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Sistemas de Numeração 1 Sistemas de Numeração Prof. Francisco Veríssimo Luciano PRONATEC Programador de Sistemas Sistemas de Numeração 2 • Até o final do século VI os números eram apenas: • 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 • Apenas no final do século VI que foi introduzido o “0” zero. • Passando a ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 • Durante o ano 825 d. c. o califa al-‐Mamum deseja transformar seu reino em um grande centro de cultura. • Contratando al-‐Khowarizmi (maior matemá]co arabe de todos os tempos. Criando o sistema Decimal, que u]lizamos até hoje. • Termo Algarismo é homenagem a al-‐Khowarismi. 1. O que é um número? Sistemas de Numeração 3 • Define como um número pode ser representado u]lizando diversas formas. • Qualquer número inteiro maior ou igual pode ser u]lizado como base. • Acredita-‐se que o sistema decimal (com base 10) tenha sido o primeiro, em coerência aos dedos das mãos. • Os números escritos em um sistema de numeração de base “b” pode ser considerado no polinômio: • Número: anbⁿ + na-‐1bⁿ⁻¹ + ... + a1b¹ + a0b⁰ Sendo os coeficientes a1 até an menores que base “b” 2. O que é sistema de numeração? Sistemas de Numeração 4 • O sistema decimal u]liza como base “10” u]lizando os Algarismos: • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 • Podendo ser representado: 5.326 = 5000 + 300 + 20 + 6 ou 5 x 100 + 3 x 100 + 2 x 10 + 6 ou 5 x 10³ + 3 x 10² + 2 x 10¹ + 6 x 10⁰ • Polinômio: Nro = dn10ⁿ + dn-‐110ⁿ⁻¹ + d110¹ + d010⁰ 3. Sistema Decimal Nenhum algarismo do número pode ser maior ou igual a dez. Sistemas de Numeração 5 • O sistema binário possui apenas os Algarismos: • 0 e 1 Exemplo 1: • Podendo ser representado: Número 11010012 1x2⁶ + 1x2⁵ + 0x2⁴ + 1x2³ + 0x2² + 0x2¹ + 1x1⁰ = 10510 Exemplo 2: • Podendo ser representado: Número 11112 1x2³ + 1x2² + 1x2¹ + 1x1⁰ = 1510 • Polinômio: Nro = bn2ⁿ + bn-‐12ⁿ⁻¹ + b12¹ + b02⁰ 4. Sistema Binário Sistemas de Numeração 6 • O sistema octal possui os Algarismos: • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 Exemplo 1: • Podendo ser representado: Número 546218 5x8⁴ + 4x8³ + 6x8² + 2x8¹ + 1x8⁰ = 2292910 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 = 22929 Exemplo 2: • Podendo ser representado: Número 12568 1x8³ + 2x8² + 5x8¹ + 6x8⁰ = 68610 512 + 128 + 40 + 6 = 686 • Polinômio: Nro = bn8ⁿ + bn-‐18ⁿ⁻¹ + b18¹ + b08⁰ 5. Sistema Octal Sistemas de Numeração 7 • O sistema hexadecimal possui os Algarismos: • 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F Exemplo 1: • Podendo ser representado: Número 3BF4C16 3x16⁴ + B(11)x16³ + F(15)x16² + 4x16¹ + C(12)x16⁰ = 24558010 196608 + 45056 + 3840 + 64 + 12 = 245580 Exemplo 2: • Podendo ser representado: Número 2AE16 2x16² + A(10)x16¹ + E(14)x16⁰ = 68610 512 + 160 + 14 = 686 • Polinômio: Nro = bn16ⁿ + bn-‐116ⁿ⁻¹ + b116¹ + b016⁰ 6. Sistema Hexadecimal Algarismo Valor A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 Sistemas de Numeração 8 • Mudança de base decimal para qualquer outra base é muito simples. Sempre trabalhada com divisões. • Nesse momento veremos a mudança para a base binária: 61 2 1 30 2 0 15 2 1 7 2 1 3 2 1 1 Ficando: 111101 Sendo que: 6110 = 1111012 1. Mudança de base decimal para outras bases Sistemas de Numeração 9 • Nesse momento veremos a mudança para a base octal: 61 8 5 7 Ficando: 758 Sendo que: 6110 = 758 2. Mudança de base decimal para outras bases Sistemas de Numeração 10 • Nesse momento veremos a mudança para a base hexadecimal: 61 16 13 3 Ficando: 3D16 Sendo que: 6110 = 3D16 • Logo podemos dizer: 6110 = 1111012 = 758 = 3D16 2. Mudança de base decimal para outras bases Sistemas de Numeração 11 Exercícios -‐ converta os valores da base decimal para as demais: Decimal Binário Octal Hexa 3 10 15 301 1379 42685 Sistemas de Numeração 12 • É realizada transformando os grupos de quatro dígitos binários, no sen]do da direita para a esquerda, diretamente em números hexadecimais. • U]lizamos como base a tabela abaixo: 2. Mudança de binário para hexadecimal Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 151111 F Sistemas de Numeração 13 • Exemplo: X16 = (10100110)2 Separamos em dois grupos de quatro dígitos: 1010 0110 A 6 Sendo: A616 = 101001102 • Exemplo: X16 = (110011)2 Separamos em dois grupos de quatro dígitos: 0011 0011 3 3 Sendo: 3316 = 1100112 2. Mudança de binário para hexadecimal Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Sistemas de Numeração 14 • A conversão de números Hexadecimais em Binários é feita transformando-‐se os símbolos Hexadecimais em números binários de 4 dígitos: • Exemplo: X2 = (A6)16 1010 0010 A 6 Sendo: 101000102 = A616 • Exemplo: X2 = (33)16 0011 0011 3 3 Sendo: 001100112 = A616 ou 1100112 = A616 3. Mudança de hexadecimal para binário Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Sistemas de Numeração 15 • É realizada transformando os grupos de três dígitos binários, no sen]do da direita para a esquerda, diretamente em números octais. 4. Mudança de binário para octal Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 Sistemas de Numeração 16 • Exemplo: X8 = (1110010)2 Separamos em grupos de três dígitos: 001 110 010 1 6 2 Sendo: 1628 = 001100102 ou 1100102 = 1628 • Exemplo: X8 = (10001)2 Separamos em grupos de três dígitos: 010 001 2 1 Sendo: 218 = 0100012 ou 100012 = 218 4. Mudança de binário para octal Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 Sistemas de Numeração 17 • Exemplo: X2 = (77)8 Separamos em grupos de três dígitos: 7 7 111 111 Sendo: 778 = 1111112 • Exemplo: X2 = (123)8 Separamos em grupos de três dígitos: 1 2 3 001 010 011 Sendo: 1238 = 001010112 ou 10100112 = 1238 5. Mudança de octal para binário Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 Sistemas de Numeração 18 • A conversão de números octais em hexadecimais (e vice-‐ versa) deve ser feita transformando-‐se os símbolos octais (ou hexadecimais) em binários e posterior transformação em hexadecimal (ou octal). 6. Mudança de octal para hexadecimal ou hexadecimal para octal Decimal Binário Octal 0 000 0 1 001 1 2 010 2 3 011 3 4 100 4 5 101 5 6 110 6 7 111 7 Decimal Binário Hexadecimal 0 0000 0 1 0001 1 2 0010 2 3 0011 3 4 0100 4 5 0101 5 6 0110 6 7 0111 7 8 1000 8 9 1001 9 10 1010 A 11 1011 B 12 1100 C 13 1101 D 14 1110 E 15 1111 F Sistemas de Numeração 19 • Exemplo octal para hexadecimal: X16 = (77)8 Separamos em grupos de três dígitos: 7 7 111 111 Sendo: 778 = 1111112 = 3F16 • Exemplo: X16 = (123)8 Separamos em grupos de três dígitos: 1 2 3 001 010 011 Sendo: 1238 = 001010112 ou 10100112 = 1238 = 44316 6. Mudança de octal para hexadecimal ou hexadecimal para octal Sistemas de Numeração 20 • Soma de binários: Na soma de binários obedecemos a regra a seguir: 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 e vai 1 1 + 1 + 1 = 1 e vai 1 7. Aritmética Binária Sistemas de Numeração 21 • Soma de binários: • Exemplo: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 + 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 __________________ 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 = 310210 7. Aritmética Binária Sistemas de Numeração 22 • Subtração de binários: Na soma de binários obedecemos a regra a seguir: 0 -‐ 0 = 0 1 -‐ 1 = 0 1 -‐ 0 = 1 0 -‐ 1 = 1 e empresta 1 7. Aritmética Binária Sistemas de Numeração 23 • Subtração de binários: • Exemplo:1 1 1 1 0 0 -‐ 0 1 0 1 0 __________________ 1 0 0 1 0 = 1810 7. Aritmética Binária
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