 
 
A quantidade de movimento linear de uma partícula, ou simplesmente quantidade de 
movimento, é definida por 
 
 
vL m
 (4.5) 
 
onde v é a velocidade da partícula de massa m. A partir dessas definições o 
princípio do impulso e da quantidade de movimento (4.3) pode ser escrito como 
 
 
2211 LIL
 (4.6) 
 
Em palavras, o quantidade de movimento linear num instante t2 é igual à quantidade 
de movimento linear num instante t1 mais a soma dos impulsos de todas as forças 
aplicadas à partícula entre estes instantes. 
 Este princípio está escrito na sua forma vetorial. Em componentes 
retangulares, a forma (4.3) é dada por 
 
 
t1 t 
F 
A 
t2 
31 
 
 
2x
t
t
x1x vmdtFvm
2
1
 
 
2y
t
t
y1y vmdtFvm
2
1
 (4.7) 
 
2z
t
t
z1z vmdtFvm
2
1
 
 
4.2 PRINCÍPIO DO IMPULSO E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR 
 SISTEMA DE PARTÍCULAS 
 
 Seja um sistema de partículas, mostrado na Figura 4.2, onde Fi é a resultante 
externa na partícula i e fi representa uma força interna. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.2 - Sistemas de partículas. 
 
O princípio do impulso de da quantidade de movimento aplicado à i-ésima partícula 
do sistema é dado 
 
 
i2i
t
t
i
t
t
ii1i mdtdtm
2
1
2
1
vfFv
 (4.8) 
 
Somando para todas a i partículas do sistema resulta: 
 
 
i2i
t
t
i
t
t
ii1i mdtdtm
2
1
2
1
vfFv
 (4.9) 
 
Sabendo que a soma de todos os impulsos das forças internas fi é nula, obtemos 
y 
z 
x 
Fi 
G 
rG 
ri 
fi 
32 
 
 
 
i2i
t
t
ii1i mdtm
2
1
vFv
 (4.10) 
 
Lembrando a definição do centro de massa G de um sistema de partículas, 
 
 
iiG mm rr
 (4.10) 
onde 
 
imm
 é a massa total do sistema 
 rG é a posição do centro de massa do sistema 
 ri é a posição da i-ésima massa do sistema 
 
Através da derivação no tempo de (4.10) obtemos 
 
 
iiG mm vv
 (4.11) 
onde 
 vG é a velocidade do centro de massa do sistema 
 vi é a velocidade da i-ésima massa do sistema 
 
Portanto o princípio do impulso e da quantidade de movimento (4.10) pode ser 
escrito como 
 
 
2G
t
t
i1G mdtm
2
1
vFv
 (4.12) 
 
 
4.3 CONSERVAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR 
 
 Se a resultante de todas as forças externas que atuam numa partícula de 
massa m for nula, então a quantidade de movimento se conserva, ou seja 
 
 
Cvv 21 mm
 (4.13) 
 
33 
 
e, portanto, a velocidade da partícula é constante. Por outro lado, se num sistema 
de partículas não há forças externas atuantes, ou a soma dos impulsos das forças 
externas é nula, podemos escrever: 
 
Cvv 2G1G mm
 (4.14) 
 
e, portanto, a velocidade do centro de massa G do sistema se mantém constante. 
 
4.4 IMPACTO 
 
 Vamos inicialmente definir, para duas partículas que se colidem, impacto 
central e impacto oblíquo. Conforme mostra a figura 4.3 no impacto central as 
direções das velocidades das partículas, antes do impacto, coincidem com a linha de 
impacto. Por outro lado, no impacto oblíquo pelo menos uma das direções das 
velocidades antes do impacto não coincide com a linha de impacto. 
 
 
 
 
 
 
 
 a - central b - oblíquo 
 
Figura 4.3 - Impacto entre duas partículas A e B. 
 
 
 Impacto Central 
 
 Vamos inicialmente considerar apenas os impactos centrais. Consideremos a 
Figura 4.4 que mostra cinco situações que correspondem ao instante de tempo 
antes do impacto, intervalo de tempo durante o impacto na fase de deformação, 
instante de tempo de deformação máxima, intervalo de tempo durante o impacto na 
fase de restauração e instante de tempo após o impacto. 
 
Plano de contato 
A 
vA 
vB 
B 
Linha de impacto 
Plano de contato 
A vA vB B 
34 
 
 
 
 
 
a - antes do impacto: vA1 > vB1 
 
 
 
 
 
b - durante o impacto 
 
 
 
 
c - após o impacto: vB2 > vA2 
 
 
Figura 4.4 - Fases do impacto entre duas partículas A e B. 
 
 Em muitos problemas as velocidades iniciais vA1 e vB1 antes do impacto são 
conhecidas e desejamos calcular as velocidades após o impacto vA2 e vB2. Durante a 
colisão entre A e B, as ações entre ambas são internas ao sistema e, portanto, de 
impulso resultante nulo. Logo, podemos escrever para o sistema: 
 
 
2BB2AA1BB1AA mmmm vvvv
 (4.15) 
 
Como temos duas incógnitas, é necessária outra equação para se calcular as 
velocidades após o impacto. Vamos aplicar o princípio do impulso e da quantidade 
de movimento a cada uma das partícula. Para a partícula A, na fase de deformação, 
até alcançar a máxima deformação, onde as velocidades de ambas as partículas são 
iguais a v, obtemos 
 
A vA1 vB1 B 
A 
 Rdt 
B 
- Rdt 
A B 
v 
A 
 Pdt 
B 
- Pdt 
A vA2 vB2 B 
35 
 
 
vmdtPvm A1AA
 (4.16) 
 
e na fase de restituição 
 
 
2AAA vmdtRvm
 (4.17) 
 
De (4.16) e (4.17) obtemos: 
 
 
vv
vv
vmvm
vmvm
dtP
dtR
1A
2A
A1AA
2AAA
 (4.18) 
 
Para a partícula B, na fase de deformação, até alcançar a máxima deformação, onde 
as velocidades de ambas as partículas são iguais a v, obtemos 
 
 
vmdtPvm B1BB
 (4.19) 
 
e na fase de restituição 
 
 
2BBB vmdtRvm
 (4.20) 
 
De (4.19) e (4.20) obtemos: 
 
 
1B
2B
1BBB
B2BB
vv
vv
vmvm
vmvm
dtP
dtR (4.21) 
 
Define-se coeficiente de restituição e ao quociente entre os impulsos da força de 
restituição R e da força de deformação P 
 
 
dtP
dtR
e
 (4.22) 
 
36Assim, podemos escrever a equação (4.18) e a (4.21), respectivamente, como 
 
 
vv
vv
e
1A
2A
 (4.23) 
e 
 
1B
2B
vv
vv
e
 (4.24) 
 
Eliminando v em (4.23) e substituindo em (4.24) obtemos finalmente 
 
 
1B1A
2A2B
vv
vv
e
 (4.25) 
ou 
 
2A2B1B1A vvvve )(
 (4.26) 
 
Assim temos um sistema de duas equações, (4.15) e (4.25) ou (4.26), que permite 
calcular as velocidades das partículas A e B após o impacto, dadas as respectivas 
velocidades antes do impacto e o coeficiente de restituição e. São considerados 
dois casos limites para este coeficiente. 
 Impacto elástico: não há perda de energia e os impulsos de deformação e de 
restauração são iguais. 
 
 
dtPdtR
 e = 1 
 
 Impacto plástico: não há impulso de restituição e as partículas se movem 
juntas após o impacto. Neste caso basta usar a equação (4.15) fazendo vB2 = vA2 . 
 
 
0dtR
 e = 0 
 
 Em situações reais, ocorre freqüentemente que apenas parte da energia se 
perde em deformação. Nestes casos tem-se um impacto parcialmente elástico. 
 
 
dtPdtR
 0 < e < 1 
37 
 
Impacto Oblíquo 
 
 Para o caso de impacto oblíquo, vamos adotar o eixo x na direção da linha 
de impacto entre as partículas A e B, conforme mostra a Figura 4.5. 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.5 - Impacto oblíquo entre duas partículas A e B. 
 
 Como as forças de deformação e restauração durante o impacto atuam 
apenas na direção x, podemos escrever para esta direção: 
 
 
x2BBx2AAx1BBx1AA mmmm vvvv
 (4.27) 
e 
 
x2Ax2Bx1Bx1A vvvve )(
 (4.28) 
 
Para a direção y, a conservação da quantidade de movimento do sistema é dada por 
 
 
y2BBy2AAy1BBy1AA mmmm vvvv
 (4.29) 
 
Como durante o impacto não há forças impulsivas em cada partícula na direção y, a 
quantidade de movimento de cada uma se conserva e 
 
 
y2AAy1AA mm vv
 e 
y2BBy1BB mm vv
 (4.30) 
 
Logo 
y1Ay2A vv
 e 
y1By2B vv
. Assim, no caso do impacto oblíquo apenas as 
componentes na direção x das velocidades após o impacto necessitam ser calculadas 
através das equações (4.27) e (4.28), uma vez que na direção y as componentes das 
velocidades não se alteram com a colisão segundo (4.30). 
 
y 
A 
vA 
vB 
B 
x 
38 
 
4.5 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 
 
 A quantidade de movimento angular de uma partícula em relação a um ponto 
O é o momento da quantidade de movimento em relação a este ponto. A partir 
desta definição escreve-se 
 
 
vrH mO
 (4.31) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.6 - Quantidade de movimento angular HO. 
 
A partir da definição (4.31), o vetor quantidade de movimento angular HO tem 
direção perpendicular ao plano que contém os vetores posição r e velocidade v e o 
seu sentido é dado pela regra da mão direita. Em componentes retangulares pode 
ser calculado através de 
 
 
zyx
zyxO
mvmvmv
rrr
kji
H
 (4.32) 
onde 
 
)( yzzyOx vrvrmH
 
 
)( zxxzOy vrvrmH
 (4.33) 
 
)( xyyxOz vrvrmH
 
 
Observe que no caso do movimento no plano xy, rz = 0 e vz = 0. Portanto obtemos 
HOx = 0 e HOy = 0. Assim temos no caso plano 
 
y 
z 
x 
HO 
P 
r 
 
mv 
O 
39 
 
 
)( xyyxOzO vrvrmHH
 (4.34) 
 
Para interpretação geométrica, vamos considerar o caso de um movimento no plano 
xy, conforme mostrado na Figura 4.7. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7 - Quantidade de movimento angular no movimento plano. 
 
Podemos observar que o módulo de HO pode ser obtido por 
 
 
))(( mvdsenmO vrH
 (4.35) 
 
4.6 QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR E MOMENTO DE UMA FORÇA 
 
 Vamos escrever o momento resultante de todas as forças que atuam numa 
partícula em relação a um ponto O. Da definição de estática 
 
 
FrMO
 (4.36) 
 
Pela segunda lei de Newton 
 
 
arM mO
 (4.37) 
 
Agora vamos derivar no tempo a quantidade de movimento angular desta partícula 
em relação ao ponto O. Derivando (4.31), obtemos 
 
 
dt
d
mm
dt
d
dt
d O vrv
rH
 (4.38) 
y
x 
z 
x HO 
P 
d 
 
mv 
O 
40 
 
A primeira parcela de (4.38) é igual a zero , pois os vetores v e mv são paralelos. 
Portanto (4.38) é igual a 
 
 
ar
H
m
dt
d O
 (4.39) 
 
Comparando (4.37) e (4.39), resulta que 
 
 
dt
d O
O
H
M
 (4.37) 
 
4.7 PRINCÍPIO DO IMPULSO E DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR 
 
 A partir de (4.37) podemos escrever 
 
 
OO ddt HM
 (4.38) 
 
Integrando (4.38) entre os instantes de tempo t1 e t2 
 
 
1O2O
t
t
O
t
t
O
2
1
2
1
ddt HHHM
 (4.39) 
 
Portanto, o princípio do impulso e da quantidade de movimento angular para uma 
partícula é dado por 
 
 
2O
t
t
O1O
2
1
dt HMH
 (4.40) 
 
Definindo o impulso angular AO de uma força F em relação a um ponto O, entre os 
instantes de tempo t1 e t2, como 
 
 
2
1
2
1
t
t
O
t
t
21O dtdt MFrA )(
 (4.41) 
 
podemos escrever (4.40) como 
41 
 
 
 
2O21O1O HAH
 (4.42) 
 
 Quando a soma de todos os impulsos angulares atuantes numa partícula é 
nula, temos 
 
 
2O1O HH
 (4.43) 
 
que é a equação da conservação da quantidade de movimento angular. 
 Seja definido um sistema de partículas. Para cada uma dessas partículas 
podemos aplicar a equação (4.40). A soma de todas estas equações é igual a 
 
 
2O
t
t
O1O
2
1
dt HMH
 (4.44) 
onde 
 
)( iiO mvrH
 é a soma das quantidades de movimento angular de 
todas as partículas em determinado instante, aplicada nos instante t1 e t2, e 
 
2
1
2
1
t
t
Eii
t
t
O dtdt )( FrM
 é a soma dos impulsos angulares de todas as 
forças externas aplicadas às partículas, uma vez que o impulso angular resultante de 
todas as forças internas é nulo. 
 Quando a soma de todos os impulsos angulares atuantes neste sistema é 
nula, temos que 
 
 
2O1O HH
 (4.45) 
 
que é a equação da conservação da quantidade de movimento angular de um 
sistema de partículas. 
 
42 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 
 
CINEMÁTICA DO MOVIMENTO PLANO DE 
CORPOS RÍGIDOS 
 
 
 
 O estudo da dinâmica do corpo rígido pode ser feito inicialmente tomando 
aplicações de engenharia onde o movimento é plano. Neste capítulo vamos analisar 
as equações da cinemática do movimento plano. Este estudo é feito a fim de 
encontrar a relação entre as posições, velocidades e acelerações de dois pontos de 
um mesmo corpo rígido. 
 
5.1 MOVIMENTO DE UM CORPO RÍGIDO 
 
 O movimento plano de um corpo rígido é definido como o movimento no 
qual as trajetórias de todos os seus pontos são paralelas a um plano fixo. Veja 
como exemplo a trajetória de um ponto P na figura 5.1 paralela ao plano xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 - Trajetória plana de um ponto P de um corpo rígido C. 
 
z 
x 
y 
r 
P(t) 
C 
43 
 
 
 Há dois casos particulares de movimentos planos: a translação e a rotação 
em torno de um eixo fixo. O movimento geral plano pode ser decomposto numa 
translação mais uma rotação. 
 Na translação uma linha qualquer do corpo rígido se mantém paralela em 
relação à sua posição inicial, em qualquer instante. Neste caso se as trajetórias de 
todos os pontos são retilíneas, o movimento é de translação retilínea. Se as 
trajetórias de todos os pontos são curvilíneas e equidistantes, o movimento é de 
translação curvilínea. 
 Narotação em torno de um eixo fixo, as trajetórias de todos os pontos são 
circulares, concêntricas, com centros no eixo fixo. É claro que pontos sobre o eixo 
fixo não se movem. A figura 5.2 ilustra o mecanismo biela-manivela, no qual a 
manivela realiza movimento de rotação, o pistão tem movimento de translação e o 
elemento de ligação denominado biela realiza um movimento plano geral. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.2 - Mecanismo biela-manivela. 
 
5.2 MOVIMENTO PLANO DE TRANSLAÇÃO 
 
 Considere um corpo rígido se movendo em translação plana e seja xy o 
plano de referência do movimento. Vamos tomar dos pontos A e B deste corpo 
rígido e um referencial móvel x´y´ fixo em A durante todo o movimento, mas 
mantendo-se paralelo ao referencial xy, considerado absoluto. 
 Podemos relacionar as posições rA e rB destes dois pontos através de 
 
 
ABAB /rrr
 (5.1) 
 
biela 
manivela 
pistão 
44 
 
onde 
ABAB rrr /
 é o vetor posição de B em relação a A. Esta é uma forma 
simplificada ou compacta de indicar este vetor. De fato, este vetor é a posição de B 
em relação a um referencial móvel x´y´ fixo no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.3 - Vetores velocidade de uma partícula P. 
 
 Derivando a (5.1) podemos relacionar as velocidades entre os pontos A e B 
 
 
ABAB /vvv
 (5.2) 
 
onde 
ABAB vvv /
 corresponde velocidade relativa de B em relação a A. Aqui vale 
também a observação feita acima, uma vez que a velocidade vB/A é de fato a 
velocidade de B em relação ao referencial móvel x´y´. Vamos analisar a derivada 
do vetor posição relativa. Seja 
 
 
jir yxAB /
 (5.3) 
 
Tomando a derivada de (5.3), obtemos 
 
 
dt
d
y
dt
d
x
dt
yd
dt
xd
dt
d AB
AB
ji
ji
r
v //
 (5.4) 
 
Sendo o corpo rígido, na translação o vetor rB/A é constante e portanto x´ e y´ 
também são constantes e suas derivadas no tempo são nulas. Como o referencial 
móvel foi escolhido tal que i´=i e j´=j, então 
y 
x 
y´ 
rA 
rB 
rB/A 
A 
B 
C 
x´ 
45 
 
 
0
dt
d AB
AB
/
/
r
v
 (5.5) 
e 
 
AB vv
 (5.6) 
 
Derivando (5.6) obtemos a relação entre as acelerações dos pontos A e B 
 
 
AB aa
 (5.7) 
 
Pode-se concluir a partir de (5.6) e (5.7) que todos os pontos de um corpo rígido 
em translação possuem velocidades iguais e acelerações iguais em cada instante. 
Este resultado permite utilizar todas as equações desenvolvidas na cinemática e 
dinâmica da partícula para corpos rígidos em translação. Podemos afirmar que as 
equações da mecânica da partícula e do corpo rígido em translação são as mesmas. 
 
5.3 MOVIMENTO PLANO DE ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO 
 
 Vamos considerar o eixo fixo do movimento de rotação plana aqui estudado 
paralelo ao eixo z do sistema de referência utilizado, passando por um ponto A. 
 Inicialmente vamos definir grandezas angulares deste movimento. Pontos 
não têm movimento de rotação, mas para linhas este movimento pode ser definido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.4 - Movimento angular do segmento AB. 
 
 Assim, chama-se velocidade angular média de uma linha AB, num intervalo 
de tempo t=t´-t ao quociente 
y 
x 
A 
B(t) 
 
B(t´) 
46 
 
 
 
t
m
 (5.8) 
 
Passando ao limite (5.8), obtém a velocidade angular instantânea dada por 
 
 
dt
d
 (5.9) 
 
Derivando (5.9), obtemos a aceleração angular dada por 
 
 
2
2
dt
d
dt
d
 (5.10) 
 
No movimento plano de rotação de corpos rígidos todos os segmentos de reta, 
paralelos ao plano de referência, desenvolvem movimentos angulares iguais. 
Assim, as velocidades angulares de todos os segmentos do corpo rígido são iguais. 
Portanto, a velocidade angular é uma característica do corpo rígido ou parâmetro 
do movimento do corpo rígido. O mesmo vale para a aceleração angular. A 
velocidade angular no movimento plano de rotação pode ser definida 
vetorialmente, usando a regra da mão direita, da seguinte forma: 
 
 
kω
 (5.11) 
 
onde o plano xy é o plano do movimento. Vamos calcular a velocidade de um 
ponto B qualquer do corpo rígido. Tomando a equação (5.2) e considerando A no 
eixo de rotação, temos que 
 
 
ABABAB // vvvv
 (5.12) 
 
No movimento plano de rotação o ponto B realiza uma trajetória circular em torno 
do eixo fixo z’, paralelo a z, que passa por A no plano do movimento de xy. 
Portanto, da cinemática da partícula, obtemos: 
 
47 
 
 
rr
dt
d
dt
rd
dt
ds
AB
)(
/v
 (5.13) 
 
onde 
ABr /r
 é raio da trajetória circular de B. Vetorialmente, o mesmo resultado 
poderia ser obtido através do produto vetorial: 
 
 
ABABB // rωvv
 (5.14) 
onde 
 
kω
 
 
ABAB r // ur
 
e portanto 
 
tABABB r urωvv //
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 - Movimento circular do ponto B de um corpo rígido. 
 
Observe, a partir da figura 5.5, que para qualquer ponto P pertencente ao eixo de 
rotação do movimento, tem-se 
 
 
PBABB // rωrωv
 (5.15) 
 
 Sendo o movimento de B circular os módulos de sua aceleração tangencial e 
da normal são dados, respectivamente, por 
 
ur 
 
ut rB/A 
B 
A 
x’ 
y’ 
z’ 
rB/P 
P 
48 
 
 
rr
dt
d
dt
rd
dt
sd
a
2
2
2
2
Bt
)(
 (5.16) 
e 
 
r
r
r
r
v
a 2
222
Bn
 (5.17) 
 
 Vetorialmente, obtemos a aceleração derivando no tempo a equação (5.14) 
 
 
dt
d
dt
d AB
ABABB
/
//
r
ωr
ω
aa
 (5.18) 
ou 
 
)( ///// ABABABABABB rωrαvωrαaa
 (5.19) 
Sendo 
 
kω
 
 
kα
 
 
nABAB rr uur //
 
obtêm-se as acelerações tangencial e normal de B, respectivamente, 
 
 
tABB rt urαa /
 (5.20) 
e 
 
n
2
AB
2
ABnB
rr uurωωa // )(
 (5.21) 
 
5.4 MOVIMENTO PLANO DE UM CORPO RÍGIDO 
 
 O movimento plano geral pode ser decomposto em dois movimentos, sendo 
um de translação e outro de rotação. Vamos tomar o ponto A como referência e 
seja B outro ponto qualquer do corpo rígido. A relação entre as posições rA e rB 
desses dois pontos do corpo rígido é dada por 
 
 
ABAB /rrr
 (5.22) 
 
A figura 5.6 mostra estes vetores, o referencial fixo xy e o móvel x’y’, preso em A 
mantendo-se em qualquer instante paralelo ao referencial fixo. 
49 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6 - Vetores posição dos pontos A e B. 
 
 Derivando a (5.22) podemos relacionar as velocidades entre os pontos A e B 
 
 
ABAB /vvv
 (5.23) 
 
onde 
ABAB vvv /
 corresponde velocidade relativa de B em relação a A. Aqui vale 
também a observação feita anteriormente, uma vez que a velocidade vB/A é de fato a 
velocidade de B em relação ao referencial móvel x´y´. Vamos analisar a derivada 
do vetor posição relativa. Seja 
 
 
dt
d AB
AB
/
/
r
v
 (5.24) 
 
O movimento de B neste referencial x´y´ é circular. Conforme mostrado no item 
anterior, (5.24) resulta igual a 
 
 
AB
AB
AB
dt
d
/
/
/ rω
r
v
 (5.25) 
 
Portanto, a relação entre as velocidades de A e B dada por (5.23) é igual a 
 
 
ABAB /rωvv
 (5.26) 
 
y 
x 
y´ 
rA 
rB 
rB/A 
A 
B 
C 
x´ 
50 
 
 Lembrando que os eixos dos referenciais são sempre paralelos, todos os 
vetores podem ser escritos no referencial fixo xy. 
 Para se obter a relação entre as acelerações dos pontos A e B, derivamos a 
equação (5.26), ou seja,dt
d
dt
d
dt
d
dt
d AB
AB
AB /
/
r
ωr
ωvv
 (5.27) 
 
A partir dos resultados obtidos no item anterior, podemos escrever 
 
 
)( // ABABAB rωωrαaa
 (5.28) 
onde 
 
AB
AB
ABAB rt
/
/
//
v
v
rαa
 é a aceleração tangencial relativa 
 
AB
2
ABAB rn /// )( urωωa
 é a aceleração normal relativa 
 
Assim, é possível obter a posição, a velocidade e a aceleração de um ponto B 
qualquer de um corpo rígido a partir dos correspondentes vetores de um ponto A, 
cujo movimento seja dado. As equações (5.22), (5.26) e (5.28) expressam estas 
relações para um movimento plano qualquer. Podem ser aplicadas, é óbvio, para os 
casos particulares de translação, onde os vetores velocidade angular e aceleração 
angular são nulos, e de rotação em torno de um eixo fixo que passe por A, onde os 
vetores velocidade e aceleração deste ponto são nulos. 
 
5.5 MOVIMENTO RELATIVO ENTRE DOIS CORPOS DISTINTOS 
 
 Seja um corpo rígido C que contenha um ponto A. Seja B um ponto qualquer 
de outro corpo rígido. A relação entre as posições rA e rB desses dois pontos dos 
corpos rígidos distintos é dada por 
 
 
ABAB /rrr
 (5.29) 
 
51 
 
A figura 5.7 mostra estes vetores e um referencial fixo XYZ e outro móvel xyz, 
preso ao corpo C com origem em A. Seja a velocidade angular do referencial 
móvel e, portanto, do corpo rígido C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.7 - Vetores posição dos pontos A e B. 
 
 Derivando a (5.29) podemos relacionar as velocidades entre os pontos A e B 
 
 
dt
d
dt
d
dt
d ABAB /rrr
 (5.30) 
 
Nesta igualdade nós temos que: 
 
 
B
B
dt
d
v
r
 é a velocidade do ponto B 
 
A
A
dt
d
v
r
 é a velocidade do ponto A que pertence ao corpo C 
 
jir yxAB /
 é o vetor da posição de B no referencial xyz 
 
Portanto, podemos escrever a equação (5.30) como 
 
 
)( jivv yx
dt
d
AB
 (5.31) 
 
 
Y 
X 
y 
rA 
rB 
rB/A 
A 
B 
C 
x 
52 
 
Como B se move em relação ao corpo C e, portanto, em relação ao referencial 
móvel xyz, a equação (5.31) é igual a 
 
 
ji
ji
vv
dt
dy
dt
dx
dt
d
y
dt
d
xAB
 (5.32) 
 
Vamos analisar as derivadas dos vetores unitários i e j. Estes vetores possuem 
módulo unitário, mas tem a mesma velocidade angular do corpo rígido C. Assim 
podemos escrever: 
 
 
tdt
d
0t
ii
lim
 (5.33) 
 
A figura 5.8 ilustra a obtenção do vetor 
i
 para um intervalo de tempo 
t
. 
Consideremos que neste intervalo de tempo a variação angular em torno do eixo x 
seja dada por . Então 
 
 
iiii
000t0t
Ω
ttdt
d
limlimlimlim
 (5.34) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.8 - Vetor unitário i nos instantes t e t+ t. 
 
Da figura 5.8, temos que 
 
 
j
i
ii 2
2
00
sin
limlim
 (5.35) 
 
Y 
X 
i(t) 
 
i 
i(t+ t) 
53 
 
Logo 
 
iΩj
i
dt
d
 (5.36) 
 
De forma análoga pode-se obter 
 
 
jΩi
j
dt
d
 (5.37) 
 
Aplicando os resultados obtidos em (5.36) e (5.37) na equação (5.32) obtém-se 
 
 
jijΩiΩvv
dt
dy
dt
dx
yxAB )()(
 (5.38) 
ou 
 
jijiΩvv
dt
dy
dt
dx
yxAB )(
 (5.39) 
 
Finalmente, observando que as duas últimas parcelas de (5.39) representam a 
velocidade do ponto B em relação ao referencial preso ao corpo rígido C, podemos 
escrever 
 
 
xyzBABAB // vrΩvv
 (5.40) 
 
onde se definem 
 
 
ABA /rΩv
 velocidade de arraste 
 
xyzB /v
 velocidade de B relativa ao referencial móvel xyz 
 
 A relação entre as acelerações pos pontos A e B pode ser obtida derivando a 
equação (5.40), resultando 
 
 
dt
d
dt
d
dt
d xyzBAB
ABAB
//
/
vr
Ωr
Ω
aa
 (5.41) 
 
54 
 
Conforme mostrado anteriormente 
 
 
xyzBAB
AB
dt
d
//
/ vrΩ
r
 (5.42) 
e 
 
xyzBxyzB
xyzB
dt
d
//
/
avΩ
v (5.43) 
 
Substituindo (5.42) e (5.43) em (5.41), obtemos 
 
 
xyzBxyzBABABAB 2
dt
d
//// )( avΩrΩΩr
Ω
aa
 (5.44) 
 
onde se definem 
 
 
)( // ABABA
dt
d
rΩΩr
Ω
a
 aceleração de arraste 
 
xyzB2 /vΩ
 aceleração de Coriolis ou complementar 
 
xyzB /a
 aceleração de B relativa ao referencial móvel a xyz 
 
 Portanto, as equações (5.40) e (5.44) relacionam as velocidades e as 
acelerações de dois pontos A e B, pertencentes a corpos rígidos distintos. Embora 
tenham sido deduzidas para o movimento plano, se aplicam igualmente para 
movimentos espaciais. 
 
 
55 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6 
 
DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE 
CORPOS RÍGIDOS 
 
 
 
 O estudo da dinâmica do corpo rígido pode ser feito inicialmente tomando 
aplicações de engenharia onde o movimento é plano. Neste capítulo vamos analisar 
as equações da dinâmica do corpo rígido, no movimento plano. Este estudo é feito 
a fim de encontrar a relação entre a aceleração do centro de massa e as forças 
aplicadas ao corpo, e entre a aceleração angular e os momentos destas forças . 
 
6.1 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO DO CENTRO DE MASSA 
 
 Seja um corpo rígido C, de massa m e centro de massa G, realizando um 
movimento plano paralelo ao plano de referência xy, figura 6.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.1 - Forças numa partícula i de um corpo rígido C. 
 
x 
y 
ri 
mi 
C 
G 
rG 
fji 
Fi 
 
 
56 
 Várias forças externas atuam neste corpo em diferentes pontos. Vamos 
identificar a força externa resultante que atua na partícula i, de massa mi, como Fi 
e a força interna que a partícula j faz sobre i como fij. Escrevendo a lei de Newton 
para a massa mi obtemos 
 
 
ii
j
jii m afF
 (6.1) 
Se somarmos a equação de movimento aplicada a todas as partículas deste corpo 
rígido, obteremos 
 
 
i
ii
i j
ji
i
i m afF
 (6.2) 
 
A relação que define a posição do centro de massa G deste corpo rígido é dada por 
 
 
G
i
ii mm rr
 (6.3) 
 
Derivando, obtemos a seguinte relação para a velocidade do centro de massa 
 
 
G
i
ii mm vv
 (6.4) 
e, derivando novamente obtemos para a aceleração 
 
 
G
i
ii mm aa
 (6.5) 
 
onde 
mm
i
i
 é a massa do corpo rígido. Aplicando (6.5) em (6.2) obtemos 
 
 
G
i j
ji
i
i mafF
 (6.6) 
 
Finalmente, lembrando que a soma de todas as forças internas em um corpo rígido 
é nula 
 
 
 
57 
 
G
i
iRE maFF
 (6.7) 
 
 Assim, esta é a forma da lei dos movimentos de Newton para o movimento 
do centro de massa de corpos rígidos. É semelhante à forma original enunciada 
para partículas de dimensões desprezíveis, relacionando a força resultante de todas 
as forças externas aplicadas ao corpo rígido e a aceleração de seu centro de massa. 
 
6.2 EQUAÇÕES PARA O MOVIMENTO ANGULAR DO CORPO RÍGIDO 
 
 Para o conhecimento da posição angular de qualquer corpo rígido durante 
movimentos planos, devemos tomar o momento das forças na partícula i em 
relação a um ponto qualquer P. Sem perda de generalidade, escolhemos este ponto 
como a origem do sistema de referência, como mostra a figura 6.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 - Momento de todas as forças atuantes numa partícula i. 
 
 Assim, a partir da equação (6.1) temos 
 
 
iii
j
jiiii m arfrFr
 (6.8) 
 
Vamos somar esta equação aplicada a todos os pontos do corpo rígido, 
 
 
i
iii
i jjii
i
ii m arfrFr
 (6.9) 
x 
y 
ri 
mi 
C 
G 
rG 
fji 
Fi 
P 
 
 
58 
 
A segunda parcela do lado esquerdo da equação (6.9), referente ao momento de 
todas as forças internas que atuam num corpo rígido, é nula. Portanto, obtemos 
 
 
i
iii
i
ii m arFr
 (6.10) 
 
Das equações da cinemática de um corpo rígido podemos escrever 
 
 
)( iiPi rωωrαaa
 (6.11) 
 
Para movimentos planos tal que 
kα
 é a aceleração angular do corpo rígido C e 
kω
 é a velocidade angular do corpo rígido, a equação (6.11) pode ser escrita 
como 
 
ii
2
piiPi rr uuaa
 (6.12) 
onde 
 
iu
 é o vetor unitário da direção de ri , sendo 
iii rur
, e 
 
piu
 é o vetor unitário da direção perpendicular à ri conforme o produto 
vetorial 
irα
 para aceleração angular positiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.2 - Vetores unitários 
iu
 e 
piu
. 
 
 Aplicando a equação (6.12) em (6.10) 
 
x 
y 
ri 
mi 
C 
G 
rG 
P 
upi ui 
 
 
59 
 
i
ii
2
piiPii
i
ii rrm )( uuarFr
 (6.13) 
ou 
 
i
2
ii
i
Pii
i
ii rmm karFr
 (6.14) 
 
pois 
ii
2
iiiii
2
ii rmrrm uuur
 é nulo. A relação da posição do centro de massa 
dada por (6.3) pode ser substituída na equação (6.14), resultando 
 
 
i
2
iiPG
i
ii rmm karFr
 (6.15) 
 
Lembrando que 
P
vol
2
i
2
ii Idmrrm
 é momento de inércia do corpo rígido C em relação ao 
eixo z que passa pelo ponto P e 
i
P
i
ii M kFr
 é momento de todas as forças externas que atuam no 
corpo rígido C, em relação ao ponto P, a equação (6.15) será dada por: 
 
 
kark PPG
i
P ImM
 (6.16) 
 
 Aplicando a equação da translação de momentos de inércia entre os eixos 
paralelos que passam por P e por G, ambos na direção z, obtemos 
 
 
2
GGP rmII
 (6.17) 
 
 Da cinemática escrevemos a relação entre as acelerações dos pontos G e P 
 
 
G
2
GPG rrαaa
 (6.18) 
ou 
 
G
2
GGP rrαaa
 (6.19) 
 
Aplicando (6.17) e (6.19) na equação (6.16) obtemos 
 
 
60 
 
 
kk
rrrαrark
2
GG
G
2
GGGGG
i
P
rmI
mmmM )( (6.20) 
 
A segunda parcela do lado direito de (6.20) é dada por 
 
 
krαr 2 PGGG rmm /)(
 (6.21) 
 
e, sendo nula a terceira parcela, resulta 
 
 
kark GGG
i
P ImM
 (6.22) 
 
Esta é a equação da dinâmica do movimento plano de um corpo rígido que 
relaciona o momento de todas as forças externas e a aceleração angular. Há dois 
casos particulares de interesse prático. 
 i - Se o ponto P coincidir com o centro de massa G, temos rG = 0 e 
 
 
kk G
i
G IM
 (6.23) 
ou 
 
G
i
G IM
 (6.24) 
 
 ii - Se o ponto P estiver no eixo de rotação, temos aP = 0. Aplicando na 
equação geral dada em (6.16) obtemos 
 
 
kk P
i
P IM
 (6.25) 
ou 
 
P
i
P IM
 (6.26) 
 
 
 
 
 
61 
 
6.3 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO - COORDENADAS RETANGULARES 
 
 Para o movimento plano de um corpo rígido temos, portanto, três equações 
escalares. Em coordenadas retangulares são dadas por: 
 
 
Gx
i
ix amF
 (6.27) 
 
Gy
i
iy amF
 (6.28) 
e 
 
G
i
G IM
 (6.29) 
 
 A equação (6.29) pode ser substituída por 
 
 
P
i
P IM
 (6.30) 
 
onde P é um ponto do eixo de rotação, ou de aceleração nula. Se quisermos utilizar 
um ponto P qualquer, da equação geral (6.22), obtemos 
 
 
GGxGGyG
i
P IamyamxM
 (6.31) 
 
sendo 
jir GGG yx
 e 
jia GyGxG aa
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.3 - “Momentos” das componentes de 
Gma
. 
x 
y 
C 
G 
rG 
P 
maGx 
yG 
xG 
maGy 
 
 
62 
 
6.4 EQUAÇÕES DO MOVIMENTO - DIREÇÕES TANGENCIAL E NORMAL 
 
 Para o movimento plano onde o centro de massa de um corpo rígido realiza 
uma trajetória curvilínea, freqüentemente é conveniente escrever as equações 
(6.27) e (6.28) nas componentes tangencial e normal, da seguinte forma 
 
 
Gt
i
it amF
 (6.32) 
e 
 
Gn
i
in amF
 (6.33) 
 
sendo 
nGntGtG aa uua
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.4 – Direções: tangencial e normal. 
 
A equação de momentos utilizada nestes casos é dada por 
 
 
G
i
G IM
 (6.34) 
 
para movimentos quaisquer ou 
 
 
P
i
P IM
 (6.35) 
 
para movimentos de rotação pura em torno do eixo, tomando P neste eixo. 
x 
y 
C 
G 
un 
P 
trajetória de G 
 
ut 
O 
centro de curvatura 
 
 
63 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
 
DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE 
CORPOS RÍGIDOS - TRABALHO E ENERGIA 
 
 
 
 Neste capítulo será analisada a lei de Newton apresentada na forma de uma 
integral sobre o deslocamento. Esta forma se baseia nos conceitos de trabalho e 
energia cinética do corpo rígido. Aplicam-se os conceitos de trabalho e de energia 
cinética em condições gerais e no final estuda-se o caso particular de sistemas 
conservativos. 
 
7.1 ENERGIA CINÉTICA DE UM CORPO RÍGIDO 
 
 Seja um corpo rígido C, de massa m e um elemento de massa dm num ponto 
qualquer deste corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 - Velocidades de um ponto qualquer e do ponto Q. 
 
 Usando a definição de energia cinética de uma partícula, podemos escrever a 
energia cinética do corpo C através da integral 
 
x 
y 
r 
dm 
C 
 
vP 
v 
P 
 
 
64 
 
m
2 dmv
2
1
T
 (7.1) 
 
Se desejarmos expressar esta equação em função da velocidade de um ponto P 
particular, escolhido como origem de referencial xy, podemos relacionar as 
velocidades entre um ponto qualquer e o ponto P através de 
 
 
rωvv P
 (7.2) 
 
onde é a velocidade angular de C. Assim, para o movimento plano 
 
 
)( jikjiv yxωvv PyPx
 (7.3) 
ou 
 
jiv )()( xvyv PyPx
 (7.4) 
 
Elevando ao quadrado (7.4) obtemos 
 
 
2
Py
2
Px
2 xvyvv )()(vv
 (7.5) 
 
Aplicando (7.5) em (7.1) obtemos 
 
 
m
2
Py
2
Px dmxvyv
2
1
T ])()[(
 (7.6) 
ou 
 
m
22
m
Py
m
Px
m
2
P dmr
2
1
dmyvdmyvdmv
2
1
T
 (7.7) 
 
lembrando que 
2
Py
2
Px
2
P vvv
 e 
222 yxr
. Usando as definições de centro de 
massa G de um corpo rígido C, dadas por 
 
 
m
G dmx
m
1
x
 e 
m
G dmy
m
1
y
 (7.8) 
 
 
 
65 
e a definição do momento de inércia do corpo rígido C em relação ao eixo z que 
passa por P, 
 
 
m
2
m
22
P dmrdmyxI )(
 (7.9) 
 
podemos escrever a equação (7.7) como 
 
 
2
PGPyGPx
2
P I
2
1
mxvmyvvm
2
1
T
 (7.10) 
 
Esta é a equação geral que permite calcular a energia cinética do corpo rígido C a 
partir da velocidade de um ponto P e de sua velocidade angular. Se escolhermos o 
ponto P coincidente com o centro de massa G, a equação (7.10) toma uma forma 
mais simples 
 
 
2
G
2
G I
2
1
vm
2
1
T
 (7.11) 
 
uma vez que neste caso 
0xG
 e 
0yG
. 
 As expressões (7.10) e (7.11) permitem calcular a energia cinética de um 
corpo rígido que realiza um movimento qualquer no plano xy. Há dois casos de 
movimentos particulares que tem estas expressões simplificadas além de (7.11). 
 No movimento de translação, a velocidade angular do corpo é sempre igual 
a zero. Logo 
 
 
2
Gvm
2
1
T
 (7.12)No caso do movimento de rotação plana em torno de um eixo fixo z que passa por 
um ponto O (a velocidade 
0vO
), a equação (7.10) fica igual a 
 
 
2
OI
2
1
T
 (7.13) 
 
 
 
66 
7.2 TRABALHO DE UMA FORÇA 
 
 O conceito de trabalho de uma força que atua num corpo rígido, como 
definido no Capítulo 3, referente à Mecânica da partícula, está relacionado ao 
movimento do ponto onde está aplicada a força. Conforme visto, o trabalho 
elementar dU realizado por uma força F é dado por 
 
 
rF ddU
 (7.14) 
 
A Figura 7.2 ilustra as grandezas envolvidas nesta definição. Logo 
 
 
ss
dsFdU cosrF
 (7.15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.2 - Elementos da definição de trabalho de uma força. 
 
 Há algumas condições especiais que apresentaremos a seguir. Vamos 
inicialmente calcular o trabalho de uma força constante, cujo módulo, direção e 
sentido são invariáveis durante o movimento. Aplicando a definição dada em 
(7.15), numa trajetória qualquer mostrada na Figura 7.3, temos 
 
 
22
11
2
1
yx
yx
CyCxC21 dydxFFdU
,
,
)()( jijirF
r
r
 (7.16) 
 
Como a força é constante, a equação (7.16) pode ser integrada resultando 
 
S 
 
F 
F 
F 
C 
C 
dr 
 
 
67 
 
yFxFdyFdxFU CyCx
yx
yx
CyCx21
22
11
,
,
 (7.17) 
 
onde 
12 xxx
 e 
12 yyy
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.3 - Trabalho de uma força constante. 
 
Analogamente, podemos calcular o trabalho da força peso W, sendo y a direção 
vertical, através de 
 
 
22
11
2
1
yx
yx
21 dydxWdU
,
,
)()( jijrF
r
r
 (7.18) 
ou 
 
yWyyWWdyU 12
y
y
21
2
1
)(
 (7.19) 
 
 O trabalho da força de uma mola linear aplicada num ponto P de um corpo 
rígido é obtido a partir de: 
 
 
2
1
s
s
m21 dU rF
 (7.20) 
 
O modelo linear da força de mola é dado por 
 
 
xkFm
 (7.21) 
S 
FC 
C 
FC 
FC 
x 
y 
x1 x2 
y1 
y2 
C 
 
 
68 
 
onde k é a constante elástica da mola e x é a sua deformação tomada a partir de sua 
posição não deformada, ver Figura 7.4. Assim, podemos escrever 
 
 
)( 21
2
2
s
s
21 xxk
2
1
dxxkU
2
1
 (7.22) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.4 - Trabalho de uma força de mola. 
 
 Há algumas forças que não realizam trabalho. Forças que atuam em pontos 
fixos do corpo e forças normais ao deslocamento do ponto do corpo não realizam 
trabalho. Entre as forças mais usuais em aplicações de engenhar ia estão as reações 
em apoios, forças normais das reações de superfícies estacionárias sobre os corpos 
rígidos e forças de atrito no rolamento, quando não há escorregamento. 
 Uma consideração especial deve ser feita sobre o trabalho de um binário, 
isto é, o trabalho de um par de forças iguais, paralelas entre si, com sentidos 
contrários. É fácil observar que o trabalho de um binário durante o movimento de 
translação qualquer de um corpo rígido é nulo, pois os deslocamentos de todos os 
pontos são iguais e as forças são contrárias. Assim só há trabalho no movimento de 
rotação. Para um binário M, o trabalho elementar é dado por 
 
 
2211M dddU rFrF
 (7.23) 
 
Sendo o binário dado pelas forças F1 e F2, onde 
21 FFF
, e sendo o 
movimento de rotação, no qual 
21 ddd rrr
, pode-se escrever a (7.23) como 
 x=0 posição da mola não deformada 
x1 
x2 
 
 
69 
 
 
drF2dddUM )()( rFrF
 (7.24) 
 
Sendo b o braço do binário, temos que 
d
2
b
dr
. Integrando (7.24) obtém-se 
 
 
dMd
2
b
F2U
s
M
 (7.25) 
 
onde 
FbM
 é a intensidade do binário, isto é, seu módulo com o sinal dado pela 
orientação do ângulo de rotação , conforme mostra a Figura 7.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.5 - Orientações para o binário e o ângulo de rotação. 
 
Se o binário for constante de valor M, então 
 
 
MUM
 (7.26) 
 
onde 
12
. 
 
 
 
 
 
 
b 
 
F2 
F1 
d 
dr1 
dr2 
x 
y 
 
 
70 
7.3 PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA 
 
 Conforme demonstrado no Capítulo 3, o princípio do trabalho e energia para 
um sistema de partícula, e consequentemente para um corpo rígido qualquer, é 
dado por: 
 
 
2211 TUT
 (7.27) 
 
onde 
1T
 e 
2T
 são as energias cinéticas (7.11) do corpo rígido nos instantes t1 e t2, 
respectivamente, e 
21U
 é a soma dos trabalhos de todas as forças externas 
aplicadas neste mesmo corpo. 
 Observa-se que o trabalho resultante de forças internas atuantes num corpo 
rígido é nulo uma vez que as forças internas ocorrem aos pares, com mesmos 
valores do módulo, mesmas direções e sentidos contrários. Os deslocamentos na 
direção destas forças devem ser iguais para não ocorrer deformação no corpo. 
Outra forma de calcular o trabalho das forças internas usa a decomposição do 
movimento qualquer em um movimento de translação e outro de rotação. Na 
translação os trabalhos das forças internas são iguais e de sinais contrários, sendo 
nulo o trabalho resultante. Na rotação estas forças não realizam trabalho pois os 
deslocamentos são perpendiculares às forças. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.6 - Decomposição de um movimento qualquer entre as posições 1 e 3. 
(a) translação entre 1 e 2 - (b) rotação entre 2 e 3. 
 
FBA 
FAB 
FAB 
A2 
B2 
 A3 
B3 
A1 
B1 
FAB 
FBA 
FAB= - FBA 
a 
a 
b 
 
 
71 
7.4 PRINCÍPIO DO TRABALHO E ENERGIA: SISTEMAS CONSERVATIVOS 
 
 O princípio do trabalho e energia, dado em (7.27), pode ser modificado 
quando todas as forças atuantes numa partícula são forças conservativas. 
Lembrando que o trabalho total das forças conservativas pode ser dado por 
 
 
21
C
21 VVU
 (7.28) 
 
onde 
1V
 e 
2V
 são, respectivamente, as energias potenciais do corpo rígido nos 
instantes t1 e t2, e 
C
21U
 é a soma dos trabalhos de todas as forças conservativas 
aplicadas neste mesmo corpo. 
 Podemos escrever o princípio (7.27), separando os trabalhos das forças 
conservativas e não conservativas como 
 
 
2
NC
21
C
211 TUUT
 (7.29) 
 
Aplicando (7.28) em (7.29), obtemos 
 
 
2
NC
21211 TUVVT
 (7.30) 
ou 
 
 
22
NC
2111 VTUVT
 (7.31) 
 
Se o sistema for conservativo, então 
 
 
2211 VTVT
 (7.32) 
 
Esta igualdade é conhecida como a conservação da energia mecânica. È uma forma 
particular do princípio do trabalho e energia para sistemas conservativos. Nestes 
casos a soma da energia cinética e da energia potencial é constante ao longo do 
tempo. 
 
 
72 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8 
 
DINÂMICA DO MOVIMENTO PLANO DE CORPOS RÍGIDOS 
 IMPULSO E QUANTIDADE DE MOVIMENTO 
 
 
 
 Neste capítulo será analisada a lei de Newton apresentada numa outra forma 
integral. Nesta forma integra-se a lei de Newton dada por (6.7) no tempo. Esta 
forma se baseia nos conceitos de impulso e quantidade de movimento do corpo 
rígido. Ao final deste capítulo estes conceitos são aplicados na teoria de impacto. 
 
8.1 QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR DE UM CORPO RÍGIDO 
 
 Seja um corpo rígido C, de massa m e cujo centro de massa se localiza em 
G. Seja v a velocidade de um ponto qualquer, de massa dm, deste corpo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 - Corpo rígido C com centro de massa G. 
 
 Usando a definição de quantidade de movimento linear