lista 37 resistência

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CURSO: ENGª DE PRODUÇÃO 
DISCIPLINA: RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROFº: PERINALDO
LISTA DE EXERCÍCIOS 37
RESOLUÇÃO
Transformação de tensões no estado 
plano de tensões: tensor de Cauchy
1 – Considere o estado plano de tensões descrito a seguir:
São dados: XX = 2 KPa ; YY = 3 KPa e XY = 1 KPa . A tensão normal a uma 
face, cujo vetor normal unitário exterior forma ângulo  com o eixo das abcissas original, foi 
determinada como n ' = 2,869 KPa . Veja-se no desenho a seguir:
Determinar o valor de  , se  ∈ [0,/2] RAD  .
SOLUÇÃO
As tensões normal e cisalhante na face inclinada do novo elemento são dadas por:
n ' = n
T n (forma quadrática para a tensão normal na face inclinada)
 ' = nT u (forma bilinear para a tensão cisalhante na face inclinada)
em que:
n = cos sen  ; u = −sen cos  e  = XX XYYX YY 
No caso então:
n ' = cos sen 
T 2 11 3cos sen KPa
ou seja,
n ' =  [2cos   sen ] ,[cos   3 sen ]cos sen  KPa
isto é,
n ' = 2cos
2  sen cos   sen cos   3 sen2 KPa
o que fornece:
n ' = 2cos
2   2 sen cos   3 sen2 KPa
Façamos uso agora da seguinte identidade:
sen2  = 1 − cos2
A substituição desta identidade na expressão para n ' dá:
n ' = 2 cos
2   2cos1 − cos2   3 − 3 cos2
Substituindo-se o valor de n ' resulta:
− cos2  2cos 1 − cos2  3 = 2,869
2 cos 1 − cos2 = cos2  − 3  2,869
Tome-se o quadrado de ambos membros, com o conhecimento de que esta operação tem o potencial 
de introduzir raízes espúrias à equação original:
4 cos21 − cos2  = cos4  − 0,262cos2  0,017161
que dá:
5cos4  − 4,262cos2   0,017161 = 0
Façamos agora a substituição Z = cos2 :
5Z2 − 4,262Z  0,017161 = 0
, cujas raízes são:
Z1 = 4,05 × 10
−3 , isto é, cos2 1 = 4,05 × 10
−3 , donde cos 1 = 0,0636
Z2 = 0,84835 , isto é, cos
2 2 = 0,84835 , donde
cos 1 = 0,9211
Com isso:
1 = cos
−1 0,0636 , portanto 1 = 1,5071 rad
2 = cos
−10,9211 , portanto 2 = 0,4 rad
Verifique-se se estas raízes atendem ao requisito do tensor de Cauchy:
Para 1 = 1,5071 rad :
cos sen 
T 2 11 3cossen  KPa = 3,123 KPa
e vê-se que 1 = 1,5071 rad não atende ao requisito. Esta raiz portanto é espúria!
Para 2 = 0,4 rad :
cos sen 
T 2 11 3cossen  KPa = 2,869 KPa
E o ângulo procurado de fato é 2 = 0,4 rad , ou em graus 2 = 22,9183
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