2013.1 Prova1 Análise Real 2 Gabarito

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Ministe´rio da Educac¸a˜o
Secretaria de Educac¸a˜o Profissional e Tecnolo´gica
Instituto Federal do Rio de Janeiro - IFRJ
Licenciatura em Matema´tica
Ana´lise Real 2
Professor Tiago Reis
02 de julho de 2013
PROVA 1
JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Questa˜o 1. (2,0 pontos) Seja f : R→ R,
f(x) =
{
1− x , x ∈ R \Q
x , x ∈ Q .
Determine os pontos onde f e´ cont´ınua e onde f e´ descont´ınua.
Questa˜o 2. (2,0 pontos) Sejam K ⊂ R e f : K → R. Demonstre que se K e´ compacto e f e´ cont´ınua, enta˜o f assume
ma´ximo e mı´nimo em K.
Questa˜o 3. (2,0 pontos) Demonstre que lim
x→0+
f
(
1
x
)
= lim
x→∞ f(x), caso existam.
Questa˜o 4. (2,0 pontos) Sejam f : [0,∞)→ R cont´ınua e L ∈ R. Demonstre que se lim
x→∞ f(x) = L, enta˜o f e´ uniformemente
cont´ınua em [0,∞). Demonstre, ainda, que a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira.
Questa˜o 5. (2,0 pontos) Seja f : R → R cont´ınua com a seguinte propriedade: Para quaisquer A,B ⊂ R abertos, existe
n ∈ N tal que fn(A) ∩ B 6= ∅. Seja U ⊂ R um conjunto aberto. Demonstre que o conjunto
∞⋃
n=1
(fn)−1(U) e´ aberto e denso
em R.
Observac¸a˜o 1: As iteradas de f sa˜o definidas por f1 = f, f2 = f ◦ f, f3 = f ◦ f2, f4 = f ◦ f3, . . .
Observac¸a˜o 2: Um conjunto D ⊂ R e´ denso em R quando R ⊂ D.
BOA PROVA!