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SistemaNumeracao DEcimal, Binario e Transformação entre eles

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Sistemas	
  de	
  Numeração	
   1	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
  
Prof.	
  Francisco	
  Veríssimo	
  Luciano	
  
PRONATEC	
  	
  
Programador	
  de	
  Sistemas	
  
	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   2	
  
•  Até	
  o	
  final	
  do	
  século	
  VI	
  os	
  números	
  eram	
  apenas:	
  
•  1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6,	
  7,	
  8	
  e	
  9	
  
•  Apenas	
   no	
   final	
   do	
   século	
   VI	
   que	
   foi	
   introduzido	
   o	
  “0”	
  
zero.	
  
•  Passando	
  a	
  ser	
  0,	
  1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6,	
  7,	
  8	
  e	
  9	
  
•  Durante	
   o	
   ano	
   825	
   d.	
   c.	
   o	
   califa	
   al-­‐Mamum	
   deseja	
  
transformar	
  seu	
  reino	
  em	
  um	
  grande	
  centro	
  de	
  cultura.	
  
•  Contratando	
  al-­‐Khowarizmi	
  (maior	
  matemá]co	
  arabe	
  de	
  
todos	
   os	
   tempos.	
   Criando	
   o	
   sistema	
   Decimal,	
   que	
  
u]lizamos	
  até	
  hoje.	
  
•  Termo	
  Algarismo	
  é	
  homenagem	
  a	
  al-­‐Khowarismi.	
  
1. O que é um número? 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   3	
  
•  Define	
   como	
   um	
   número	
   pode	
   ser	
   representado	
  
u]lizando	
  diversas	
  formas.	
  
•  Qualquer	
   número	
   inteiro	
   maior	
   ou	
   igual	
   pode	
   ser	
  
u]lizado	
  como	
  base.	
  
	
  
•  Acredita-­‐se	
  que	
  o	
  sistema	
  decimal	
   (com	
  base	
  10)	
   tenha	
  
sido	
  o	
  primeiro,	
  em	
  coerência	
  aos	
  dedos	
  das	
  mãos.	
  
•  Os	
   números	
   escritos	
   em	
   um	
   sistema	
   de	
   numeração	
   de	
  
base	
  “b”	
  pode	
  ser	
  considerado	
  no	
  polinômio:	
  
•  Número:	
  anbⁿ	
  +	
  na-­‐1bⁿ⁻¹	
  +	
  ...	
  +	
  a1b¹	
  +	
  a0b⁰	
  
Sendo	
  os	
  coeficientes	
  a1	
  até	
  an	
  menores	
  que	
  base	
  “b”	
  
2. O que é sistema de numeração? 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   4	
  
•  O	
   sistema	
  decimal	
   u]liza	
   como	
  base	
  “10”	
   u]lizando	
  os	
  
Algarismos:	
  
•  0,	
  1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6,	
  7,	
  8	
  e	
  9	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  
5.326	
  =	
  5000	
  +	
  300	
  +	
  20	
  +	
  6	
  
ou	
  
5	
  x	
  100	
  +	
  3	
  x	
  100	
  +	
  2	
  x	
  10	
  +	
  6	
  
ou	
  
5	
  x	
  10³	
  +	
  3	
  x	
  10²	
  +	
  2	
  x	
  10¹	
  +	
  6	
  x	
  10⁰	
  
•  Polinômio:	
  	
  Nro	
  =	
  dn10ⁿ	
  +	
  dn-­‐110ⁿ⁻¹	
  +	
  d110¹	
  +	
  d010⁰	
  
3. Sistema Decimal 
Nenhum	
  algarismo	
  do	
  
número	
  pode	
  ser	
  
maior	
  ou	
  igual	
  a	
  dez.	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   5	
  
•  O	
  sistema	
  binário	
  possui	
  apenas	
  os	
  Algarismos:	
  
•  0	
  e	
  1	
  
Exemplo	
  1:	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  Número	
  11010012	
  
1x2⁶	
  +	
  1x2⁵	
  +	
  0x2⁴	
  +	
  1x2³	
  +	
  0x2²	
  +	
  0x2¹	
  +	
  1x1⁰	
  =	
  10510	
  
	
  
Exemplo	
  2:	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  Número	
  11112	
  
1x2³	
  +	
  1x2²	
  +	
  1x2¹	
  +	
  1x1⁰	
  =	
  1510	
  
	
  
•  Polinômio:	
  	
  Nro	
  =	
  bn2ⁿ	
  +	
  bn-­‐12ⁿ⁻¹	
  +	
  b12¹	
  +	
  b02⁰	
  
	
  
	
  
4. Sistema Binário 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   6	
  
•  O	
  sistema	
  octal	
  possui	
  os	
  Algarismos:	
  
•  0,	
  1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6	
  e	
  7	
  
Exemplo	
  1:	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  Número	
  546218	
  
5x8⁴	
  +	
  4x8³	
  +	
  6x8²	
  +	
  2x8¹	
  +	
  1x8⁰	
  =	
  2292910	
  
20480	
  +	
  2048	
  +	
  384	
  +	
  	
  16	
  +	
  1	
  =	
  22929	
  
Exemplo	
  2:	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  Número	
  12568	
  
1x8³	
  +	
  2x8²	
  +	
  5x8¹	
  +	
  6x8⁰	
  =	
  68610	
  
512	
  +	
  128	
  +	
  40	
  +	
  6	
  =	
  686	
  
•  Polinômio:	
  	
  Nro	
  =	
  bn8ⁿ	
  +	
  bn-­‐18ⁿ⁻¹	
  +	
  b18¹	
  +	
  b08⁰	
  
	
  
	
  
5. Sistema Octal 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   7	
  
•  O	
  sistema	
  hexadecimal	
  	
  possui	
  os	
  Algarismos:	
  
•  0,	
  1,	
  2,	
  3,	
  4,	
  5,	
  6,	
  7,	
  8,	
  9,	
  A,	
  B,	
  C,	
  D,	
  E	
  e	
  F	
  
Exemplo	
  1:	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  Número	
  3BF4C16	
  
3x16⁴	
  +	
  B(11)x16³	
  +	
  F(15)x16²	
  +	
  4x16¹	
  +	
  C(12)x16⁰	
  =	
  24558010	
  
196608	
  +	
  45056	
  +	
  3840	
  +	
  64	
  +	
  12	
  =	
  245580	
  
Exemplo	
  2:	
  
•  Podendo	
  ser	
  representado:	
  Número	
  2AE16	
  
2x16²	
  +	
  A(10)x16¹	
  +	
  E(14)x16⁰	
  =	
  68610	
  
512	
  +	
  160	
  +	
  14	
  =	
  686	
  
•  Polinômio:	
  	
  Nro	
  =	
  bn16ⁿ	
  +	
  bn-­‐116ⁿ⁻¹	
  +	
  b116¹	
  +	
  b016⁰	
  
	
  
	
  
6. Sistema Hexadecimal 
Algarismo	
  Valor	
  
A	
   10	
  
B	
   11	
  
C	
   12	
  
D	
   13	
  
E	
   14	
  
F	
   15	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   8	
  
•  Mudança	
   de	
   base	
   decimal	
   para	
   qualquer	
   outra	
   base	
   é	
  
muito	
  simples.	
  Sempre	
  trabalhada	
  com	
  divisões.	
  
•  Nesse	
  momento	
  veremos	
  a	
  mudança	
  para	
  a	
  base	
  binária:	
  
	
  	
  
	
   	
  61 	
  2	
  
	
  	
   	
  1 	
  30 	
  2	
  
	
   	
  	
   	
  0 	
  15 	
  2	
  
	
   	
   	
  	
   	
  1 	
  7 	
  2	
  
	
   	
   	
   	
   	
  1 	
  3 	
  2	
  
	
   	
   	
   	
   	
   	
  1 	
  1	
  
Ficando:	
  111101	
  
Sendo	
  que:	
  6110	
  =	
  1111012	
  
1. Mudança de base decimal para outras bases 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   9	
  
•  Nesse	
  momento	
  veremos	
  a	
  mudança	
  para	
  a	
  base	
  octal:	
  
	
  	
  
	
   	
  61 	
  8	
  
	
  	
   	
  5 	
  7 	
  	
  
Ficando:	
  758	
  
Sendo	
  que:	
  6110	
  =	
  758	
  
	
  
	
   	
  	
  
2. Mudança de base decimal para outras bases 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   10	
  
•  Nesse	
   momento	
   veremos	
   a	
   mudança	
   para	
   a	
   base	
  
hexadecimal:	
  
	
  	
  
	
   	
  61 	
  16	
  
	
  	
   	
  13 	
  3 	
  	
  
Ficando:	
  3D16	
  
Sendo	
  que:	
  6110	
  =	
  3D16	
  
	
  
•  Logo	
  podemos	
  dizer:	
  
	
  
6110	
  =	
  1111012	
  =	
  758	
  =	
  3D16	
  
	
  
	
   	
  	
  
2. Mudança de base decimal para outras bases 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   11	
  
Exercícios	
  -­‐	
  converta	
  os	
  valores	
  da	
  
base	
  decimal	
  para	
  as	
  demais:	
  
Decimal	
   Binário	
   Octal	
   Hexa	
  
3	
  
10	
  
15	
  
301	
  
1379	
  
42685	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   12	
  
•  É	
   realizada	
   transformando	
   os	
   grupos	
   de	
   quatro	
   dígitos	
  
binários,	
   no	
   sen]do	
   da	
   direita	
   para	
   a	
   esquerda,	
  
diretamente	
  em	
  números	
  hexadecimais.	
  	
  
•  U]lizamos	
  como	
  base	
  a	
  tabela	
  abaixo:	
  
2. Mudança de binário para hexadecimal 
Decimal	
   Binário	
   Hexadecimal	
  
0	
   0000	
   0	
  
1	
   0001	
   1	
  
2	
   0010	
   2	
  
3	
   0011	
   3	
  
4	
   0100	
   4	
  
5	
   0101	
   5	
  
6	
   0110	
   6	
  
7	
   0111	
   7	
  
8	
   1000	
   8	
  
9	
   1001	
   9	
  
10	
   1010	
   A	
  
11	
   1011	
   B	
  
12	
   1100	
   C	
  
13	
   1101	
   D	
  
14	
   1110	
   E	
  
151111	
   F	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   13	
  
•  Exemplo:	
  
X16	
  =	
  (10100110)2	
  
Separamos	
  em	
  dois	
  grupos	
  de	
  quatro	
  dígitos:	
  
1010 	
  0110	
  
	
  	
  	
  A 	
   	
  	
  	
  	
  6	
  
Sendo:	
  A616	
  =	
  101001102 	
  	
  
•  Exemplo:	
  
X16	
  =	
  (110011)2	
  
Separamos	
  em	
  dois	
  grupos	
  de	
  quatro	
  dígitos:	
  
0011 	
  0011	
  
	
  	
  	
  3 	
   	
  	
  	
  	
  3	
  
Sendo:	
  3316	
  =	
  1100112	
  
2. Mudança de binário para hexadecimal 
Decimal	
   Binário	
   Hexadecimal	
  
0	
   0000	
   0	
  
1	
   0001	
   1	
  
2	
   0010	
   2	
  
3	
   0011	
   3	
  
4	
   0100	
   4	
  
5	
   0101	
   5	
  
6	
   0110	
   6	
  
7	
   0111	
   7	
  
8	
   1000	
   8	
  
9	
   1001	
   9	
  
10	
   1010	
   A	
  
11	
   1011	
   B	
  
12	
   1100	
   C	
  
13	
   1101	
   D	
  
14	
   1110	
   E	
  
15	
   1111	
   F	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   14	
  
•  A	
   conversão	
   de	
   números	
   Hexadecimais	
   em	
   Binários	
   é	
  
feita	
   transformando-­‐se	
   os	
   símbolos	
   Hexadecimais	
   em	
  
números	
  binários	
  de	
  4	
  dígitos:	
  
•  Exemplo:	
  
X2	
  =	
  (A6)16	
  
1010 	
  0010	
  
	
  	
  	
  A 	
   	
  	
  	
  	
  6	
  
Sendo:	
  101000102	
  =	
  A616	
  
•  Exemplo:	
  
X2	
  =	
  (33)16	
  
0011 	
  0011	
  
	
  	
  	
  3 	
   	
  	
  	
  	
  3	
  
Sendo:	
  001100112	
  =	
  A616 	
  ou	
  1100112	
  =	
  A616	
  
	
  
3. Mudança de hexadecimal para binário 
Decimal	
   Binário	
   Hexadecimal	
  
0	
   0000	
   0	
  
1	
   0001	
   1	
  
2	
   0010	
   2	
  
3	
   0011	
   3	
  
4	
   0100	
   4	
  
5	
   0101	
   5	
  
6	
   0110	
   6	
  
7	
   0111	
   7	
  
8	
   1000	
   8	
  
9	
   1001	
   9	
  
10	
   1010	
   A	
  
11	
   1011	
   B	
  
12	
   1100	
   C	
  
13	
   1101	
   D	
  
14	
   1110	
   E	
  
15	
   1111	
   F	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   15	
  
•  É	
   realizada	
   transformando	
   os	
   grupos	
   de	
   três	
   dígitos	
  
binários,	
   no	
   sen]do	
   da	
   direita	
   para	
   	
   a	
   esquerda,	
  
diretamente	
  em	
  números	
  octais.	
  
4. Mudança de binário para octal 
Decimal	
  Binário	
   Octal	
  
0	
   000	
   0	
  
1	
   001	
   1	
  
2	
   010	
   2	
  
3	
   011	
   3	
  
4	
   100	
   4	
  
5	
   101	
   5	
  
6	
   110	
   6	
  
7	
   111	
   7	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   16	
  
•  Exemplo:	
  
X8	
  =	
  (1110010)2	
  
Separamos	
  em	
  grupos	
  de	
  três	
  dígitos:	
  
001	
  	
  	
  	
  110	
  	
  	
  	
  010	
  
	
  	
  1 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  6 	
  	
  	
  	
  	
  2 	
   	
  	
  
Sendo:	
  1628	
  =	
  001100102	
  ou	
  1100102	
  =	
  1628	
  
•  Exemplo:	
  
X8	
  =	
  (10001)2	
  
Separamos	
  em	
  grupos	
  de	
  três	
  dígitos:	
  
010	
  	
  	
  	
  001	
  
	
  	
  2 	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  1 	
   	
  	
  
Sendo:	
  218	
  =	
  0100012	
  ou	
  100012	
  =	
  218	
  
	
  
4. Mudança de binário para octal 
Decimal	
  Binário	
   Octal	
  
0	
   000	
   0	
  
1	
   001	
   1	
  
2	
   010	
   2	
  
3	
   011	
   3	
  
4	
   100	
   4	
  
5	
   101	
   5	
  
6	
   110	
   6	
  
7	
   111	
   7	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   17	
  
•  Exemplo:	
  
X2	
  =	
  (77)8	
  
Separamos	
  em	
  grupos	
  de	
  três	
  dígitos:	
  
	
  	
  7	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  7	
  
111	
  	
  	
  111 	
   	
   	
  	
  
Sendo:	
  778	
  =	
  1111112	
  
•  Exemplo:	
  
X2	
  =	
  (123)8	
  
Separamos	
  em	
  grupos	
  de	
  três	
  dígitos:	
  
	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  3	
  
001	
  	
  	
  010	
  	
  011	
  
Sendo:	
  1238	
  =	
  001010112	
  ou	
  10100112	
  =	
  1238	
  
	
  
5. Mudança de octal para binário 
Decimal	
  Binário	
   Octal	
  
0	
   000	
   0	
  
1	
   001	
   1	
  
2	
   010	
   2	
  
3	
   011	
   3	
  
4	
   100	
   4	
  
5	
   101	
   5	
  
6	
   110	
   6	
  
7	
   111	
   7	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   18	
  
•  A	
  conversão	
  de	
  números	
  octais	
  em	
  hexadecimais	
  (e	
  vice-­‐
versa)	
   deve	
   ser	
   feita	
   transformando-­‐se	
   os	
   símbolos	
  
octais	
   (ou	
   hexadecimais)	
   em	
   binários	
   e	
   posterior	
  
transformação	
  em	
  hexadecimal	
  (ou	
  octal).	
  
6. Mudança de octal para hexadecimal ou 
hexadecimal para octal 
Decimal	
  Binário	
   Octal	
  
0	
   000	
   0	
  
1	
   001	
   1	
  
2	
   010	
   2	
  
3	
   011	
   3	
  
4	
   100	
   4	
  
5	
   101	
   5	
  
6	
   110	
   6	
  
7	
   111	
   7	
  
Decimal	
   Binário	
   Hexadecimal	
  
0	
   0000	
   0	
  
1	
   0001	
   1	
  
2	
   0010	
   2	
  
3	
   0011	
   3	
  
4	
   0100	
   4	
  
5	
   0101	
   5	
  
6	
   0110	
   6	
  
7	
   0111	
   7	
  
8	
   1000	
   8	
  
9	
   1001	
   9	
  
10	
   1010	
   A	
  
11	
   1011	
   B	
  
12	
   1100	
   C	
  
13	
   1101	
   D	
  
14	
   1110	
   E	
  
15	
   1111	
   F	
  
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   19	
  
•  Exemplo	
  octal	
  para	
  hexadecimal:	
  
X16	
  =	
  (77)8	
  
Separamos	
  em	
  grupos	
  de	
  três	
  dígitos:	
  
	
  	
  7	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  7	
  
111	
  	
  	
  111 	
   	
   	
  	
  
Sendo:	
  778	
  =	
  1111112	
  =	
  3F16	
  
•  Exemplo:	
  
X16	
  =	
  (123)8	
  
Separamos	
  em	
  grupos	
  de	
  três	
  dígitos:	
  
	
  	
  1	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  2	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  3	
  
001	
  	
  	
  010	
  	
  011	
  
Sendo:	
  1238	
  =	
  001010112	
  ou	
  10100112	
  =	
  1238	
  =	
  44316	
  
	
  
6. Mudança de octal para hexadecimal ou 
hexadecimal para octal 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   20	
  
•  Soma	
  de	
  binários:	
  
Na	
  soma	
  de	
  binários	
  obedecemos	
  a	
  regra	
  a	
  seguir:	
  
	
  
	
  0 	
  + 	
  0 	
  = 	
  0	
  
	
  0 	
  + 	
  1 	
  = 	
  1	
  
	
  1 	
  + 	
  0 	
  = 	
  1	
  
	
  1 	
  + 	
  1 	
  = 	
  0 	
  e	
  vai	
  1	
  
	
  1 	
  + 	
  1 	
  + 	
  1 	
  = 	
  1 	
  e	
  vai	
  1	
  
	
  
7. Aritmética Binária 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   21	
  
•  Soma	
  de	
  binários:	
  
	
  
•  Exemplo:	
  
	
  
	
  	
  	
  	
  1	
  1	
  1	
  1	
  	
  	
  	
  1	
  1	
  1	
  1	
  1	
  	
  
	
  1	
  0	
  0	
  0	
  1	
  1	
  0	
  1	
  0	
  1	
  1	
  1	
  
	
   	
   	
   	
  +	
  
	
  0	
  0	
  1	
  1	
  0	
  1	
  0	
  0	
  1	
  0	
  0	
  1	
  
	
  __________________	
  
	
  1	
  1	
  0	
  0	
  0	
  0	
  1	
  0	
  0	
  0	
  0	
  0	
  	
   	
  = 	
  310210	
  
7. Aritmética Binária 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   22	
  
•  Subtração	
  de	
  binários:	
  
Na	
  soma	
  de	
  binários	
  obedecemos	
  a	
  regra	
  a	
  seguir:	
  
	
  
	
  0 	
  -­‐ 	
  0 	
  = 	
  0	
  
	
  1 	
  -­‐ 	
  1 	
  = 	
  0	
  
	
  1 	
  -­‐ 	
  0 	
  = 	
  1	
  
	
  0 	
  -­‐ 	
  1 	
  = 	
  1 	
  e	
  empresta	
  1	
  
	
  
7. Aritmética Binária 
Sistemas	
  de	
  Numeração	
   23	
  
•  Subtração	
  de	
  binários:	
  
	
  
•  Exemplo:1	
  
	
  1	
  1	
  1	
  0	
  0	
  
	
   	
   	
   	
  -­‐	
  
	
  0	
  1	
  0	
  1	
  0	
  
	
  __________________	
  
	
  1	
  0	
  0	
  1	
  0	
  	
   	
   	
  = 	
  1810	
  
7. Aritmética Binária

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