UNIDADE 2 Aplicações de Derivadas

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Cálculo Diferencial e Integral I 
 
Unidade II – Aplicações de Derivadas Profa. MSc. Vera Lúcia Smith 1
 
 
UNIDADE 2: APLICAÇÕES DE DERIVADAS: 
 
 
1. Máximos e Mínimos, traçados de curvas (esboço de gráficos de funções): 
 
 
Etapas que se deve seguir para esboçar o gráfico de uma função usando derivada. 
 
(1) Determinação do Domínio e dos Zeros da função dada; 
 
(2) Determinação dos pontos de descontinuidade da função; 
 
(3) Verificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas 
a. Se a função é par, então esboçar o gráfico para [0,+∞[, como a função par é simétrica 
em relação ao eixo X, em seguida esboça-se fazendo-se a rotação para o resto do 
domínio da função; 
b. Se a função é ímpar, então esboçar o gráfico para [0,+∞[, como a função ímpar é 
simétrica em relação ao eixo Y, em seguida esboça-se fazendo-se a rotação para o 
resto do domínio da função; 
 
(4) Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento da função. 
Os intervalos de crescimento e decrescimento da função são dados pela derivada 1ª. 
Assim temos: 
a. Se f’(x)>0; ∀ x∈ I, então f será estritamente crescente em I; 
b. Se f’(x)<0; ∀ x∈ I, então f será estritamente decrescente em I; 
 
(5) Determinação dos pontos de máximo e mínimo (a , F(a)), bem como os valores máximos e 
mínimos da função F(a). 
 
(6) Determinação dos domínios de concavidade para cima e para baixo do gráfico, assim como 
a determinação dos pontos de inflexão. 
Ponto de inflexão: é o ponto onde a função muda de concavidade. 
Os domínios de concavidade para cima e para baixo do gráfico de uma função são dados 
pela derivada 2ª. Assim temos: 
a. Se f’’(x)>0; ∀ x∈ I, então f será côncava para cima; 
b. Se f’’(x)<0; ∀ x∈ I, então f será côncava para baixo; 
 
(7) Determinação das Assíntotas Horizontais e Verticais do gráfico da função. 
a. Assíntotas Horizontais: Dizemos que a reta y = b ou y = a é uma assíntota 
horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das afirmações seguintes 
for verdadeira. 
(1) bxf
x
=
+∞→
)(lim
 
(2) axf
x
=
−∞→
)(lim
 
 
b. Assíntotas Verticais: Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de 
uma função f se pelo menos uma das afirmações seguintes for verdadeira. 
(1) +∞=+→
)(lim xf
ax
 
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(2) +∞=
−→
)(lim xf
ax
 
 
(3) −∞=+→ )(lim xfax 
(4) −∞=
−→
)(lim xf
ax
 
 
Obs.: Localiza-se as possíveis assíntotas verticais x = a de função da forma f/g deve-
se procurar, simplesmente valores de a para os quais g(a) = 0 
 
 
Exemplos: 
 
1) Esboçar o gráfico das funções abaixo: 
a. ( ) 233 ++−= xxxf 
b. ( )
1
1
+
−
=
x
x
xf 
c. ( )
1
2
−
=
x
x
xf 
d. ( )
x
xxf 1+= 
e. ( )
2
32
−
−
=
x
x
xf 
 
 
2. Taxas Relacionadas 
 
Aplicaremos a derivada em problemas de taxas relacionadas onde temos de determinar a taxa a 
qual alguma variável varie. 
 
 
Exemplos: 
 
Área - Suponha que o raio r e a área 2rA Π= de um círculo sejam funções deriváveis de t. 
Escreva uma equação que relacione 
dt
dr
dt
dA
 a . 
 
Área da superfície - Suponha que o raio r e a área da superfície 24 rS Π= de uma esfera sejam 
funções deriváveis de t. Escreva uma equação que relacione 
dt
dr
dt
dS
 a . 
 
Volume - O raio r e a altura h de um cilindro circular estão relacionados com o volume V do 
cilindro pela fórmula hrV 2Π= . 
a. Como 
dt
dV
 está relacionada a 
dt
dh
 se r é constante? 
b. Como 
dt
dV
 está relacionada a 
dt
dr
 se h é constante? 
c. Como 
dt
dV
 está relacionada a 
dt
dr
 e 
dt
dh
 se nem r e nem h são constantes? 
 
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Distância – Sejam x e y funções deriváveis de t e seja 22 yxS += a distância entre os 
pontos ( )0,x e ( )y,0 no plano xy. 
a. Como 
dt
dS
 está relacionada a 
dt
dx
 se y é constante? 
b. Como 
dt
dS
 está relacionada a 
dt
dx
 e 
dt
dy
 se nem x e nem y são constantes? 
c. Como 
dt
dx
 está relacionada a 
dt
dy
 se S é constante? 
 
Aquecendo um prato – Quando um prato circular de metal é aquecido em um forno, seu raio 
aumenta a uma taxa de 0,01cm/min. A que taxa a área do prato aumenta quando seu raio é de 50 
cm? 
 
Perseguição na rodovia – Uma viatura de polícia, vindo do norte e aproximando-se de um 
cruzamento em ângulo reto, está perseguindo um carro em alta velocidade, que, no cruzamento, 
toma direção leste. Quando a viatura está a 0,6mi ao norte do cruzamento e o carro fugitivo a 
0,8mi a leste, o radar da polícia detecta que a distância entre a viatura e o fugitivo está 
aumentando a 20mi/h. Se a viatura está se deslocando a 60mi/h no instante dessa medida, qual é 
a velocidade do fugitivo? 
 
 
3. Otimização 
 
Aplicaremos a derivada na otimização. 
Otimizar alguma coisa, significa maximizar ou minimizar algum de seus aspectos. 
 
Minimizando o perímetro – Qual é o menor perímetro possível para um retângulo cuja área é 
16pol2 e quais são as suas dimensões? 
 
O Melhor Esquema para a Cerca – Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um 
rio e nos outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800m de fio à disposição. 
Qual é a maior área que você pode cercar e quais são as suas dimensões? 
 
Projetando um tanque – Sua metalúrgica foi contratada por uma fábrica de papel para projetar 
e construir um tanque retangular de aço, com base quadrada, sem tampa com 500 pés3 de 
capacidade. O tanque será construído soldando-se chapas de aço umas às outras ao longo das 
bordas. Como engenheiro de produção, sua tarefa, é de determinar as dimensões para base e a 
altura, que farão o tanque pesar o mínimo possível. Que dimensões serão passadas para a 
oficina?