Exercicios de Física Resolvidos 15 04

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Fundamentos de Física – Volume I – Mecânica – 8ª Edição 
Halliday, Resnick e Walker 
Capítulo II – Movimento retilíneo 
Resolvido por Nelson Poerschke 
*01. Um automóvel viaja em uma estrada retilínea por 40 km a 30 km/h. Em seguida, 
continuando no mesmo sentido, percorre outros 40 km a 60 km/h. 
a) Qual é a velocidade média do carro durante este percurso de 80 km? 
ݒ௠௘ௗଵ = ∆௫భ∆௧భ → ∆ݐଵ = ∆௫భ௩೘೐೏భ = ସ଴ ௞௠ଷ଴ ௞௠/௛ = 1,33 ℎ = 1ℎ 20ᇱ00" 
ݒ௠௘ௗଶ = ∆௫మ∆௧మ → ∆ݐଶ = ∆௫మ௩೘೐೏మ = ସ଴ ௞௠଺଴ ௞௠/௛ = 0,67 ℎ = 0ℎ 40ᇱ00" 
∆௫= ∆௫ଵ + ∆௫ଶ= 40݇݉ + 40݇݉ = 80݇݉ 
∆௧= ∆௧ଵ + ∆௧ଶ= 1ℎ 20ᇱ00 + 0ℎ 40ᇱ00" = 2ℎ 
ݒ௠௘ௗଵ = ∆௫భ∆௧భ = ଼଴ ௞௠ଶ ௛ = 40 ݇݉/ℎ 
b) Qual é a velocidade escalar média do carro durante este percurso de 80 km? 
ݏ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = ଼଴ ௞௠ଶ ௛ = 40 ݇݉/ℎ 
Neste caso, em que o sentido do deslocamento é o mesmo para os dois ∆௫ a velocidade 
escalar é igual à velocidade média. 
c)Trace o gráfico de x em função de t e mostre como calcular a velocidade média a partir do 
gráfico. 
 
A linha azul (contínua) indica as velocidades médias do deslocamento nos percursos 1 e 2, 
enquanto a linha vermelha (tracejada) indica a velocidade média dos dois percursos. 
*02. Um carro sob uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com 
uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média de ida e volta. 
Não sabemos o tempo nem a distânçia, mas sabemos as duas velocidades e ݒ = ஽
௧
, então: 
Ds = Distância da subida ; ts = tempo da subida ; e vs = velocidade da subida 
Dd = Distância da descida ; td = tempo da descida ; e vd = velocidade da descida 
஽ೞା஽೏
௧ೞ శ௧೏ = ଶ஽ವೇೞା ವೇ೏ = ଶభరబ ೖ೘/೓ା భలబ ೖ೘/೓ = ଶయశమభమబ ೖ೘/೓ = ଶఱభమబ ೖ೘/೓ = 2 × ଵଶ଴ ௞௠/௛ହ = 48 ݇݉/ℎ 
 
*03. Durante um espirro, os olhos podem se fechar por até 0,50 s. Se você está dirigindo um 
carro a 90 km/h e espirra, quanto o carro pode se deslocar até você abrir novamente os olhos? 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ → ∆ݔ = ∆ݐ × ݒ௠௘ௗ 
∆ݔ = 0,50 ݏ × 90 ݇݉/ℎ × ቀଵ଴଴଴ ௠
ଵ ௞௠ ቁ × ቀ ଵ௛ଷ଺଴଴ ௦ቁ = 12,5 ݉ 
*04. Em 1992, um recorde mundial de velocidade em uma bicicleta foi estabelecido por Chris 
Huber. Deu tempo para percorrer um trecho de 200 m foi de apenas 6,509 s, ao final do qual ele 
comentou: “Cogito ergo zoom!” (Penso, logo corro!). Em 2001, Sam Whittingham quebrou o 
recorde de Huber em 19 km/h. Qual foi o tempo gasto por Whittingham para percorrer os 200 m. 
Huber 
ݒ௠௘ௗ = ଶ଴଴ ௠଺,ହ଴ଽ ௦ = 30,73 ݉/ݏ × ቀ ଵ ௞௠ଵ଴଴଴ ௠ቁ × ቀଷ଺଴଴ ௦ଵ ௛ ቁ = (110,63 ݇݉/ℎ) 
Whittingham 
110,63 + 19 = 129,63 km/h = 36,01 m/s 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ → ∆ݐ = ∆௫௩೘೐೏ = ଶ଴଴ ௠ଷ଺,଴ଵ ௠/௦ = 5,554 ݏ 
*05. A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por ݔ = 3ݐ − 4ݐଶ + ݐଷ, 
onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de 
t: 
a) t = 1s ݔ = 3ݐ − 4ݐଶ + ݐଷ → ݔ = 3(1) − 4(1ଶ) + 1ଷ = 0 
b) t = 2s ݔ = 3ݐ − 4ݐଶ + ݐଷ → ݔ = 3(2) − 4(2ଶ) + 2ଷ = 6− 16 + 8 = −2 m 
c) t = 3s ݔ = 3ݐ − 4ݐଶ + ݐଷ → ݔ = 3(3) − 4(3ଶ) + 3ଷ = 9− 36 + 27 = 0 
d) t = 4s ݔ = 3ݐ − 4ݐଶ + ݐଷ → ݔ = 3(4) − 4(4ଶ) + 4ଷ = 12 − 64 + 64 = 12 m 
e) Qual o deslocamento do objeto entre t = 0 s e t = 4 s? 
ݐ = 0ݏ → ݔ = 3ݐ − 4ݐଶ + ݐଷ = 3(0) − 4(0ଶ) + 0ଶ = 0 
∆ݔ = ݔ௧ୀସ௦ − ݔ௧ୀ଴௦ = 12 − 0 = 12 m 
f) Qual a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2s a t = 4s? 
∆ݔ = ݔ௧ୀସ௦ − ݔ௧ୀଶ௦ = 12 − (−2) = 14 m 
∆ݐ = ݐସ௦ − ݐଶ௦ = 4 ݏ − 2ݏ = 2 ݏ 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ → ݒ௠௘ௗ = ଵସ ௠ଶ ௦ = 7 ݉/ݏ 
g) Faça o gráfico de x em função de t para 0 ≤ t ≤ 4 s e indique como a resposta do item f) 
pode ser determinada a partir do gráfico. 
 
O eixo vertical x determina a posição enquanto o eixo horizontal t determina o tempo. Os 
pontos (t, x) = (2, -2) e (4, 12) indicam as posições em t = 2s e t = 4s. 
*06. Calcule a velocidade média nos dois casos seguintes: 
a) Você caminha 73,2 m a uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 73,2 m a 3,05 m/s em 
uma pista reta. 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = ଻ଷ,ଶା଻ଷ,ଶళయ,మ
భ,మమାళయ,మయ,బఱ = ଵସ଺,ସయలలశభరల,రల,భ = ଵସ଺,ସఱభమ,రల,భ = 146,4 × ଺,ଵହଵଶ,ସ = 1,74 ݉/ݏ 
b) Você caminha 1,0 min com uma velocidade de 1,22 m/s e depois corre 1,0 m a 3,05 m/s 
em uma pista reta. 
Distância = velocidade x tempo 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = (ଵ,ଶଶ ௠/௦)×(଺଴௦)ା(ଷ,଴ହ௠/௦)×(଺଴௦)ଵଶ଴ ௦ = 2,14 ݉/ݏ 
b) Faça o gráfico de x em função de t nos dois casos e indique como a velocidade média 
pode se determinada a partir do gráfico. 
 
 (a) (b) 
 Encontrando os pontos (t, x) no gráfico e aplicando a fórmula da vmed. 
**07. Em uma corrida de 1 km, o corredor 1 da raia 1 (com o tempo de 2 min e 27,95 s) parece 
ser mais rápido que o corredor 2 da raia 2 (cujo tempo é 2 min e 28,15s). Entretanto, o comprimento 
L2 da raia 2 pode ser ligeiramente maior que o comprimento L1 da raia 1. Qual é o maior valor da 
diferença L2-L1 para a qual a conclusão de que o corredor 1 é mais rápido é verdadeira? 
Corredor 1 – 2 min 27,95 s = 147,95 s 
Corredor 2 – 2 min 28,15 s = 148,15 s 
ݏ௠௘ௗଵ = ݏ௠௘ௗమ = ௅భ௧భ = ௅మ௧మ 
 
ܮଶିܮଵ = ቀ௧మ௧భ − 1ቁ então 
ܮଶ − ܮଵ = ቀଵସ଼,ଵହ ௦ଵସ଻,ଽହ ௦ − 1ቁ = 0,00135 × 1000 ݉ = 1,35 ݉ 
Para que o corredor 1 seja mais rápido, a raia dois não pode ser mais longa do que 
1001,35 m. 
**08. Para estabelecer um recorde de velocidade em uma distância d (em linha reta), um carro 
deve percorrer a distância primeiro em um sentido (em um tempo t1) e depois no sentido oposto (em 
um tempo t2). 
a) Para eliminar o efeito do vento e obter a velocidade do carro vc na ausência de vento, 
devemos calcular a média aritmética de d/t1 e d/t2 (método 1) ou devemos dividir d pela média 
aritmética de d/t1 e d/t2? 
A velocidade efetiva é a velocidade do carro mais a velocidade do vento, logo: 
em um sentido usamos a equação ݒ௖ + ݒ௩ = ௗ௧భ e no outro sentido ݒ௖ − ݒ௩ = ௗ௧మ 
juntando as duas equações e dividindo por 2, temos: 
ݒ௖ = ଵଶ ቀௗ௧భ + ௗ௧మቁ; 
O que nos remete ao método 1. 
b) Qual é a diferença percentual dos dois métodos se existe um vento constante na pista e a 
razão entre a velocidade do vento (Vv) e a velocidade do carro (Vc) é 0,0240? 
Se usarmos o método 2, teremos a seguinte equação: 
ݒ௖
ᇱ = ௗ(೟భశ೟మ)
మ
= ଶௗ
௧భା௧మ
= ଶௗ೏
ೡ೎శೡೡ
ା
೏
ೡ೎షೡೡ
= ௩೎మି௩ೡమ
௩೎
= ݒ௖ ൤1 − ቀ௩ೡ௩೎ቁଶ൨ 
Comparando os dois métodos: 
௩೎ି௩೎
ᇲ
௩೎
= ቀ௩ೡ
௩೎
ቁ
ଶ = (0,0240)ଶ = 5,76 × 10ସ 
**09. Você tem que dirigir em uma via expressa para se candidatar a um emprego em outra 
cidade, a uma distância de 300 km. A entrevista foi marcada para as 11:15 h da manhã. Você 
planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8:00 h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na 
velocidade planejada durante os primeiros 100 km, depois um trecho da estrada em obras o obriga a 
reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual a menor velocidade que você deve manter no 
restante da viagem para chegar a tempo para a entrevista? 
100 km a 100 km/h = 1 hora 
40 km a 40 km/h = 1 hora 
Você utilizou 2 h para percorrer 140 km. 
Para chegar a tempo, às 11:15 h, restam 160 km e 1,25 h (passar hms para hora decimal). 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = ଵ଺଴ ௞௠ଵ,ଶହ௛ = 128 ݇݉/ℎ 
 
**10. Situação de pânico. A Fig. 2-22 mostra uma situação na qual muitas pessoas tentam escapar 
por uma porta de emergência que está trancada. As pessoas se aproximam da porta com uma 
velocidade Vs – 3,50 m/s, têm d = 0,25 m de espessura e estão separadas por uma distância L = 
1,75m. A figura 2-22 mostra a posição das pessoas no instante t = 0. (As respostas mostram com 
que rapidez as pessoas podem se colocar em uma situação de perigo). 
 
a) Qual é a taxa média de aumento da camada de pessoas que se comprimem contra a porta? 
∆ݐ = ௅
௏ೞ
 
R = taxa média do aumento da camada de pessoas 
ܴ = ௗ
∆௧
= ௗಽ
ೇೞ
= ௗ௏ೞ
௅
= (଴,ଶହ ௠)×(ଷ,ହ଴ ௠/௦)
ଵ,଻ହ ௠ = 0,50 ݉/ݏ 
b) Em que instante e espessura da camada chega a 5,0 m?D = 5,0 m/s 
ݐ = ஽
ோ
= ହ ௠
଴,ହ଴ ௠/௦ = 10 ݏ 
**11. Dois trens, cada um com velocidade de 30 km/h, trafegam em sentidos opostos na mesma 
linha férrea retilínea. Um pássaro capaz de voar 60 km/h parte da frente de um dos trens, quando 
eles estão separados por 60 km, e se dirige em linha reta para o outro trem. Ao chegar ao outro 
trem, o pássaro faz meia volta e se dirige para o primeiro trem, a assim por diante. (Não temos a 
menor ideias da razão pela qual o pássaro se comporta dessa forma.) Qual é a distância total que o 
pássaro percorre até os trens colidirem? 
A soma das velocidade dos dois trens é 30 km/h + 30 km/h = 60 km/h. 
Como a distância entre eles é de 60 km: 
ݐ = ௏
ௗ
= ଺଴ ௞௠/௛
଺଴ ௞௠ = 1 ℎ. 
Se o pássaro voa a 60 km/h, em uma hora voará: 
݀ = ௩
௧
= ଺଴ ௞௠/௛
ଵ ௛ = 60 ݇݉ 
**12. Onda de choque no trânsito. Quando o trânsito é intenso, uma redução brusca de velocidade 
pode se propagar como um pulso, denominado onda de choque, ao longo de uma fila de carros, no 
sentido do movimento dos carros, no sentido oposto ou permanecer estacionária. A Fig. 2-23 mostra 
uma fila de carros regularmente espaçados que estão se movendo a uma velocidade V = 25,00 m/s 
em direção a uma fila de carros mais lentos, uniformemente espaçados, que estão se movendo a 
uma velocidade Vl = 5,0 m/s. Suponha que cada carro mais rápido acrescenta um comprimento L = 
12,0 m (comprimento do carro mais a distância mínima de segurança) à fila de carros mais lentos ao 
se juntar à fila, e suponha que reduz bruscamente a velocidade no último momento. 
 
 
a) Para que distância d entre os carros mais rápidos a onda de choque permanece 
estacionária? 
ݐ = ௅
௏೗
= ଵଶ ௠
ହ,଴଴ ௠/௦ = 2,4 ݏ ; 
este é o tempo que os carros lentos necessitam para se moverem 12,0 m. 
Os carros rápidos necessitam de: 
݀ = ܸݐ − ܮ → ݀ = (25 ݉/ݏ)(2,4 ݏ) − 12,0 ݉ = 48 ݉ 
b) Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais é a velocidade da onda de choque? 
Seja ݀ = 96 ݉ a separação inicial em ݐ = 0 . 
Após um tempo t, os carros lentos e o rápido estão viajando a ݔ = ௟ܸݐ e o carro rápido 
junta-se à linha movendo uma distância ݀ + ݔ a partir de: 
ݐ = ௫
௏ೞ
= ௗା௫
௏
 
obtemos 
ݔ = ௏ೞ
௏ି௏ೞ
݀ → ݔ = ହ,଴଴ ௠/௦
ଶହ,଴ ௠/௦ିହ,଴଴ ௠/௦ (96,0 ݉) = 24,0 ݉ 
que por sua vez resulta 
ݐ = ଶସ,଴ ௠
ହ,଴ ௠/௦ = 4,80 ݏ 
Uma vez que o carro lento moveu-se de 
∆ݔ = ݔ − ܮ = 24 ݉ − 12,0 ݉ = 12 ݉ 
ݒ௖௛௢௤௨௘ = ∆௫௧ = ଵଶ,଴ ௠ସ,଼ ௦ = 2,50 ݉/ݏ 
c) Se a distância é duas vezes maior que esse valor, quais é o sentido da onda de choque (o 
sentido do movimento dos carros ou contrário ao movimento dos carros)? 
Uma vez que x > L, a direção da onda de choque é a mesma do deslocamento dos carros. 
***13. Você dirige do Rio a São Paulo metade do tempo a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Na 
volta, você viaja metade da distância a 55 km/h e a outra metade a 90 km/h. Qual é a velocidade 
escalar média: 
a) do Rio para São Paulo? 
ݏ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ → ݏ௠௘ௗ = (ହହ ௞௠/௛ × భమ௧)ୀ(ଽ଴௞௠/௛ × భమ௧)௧ = భమ௧(ହହ ௞௠/௛ ାଽ଴ ௞௠/௛)௧ = = ೟(ఱఱ ೖ೘/೓ శవబ ೖ೘/೓)మ
௧
= ହହ ௞௠/௛ ାଽ଴ ௞௠/௛
ଶ
= 72,5 ݇݉/ℎ 
b) de São Paulo para o Rio? 
ݏ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ → ݏ௠௘ௗ = ௗ೏
ೇ
= → ݏ௠௘ௗ = ௗ೏
మ
ఱఱ ೖ೘/೓ ା ೏మవబ ೖ೘/೓ = ௗరఱ೏శమళ,ఱ ೏రవఱబ ೖ೘/೓ = = ௗళమ,ఱ ೏
రవఱబ ೖ೘/೓ = ௗଵ × ସଽହ଴ ௞௠/௛଻ଶ,ହ ௗ = 68,3 ݇݉/ℎ 
c) na viagem inteira? 
ݏ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ → ݏ௠௘ௗ = ଶௗ೏
ೇ
= → ݏ௠௘ௗ = ଶௗ೏
ళమ,ఱ ೖ೘/೓ ା ೏లఴ,య ೖ೘/೓ = ଶௗలఴ,య೏శళమ,ఱ ೏రవఱభ,ళఱ ೖ೘/೓ = ଶௗభరబ,ఴ ೏
రవఱభ,ళఱ ೖ೘/೓ = ଶௗଵ × ସଽହଵ,଻ହ ௞௠/௛ଵସ଴,଼ ௗ = 70,3 ݇݉/ℎ 
d) Qual é a velocidade média na viagem inteira? 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = ଴∆௧ = 0 
e) Plote o gráfico de x em função de t para o item a) supondo que o movimento ocorre no 
sentido positivo do eixo dos x. Mostre como a velocidade média pode ser determinada a partir do 
gráfico. 
 
A linha contínua (azul) com inclinação 55 liga a origem a (t1, x1) e na continuação com 
inclinação 90, liga de (t1, x1) a (t, d). A linha pontilhada azul ligando da origem a (t, d) indica a 
velocidade média. 
*14. A função posição x(t) de uma partícula que está se movendo ao longo do eixo x é: 
x = 4,0 – 6,0t², com x em metros e t em segundos. 
a) em que instante a partícula para momentaneamente? 
ݒ(ݐ) = ௗ௩(௧)
ௗ௧
4,0 − 6,0ݐଶ = −12ݐ 
ݒ(ݐ) = 0 → −12ݐ = 0 → ݐ = ଴
ିଵଶ
= 0 
A partícula para quando a velocidade é zero. Isto acontece em t = 0. 
b) em que posição a partícula para momentaneamente? 
ݔ(ݐ) = 4,0− 6ݐଶ 
ݔ(0) = 4,0 − 6(0)ଶ = 4 
Em t = 0 a partícula para em x = 4 m. 
c) e d) em que instante negativo e em que instante positivo a partícula passa pela origem? 
ݔ(ݐ) = 4,0− 6ݐଶ 4,0− 6ݐଶ = 0 → −6ݐଶ = −4 → ݐଶ = ±ටଶ
ଷ
= ±0,82 ݏ 
e) Plote o gráfico de x(t) para o intervalo de -5s a +5s. 
 
f) Para deslocar a curva para a direita no gráfico. Devemos acrescentar o termo +20t ou -20t 
ao x? 
+ 20t desloca a curva para a direita, conforme o gráfico a seguir. 
 
g) Esse valor aumenta ou diminui o valor de x para o qual a partícula para 
momentaneamente? 
ݔ(ݐ) = 4,0 + 20ݐ − 6ݐଶ 
ݒ(ݐ) = ௗ௩(௧)
ௗ௧
4,0 + 20ݐ − 6,0ݐଶ = 20− 12ݐ 
ݒ(ݐ) = 0 → 20− 12ݐ = 0 → ݐ = ିଶ଴
ିଵଶ
= 1,67 
ݔ(1,67) = 4,0 + 20(1,67) − 6(1,67)ଶ = 20,67 
aumenta 
*15. a) Se a partícula é dada por ݔ = 4 − 12ݐ + 3ݐଶ(onde ݐ está em segundos e ݔ em metros), 
qual é a velocidade da partícula em ݐ = 1 ݏ? 
ݒ(ݐ) = ௗ௩
ௗ௧
4 − 12ݐ + 3ݐଶ = −12 + 6ݐ 
ݒ(1) = −12 + 6(1) = −6 ݉/ݏ 
b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x? 
ݐ = 1 ݏ, ܸ < 0 , logo o movimento está no sentido negativo de x. 
c) Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante? 
Em ݐ = 1 ݏ a velocidade escalar é |v| = 6 m/s. 
d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante? 
 
Observando o gráfico de v(t), velocidade é negativa até ݐ = 2ݏ. Como a velocidade 
escalar é |v|, à medida que v se aproxima de zero pela esquerda, a velocidade escalar vai 
diminuindo. 
e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Caso a resposta seja afirmativa, para 
que valor de t isso acontece? 
Sim. Ainda observando o gráfico, quando ݐ = 2,ݒ = 0. 
f) Existe algum instante após ݐ = 3 ݏ no qual a partícula está se movendo no sentido 
negativo de x? Caso a resposta seja afirmativa, para que valor de t isso acontece? 
Não, ainda observando o gráfico, quando ݐ = 2,ݒ = 0 e a partir daí, quando 
ݐ = [2, + ∞), ݒ = [0, +∞) . 
*16. A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x é dada por ݔ = 16ݐ݁ି௧ ݉, onde t 
está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente? ݔ = 16ݐ݁ି௧ ݉ 
ݒ = ௗ௫
ௗ௧
exp(ܾݔ) = ܾ exp (ܾݔ) 
ݒ = ௗ௫
ௗ௧
= ቀௗ(ଵଽ௧)
ௗ௧
ቁ × ݁ି௧ + (19ݐ) × ቀௗ௘ష೟
ௗ௧
ቁ 
ݒ = 16(1 − ݐ)݁ି௧ = 5,9 ݉ 
**17. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por 
ݔ = 9,75 + 1,50ݐଷ, onde t está em segundos. Calcule: 
a) a velocidade média entre o intervalo de tempo t = 2,00 s a t = 3,00 s. 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ 
ݐ = 2 ݏ → ݔ(ݐ) = 9,75 + 1,50ݐଷ → ݔ(2) = 21,75 ܿ݉ 
ݐ = 3 ݏ → ݔ(ݐ) = 9,75 + 1,50ݐଷ → ݔ(3) = 50,25 ܿ݉ 
ݒ௠௘ௗ = ହ଴,ଶହିଶଵ,଻ହଷ ௦ିଶ ௦ = ଶ଼,ହ ௠ଵ ௦ = 28,5 ܿ݉/ݏ 
b) a velocidade instantânea em t = 2,00 s. 
ݒ = ௗ௫
ௗ௧
(9,75 + 1,50ݐଷ) = 4,5ݐଶ 
ݒ = 4,5ݐଶ → ݒ = 4,5(2)ଶ = 18 ܿ݉/ݏ 
c) a velocidade instantânea em t = 3,00 s. 
ݒ = 4,5ݐଶ → ݒ = 4,5(3)ଶ = 40,5 ܿ݉/ݏ 
d) a velocidade instantânea em t = 2,50 s. 
ݒ = 4,5ݐଶ → ݒ = 4,5(2,5)ଶ = 28,1 ܿ݉/ݏ 
e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas 
posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s. 
ݐ = 2 ݏ → ݔ(ݐ) = 9,75 + 1,50ݐଷ → ݔ(2) = 21,75 ܿ݉ 
ݐ = 3 ݏ → ݔ(ݐ) = 9,75 + 1,50ݐଷ → ݔ(3) = 50,25 ܿ݉ହ଴,ଶହିଶଵ,଻ହ
ଶ
= ଶ଼,ହ
ଶ
= 14,25 + 21,75 = 36 ܿ݉ 9,75 + 1,50ݐଷ = 36 → ݐଷ = ଷ଺ିଽ,଻ହ
ଵ,ହ → ݐ = ඥ17,5య = 2,60 ݏ 
ݒ = 4,5ݐଶ → ݒ = 4,5(2,60)ଶ = 30,4 ܿ݉/ݏ 
f) plote o gráfico de x em função de t e indique suas respostas graficamente. 
 
A resposta da letra a) corresponde à velocidade média entre t = 2 e t = 3. 
As letra b), c) e d) e e) correspondem às linhas tangentes aos respectivos tempos, não 
plotadas no gráfico mas facilmente identificáveis. 
*18. a) Se a posição de uma partícula é dada por ݔ = 20ݐ − 5ݐଷ, onde x está em metros e t em 
segundos, em que instante(s) a velocidade da partícula é zero? 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
(20ݐ − 5ݐଷ) = 20− 15ݐଶ 20 − 15ݐଶ = 0 → ݐଶ = ିଶ଴
ିଵହ
 → ݐ = ±√1,33 ≈ ±1,2 s 
A velocidade da partícula é zero quando t = -1,2 s e t = 1,2 s. 
b) Em que instante(s) a aceleração a é zero? 
ܽ = ௗ௩(௧)
ௗ௧
(20 − 15ݐଶ) = −30ݐ 
−30ݐ = 0 → ݐ = ଴
ଷ଴
= 0 
A aceleração a é zero, ou seja a velocidade é constante quando t = 0 s. 
c) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a é negativa? 
-30t é negativa sempre que t > 0, então o intervalo é (0, + ∞). 
d) Para que intervalo de tempo (positivo ou negativo) a aceleração a é positiva? 
-30t é positiva sempre que t < 0, então o intervalo é (−∞, 0). 
e) Trace os gráficos de x(t); v(t); e a(t). 
 
*19. Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido 
positivo de x; 2,4 s depois a velocidade era de 30 m/s no sentido oposto. 
Qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s? 
ܽ௠௘ௗ = ௩మି௩భ௧మି௧భ = ିଷ଴ ௠/௦ିଵ଼ ௠/௦ଶ,ସ௦ = ିସ଼ ௠/௦ଶ,ସ ௦ = −20݉/ݏଶ 
 
*20. A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por ݔ = 12ݐଶ − 2ݐଷ, 
onde x está em metros e t em segundos. Determine: 
a) a posição da partícula em ݐ = 3,0 ݏ. 
ݔ = 12ݐଶ − 2ݐଷ → ݔ(3) = 12(3,0 ݏ)ଶ − 2(3,0 ݏ)ଷ → ݔ = 54 ݉ 
b) a velocidade da partícula em ݐ = 3,0 ݏ. 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
(12ݐଶ − 2ݐଷ) = 24ݐ − 6ݐଶ → ݒ(3) = 24(3,0ݏ) − 6(3,0ݏ)ଶ = 18 ݉/ݏ 
c) a aceleração da partícula em ݐ = 3,0 ݏ. 
ܽ = ݀ݒ(ݐ)
݀ݐ
(24ݐ − 6ݐଶ) = 24 − 12ݐ → ܽ(3) = 24 − 12(3,0ݏ) = −12 ݉/ݏଶ 
d) Qual é a coordenada positiva máxima alcançada pela partícula? 
x se desloca para a direita até que v reduzir a zero, quando muda o sentido. 24ݐ − 6ݐଶ = 0 as raízes desta equação são 0 e 4. Eliminando t = 0 resta t = 4. 
ݔ = 12ݐଶ − 2ݐଷ → ݔ(4) = 12(4,0 ݏ)ଶ − 2(4,0 ݏ)ଷ → ݔ = 64 ݉ 
e) Em que instante de tempo ela é alcançada? 
em t = 4 s. 
f) Qual é a velocidade positiva máxima alcançada pela partícula? 
A velocidade aumenta enquanto houver aceleração e chega ao máximo quando a = 0. 24 − 12ݐ = 0 → ݐ = ିଶସ
ିଵଶ
= 2 ݏ 
ݒ = 24ݐ − 6ݐଶ → ݒ(2) = 24(2) − 6(2)ଶ = 24 ݉/ݏ 
g) Em que instante de tempo ela é alcançada? 
em t = 2 s. 
h) Qual é a aceleração da partícula no instante em que a partícula não está se movendo (além 
do instante t = 0)? 
Em t = 4s, verificamos nas letras d) e e) que a partícula muda o sentido. Nesse instante 
ela para momentaneamente. 
ܽ = 24 − 12ݐ → ܽ(4) = 24 − 12(4,0ݏ) = −24 ݉/ݏଶ 
i) Determine a ݒ௠௘ௗ da partícula entre t = 0 s e t = 3,0 s. 
ݔ = 12ݐଶ − 2ݐଷ → ݔ(0) = 12(0 ݏ)ଶ − 2(0 ݏ)ଷ → ݔ = 0 ݉ 
ݔ = 12ݐଶ − 2ݐଷ → ݔ(3,0) = 12(3,0 ݏ)ଶ − 2(3,0 ݏ)ଷ → ݔ = 54 ݉ 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = ହସ ௠ି଴ଷ,଴ ௦ି଴ = ହସ ௠ଷ ௦ = 18 ݉/ݏ 
**21. A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo 
com a equação ݔ = ܿݐଶ − ܾݐଷ, onde x está em metros e t em segundos. Quais são as unidades: 
a) da constante c? 
comprimento/tempo² ou ݉/ݏଶ 
b) da constante b? 
comprimento/tempo³ ݉/ݏଷ 
Suponha que os valores numéricos de c e b sejam, respectivamente 3,0 e 2,0, 
c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x? 
A partícula atinge o maior valor positivo de x quando a v declina até zero. 
ݔ = 3ݐଶ − 2ݐଷ 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
3ݐଶ − 2ݐଷ = 6ݐ − 6ݐଶ 6ݐ − 6ݐଶ = 0 as raízes são 0 e 1; t = 0 e t = 1. 
ݔ(0) = 3(0)ଶ − 2(0)ଷ = 0 m 
ݔ(1) = 3(1)ଶ − 2(1)ଷ = 1 m 
A partícula atinge o maior valor de x (1,0 m) quando t = 1 s. 
d) De t = 0,0 s até t = 4,0 s, qual é a distância percorrida pela partícula? 
ݔ(0) = 3(0)ଶ − 2(0)ଷ = 0 m 
ݔ(1) = 3(1)ଶ − 2(1)ଷ = 1 m 
ݔ(4) = 3(4)ଶ − 2(4)ଷ = −80 ݉ 
A particular se movimenta da origem até = 1,0 m e muda de sentido e em t = 4,0 s sua 
posição é x = - 80 m. 
Então a partícula percorre: 1,0 m + 1,0 m + 80 m = 82 m. 
e) Qual é o seu deslocamento? 
ݔଵ = 0 e ݔଶ = −80 ∆ݔ = ݔଶ − ݔଵ → ∆ݔ = −80 − 0 = −80 ݉ 
Determine a velocidade da partícula nos instantes: 
f) ݐ = 1,0 ݏ? 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
3ݐଶ − 2ݐଷ = 6ݐ − 6ݐଶ → ݒ(1) = 6(1) − 6(1)ଶ = 0 
g) ݐ = 2,0 ݏ? 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
3ݐଶ − 2ݐଷ = 6ݐ − 6ݐଶ → ݒ(2) = 6(2) − 6(2)ଶ = −12 ݉/ݏ 
h) ݐ = 3,0 ݏ? 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
3ݐଶ − 2ݐଷ = 6ݐ − 6ݐଶ → ݒ(3) = 6(3) − 6(3)ଶ = −36 ݉/ݏ 
i) ݐ = 4,0 ݏ? 
ݒ = ௗ௫(௧)
௧
3ݐଶ − 2ݐଷ = 6ݐ − 6ݐଶ → ݒ(4) = 6(4) − 6(4)ଶ = −72 ݉/ݏ 
Determine a aceleração da partícula nos instantes: 
j) ݐ = 1,0 ݏ? 
ܽ = ௗ௩(௧)
ௗ௧
(6ݐ − 6ݐଶ) = 6 − 12ݐ → ܽ(1) = 6 − 12(1) = −6 ݉/ݏଶ 
 
k) ݐ = 2,0 ݏ? 
ܽ = ௗ௩(௧)
ௗ௧
(6ݐ − 6ݐଶ) = 6 − 12ݐ → ܽ(2) = 6 − 12(2) = −18 ݉/ݏଶ 
i) ݐ = 3,0 ݏ? 
ܽ = ௗ௩(௧)
ௗ௧
(6ݐ − 6ݐଶ) = 6 − 12ݐ → ܽ(3) = 6 − 12(3) = −30 ݉/ݏଶ 
l) ݐ = 4,0 ݏ? 
ܽ = ௗ௩(௧)
ௗ௧
(6ݐ − 6ݐଶ) = 6 − 12ݐ → ܽ(4) = 6 − 12(4) = −42 ݉/ݏଶ 
**22. De ݐ = 0 a ݐ = 5,00 ݉݅݊ um homem fica em pé sem se mover; de ݐ = 5,00 ݉݅݊ a ݐ = 10,0 ݉݅݊ ele caminha em linha reta com uma velocidade de 2,2 m/s. Quais são: 
a) Sua velocidade média ݒ௠௘ௗ no intervalo de tempo de 2,00 min a 8,00 min? 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = (௩∆௧మ)ି(௩∆௧భ)(௧మ)ି(௧భ) = ௩(଼,଴଴ ௠௜௡ିହ,଴଴ ௠௜௡)ି௩(ହ,଴଴ ୫୧୬ିଶ,଴଴ ୫୧୬)଼,଴଴୫୧୬ି ଶ,଴଴ ௠௜௡ = = ௩(ଷ,଴଴ ௠௜௡)ି௩(ଷ,଴଴୫୧୬)
଼,଴଴୫୧୬ି ଶ,଴଴ ௠௜௡ = (ଶ,ଶ ௠/௦×ଵ଼଴ ௦)ି(଴)ଷ଺଴ ௦ = ଷଽ଺௠/௦మଷ଺଴ ௦ = 1,1 ݉/ݏ 
b) Sua aceleração média ݒ௠௘ௗ no intervalo de tempo de 2,00 min a 8,00 min? 
ܽ௠௘ௗ = ∆௩∆௧ = (௩మ)ି(௩భ)(௧మ)ି(௧భ) = ଶ,ଶ ௠/௦ ି଴ ௠/௦଼,଴଴୫୧୬ି ଶ,଴଴ ௠௜௡ = ଶ,ଶ ௠/௦ଷ଺଴ ௦ = 6,11 × 10ିଷ ݉/ݏ 
c) Sua velocidade média ݒ௠௘ௗ no intervalo de tempo de 3,00 min a 3,00 min? 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫∆௧ = (௩∆௧మ)ି(௩∆௧భ)(௧మ)ି(௧భ) = ௩(ଽ,଴଴ ௠௜௡ିହ,଴଴ ௠௜௡)ି௩(ହ,଴଴ ୫୧୬ିଷ,଴଴ ୫୧୬)ଽ,଴଴୫୧୬ି ଷ,଴଴ ௠௜௡ = = ௩(ସ,଴଴ ௠௜௡)ି௩(ଶ,଴଴୫୧୬)
ଽ,଴଴୫୧୬ି ଷ,଴଴ ௠௜௡ = (ଶ,ଶ ௠/௦×ଶସ଴ ௦)ି(଴)ଷ଺଴ ௦ = ହଶ଼௠/௦మଷ଺଴ ௦ = 1,47 ݉/ݏ 
d) Sua aceleração média ݒ௠௘ௗ no intervalo de tempo de 3,00 min a 9,00 min? 
ܽ௠௘ௗ = ∆௩∆௧ = (௩మ)ି(௩భ)(௧మ)ି(௧భ) = ଶ,ଶ ௠/௦ ି ଴ ௠/௦ଽ,଴଴୫୧୬ି ଷ,଴଴ ௠௜௡ = ଶ,ଶ ௠/௦ଷ଺଴ ௦ = 6,11 × 10ିଷ ݉/ݏ 
e) Plote x(t) e v(t) e indique como as respostas de a) a d) podem ser obtidas a partir do 
gráfico. 
 
*23. Um elétron possui uma aceleração constante de +3,2 m/s². Em certo instante, sua velocidade 
é de 9,6 m/s. Qual é sua velocidade: 
a) 2,5 s antes do instante considerado? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ݒ = 9,6 ݉/ݏ + (3,2݉/ݏଶ)(−2,5ݏ) = 1,6 m/s 
 
b) 2,5 s depois do instante considerado? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ݒ = 9,6 ݉/ݏ + (3,2݉/ݏଶ)(2,5ݏ) = 17,6 m/s 
*24. Um múon (uma partícula elementar) penetra em uma região com uma velocidade de 5,0 x 
106 m/s a passa a ser desacelerado a uma taxa de 1,25 x 1014 m/s2. 
a) Qual a distância percorrida pelo múon até parar? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) ݒଶ = 0 ݁ ݔ଴ = 0 
ݔ = ௩బమ
ିଶ௔
 
Como a partícula desacelera até parar, a aceleração é negativa. 
ݔ = ൫ଶ,ହ×ଵ଴భయ௠మ/௦మ൯
ିଶ(ିଵ,ଶହ×ଵ଴భర௠/௦మ) = 0,100 ݉ 
b) Trace os gráficos de x(t) e v(t). 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݒ − ܽݐ = ݒ଴ → 0 − (−1,25 x 10ଵସ)ݐ = 5,0 x 10଺ m/s 
ݐ = ହ,଴ ୶ ଵ଴ల ୫/ୱ(ଵ,ଶହ ୶ ଵ଴భర) = 4,00 × 10ି଼ ݏ = 40 ݊ݏ 
ݔ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ 
ݔ = (5,0 x 10଺m/s)(4,00 × 10ି଼ ݏ) + ଵ
ଶ
(−1,25 x 10ଵସ)(4,00 × 10ି଼ ݏ)ଶ 
ݔ = 0,100 ݉ 
 
*25. Suponha que umanave espacial se move com uma aceleração constante de 9,8 m/s², o que 
dá aos tripulantes uma sensação de gravidade normal durante o voo. 
a) Se a nave parte do repouso, quanto tempo leva para atingir um décimo da velocidade da 
luz, que é 3,0 x 108 m/s? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ଷ,଴×ଵ଴ఴ௠/௦
ଵ଴
= 0 + (9,8 ݉/ݏଶ)ݐ 
ݐ = ଷ,଴×ଵ଴ళ௠/௦
ଽ,଼ ௠/௦మ = 3,06 × 10଺ݏ ݋ݑ 3,06 × 10଺ݏ × ቀ ଵ ௛ଷ଺଴଴ ௦ቁ × ቀ ଵ ௗଶସ ௛ቁ = 35,43 ݀݅ܽݏ 
b) Que distância a nave percorre nesse tempo? 
ݔ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ 
ݔ = (0) + ଵ
ଶ
(9,8 ݉/ݏଶ)(3,06 × 10଺ݏ)ଶ → ݔ = 4,59 × 10ଵଷ݉ ݋ݑ 45,9 ܾ݈݅ℎõ݁ݏ ݀݁ ݇݉ 
*26. Em uma estrada seca, um carro com pneus novos é capaz de frear com uma desaceleração 
constante de 4,92 m/s². 
a) Quanto tempo esse carro, inicialmente se movendo a 24,6 m/s, leva para parar? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ݒ = 24,6 ݉/ݏ + (−4,92 ݉/ݏଶ)ݐ 
−(−4,92݉/ݏଶ)ݐ = 24,6 ݉/ݏ → ݐ = ଶସ,଺ ௠/௦
ସ,ଽଶ ௠/௦మ = 5,00 ݏ 
b) Que distância o carro percorre nesse tempo? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) 
Como o carro vai parar, v = 0. Como queremos saber a distância percorrida a partir da 
freada, x0 = 0. Então 
ݔ = ௩బమ
ିଶ௔
= (ଶସ,଺ ௠/௦)మ
ିଶ(ିସ,ଽଶ ௠/௦మ) = 61,5 m 
c) Trace os gráficos de x(t) e de v(t) durante a desaceleração. 
 
*27. Um elétron com velocidade inicial ݒ଴ = 1,50 × 10ହ݉/ݏ penetra em uma região de 
comprimento ܮ = 1,00 ܿ݉, onde é eletricamente acelerado (Fig. 2-24), e sai dessa região com 
ݒ = 5,70 × 10଺݉/ݏ. Qual é a aceleração do elétron, supondo que a mesma seja constante? 
 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) (ݔ − ݔ଴) = 1 ܿ݉ × ቀ ଵ ௠ଵ଴଴ ௖௠ቁ = 0,01 ݉ 
−2ܽ(0,01 ݉) = ݒ଴ = (1,50 × 10ହ݉/ݏ)ଶ − (5,70 × 10଺݉/ݏ)ଶ 
−0,02ܽ = 2,25 × 10ଵ଴݉/ݏ − 3,249 × 10ଵଷ݉/ݏ 
ܽ = ଶ,ଶହ ×ଵ଴భబ௠/௦ିଷ,ଶସଽ ×ଵ଴భయ௠/௦
ି଴,଴ଶ = 1,62 × 10ଵହ ݉/ݏଶ 
 
*28. Cogumelos lançadores. Alguns cogumelos lançam esporos usando um mecanismo de 
catapulta. Quando o vapor d’água do ar se condensa em um esporo preso a um cogumelo, uma gota 
se forma de um lado do esporo e uma película de água se forma do outro. O peso da gota faz o 
esporo se curvar, mas, quando a película atinge a gota, a gota d’água se espalha bruscamente pelo 
filme, e o esporo volta tão depressa à posição inicial que é lançado no ar. Tipicamente, o esporo 
atinge uma velocidade de 1,6 m/s em um lançamento de 5,0 µm; em seguida, a velocidade é 
reduzida a zero em 1,00 mm pelo atrito com o ar. Usando esses dados e supondo que a aceleração é 
constante, determine a aceleração em unidades de g. 
a) durante o lançamento. 
ݒ଴ = 0; ݒ = 1,6 ݉/ݏ ݔ଴ = 0 ݔ = 5,0 ߤ݉ = 5,0 × 10ି଺݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) 
−2ܽ(ݔ − ݔ଴) = ݒ଴ଶ − ݒଶ ܽ = ௩బమି௩మିଶ(௫ି௫బ) ܽ = ଴ି(ଵ,଺ ௠/௦)మ
ିଶ(ହ,଴×ଵ଴షల௠) = ିଶ,ହ଺ ௠మ/௦మିଵ×ଵ଴షఱ ௠ = 2,56 × 10ହ݉/ݏଶ × ቀ ଵ௚ଽ,଼ ௠/௦మቁ = 2,61 × 10ସ݃ 
b) durante a redução da velocidade. 
ݒ଴ = 1,6 ݉/ݏ; ݒ = 0 ݔ଴ = 0 ݔ = 1,00 ݉݉ = 1,0 × 10ିଷ݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) 
−2ܽ(ݔ − ݔ଴) = ݒ଴ଶ − ݒଶ ܽ = ௩బమି௩మିଶ(௫ି௫బ) ܽ = (ଵ,଺ ௠/௦)మି଴
ିଶ(ଵ,଴×ଵ଴షయ௠) = ଶ,ହ଺ ௠మ/௦మିଶ×ଵ଴షయ ௠ = 1,28 × ଵ଴య௠௦మ × ቀ ଵ௚ଽ,଼ ௠/௦మቁ = −1,31 × 10ଶ݃ 
O sinal negativo representa a desaceleração. 
*29. Um veículo elétrico parte do repouso e acelera em linha reta a uma taxa de 2,0 m/s² até 
atingir a velocidade de 20 m/s. Em seguinda o veículo desacelera a uma taxa constante de 1,0 m/s² 
até parar. 
a) Quanto tempo transcorre entre a partida e a parada? 
ଵܶ. ݒ଴ = 0; ݒ = 20 ݉/ݏ ܽ = 2,0 ݉/ݏଶ ݔ଴ = 0 
ଶܶ. ݒ଴ = 20 ݉/ݏ; ݒ = 0 ݉/ݏ ܽ = −1,0 ݉/ݏଶ 
ଵܶ. ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩ି ௩బ௔ = ଶ଴ ௠/௦ ି ଴ଶ,଴ ௠/௦మ = 10 ݏ 
ଶܶ. ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩ି ௩బ௔ = ଴ ି ଶ଴ ௠/௦ିଵ,଴ ௠/௦మ = 20 ݏ 
ଵܶ + ଶܶ = 10 ݏ + 20 ݏ = 30 ݏ 
b) Qual é a distância percorrida pelo veículo desde a partida até a parada? 
ଵܶ. ݒ଴ = 0; ݒ = 20 ݉/ݏ ܽ = 2,0 ݉/ݏଶ ݔ଴ = 0 ݐ = 10ݏ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ (ݔ − 0) = (ଶ଴ ௠/௦)మି଴
ଶ(ଶ,଴ ௠/௦మ) → ݔ = ସ଴଴ ௠/௦మସ ௠/௦మ = 100 ݉ 
ଶܶ. ݒ଴ = 20 ݉/ݏ; ݒ = 0 ݉/ݏ ܽ = −1,0 ݉/ݏଶ ݔ଴ = 100 ݉ ݐ = 10ݏ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ 
(ݔ − 100݉) = ଴ି(ଶ଴ ௠/௦)మ
ଶ(ିଵ,଴ ௠/௦మ) → ݔ = ିସ଴଴ ௠/௦మିଶ ௠/௦మ + 100݉ = 300 ݉ 
*30. O recorde mundial de velocidade em terra foi estabelecido pelo coronel John P. Stapp, em 
março de 1954, a bordo de um trenó foguete que se deslocou sobre trilhos a 1020 km/h. Ele e o 
trenó foram freados até parar em 1,4 s (Fig 2-7). Qual foi a aceleração experimentada por Stapp 
durante a frenagem, em unidades de g? 1020 ݇݉/ℎ × ቀଵ଴଴଴ ௠
ଵ ௞௠ ቁ × ቀ ଵ ௛ଷ଺଴଴ ௦ቁ = 283,33 ݉/ݏ 
ݒ଴ = 0; ݒ = 283,33 ݉/ݏ ܽ =? ݔ଴ = 0 ݐ = 1,4 ݏ 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ܽ = ௩ି௩బ
௧
= ଶ଼ଷ,ଷଷ ௠/௦ ି଴
ଵ,ସ ௦ = 202,38 ݉/ݏଶ × ቀ ଵ ௚ଽ,଼ ௠/௦మቁ = 20,65 ݃ 
*31. Uma certa cabina de elevador percorre uma distância máxima de 190 m e atinge uma 
velocidade máxima de 305 m/min. A cabina pode acelerar a partir do repouso e desacelerar de volta 
ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s². 
a) Qual é a distância percorrida pela cabina enquanto acelera a partir do repouso até a 
velocidade máxima? 
ݒ଴ = 0; ݒ = 5,08 ݉/ݏ ܽ = 1,22݉/ݏଶ ݔ଴ = 0 ݐ = ? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ 
ݔ = (ହ,଴଼ ௠/௦)మ ି଴
ଶ(ଵ,ଶଶ ௠/௦మ) = 10,6 ݉ 
b) Quanto tempo a cabina leva para percorrer a distância de 190 m, sem paradas, partindo do 
repouso e chegando com velocidade zero? 305 ݉/݉݅݊ × ቀଵ ௠௜௡
଺଴ ௦ ቁ = 5,08 ݉/ݏ 
ݒ଴ = 0; ݒ = 5,08 ݉/ݏ ܽ = 1,22݉/ݏଶ ݔ଴ = 0 ݐ = ? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩ି௩బ௔ = ହ,଴଼ ௠/௦ ି଴ଵ,ଶଶ ௠/௦మ = 4,16 ݏ 
Como a aceleração e a desaceleração ocorrem na mesma taxa: 
ݔଵ = ݔଶ; 2(10,6 ݉) = 21,2 ݉ ݁ ݐଵ = ݐଶ; 2(4,16 ݏ) = 8,32 ݏ 190 ݉− 21,2 ݉ = 168,8 ݉ 
ݐଷ = ∆௫௩ = ଵ଺଼,଼ ௠ହ,଴଼ ௠/௦ = 33,36ݏ 
ݐଵ + ݐଶ + ݐଷ = 4,16 ݏ + 4,16 ݏ + 33,4 ݏ = 41,7 ݏ 
*32. Os freios do seu carro podem produzir uma desaceleração de 5,2 m/s². 
a) Se você dirige a 137 km/h e avista um policial rodoviário, qual é o tempo mínimo 
necessário para que o carro atinja a velocidade máxima permitida de 90 km/h? (A resposta revela a 
inutilidade de frear ou tentar impedir que sua alta velocidade seja detectada por um radar ou por 
uma pistola de laser). 137 ݇݉/ℎ × ቀ ଵ ௛
ଷ଺଴଴ ௦ቁ × ቀଵ଴଴଴ ௠ଵ ௞௠ ቁ = 38,06 ݉/ݏ 
 
90 ݇݉/ℎ × ቀ ଵ ௛
ଷ଺଴଴ ௦ቁ × ቀଵ଴଴଴ ௠ଵ ௞௠ ቁ = 25 ݉/ݏ 
ݒ଴ = 38,06 ݉/ݏ; ݒ = 25 ݉/ݏ ܽ = −5,2 ݉/ݏଶ ݔ଴ =? ݐ = ? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩ି௩బ௔ = (ଶହ ௠/௦) ି (ଷ଼,଴଺ ௠/௦)ିହ,ଶ ௠/௦మ = ିଵଷ,଴଺ ௠/௦ିହ,ଶ ௠/௦మ = 2,5 ݏ 
b) Trace os gráficos de x(t) e de v versus t durante a desaceleração. 
ݔ = 38ݐ + 0,5(−5,2)ݐଶ = 38ݐ − 2,6ݐଶ 
ݒ = 38− 5,2ݐ 
 
*33. Um carro que se move a 56,0 km/h está a 24,0 m de uma barreira quando o motorista aciona 
os freios. O carro bate na barreira 2,00 s depois. 
a) Qual é o módulo da aceleração constante do carro antes do choque? 
ݒ଴ = 15,6 ݉/ݏ; ݒ =? ܽ =? ݔ଴ = 0 ݔ = 24,0 ݉ ݐ = 2,00 ݏ 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ܽ = (௫ି௩బ௧)ଶ௧మ = [ଶସ,଴ ௠ି(ଵହ,଺ ௠/௦ ×ଶ,଴଴௦)]×ଶ(ଶ,଴଴௦)మ = −3,6 ݉/ݏଶ |ܽ| = 3,6 ݉/ݏଶ 
b) Qual é a velocidade do carro no momento do choque? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݒ = 15,6 ݉/ݏ + (−3,6 ݉/ݏଶ) × (2,00 ݏ) = 8,4݉/ݏ 
**34. Um carro se move ao longo do eixo x por uma distância de 900 m, partindo do repouso (em 
x = 0) e terminando em repouso em (x = 900 m). No primeiro quarto do percurso a aceleração é de 
+2,25 m/s². Nos outros três quartos a aceleração passa a ser -0,750 m/s². Quais são: 
a) o tempo necessário para percorrer os 900 m? 
∆ݔଵ = ଴ܸభݐଵ + ଵଶ ܽଵ(ݐଵ) ଶ ܽଵ = 2,25 ݉/ݏଶ ; ∆ݔଵ= ଽ଴଴ସ ݉ ݁ ݒ଴ = 0 225 ݉ = 0(ݐଵ) + ଵଶ (2,25 ݉/ݏଶ)(ݐଵ) ଶ → (ݐଵ) ଶ = ଶ(ଶଶହ௠)ଶ,ଶହ ௠/௦మ = 200 ݏଶ 
ݐଵ = √200 ݏଶ = 14,14 ݏ 
∆ݔଶ = ݒଶݐଶ − ଵଶ ܽଶ(ݐଶ) ଶ ܽଶ = −0,750 ݉/ݏଶ; ∆ݔଶ = ଷ(ଽ଴଴)ସ ݉ ݁ ݒଶ = 0 675 ݉ = 0(ݐଶ) − ଵଶ (−0,75 ݉/ݏଶ)(ݐଶ) ଶ → (ݐଵ) ଶ = ଶ(଺଻ହ௠)଴,଻ହ ௠/௦మ = 1800 ݏଶ 
ݐଶ = √1800 ݏଶ = 42,43 ݏ 
ݐଵ + ݐଶ = 14,14 + 42,43 = 56,6 ݏ 
 
 
b) a velocidade máxima? 
ݒଶ = ݒ଴భଶ + 2ܽଵ∆ݔଵ 
ݒଶ = 0 + 2(2,25 ݉/ݏଶ)(225 ݉) = 1012,5 ݉ଶ/ݏଶ 
ݒ = ඥ1012,5݉ଶ/ݏଶ = 31,82 ݉/ݏ 
**35. A figura 2-25 mostra o movimento de uma partícula que se move ao longo do eixo x com 
aceleração constante. A escala vertical do gráfico é definida por ݔ௦ = 6,0 ݉. 
 
a) Qual é o módulo da aceleração da partícula? 
ݔ଴ = −2,0 ݉ ݔ = 6,0 ݉ ݒ଴ = 0 ݐ = 2,0 ݏ 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → 6,0݉− (−2,0 ݉) = ݒ଴(2,0 ݏ) + ଵଶ ܽ(2,0ݏ)ଶ 8,0 ݉ = 0 + ଵ
ଶ
ܽ(4,0 ݏଶ) → ܽ = ଶ(଼,଴௠)(ସ,଴ ௦మ) = 4,0 ݉/ݏଶ 
b) Qual é o sentido da aceleração da partícula? 
Como o resultado da letra a) indica um valor positivo, a aceleração da partícula está no 
sentido positivo do eixo dos x. 
**36. a) Se a aceleração máxima que pode ser tolerada pelos passageiros de um metrô é 1,34 m/s² 
e duas estações de metrô estão separadas por uma distância de 806 m, qual é a velocidade máxima 
que o metrô pode alcançar as estações? 
ݔ଴ = 0 ݔ = 806 ݉ ݒ଴ = 0 ݒ =? ܽ = 1,34 ݉/ݏଶ 
Consideremos que o trem poderá acelerar a uma taxa de 1,34 m/s² até a metade do 
percurso e depois deverá desacelerar a uma taxa de -1,34 m/s² para parar na estação seguinte. 
Então, com ݒ଴ = 0, o trem aumentará de velocidade até 403 m, quando começará a 
reduzi-la. 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽଵ∆ݔଵ → ݒଶ = 0 + 2(1,34 ݉/ݏଶ)(403 ݉)ଵ = 32,9 ݉/ݏ 
b) Qual é o tempo de percurso? 
Há que se perceber que o tempo ݐଵ para acelerar o trem até atingir a metade do percurso é 
igual ao tempo ݐଶ para desacelerar o trem até pará-lo. 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩ି ௩బ௔ 
ݐଵ = ଷଶ,ଽ ௠/௦ ି ଴ଵ,ଷସ ௠/௦మ = 24,53 ݏ ݐ݁݉݌݋ ݐ݋ݐ݈ܽ = ݐଵ + ݐଶ = 2(24,53) = 49,1 ݏ 
c) Se o metrô para por 20 s em cada estação, qual é a máxima velocidade escalar média do 
metrô de uma partida à próxima? 
ܵ௠௘ௗ = ∆ݔ∆ݐ = 806 ݉49,1 ݏ + 20,0 ݏ = 11,7 ݉/ݏ 
**37. Os carros A e B se movem no mesmo sentido em pistas vizinhas. A posição x do carro A é 
dada na Fig. 2-26, do instante t = 0 ao instante t = 7,0 s. A escala vertical do gráfico é definida por 
xs = 32,0 m. Em t = 0, o carro B está em x = 0, com uma velocidade de 12 m/s e uma aceleração 
negativa aB. 
 
a) Qual deve ser o valor de aB para que os carros estejam lado a lado (ou seja, tenham o 
mesmo valor de x) em t = 4,0 s? 
Carro A ݔ = 28 ݉ ݐ = 4ݏ 
Carro B ݔ଴ = 0 ݉ ݔ = 28 ݉ ݒ଴ = 12 ݉/ݏ ܽ = ? ݐ = 4ݏ 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ܽ = ଶ[∆௫ି(௩బ௧)]௧మ 
ܽ = ଶ[∆௫ି(௩బ௧)]
௧మ
= ଶ[ଶ଼ ௠ି(ଵଶ,଴ ௠/௦)(ସ ௦)](ସ ௦)మ = ିସ଴ ௠ଵ଺ ௦మ = −2,5 ݉/ݏଶ 
b) Para esse valor de aB quantas vezes os carros ficam lado a lado? 
ݔ஺ = 28 ݉ = 20 + 2ݐ 
൫ݔ஻−ݔ଴஻൯ = (28 ݉− 0) = 12ݐ + ଵଶ ܽ஻ݐଶ = 12ݐ − 1,25ݐଶ 
ݔ஺ = ݔ஻ 20 + 2ݐ = 12ݐ − 1,25ݐଶ 1,25ݐଶ − 10ݐ + 20 = 0 
√100− 100 = 0, logo esta equação do 2º grau possui apenas uma raiz: 4, portanto os 
carros ficam lado a lado, apenas uma vez, em t = 4s. 
c) Plote a posição x do carro B em função do tempo t na Fig. 2,26. 
 
A posição x do carro A é uma reta, tangente à parábola que representa a posição x do 
carro B em t = 4s. 
d) Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o módulo da aceleração fosse maior do 
que a resposta da letra a)? 
a) = −2,5 ݉/ݏଶ 
ݔ஺ = 28 ݉ = 20 + 2ݐ 
Se o valor de a) fosse = −3,0 ݉/ݏଶ 
൫ݔ஻−ݔ଴஻൯ = 12ݐ + ଵଶ ܽ஻ݐଶ = 12ݐ − 1,5ݐଶ 20 + 2ݐ = 12ݐ − 1,5ݐଶ → 1,5ݐଶ − 10ݐ + 20 = 0 → ∄ ݏ݋݈ݑçã݋ ݁݉ ℝ 
e) Quantas vezes os carros ficariam lado a lado se o módulo da aceleração fosse menor do 
que a resposta da letra a)? 
a) = −2,5 ݉/ݏଶ 
ݔ஺ = 28 ݉ = 20 + 2ݐ 
Se o valor de a) fosse = −2,0 ݉/ݏଶ 
൫ݔ஻−ݔ଴஻൯ = 12ݐ + ଵଶ ܽ஻ݐଶ = 12ݐ − 1ݐଶ 20 + 2ݐ = 12ݐ − 1ݐଶ → ݐଶ − 10ݐ + 20 = 0 
√100− 80 > 0, logo os carros ficariam lado a lado duas vezes. 
**38. Você está se aproximando de um sinal de trânsito quando ele fica amarelo. Você está 
dirigindo na maior velocidade permitida no local, ݒ଴ = 55 ݇݉/ℎ; o módulo da maior taxa de 
desaceleração que o seu carro é capaz é ܽ = 5,18 ݉/ݏଶ, e o seu tempo de reação para começar a 
frear é de ܶ = 0,75 ݏ. Para evitar que a frente do seu carro invada o cruzamento depois de o sinal 
mudar para vermelho, você deve frear até parar ou prosseguir a 55 km/h se a distância até o 
cruzamento e a duração da luz amarela são, respectivamente: 
a) 40 m e 2,8 s? 
ݒ଴ = 15,28 ݉/ݏ ܽ = − 5,18 ݉/ݏଶ ݒ = 0 ݐ = 2,8 ݏ 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (ݒ଴ + ݒ)ݐ 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (15,28 ݉/ݏ + 0)2,8ݏ = 42,78 ݉ 
Dá para passar, mas é uma situação de risco, pois o sinal mudará quando estiver no meio 
do cruzamento. 
݀௥ = ݒ଴ × ݐ௥ = (15,28 ݉/ݏ)(0,75ݏ) = 11,46݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ = ଴ି(ଵହ,ଶ଼)మ௠/௦ଶ(ିହ,ଵ଼ ௠/௦మ) = ିଶଷଷ,ସ଼ ௠/௦ିଵ଴,ଷ଺ ௠/௦మ = 22,54 m 22,34 ݉ + 11,46 ݉ = 33,8 ݉ 
É uma distância segura para parar o carro antes do cruzamento. 
b) 32 m e 1,8 s? 
ݒ଴ = 15,28 ݉/ݏ ܽ = − 5,18 ݉/ݏଶ ݒ = 0 ݐ = 1,8 ݏ 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (ݒ଴ + ݒ)ݐ 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (15,28 ݉/ݏ + 0)1,8ݏ = 27,50 ݉ 
Não dá para prosseguir direto. 
݀௥ = ݒ଴ × ݐ௥ = (15,28 ݉/ݏ)(0,75ݏ) = 11,46݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ = ଴ି(ଵହ,ଶ଼ ௠/௦)మଶ(ିହ,ଵ଼ ௠/௦మ) = ିଶଷଷ,ସ଼ ௠మ/௦మିଵ଴,ଷ଺ ௠/௦మ = 22,54 m 22,34 ݉ + 11,46 ݉ = 33,8 ݉ 
Não dá para parar antes do cruzamento. 
Nenhuma das duas estratégias funciona. 
**39. Dois trens se movem no mesmo trilho quando os condutores subitamente notam que eles 
estão indo um de encontro ao outro. A Fig. 2-27 mostra as velocidade v dos trens em função do 
tempo t enquanto estão sendo freados, a escala vertical do gráfico é definida por vs = 40,0 m. O 
processo de desaceleração começa quando a distância entre os trens é de 200 m. Qual é a distância 
entre os trens depois que eles param? 
 
1º trem  ݒ଴ = 40 ݉/ݏ ݒ = 0 ݐ = 5ݏ 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ܽ = ௩ି ௩బ௧ = ଴ିସ଴ ௠/௦ହ ௦ = −8,0 ݉/ݏଶ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ = ଴ି(ସ଴௠/௦)మଶ(ି଼,଴ ௠/௦మ) = ିଵ଺଴଴ ௠మ/௦మିଵ଺ ௠/௦మ = 100,0 ݉ 
1º trem  ݒ଴ = 30 ݉/ݏ ݒ = 0 ݐ = 4ݏ 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ܽ = ௩ି ௩బ௧ = ଴ିଷ଴ ௠/௦ସ ௦ = −7,5 ݉/ݏଶ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → (ݔ − ݔ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ = ଴ି(ଷ଴௠/௦)మଶ(ି଻,ହ ௠/௦మ) = ିଽ଴଴ ௠మ/௦మିଵହ ௠/௦మ = 60,0 ݉ 200 ݉− (100 ݉ + 60 ݉) = 40 ݉ 
A distância entre os trens, depois que eles param é de 40 m. 
**40. Na figura, um carro vermelho e um carro verde, iguais exceto pela cor, movem-se um em 
direção ao outro em pistas vizinhas e paralelas a um eixo x. Em t = 0, o carro vermelho está em 
ݔ௩௘௥௠௘௟௛௢ = 0 e o carro verde está em ݔ௩௘௥ௗ௘ = 220. Se o carro vermelho tem uma velocidade 
constante de 20 km/h, os carros se cruzam em x = 44,5 m, se tem uma velocidade constante de 40 
km/h, eles se cruzam em x = 76,6 m. 
 
a) Qual é a velocidade inicial do carro verde? 
Em ݐ = 0; ݀ = 220 ݉ 
ݒଵ = 20 ݇݉/ℎ = 5,56 ݉/ݏ ݔଵ = 44,5 ݉ ݐଵ = ௫భ௩భ = ସସ,ହହ,ହ଺ = 8,00 ݏ ܽ = 0 
ݒଶ = 40 ݇݉/ℎ = 11,11 ݉/ݏ ݔଶ = 76,6 ݉ ݐଶ = ௫మ௩మ = ଻଺,଺ଵଵ,ଵଵ = 6,89 ݏ ܽ = 0 
݀ − ݔଵ = ݒ଴ݐଵ + ଵଶܽݐଵଶ → ݒ଴ = ଶ(ௗି ௫భ)ିభమ(௔)௧భమ௧భ = (ଶଶ଴௠ିସସ,ହ௠)ିభమ௔(଼,଴଴ ௦)మ଼,଴଴௦ = 21,94 ݉/ݏ − (4,00 ݏ)ܽ 
݀ − ݔଵ = ݒ଴ݐଵ + ଵଶܽݐଵଶ → ݒ଴ = ଶ(ௗି ௫మ)ିభమ(௔)௧మమ௧మ = (ଶଶ଴௠ି଻଺,଺௠)ିభమ௔(଺,଼ଽ ௦)మ଺,଼ଽ௦ = 20,81 ݉/ݏ − (3,45 ݏ)ܽ 21,94 ݉/ݏ − (4,00ݏ)ܽ = 20,81 ݉/ݏ − (3,45 ݏ)ܽ → 1,13 ݉/ݏ − (0,55 ݏ)ܽ = 
ܽ = ିଵ,ଵଷ ௠/௦
ି଴,ହହ ௦ = 2,0 ݉/ݏଶ 
݀ − ݔଵ = ݒ଴ݐଵ + ଵଶܽݐଵଶ → ݒ଴ = (ௗି ௫భ)ିభమ(௔)௧భమ௧భ = (ଶଶ଴௠ିସସ,ହ௠)ିభమ(ଶ,଴௠/௦మ)(଼,଴଴ ௦)మ଼,଴଴௦ = 13,9 ݉/ݏ 
A v0 do carro verde é - 13,9 m/s 
A velocidade negativa em virtude do deslocamento ser no sentido negativo de x. 
b) Qual é a aceleração do carro verde? 
Conforme cálculos da letra a), averde = -2,0m/s (o valor negativo em virtude do 
deslocamento ser no sentido negativo de x) 
**41. A figura da questão anterior mostra um carro vermelho e um carro verde se moverem um em 
direção ao outro. A figura a seguir é um gráfico do movimento dos dois carros que mostra suas 
posições x0verde = 270 m; e x0vermelho = -35,0 m, no instante t = 0. O carro verde tem uma velocidade 
constante de 20,0 m/s e o carro vermelho parte do repouso. Qual é o módulo da aceleração do carro 
vermelho? 
 
A posição dos carros em função do tempo é: 
ݔ௩௘௥௠(ݐ) = ݔ଴ ௩௘௥௠ = ଵଶ ܽ௥ݐଶ = (−35,0 ݉) + ଵଶ ܽ௩௘௥௠ݐଶ 
ݔ௩௘௥ௗ(ݐ) = ݔ଴ ௩௘௥ௗ = ݔ଴ ௩௘௥ௗ + ݒ௩௘௥ௗݐ = (270݉) − (20݉/ݏ)ݐ 
Onde nós substituímos a velocidade do carro verde em lugar da aceleração. 
Os dois carros passam um pelo outro em t = 12,0 s. Isto implica que: (270 ݉) − (20 ݉/ݏ)(12,0 ݏ) = (−35,0 ݉) + ଵ
ଶ
ܽ௩௘௥௠(12,0 ݏ)ଶ 30,0 ݉ = (−35,0 ݉) + ଵ
ଶ
ܽ௩௘௥௠(12,0 ݏ)ଶ → ܽ௩௘௥௠ = ଶ(ଷହ,଴ ௠ାଷ଴,଴ ௠)ଵସସ ௦మ = 0,90 ݉/ݏଶ 
***42. Quando um trem de passageiros de alta velocidade que se move a 161 km/h faz uma curva, 
o maquinista leva um susto ao ver que uma locomotiva entrou indevidamente nos trilhos através de 
um desvio e se encontra a uma distância D = 676 m à frente. A locomotiva está se movendo a 29,0 
km/h. O maquinista do trem de alta velocidade imediatamente aciona os freios. 
 
a) Qual é o valor mínimo do módulo da desaceleração (supostamente constante) para que a 
colisão não ocorra? 
ܦ = 676 ݉ ݒ௧௥௘௠ = 44,72 ݉/ݏ ݒ௟௢௖௢௠ = 8,06 ݉/ݏ ݒ௧௥௘௠ = 0 
Chamaremos a velocidade inicial do trem de ݒ௧ e a velocidade da locomotiva de ݒ௟, que 
também é a velocidade final do comboio formado pelo trem e pela locomotiva caso elas não 
colidam. ∆ݔ será a distância original entre eles (D), mais a distância percorrida pela locomotiva. 
Então: 
௩೟ା௩೗
ଶ
= ∆௫
௧
= ஽ା௩೗௧
௧
= ஽
௧
+ ݒ௟ 
Substituindo t de ஽
௧
 por ݒ = ݒ௢ + ܽݐ isolando ݐ = ௩ି ௩బ௔ e substituindo 
na equação anterior, teremos 
௩೟ା௩೗
ଶ
= ஽(ೡ೗ష ೡ೟)
ೌ
+ ݒ௟ o que leva a ܽ = ቀ௩೟ା௩೗ଶ − ݒ௟ቁ ቀ௩೗ି௩೟஽ ቁ = ଵଶ஽ (ݒ௟ − ݒ௧)ଶ 
Então 
ܽ = − ଵ
ଶ(଺଻଺ ௠) (8,06 ݉/ݏ − 44,72 ݉/ݏ)ଶ = − 0,994 ݉/ݏଶ 
b) Suponha que o maquinista está em x = 0 quando, em t = 0, avista a locomotiva. Desenhe 
as curvas de x(t) para a locomotiva e para o trem de alta velocidade para os casos em que a colisão é 
evitada por pouco e a colisão ocorre por pouco. |ܽ| = 0,994 ݉/ݏଶ 
 
A diferença entre o 1º e o 2º caso é que a curva, no primeiro caso tangencia a reta, 
enquanto no outro a curva corta a reta. 
***43. Você está discutindo no telefone celular enquanto segue um carro de polícia não 
identificado, a 25 m de distância; os dois carros estão a 110 km/h. A discussão distrai sua atenção 
do carro de polícia por 2,0 s (tempo suficiente para você olhar para o celular e exclamar: “eu me 
recuso a fazer isso!”). No início desses 2,0 s o policial começa a frear subitamente a 5,0 m/s². 
a) Qual é a distância entre os dois carros quando você volta a prestar atenção no trânsito. 
Supondo que você leva outros 0,40 s para perceber o perigo e começar a frear. 110 ݇݉/ℎ ቀ ଵ ௛
ଷ଺଴଴ ௦ቁ ቀଵ଴଴଴ ௠ଵ ௞௠ ቁ = 30,56 ݉/ݏ 
O carro de polícia freia durante 2,0 s. 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ 
∆ݔ = (30,56 ݉/ݏ)(2,0 ݏ) + ଵ
ଶ
(−5,0 ݉/ݏଶ(2,0 ݏ)ଶ = 51,12 ݉ 
Começo a frear depois de 2,0 s: 
(30,56 m/s)(2,00 s) = 61,12 m 
51,12 + 25,0 – 61,12 = 15,0 m 
b) Supondo que você leva outros 0,40 s para perceber o perigo e começar a frear, se você 
também freia a 5,0 m/s², qual é sua velocidade quando bate no carro de polícia? 
2,0 s + ,040 s = 2,40 s 
(30,56 m/s)(2,40 s) = 73,34 m 
O carro de polícia freia durante 2,4 s. 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ 
∆ݔ = (30,56 ݉/ݏ)(2,4 ݏ) + ଵ
ଶ
(−5,0 ݉/ݏଶ(2,4 ݏ)ଶ = 58,94 ݉ 
Então, quando começo a frear estou a: 
58,94 m + 25,00 m – 73,34 m = 10,6 m 
 
Em t = 2,4 s, a velocidade do carro de polícia é: 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ݒ = 30,56 ݉/ݏ + (−5,0 ݉/ݏଶ)(2,4 ݏ) = 18,56 ݉/ݏ 
Então: 
ݔ௣௢௟௜௖௜௔ − 10,6 ݉ = 18,56 ݉/ݏ (ݐ − ݐ଴) + ଵଶ (−5,0 ݉/ݏଶ)(ݐ − ݐ଴)ଶ 
ݔ௘௨ = 30,56 ݉/ݏ (ݐ − ݐ଴) + ଵଶ (−5,0 ݉/ݏଶ)(ݐ − ݐ଴)ଶ 
Subtraindo as equações = 10,6 = (30,56− 18,56)(ݐ − ݐ଴) → ݐ − ݐ଴ = 0,883 ݏ 
ݒ = 30,56 ݉/ݏ + ܽ(ݐ − ݐ଴) 
ݒ = 30,56 ݉/ݏ + (−5,0 ݉/ݏଶ)(0883 ݏ) = 26,13 ݉/ݏ 
*44. Gotas de chuva caem 1700 m de uma nuvem até o chão. 
a) Se elas não estivessem sujeitas à resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o 
solo? 
ݒ଴ = 0 ݒ = ? ܽ = −9,8 ݉/ݏଶ ∆ݕ = −1700 ݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ∆ݕ 
ݒଶ = 0 + 2(−9,8 ݉/ݏଶ)(−1700 ݉) → ݒ = ±√33320 = ±182,54 ݉/ݏ 
Utilizaremos o valor negativo, pois o deslocamento é no sentido negativo do eixo do y. 
R = - 182,54 m/s 
b) Seria seguro caminhar na chuva? 
Não, mas na situação real a resistência do ar reduz muito a velocidade e aliado à pequena 
massa da gota de chuva, não se torna perigos andarmos na chuva. 
(b) No, but it is hard to make a convincing case without more analysis. We estimate the 
mass of a raindrop to be about a gram or less, so that its mass and speed (from part (a)) 
would be less than that of a typical bullet, which is good news. But the fact that one is 
dealing with many raindrops leads us to suspect that this scenario poses an unhealthy 
situation. If we factor in air resistance, the final speed is smaller, of course, and we return 
to the relatively healthy situation with which we are familiar 
*45. Em um prédio em construção, uma chave de grifo chega ao solo som uma velocidade de 24 
m/s. 
a) De que altura o operário a deixou cair? 
ݒ = −24 ݉/ݏ ݒ଴ = 0 ݕ଴ = ? ݕ = 0 ݃ = 9,8 ݉/ݏଶ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ − 2݃(ݕ − ݕ଴) 
ݒଶ = ݒ଴ଶ − 2݃(ݕ − ݕ଴) → (ݕ − ݕ଴) = ௩మି௩బమଶ௔ 
∆ = ௩బమ ି ௩మ
ଶ௚
= − ଴ ି ଶସ ௠/௦
ଶ(ଽ,଼ ௠/௦మ) = − (ିଶସ ௠/௦)మଵଽ,଺ ௠/௦మ = − ହ଻଺ ௠మ/௦మଵଽ,଺ ௠/௦మ = −29,39 ݉ 
O operário deixou cair a chave de 29,39 m de altura. 
 
b) Quanto tempo durou a queda? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩ି ௩బ௔ → ݐ = ଶସ ௠/௦ି଴ଽ,଼ ௠/௦మ = 2,45 ݏ 
c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a chave de grifo. 
 
*46. Um desordeiro joga uma pedra verticalmente para baixo com uma velocidade inicial de 12,0 
m/s, a partir do telhado de um edifício, 30,0 m acima do solo. 
a) Quanto tempo leva a pedra para atingir o solo? 
ݒ଴ = −12,0 ݉/ݏ ݒ = ? ܽ = ݃ = 9,8 ݉/ݏଶ ∆ݕ = − 30,0 ݉ 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ − ଵଶ݃ݐଶ → ∆ݕ = ݒ଴ݐ − ଵଶ݃ݐଶ → ݐ = ௩బ௧±ට௩బమିଶ௚∆௬௚ 
mas, t > 0, logo 
ݐ = ିଵଶ ௠/௦ାඥ(ିଵଶ ௠/௦)మିଶ(ଽ,଼ ௠/௦మ)(ିଷ଴,଴ ௠)
ଽ,଼ ௠/௦మ = 1,54 s 
b) Qual é a velocidade da pedra no momento do choque? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ 
ݒ = (−12݉/ݏ) + (−9,8 ݉/ݏଶ)(1,54 ݏ) = −27,1 ݉/ݏ 
O sinal negativo indica que o deslocamento é no sentido negativo do eixo y. 
*47. a) Com que velocidade deve ser lançada uma bola verticalmente a partir do solo para que 
atinja uma altura máxima de 50 m? 
ݒ଴ =? ݒ = 0 ܽ = −݃ = 9,8 ݉/ݏଶ ∆ݕ = 50,0 ݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ − 2݃∆ݕ ݒଶ = 0 ݒ଴ = ඥ2݃∆ݕ = ඥ980 ݉ଶ/ݏଶ = 31,3 ݉/ݏ 
b) Por quanto tempo permanece a bola no ar? 
ݒ = ݒ଴ − ܽݐ → ݐ = ௩బି ௩௔ = ଷଵ,ଷ ௠/௦ ି଴ଽ,଼ ௠/௦మ = 3,19 ݏ 
a bola leva 3,19 s de y = 0 até y = 50 m e tempo igual para retornar ao solo, então 
2(3,19 s) = 6,38 s 
c) Esboce os gráficos de y, v e a em função de t para a bola. Nos dois primeiros gráficos 
indique o instante no qual ela atinge a altura de 50 m. 
 
 
*48. Um tatu assustado pula verticalmente para cima, subindo 0,544 m nos primeiros 0,200 s. 
a) Qual é a velocidadedo animal a o solo? 
ݒ଴ =? ݒ = 0 ܽ = ݃ = 9,8 ݉/ݏଶ ∆ݕ = 0,544 ݉ ݐ = 0,200 ݏ 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ − ଵଶ݃ݐଶ → ݒ଴ = ∆௬ାభమ௚௧మ௧ 
ݒ଴ = ଴,ହସସାభమ(ଽ,଼ ௠/௦మ)(଴,ଶ଴଴ ௦)మ଴,ଶ଴଴ ௦ = 3,70 ݉/ݏ 
b) Qual é a velocidade na altura de 0,544 m? 
ݒ = ݒ଴ − ݃ݐ 
ݒ = 3,70 ݉/ݏ − (9,8 ݉/ݏଶ)(0,200 ݏ) = 1,74 ݉/ݏ 
c) Qual é a altura do salto? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃(ݕ − ݕ଴) → ∆ݕ = ௩బమଶ௚ 
∆ݕ = (ଷ,଻଴ ௠/௦)మ
ଶ(ଽ,଼ ௠/௦మ = ଵଷ,଺ଽ ௠మ/௦మଵଽ,଺ ௠/௦మ = 0,698 ݉ 
*49. Um balão de ar quente está subindo a uma taxa de 12 m/s e está a 80 m acima do solo 
quando um tripulante deixa cair um pacote. 
a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? 
Quando o pacote é solto, continua a subir por algum tempo com ݒ଴ = à velocidade do 
balão quando o pacote foi solto. 
ݒ = ݒ଴ − ݃ݐ → ݐ = ௩బ௚ → ݐ = ଵଶ ௠/௦ଽ,଼ ௠/௦మ = 1,22 ݏ 
A altura total que o pacote atinge é: 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 
ݕ − 80 ݉ = ቀ12 ௠
௦
ቁ (1,22ݏ) + ଵ
ଶ
(−9,8 ݉/ݏଶ)(1,22ݏ)ଶ 
ݕ = ቂ(12 ݉/ݏ)(1,22ݏ) − (ଽ,଼ ௠/௦మ)(ଵ,ଶଶ௦)మ
ଶ
ቃ + 80 ݉ = 87,35 ݉ 
Agora podemos calcular o tempo em queda livre que o pacote leva para chegar ao chão. 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 0 − 87,35 ݉ = ଵ
ଶ
(9,8 ݉/ݏଶ)ݐଶ → ݐଶ = ଶ(଼଻,ଷହ ௠)
ଽ,଼ ௠/௦మ = 4,22 ݏ 
Não podemos esquecer o 1,22 s que o pacote subiu inicialmente. Então, 4,22 ݏ + 1,22 ݏ = 5,44 ݏ 
Este é o tempo que o pacote leva para chegar ao solo desde o momento em que foi solto. 
b) Com que velocidade o pacote chega ao solo? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃(ݕ − ݕ଴) 
ݒଶ = 0 + 2(9,8 ݉/ݏଶ)(−87,35 ݉) → ݒ = − ඥ1712݉ଶ/ݏଶ = − 41,38 ݉/ݏ 
O valor negativo para a velocidade indica que o deslocamento é no sentido negativo do 
eixo y. 
 
**50. Um parafuso se desprende de uma ponte em construção e cai 90 m até chegar ao solo. 
a) Em quanto tempo o parafuso percorre os últimos 20% da queda? 
A v do parafuso quando atinge 80% da queda é a v0 do parafuso ao iniciar os últimos 
20%. 20% = (90 ݉)(0,2) = − 18 ݉ 80% = (90 ݉)(0,8) = − 72 ݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ 
ݒଶ = 0 + 2(9,8 ݉/ݏଶ)(−72 ݉) → ݒ = − ඥ1411,2 ݉ଶ/ݏଶ = − 37,57 ݉/ݏ 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 
−18 ݉ = (−37,57 ݉/ݏ)ݐ + ଵ
ଶ
(9,8 ݉/ݏଶ)ݐଶ = = (4,9 ݉/ݏଶ)ݐଶ + (37,57 ݉/ݏ)ݐ − 18 ݉ = 0 
Aplicando Báskara para encontrar as raízes: 
ݐ = ିଷ଻,ହ଻௠/௦±ඥଵସଵଵ,ହ ୫మ/ୱమାଷହଶ,଼ ୫మ/ୱమ
ଽ,଼ ୫/ୱమ = 0,45 ݏ 
b) Qual é a velocidade quando começa os últimos 20% da queda? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ 
ݒଶ = 0 + 2(9,8 ݉/ݏଶ)(−72 ݉) → ݒ = − ඥ1411,2 ݉ଶ/ݏଶ = − 37,57 ݉/ݏ 
O valor negativo para a velocidade indica que o deslocamento é no sentido negativo do 
eixo y. 
c) Qual é a velocidade quando atinge o solo? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ 
ݒଶ = 0 + 2(9,8 ݉/ݏଶ)(−90 ݉) → ݒ = − ඥ1764 ݉ଶ/ݏଶ = − 42 ݉/ݏ 
O valor negativo para a velocidade indica que o deslocamento é no sentido negativo do 
eixo y. 
**51. Uma chave cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima da água A chave atinge um 
barco de brinquedo que está se movendo com velocidade constante e se encontrava a 12 m do ponto 
de impacto quando a chave foi solta. Qual é a velocidade do barco? 
A chave: 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ ݐଶ = ଶ∆௬௚ ݐ = ටଶ(ସହ ௠)ଽ,଼ ௠/௦మ ݐ = 3,03 ݏ 
O barco: 
ݔ − ݔ଴ = ݒݐ − ଵଶ ܽݐଶ 
Mas a = 0, então 
ݒ = ௫ି ௫బ
௧
= ଵଶ ௠
ଷ,଴ଷ ௦ = 3,96 ݉/ݏ 
**52. No instante t = 0, uma pessoa deixa cair a maçã 1 de uma ponte; pouco tempo depois, a 
pessoa joga a maçã 2 verticalmente para baixo no mesmo local. A figura mostra a posição vertical y 
das duas maçãs em função do tempo durante a queda até a estrada que passa por debaixo da ponte. 
Qual a velocidade aproximada com a qual a maçã 2 foi jogada para baixo. 
 
Maçã 1 ݐ = 2,0 ݏ − 0 ݏ = 2,0 ݏ 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ 
∆ݕ = ଵ
ଶ
ܽݐଶ = ଵ
ଶ
(9,8 ݉/ݏଶ)(2,0 ݏ)ଶ = 19,6 ݉ 
Maçã 2 ݐ = 2,25 ݏ − 1,0 ݏ = 1,25 ݏ 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ 
ݒ଴ = ିభమ௔௧మା ∆௬௧ = (ିସ,ଽ ௠/௦మ)(ଵ,ଶହ ௦)మା ଵଽ,଺ ௠ଵ,ଶହ ௦ ≈ 9,6 ݉/ݏ 
**53. Quando um balão científico desgarrado está subindo a 19,6 m/s, um dos instrumentos se 
desprende e cai em queda livre. A figura mostra a velocidade vertical do instrumento em função do 
tempo desde alguns instantes antes de se desprender até o momento em que atinge o solo. 
 
a) Qual é a altura máxima que o instrumento atinge em relação ao ponto em que se 
desprendeu? 
O instrumento ainda tem velocidade vertical positiva durante 2,0 s e sua v0 é igual à do 
balão. A altura que o instrumento atinge além do ponto em que se desprendeu é: 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 
ݕ − 0 ݉ = (19,6 ݉/ݏ)(2,0 ݏ) + ଵ
ଶ
(−9,8 ݉/ݏଶ)(2,0 ݏ)ଶ 
ݕ = (19,6 ݉/ݏ)(2,0ݏ) − (ଽ,଼ ௠/௦మ)(ଶ,଴ ௦)మ
ଶ
= 19,6 ݉ 
b) A que altura acima do solo o instrumento se desprendeu? 
O tempo total desde que o instrumento se desprendeu até atingir o solo é 6,0 s, conforme 
a figura. 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 
∆ݕ = (19,6 ݉/ݏ)(6,0 ݏ) + (−9,8 ݉/ݏଶ)(6,0 ݏ)ଶ = − 59 ݉ |∆ݕ| = 59 ݉ 
 
**54. A figura mostra a velocidade v em função da altura y para uma bola lançada verticalmente 
para cima ao longo de um eixo y. A distância d = 0,40 m. A velocidade na altura yA é vA. A 
velocidade na altura yB é vA/3. Determine a velocidade vA. 
 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ → ݒ஻ = ଵଷ ݒ஺ 
ݒ஻
ଶ = ݒ஺ଶ + 2(−9,8 ݉/ݏଶ)(0,40 ݉) (ଵ
ଷ
ݒ஺)ଶ − ݒ஺ଶ = 2(−9,8 ݉/ݏଶ)(0,40 ݉) → − ଼ଽ ݒ஺ଶ = 2(9,8 ݉/ݏଶ)(0,40 ݉) 
ݒ஺
ଶ = ିଽൣଶ(ିଽ,଼ ௠/௦మ)(଴,ସ଴ ௠)൧
଼
= → ݒ஺ = √8,82 = 2,97 ݉/ݏ ≈ 3,0݉/ݏ 
**55. Uma bola de argila úmida cai 15,0 m até o chão e permanece em contato com o solo por 
20,0 ms antes de parar completamente. 
a) Qual é o módulo da aceleração média da bola durante o tempo de contato com o solo? 
(trate a bola como uma partícula. 
Primeiramente calculamos a velocidade com que a bola chega ao chão. 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ → ݒଶ = 0 + 2(−9,8 ݉/ݏଶ)(15,0 ݉) → ݒ = −ඥ284݉ଶ/ݏଶ = −17,1 ݉/ݏ 
Sabendo v, v0 e t, calculamos a aceleração. 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ܽ = ௩ି ௩బ௧ → ܽ = ଴ି(ିଵ଻,଴ ௠/௦)଴,଴ଶ ௦ = 850 ݉/ݏଶ |ܽ| = 850 ݉/ݏଶ 
b) A aceleração média é para cima ou para baixo? 
Para cima, pois o seu sinal é positivo. 
**56. Deixa-se cair uma pedra em um rio, a partir de uma ponte situada 43,9 m acima da água. 
Outra pedra é atirada verticalmente para baixo 1,0 s após a 1ª ter sido deixada cair. As pedras 
atingem a água ao mesmo tempo. 
a) Qual foi a velocidade inicial da 2ª pedra? 
O tempo que a segunda pedra leva para chegar à água é o tempo da primeira menos 1,0 s. 
ݐଵª ௣௘ௗ௥௔ → ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ݃ݐଶ 
ݐ = ටଶ(௬ି௬బ)ି௩బ௧
௚
= ටଶ(ସଷ,ଽ ௠)
ଽ,଼ ௠/௦మ = 2,99 ݏ 
ݐଵª ௣௘ௗ௥௔ = 2,99 ݏ 
ݐଶª ௣௘ௗ௥௔ = 2,99 ݏ − 1,0 ݏ = 1,99 ݏ 
ݒ଴ 2ª ݌݁݀ݎܽ → ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 
ݒ଴ = ଶ(௬ି௬బ)ି௚௧మଶ௧ = ଶ(ସଷ,ଽ ௠)ି(ଽ,଼ ௠/௦మ)(ଵ,ଽଽ ௦)మଶ(ଵ,ଽଽ ௦) = 12,3 ݉/ݏ 
b) Plote a velocidade em função do tempo para as duas pedras, supondo que t = 0 é o 
instante que se deixou cair a primeira pedra? 
 
**57. Para testar a qualidade de uma bola de tênis, você a deixa cair ao chão de uma altura de 4,00 
m. Depois de quicar, ela atinge uma altura de 2,00 m. Se a bola permanece em contato com o piso 
por 12,0 ms. 
a) Qual é o módulo da aceleração média durante este contato? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ → ݒଶ = 0 + 2(−9,8 ݉/ݏଶ)(4,00 ݉) 
ݒଵ = −ඥ78,4݉ଶ/ݏଶ = −8,85 ݉/ݏ 
A aceleração média da bola em contato com o chão é ܽ௠௘ௗ = (௩మ ି ௩భ)∆௧ , onde v1 é a 
velocidade com que ela chega ao chão e v2 a velocidade com que ela sobe depois do quique cima 
até atingir 2,00 m. 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2݃∆ݕ → ݒଶ = 0 + 2(−9,8 ݉/ݏଶ)(−2,00 ݉ + 4,00 ݉) 
ݒଶ = ඥ78,4݉ଶ/ݏଶ = 6,26 ݉/ݏ 
ܽ௠௘ௗ = (௩మ ି ௩భ)∆௧ = ଺,ଶ଺ ௠/௦ ି(ି଼,଼ହ ௠/௦)଴,଴ଵଶ ௦ = 1259,2 ݉/ݏଶ 
b) A aceleração média é para cima ou para baixo? 
Para cima, pois o seu sinal é positivo. 
**58. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, no instante t = 0. Em t = 1,5 s 
ela ultrapassa o alto de uma torre; 1,0 sdepois, atinge a altura máxima. Qual é a altura da torre? 
O tempo total do deslocamento ascendente da pedra é 2,5 s. Com os dados que temos 
podemos calcular a velocidade inicial. 
ݒ = ݒ଴ + ݃ݐ 
ݒ଴ = −݃ݐ → ݒ଴ = −(−9,8 ݉/ݏଶ)(2,5 ݏ) = 24,5 ݉/ݏ 
Agora, sabendo a velocidade inicial, calculamos a altura da torre. 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ 
∆ݕ = (24,5 ݉/ݏ)(1,5 ݏ)଴ + ଵଶ (−9,8 ݉/ݏଶ)(1,5 ݏ)ଶ = 25,7 ݉ 
**59. A água pinga de um chuveiro em um piso situado 200 cm abaixo. As gotas caem a 
intervalos de tempo regulares (iguais), com a primeira gota atingindo o piso quando a 4ª gota 
começa a cair. Quando a primeira gota atinge o piso, a que distância do chuveiro se encontra: 
a) a segunda gota? 
Colocaremos y no piso e y0 no bocal do chuveiro. 
 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ݃ݐଵଶ → −2,00 ݉ = ଵଶ݃ݐଵଶ → ݐଵ = ටଶ(∆௬)௚ = ටଶ(ିଶ,଴଴ ௠)ିଽ,଼ ௠/௦మ = 0,639 ݏ 
Neste momento a gota 4 começa a cair. 
Pela regularidade da queda das gotas podemos concluir que: 
଴,଺ଷଽ ௦
ଷ
= 0,213 ݏ que é o tempo entre cada gota caindo. 
Então a segunda gota encontra-se a 0,213 s do piso, o que significa que ela está caindo a 
0,426 s, que poderemos chamar de t2: 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ݃ݐଶଶ → ∆ݕ = ଵଶ݃ݐଶଶ = (ିଽ,଼ ௠/௦మ)(଴,ସଶ଺ ௦)మଶ = −0,889 ݉ ≈ 89 ܿ݉ 
Concluímos que a 2ª gota encontra-se a 89 cm de distância do bocal do chuveiro. O sinal 
negativo indica que está no sentido negativo do eixo do y. 
b) a terceira gota? 
Chamando o tempo da terceira gota de t3, e sabendo que o tempo entre as gotas é 0,213 s, 
verificamos que ݐଷ = 0,213 ݏ. 
Logo: 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ݃ݐଷଶ → ∆ݕ = ଵଶ݃ݐଷଶ = (ିଽ,଼ ௠/௦మ)(଴,ଶଵଷ ௦)మଶ = −0,222 ݉ ≈ 22 ܿ݉ 
Concluímos que a 3ª gota encontra-se a 22 cm de distância do bocal do chuveiro. O sinal 
negativo indica que está no sentido negativo do eixo do y. 
**60. Um objeto cai de uma altura h a partir do repouso. Se ele percorre uma distância de 0,50 h 
no último 1,00 s, determine 
a) o tempo da queda. 
ݐ − ݐᇱ = 1,00 ݏ,݋݊݀݁ ݐ é ݋ ݐ݁݉݌݋ ݊݋ ܿℎã݋. 
ݕ − ݕᇱ = 0,50 ℎ,݋݊݀݁ ݕ ݅݊݀݅ܿܽ ݋ ܿℎã݋. 
Considerando que y e h denotam a mesma distância, temos 
ℎ − ݕᇱ = 0,50 ℎ . 
−ݕᇱ = 0,50ℎ − ℎ (−1) → ݕᇱ = −0,50ℎ + ℎ → ݕᇱ = 0,50ℎ 
ݕ − ݕᇱ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐ′ଶ → ݐᇱ = ටଶ௬ᇱ௚ = 
ݕ − ݕᇱ = ݒ଴ݐ + ଵଶ݃ݐଶ → ݐ = ටଶ௬௚ = 
Usando y = h e y’ = 0,50 h, dividindo as duas equações, fazendo t’ – t = 1,00 e 
multiplicar cruzando, temos: 
௧ᇱ
௧
= ටమ೤ᇲ೒
ට
మ೤
೒
= ටమ(బ,ఱబ೓)೒
ට
మ೓
೒
= ඥ0,50 → ௧ିଵ,଴଴
௧
= ඥ0,50 → ݐ − 1,00 = ݐඥ0,50 = ଵ,଴଴
ଵି√଴ ,ହ଴ = 3,41 ݏ 
b) a altura da queda. 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ݃ݐଶ → ݕ = ଵଶ ݃ݐଶ → ݕ = (ିଽ,଼ ௠/௦మ)(ଷ,ସଵ ௦)మଶ = −56,98 ݉ |ݕ| = 56,98 ݉ 
O sinal negativo indica que a direção da queda é no sentido negativo do eixo do y. 
 
c) Explique a solução fisicamente inaceitável da equação do segundo grau em t usada para 
resolver o problema. 
Porque a resposta do problema implicaria em um tempo negativo, o que é fisicamente 
inaceitável. 
**61. Um gato sonolento observa um vaso de flores que passa por uma janela aberta, primeiro e 
depois descendo. O vaso permanece à vista por um tempo total de 0,50 s, e a altura da janela ´r 
2,00m . Que distância acima do topo da janela o vaso atinge? 
ݕ − ݕ଴ = ܮ 
ݕ − ݕ଴ = ݒݐ − ଵଶ ܽݐଶ → ݈ = ݒݐ − ଵଶ݃ݐଶ → ݒ = ௅௧ − ଵଶ݃ݐ 
A distância h que o pote sobe acima da janela tem v = 0 quando atinge o ponto mais alto. 
ݔ − ݔ଴ = ℎ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ℎ = ௩మଶ௚ 
Substituindo ݒଶpor (௅
௧
−
ଵ
ଶ
݃ݐ)ଶ , teremos: 
ℎ = (ಽ೟ିభమ௚௧)మ
ଶ௚
= ቂ(మ,బబ೘బ,మఱ ೞ )ିభమ(ଽ,଼ ௠/௦మ)(଴,ଶହ ௦)ቃమ
ଶ(ଽ,଼ ௠/௦మ) = ସହ,ଽ଴ ௠మ/௦మଵଽ,଺ ௠/௦మ = 2,34 ݉ 
***62. Uma bola é lançada verticalmente para cima a partir da superfície de outro planeta. O 
gráfico de y(t) para a bola é mostrado na figura, onde y é a altura da bola acima do ponto de 
lançamento e t = 0 s no instante em que a bola é lançada. A escala vertical é definida por v = 30,0 
m. Quais são os módulos: 
 
a) da aceleração em queda livre do planeta? 
Observando o gráfico sabemos que ݕ − ݕ଴ = 25,0 ݉ e que o tempo no qual a bola 
atinge o ponto mais alto é 2,5 s. 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ݃௣௟௔௡௘௧௔ = ଶ(௫ି௫బ)ି(௩బ௧)௧మ = = ݃௣௟௔௡௘௧௔ = ଶ(ଶହ,଴ ௠)ି଴(ଶ,ହ ௦)మ = 8,0 ݉/ݏଶ 
b) da velocidade inicial da bola? 
ݕ − ݕ଴ = ଵଶ (ݒ଴ + ݒ)ݐ → ݒ = ଶ(௬ି ௬బ)௧ = ଶ(ଶହ ௠ି଴)ଶ,ହ ௦ = 20 ݉/ݏ 
***63. Uma bola de aço cai do telhado de um edifício e passa por uma janela, levando 0,125 s para 
passar do alto à base da janela, uma distância correspondente a 1,20 m. A bola quica em uma 
calçada e torna a passar pela janela, de baixo para cima, em 0,125 s. Suponha que o movimento para 
cima seja exatamente o inverso da queda. O tempo que a bola gasta abaixo da janela é de 2,00 s. 
Qual é a altura do edifício? 
 
H = altura do edifício 
v1 = borda superior da janela 
y1, t1, tudo na borda superior da janela. 
y2, t2, tudo na borda inferior da janela. 
y2 – y1 = 1,20 m 
t2 – t1 = 0,125 s 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ݕଶ − ݕଵ = ݒଵ(ݐଶ − ݐଵ) + ଵଶ ݃(ݐଶ − ݐଵ)ଶ =. = ݒଵ = (௬మି௬భ)ିభమ(௚)(௧మି௧భ)మ௧మି௧భ = (ଵ,ଶ଴ ௠)ି భమ(ଽ,଼ ௠/௦మ)(଴,ଵଶହ)మ଴,ଵଶହ = ଵ,ଵଶଷ ௠଴,ଵଶହ ௦ = 8,99 ݉/ݏ 
Sabendo a velocidade na borda superior, e v0 = 0, podemos encontrar o valor de y1: 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ݒଵଶ = 2݃ݕଵ → ݕଵ = ௩భమଶ௚ = (଼,ଽଽ ௠/௦)మଶ(ଽ,଼ ௠/௦మ) = 4,12 ݉ 
A bola atinge o terreno em y3 que é igual à altura do edifício, então 
ݕଷ = ℎ 
Como o deslocamento da bola depois de quicar no solo é simétrico à queda, e o tempo 
gasto entre as passagens de descida e subida pela borda inferior da janela é 2,00 s, podemos dizer 
que ݐଷ − ݐଶ = ଶ,଴଴ ௦ଶ = 1,00 ݏ. Isso significa que: 
ݐଷ − ݐଵ = 1,00 ݏ + 0,125 ݏ = 1,125 ݏ . 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ݕଷ − ݕଵ = ݒଵ(ݐଷ − ݐଵ) + ଵଶ ݃(ݐଷ − ݐଵ)ଶ = = ݕଷ − 4,12 ݉ = 8,99 ݉/ݏ(1,125 ݏ) + ଵଶ (9,8 ݉/ݏଶ)(1,125)ଶ = = ݕଷ = ቂ(8,99 ݉/ݏ)(1,125 ݏ) + ଵଶ (9,8 ݉/ݏଶ)(1,125)ଶቃ + 4,12 ݉ = 20,44 ݉ 
ݕଷ = ℎ = 20,44 ݉ 
***64. Ao pegar um rebote, um jogador de basquete pula 76,0 cm verticalmente. Qual o tempo total 
(da subida e descida) que o jogador passa: 
a) nos 15 cm mais altos? 
A velocidade inicial do jogador é: 
ݒ = 0 ݒ଴ =? ݔ − ݔ଴ = 0,76 ݉ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ݒ଴ଶ = 0 + 2(9,8݉/ݏଶ)(0,76 ݉) = = ݒ଴ = ඥ2(9,8݉/ݏଶ)(0,76 ݉) = 3,86 ݉/ݏ 
Quando o jogador atinge y1, isto é 0,76 ݉ – 0,15 ݉ = 0,61 ݉, sua velocidade é v1. 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ݒଵଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ݒଵ = ඥݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) = ݒଵ = ඥ(3,86 ݉)ଶ + 2(9,8 ݉/ݏଶ)(0,61 ݉) = 1,71 ݉/ݏ 
Fazendo v1 de v0 para o ∆ݕ = 0,76 m – 0,61 = 0,15 m. 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (ݒ଴ + ݒ)ݐ → ݐ = ଶ(௫ି ௫బ)(௩బି௩) = ଶ(଴,ଵହ ௠)(ଵ,଻ଵ ௠/௦ ି଴) = ଴,ଷ଴ ௠ଵ,଻ଵ ௠/௦ = 0,175 ݏ 
0,175 s é o tempo que o jogador se desloca de 0,61 m até 0,76 m, então multiplicamos 
por dois porque os 15 cm mais alto compreende a ida e a volta. Então (0,175 s)(2) = 0,35 s 
 
b) nos 15 cm mais baixos do salto? 
ݒ = 0 ݒ଴ = 3,86 ݉/ݏ ݔ − ݔ଴ = 0,15 ݉ ݐ = ? 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ − ଵଶ ܽݐଶ → 0,15 ݉ = (3,85 ݉/ݏ)ݐ − ଵଶ (9,8 ݉/ݏଶ)ݐଶ = (4,9 ݉/ݏଶ)ݐଶ − (3,85 ݉/ݏ)ݐ + 0,15 ݉ = 0 
ݔ = ି௕±√௕మିସ௔௖
ଶ௔
= (ଷ,଼ହ ௠/௦)±ඥ(ିଷ,଼ହ௠/௦)మିସ(ସ,ଽ ௠/௦మ)(଴,ଵହ ௠)
ଶ(ସ,ଽ ௠/௦మ) = ଷ,଼ହ ௠/௦±ଷ,ସହ ௠మ/௦మଽ,଼ ௠/௦మ = 
ݔ = 0,75 ݏ ݁ ݔᇱ = 0,041 ݏ 
Usamos a menor das duas raízes positivas, pois a maior é impossível. 
Como o jogador sobe e desce nestes 0,15 m inferiores, multiplicamos 0,041 s por dois. (0,041 ݏ)2 = 0,082 ݏ = 82 ݉ݏ 
*65. No exemplo 2-9 do texto, qual é a velocidade 
a) da cabeça, quando possui aceleração máxima? 
 
Na figura, vemos que a cabeça começa a acelerar a partir do repouso (v0 = 0) em T0 = 110 
ms e atinge um valor máximo de 90 m/s² em t1 = 160 ms. A área desta região é áݎ݁ܽ = ଵ
ଶ
(160 − 110) × 10ିଷݏ . (90 ݉/ݏଶ) = 2,25 ݉/ݏ 
b) do corpo, quando a cabeça possui aceleração máxima? 
Vou dividir a área sob a curvado tronco em três regiões: 
- De 40 a 100 ms áݎ݁ܽ = ଵ
ଶ
(100 − 40) × 10ିଷݏ . (50 ݉/ݏଶ) = 1,50 ݉/ݏ 
- De 100 a 120 ms áݎ݁ܽ = (120− 100) × 10ିଷݏ . (50 ݉/ݏଶ) = 1,00 ݉/ݏ 
- De 120 a 160 ms áݎ݁ܽ = ଵ
ଶ
(160 − 120) × 10ିଷݏ . (50 ݉/ݏଶ + 20 ݉/ݏଶ) = 1,40 ݉/ݏ 
ݒଵ − ݒ଴ = 1,50 ݉/ݏ + 1,00 ݉/ݏ + 1,40 ݉/ݏ = 3,90 ݉/ݏ 
*66. Uma salamandra captura a presa lançando a língua como um projétil: a parte traseira da 
língua se projeta bruscamente para a frente, desenrolando o resto da língua até que a parte dianteira 
atinge a presa, capturando-a. A figura mostra o módulo a da aceleração em função do tempo t 
durante a fase de aceleração do lançamento em uma situação típica. As acelerações indicadas são: 
a1 = 100 m/s² e a2 = 400 m/s². Qual é a velocidade da língua no final da fase de aceleração? 
 
ݒ = áݎ݁ܽ 
ݒ = ଵ
ଶ
(0,01ݏ)(100݉/ݏଶ) + (0,01ݏ)(100݉/ݏଶ) + ଵ
ଶ
(0,01ݏ + 400݉/ݏଶ) + ଵ
ଶ
(0,01 ݏ)(500݉/ݏଶ) 
ݒ = 6,0 ݉/ݏ 
**67. Que distância percorre em 16 s um corredor cujo gráfico velocidade-tempo é mostrado na 
figura? A escala vertical do gráfico é definida por vs = 8,0 m. 
 
Podemos dividir a área em 4 setores diferentes: 2 retângulos e dois quadrados. 
ܣ = ܣ଴ழ௧ழଶ + ܣଶழ௧ழଵ଴ + ܣଵ଴ழ௧ழଵଶ + ܣଵ଴ழ௧ழଵ଺ 
ܣ = ଶ(଼)
ଶ
+ 8(8) + ଶ(ସ)
ଶ
+ 4(6) = 100 ݉ 
∆ݔ = 100 ݉ 
**68. Em um soco direto, no caratê, o punho começa em repouso na cintura e é movido 
rapidamente para frente até o braço ficar completamente estendido. A velocidade v(t) do punho está 
representada na figura para o caso de um lutador experiente. Qual é a distância percorrida pelo 
punho desde o início do golpe até: 
 
a) o instante t = 50 ms? 
Neste caso, para ficar mais claro, detalhei a parte do gráfico que interessa. 
 
Podemos dividir a área em três setores diferentes. 
ܣ = ܣ଴ழ௧ழଵ଴ + ܣଵ଴ழ௧ழହ଴ + ܣଵ଴ழ௧ழହ଴ 
ܣ = ଶ(଴,଴ଵ ௦)
ଶ
+ 2(0,04 ݏ) + ଶ(଴,଴ସ ௦)
ଶ
= 0,13 ݉ 
∆ݔ = 0,13 ݉ 
b) o instante em que a velocidade do punho é máxima? 
A velocidade do punho é máxima em 120 ms. 
Detalhe do gráfico entre 50 ms e 120 ms. 
 
Detalhamento do gráfico entre 50 ms e 120 ms. 
 
Podemos dividir a área em quatro setores diferentes, dois retângulos e dois triângulos. 
ܣ = 4(0,07 ݏ) + ଵ(଴,଴ସ)
ଶ
+ 1(0,03ݏ) + ଶ,ହ(଴,଴ଷ)
ଶ
= 0,368 ݉ 
∆ݔ = 0,13 ݉ + 0,368 ݉ = 0,498 ݉ ≈ 0,50 ݉ 
**69. Quando uma bola de futebol é chutada na direção de um jogador e o jogador a desvia de 
cabeça, a aceleração da cabeça durante a colisão pode ser relativamente grande. A figura mostra a 
aceleração a(t) da cabeça do jogador de futebol sem e com capacete, a partir do repouso. No 
instante t = 7,0 ms, qual é a diferença entre as velocidades da cabeça sem e com capacete? 
 
Sem capacete 
ܣ = ଶ(଴,ଵଶ ௦)
ଶ
+ ଶ(଴,ଵଶ ௦ା଴,ଵସ ௦)
ଶ
+ ଶ(଴,ଵସ ௦ା଴,ଶ଴ ௦)
ଶ
+ ଵ(଴,ଶ଴)
ଶ
= 0,82 
ݒ = 0,82 ݉/ݏ 
Com capacete 
ܣ = ଷ(଴,଴ସ ௦)
ଶ
+ 1(0,04) + ଶ(଴,଴ସ ௦ା଴,଴଼ ௦)
ଶ
+ ଵ(଴,଴଼)
ଶ
= 0,26 
ݒ = 0,26 ݉/ݏ 
A diferença é 0,82 m/s – 0,26 m/s = 0,56 m/s 
***70. Duas partículas se movem ao longo do eixo x. A posição da partícula 1 é dada por ݔ =6,00ݐଶ + 3,00ݐ + 2,00, onde x está em metros e t em segundos; a aceleração da partícula 2 é dada 
por ܽ = −8,00ݐ, onde a está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos. No instante t = 
0 a velocidade é de 20 m/s. Em que instante as duas partículas têm a mesma velocidade? 
Partícula 1: 
ݒଵ = ௗ௫ௗ௧ (6,00ݐଶ + 3,00ݐ + 2,00) = 12,00ݐ + 3,00 
Partícula 2: 
ܽ = −8,00ݐ 
ݒଶ = ݒଶ଴ + ∫ܽଶ݀ݐ = 20,0 = ∫(−8,00ݐ)݀ݐ = 20,0 − 4,00ݐଶ 
Então: 12,00ݐ + 3,00 = 20,0− 4,00ݐଶ → 4,00ݐଶ + 12,00ݐ − 17,00 
ݔ = ି௕±√௕మିସ௔௖
ଶ௔
= ିଵଶ,଴଴±√ଵସସ,଴଴ାଶ଻ଶ,଴଴
଼,଴଴ = ିଵଶ,଴଴±ଶ଴,ସ଴଼,଴଴ = 
ݔ = 1,05 ݏ ݁ ݔ ᇱ = −4,05 ݏ 
Utilizamos o valor positivo. 
As velocidades se igualam quando t = 1,05s 
71. No instante em que um sinal de trânsito fica verde um automóvel começa a se mover com 
uma aceleração constante de a = 2,2 m/s². No mesmo instante um caminhão, que se move com uma 
velocidade constante de 9,5 m/s, ultrapassa o automóvel. 
a) A que distância do sinal o automóvel ultrapassa o caminhão? 
O carro, ݒ଴ = 0 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ∆ݔ = ଵଶ ܽݐଶ 
O caminhão, ܽ = 0 
∆ݔ = ݒݐ 
ቀଵ
ଶ
ܽݐଶቁ
௖௔௥
= (ݒݐ)௖௔௠ → ܽݐଶ = 2ݒݐ → ௔௧మ௧ = 2ݒ → ܽݐ = 2ݒ 
ݐ = ଶ௩
௔
= ଶ(ଽ,ହ ௠/௦)
ଶ,ଶ ௠/௦మ = 8,6 ݏ 
∆ݔ = ݒݐ → ∆ݔ = (9,5 ݉/ݏ)(8,6 ݏ) = 82 ݉ 
b) Qual é a velocidade do automóvel nesse instante? 
ݒ଴ = 0 ∆ݔ = 82 ݉ ܽ = 2,2 ݉/ݏଶ 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ݒ = √2ܽ∆ݔ = ඥ2(2,2 ݉/ݏଶ)(82,0 ݉) = 18,99 ݉/ݏ 
ou 
ݒ = ܽݐ = (2,2݉/ݏଶ)(8,6 ݏ) = 18,92 ݏ 
A pequena diferença se dá devido às aproximações. 
72. A figura mostra parte de uma rua na qual se pretende controlar o tráfego para permitir que 
um grupo de veículos atravesse vários cruzamentos sem parar. Suponha que os primeiros carros do 
grupo tenham acabado de chegar ao cruzamento 2, onde o sinal abriu quando estavam a uma 
distância d do cruzamento 2. Eles continuam a se mover a uma certa velocidade vp (a velocidade 
máxima permitida) até chegarem ao cruzamento 3. As distâncias entre os cruzamentos são D23 e 
D12. 
 
a) Quanto tempo depois que o sinal do cruzamento 2 foi aberto o sinal do cruzamento 3 deve 
abrir para que abra quando os primeiros carros do grupo estão a uma distância d do cruzamento 3? 
A velocidade constante é igual à razão do deslocamento em função do tempo decorrido. 
Assim, para que o veículo viajando a uma velocidade vp constante ao longo da distância D23, o 
atraso de tempo deve ser ݐ = ஽మయ
௩೛
. 
b) Suponha que o grupo tenha encontrado o sinal fechado no cruzamento 1. Quando o sinal 
do cruzamento 1 abre, os carros da frente precisam de um certo tempo adicional para atingir a 
velocidade de cruzeiro vp com uma certa aceleração a. Quanto tempo depois que foi aberto o sinal 
do cruzamento 1 o sinal do cruzamento 2 deve abri para que o sinal do cruzamento 2 abra quando 
os primeiros carros do grupo estão a uma distância d do cruzamento 2? 
O tempo requerido para o carro acelerar a partir do zero para uma velocidade de cruzeiro 
é ݐ଴ = ௩೛௔ . 
Durante este intervalo de tempo a distância percorrida é: ∆ݔ଴ = ௔௧బమଶ = ௩೛మଶ௔. 
O carro, em seguida, se move com velocidade vp ao longo da distância ܦଵଶ − ∆ݔ଴ − ݀ 
até chegar à intersecção 2 e o tempo decorrido é ݐଵ = (஽భమି∆௫బିௗ)௩೛ 
Assim, o tempo de atraso para abrir o sinal da intersecção 2 é: 
ݐ௧௢௧௔௟ = ݐ௥ + ݐ଴ + ݐଵ 
ݐ௧௢௧௔௟ = ݐ௥ + ௩೛௔ + (஽భమି∆௫బିௗ)௩೛ = ݐ௥ + ௩೛௔ + (஽భమିೡ೛మమೌିௗ)௩೛ = ݐ௥ + ଵଶ ቀ௩೛௔ ቁ + (஽భమିௗ)௩೛ 
73. Em um videogame, um ponto é programado para se deslocar na tela de acordo com a função 
ݔ = 9,00ݐ − 0,750ݐଷ, onde x é a distância em centímetros em relação à extremidade esquerda da 
tela e t é o tempo em segundos. Quando o ponto chega a uma das extremidades da tela, x = 0 ou x = 
15 cm, o valor de t é zerado e o ponto começa novamente a se mover de acordo com a função x(t). 
a) Em que instante após o início do movimento o ponto se encontra momentaneamente em 
repouso? 
A velocidade é a derivada da posição. 
ݒ = ௗ௫
ௗ௧
(9,00ݐ − 0,750ݐଷ) = 9,00 − 2,25ݐଶ 
O ponto se encontra em repouso quando v = 0. 9,00 − 2,25ݐଶ = 0 → ݐ = ට ଽ
ଶ,ଶହ = 2,00 ݏ 
ݒ = 0 ݍݑܽ݊݀݋ ݐ = 2,00 ݏ 
b) Para que valor de x isso acontece. 
Basta substituir t na equação: 
ݔ = 9,00ݐ − 0,750ݐଷ, 
ݔ(2) = 9,00(2,00) − 0,750(2,00)ଷ = 12 ܿ݉ = 0,12 ݉ 
c) Qual é a aceleração do ponto (incluindo o sinal) no instante em que isso acontece? 
A aceleração é a derivada da velocidade. 
ܽ = ௗ௩
ௗ௧
(9,00 − 2,25ݐଶ) = 4,5 ݐ → ܽ = 4,5(2,00 ݏ) = 9,00 ݉/ݏଶ. 
d) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco antes de atingir o 
repouso? 
Quando de t < 2,00 s, v > 0, portanto o ponto estava se movendo para a direita. 
e) O ponto está se movendo para a direita ou para a esquerda pouco depois de atingir o 
repouso?Quando de t > 2,00 s, v < 0, portanto o ponto se movendo para a esquerda. 
f) Em que instante t > 0 o ponto atinge a extremidade da tela pela primeira vez? 
x = 0 ou x = 15 cm 
ݔ = 9,00ݐ − 0,750ݐଷ 9,00ݐ − 0,750ݐଷ = 15 → ݐ(9,00 − 0,750ݐଶ) = 15 
ݐ = ଵହ
ଽ,଴଴ି଴,଻ହ଴௧మ 
74. Deixa-se cair uma bola de chumbo em um lago de um trampolim situado 5,20 m acima da 
superfície d’água. A bola atinge a água com uma certa velocidade e conserva esta velocidade até 
chegar ao fundo do lago, o que ocorre 4,80 s após começar a cair. 
a) Qual é a profundidade do lago? 
ݒ௢ = 0 ∆ݕ = 5,20 ܽ = − 9,80 ݉/ݏଶ 
Queremos saber o módulo da velocidade com que a bola atinge a água. 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ݒ = ඥ2ܽ∆ݕ = ඥ2(−9,8 ݉/ݏଶ)(5,20 ݉) = −10,1 ݉/ݏ |ݒ| = 10,1 ݉/ݏ 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (ݒ଴ + ݒ)ݐ → ݐ = ଶ(௫ି௫బ)(௩బା௩) = ଶ(ହ,ଶ଴ ௠)ଵ଴,ଵ ௠/௦ ି଴ = ଵ଴,ସ଴ ௠ଵ଴,ଵ ௠/௦ = 1,03 ݏ 
4,80 s – 1,03 s = 3,77 s, é o tempo que a bola leva da superfície até o fundo. 
Nesse trecho, sua velocidade é constante, então v = vméd . 
ݒ௠௘ௗ = ∆௬௧ → ∆ݕ = (ݒ௠éௗ)ݐ = (10,1݉/ݏ)(3,77 ݏ) = 38,1 ݉ 
b) Qual é o módulo da vméd da bola durante a queda? 
∆ݕ = −38,1 ݉− 5,20 ݉ = −43,3 ݉ ݐ = 4,80 ݏ 
ݒ௠௘ௗ = ∆௬௧ = ିସଷ,ଷ ௠ସ,଼଴ ௦ = −9,02 ݉/ݏ | ௠ܸéௗ| = 9,02 ݉/ݏ 
c) Qual é o sentido (para cima ou para baixo) da vméd da bola durante a queda? 
Como colocamos nosso sistema de coordenadas com a origem no trampolim, o sentido da 
velocidade negativo, isto é para baixo. 
d) Suponha que toda a água do lago seja drenada. A bola é agora lançada do trampolim com 
uma certa velocidade inicial e novamente chega ao fundo em 4,80 s. Qual é o módulo da velocidade 
inicial da bola? 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶܽݐଶ → ݒ଴ݐ = ∆ݕ − ଵଶ݃ݐଶ → ݒ଴ = ∆௬ିభమ௚௧మ௧ → ݒ଴ = ∆௬௧ − ௚௧ଶ 
ݒ଴ = ସଷ,ଷ ௠ସ,଼଴ ௦ − (ଽ,଼ ௠/௦మ)(ସ,଼଴ ௦)ଶ = −14,5 ݉/ݏ 
e) Qual é o sentido da velocidade inicial da bola? 
Para cima. 
75. O cabo que sustenta o elevador de obra vazio arrebenta quando o elevador está em repouso 
no alto de um edifício de 120 m de altura. 
a) Com que velocidade o elevador chega ao solo? 
 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݕ − ݕ଴) → ݒ = ඥ2ܽ∆ݕ = ඥ2(9,8 ݉/ݏଶ)(120 ݉) = 48,5 ݉/ݏ 
b) De quanto tempo é a queda? 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ݐ = ටଶ(௬ି௬బ)௔ = ටଶ(ଵଶ଴ ௠)ଽ,଼ ௠/௦మ = 4,95 ݏ 
c) Qual a velocidade do elevador ao passar pelo ponto médio da queda? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݕ − ݕ଴) → ݒ = ඥ2ܽ∆ݕ = ඥ2(9,8 ݉/ݏଶ)(60 ݉) = 34,3 ݉/ݏ 
d) Por quanto tempo o elevador estava caindo ao passar pelo ponto médio? 
ݕ − ݕ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ݐ = ටଶ(௬ି௬బ)௔ = ට ଶ(଺଴ ௠)ଽ,଼ ௠/௦మ = 3,50 ݏ 
76. Deixa-se cair dois diamantes da mesma altura, com 1,0 s de intervalo. Quanto tempo após o 
primeiro diamante começar a cair a distância entre eles é 10 m? 
O diamante 1 se desloca em ݕଵ = − ଵଶ݃ݐଶ. 
O diamante 2 se desloca em ݕଶ = − ଵଶ ݃(ݐ − 1)ଶ. 
ݕଶ − ݕଵ = 10 ݉. 
ݕଶ − ݕଵ = − ଵଶ݃(ݐ − 1)ଶ − ቀ− ଵଶ݃ݐଶቁ → ݕଶ − ݕଵ = − ଵଶ݃(ݐ − 1)ଶ + ଵଶ݃ݐଶ 
−
ଵ
ଶ
݃(ݐ − 1)ଶ + ଵ
ଶ
݃ݐଶ = 10 ݉ → ݐଶ = 10 ݉ + ଵ
ଶ
݃(ݐ − 1)ଶ 
ݐଶ = ଵ଴ ௠ା భమ௚(௧మିଶ௧ାଵ)భ
మ
௚
 → ݐଶ = ଵ଴ ௠భ
మ
௚
+ ݐଶ − 2ݐ + 1 → ݐଶ = ଶ଴ ௠
௚
+ ݐଶ − 2ݐ + 1 
ݐଶ − ݐଶ + 2ݐ = ଶ଴ ௠
௚
+ 1 → 2ݐ = ଶ଴ ௠
௚
+ 1 → ݐ = మబ ೘೒ ାଵ
ଶ
 
ݐ = ቀଵ଴
௚
ቁ + 0,5 = 1,5 ݏ 
77. Se um arremessador de beisebol lança uma bola rápida com uma velocidade horizontal de 
160 km/h, quanto tempo a bola leva para atingir a base principal, situada a 18,4 m de distância? 160 ݇݉/ℎ ቀଵ଴଴଴ ௠
ଵ ௞௠ ቁ ቀ ଵ ௛ଷ଺଴଴ ௦ቁ = 44,44 ݉/ݏ 
ݐ = ∆௫
௩೘೐೏
 → ݐ = ଵ଼,ସ ௠
ସସ,ସସ ௠/௦ = 0,41 ݏ 
78. Um próton está se movendo ao longo do eixo x de acordo com a equação ݔ = 50ݐ + 10ݐଶ, 
onde x está em metros e t em segundos. 
a) Calcule a velocidade média do próton durante os primeiros 3,0 s do movimento. 
Primeiro encontramos a posição do próton em t = 0 e em t = 3,0 s. 
ݔ(0) = 50(0) + 10(0)ଶ = 0 
ݔ(3) = 50(3) + 10(3)ଶ = 240 ݉ 
∆ݔ = 240 ݉ 
ݒ௠௘ௗ = ∆௫௧ = ଶସ଴ ௠ଷ,଴ ௦ = 80,0 ݉/ݏ 
 
b) Calcule a velocidade instantânea do próton em t = 3,0 s do movimento. 
ݔ = 50ݐ + 10ݐଶ 
ݒ = ௗ௫
ௗ௧
(50ݐ + 10ݐଶ) = 50 + 20 ݐ 
ݒ (3) = 50 + 20(3) = 110 ݉/ݏ 
c) a aceleração instantânea do próton em t = 3,0 s. 
ܽ = ௗ௩
ௗ௧
(50 + 20ݐ) = 20 
ܽ (3) = 20 ݉/ݏଶ 
A aceleração é constante. 
d, e, f) Trace o gráfico de x(t) e mostre como a resposta do item a), b) e c) podem ser obtidas 
através do gráfico. 
Podemos visualizar facilmente a posição, a velocidade e a aceleração em função do 
tempo, observando o gráfico. 
 
78. Uma motocicleta está se movendo a 30 m/s quando o motociclista aciona os freios, 
imprimindo à motocicleta uma desaceleração constante. Durante o intervalo de 3,0 s imediatamente 
após o início da frenagem a velocidade diminui para 15 m/s. Que distância percorre a motocicleta 
desde o início da frenagem até parar? 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ܽ = (ݒ − ݒ଴)ݐ = (15 ݉/ݏ) – (30 ݉/ݏ)3,0 ݏ = −5,0 ݉/ݏଶ 
Agora que sabemos o valor da aceleração: 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ∆ݔ = − ௩బమଶ௔ = − (ଷ଴௠/௦)మଶ(ିହ,଴ ௠/௦మ) = 90 ݉ 
80. Um piloto voa horizontalmente a 1300 km/h a uma altura h = 35 m acima do solo 
inicialmente plano. No instante t = 0, o piloto começa a sobrevoar um terreno inclinado para cima 
de um ângulo ߠ = 43º. Se o piloto não mudar a trajetória do avião, em que instante t o avião se 
chocará com o solo? 
 
 
 
∆ݔ = ௛
௧௔௡ఏ
= ଷହ ௠
୲ୟ୬ ସ,ଷ° = 465,49 ݉ 
ݐ = ∆௫
௩
= ସ଺ହ,ସଽ ௠
ଷ଺ଵ,ଵଵ ௠/௦ = 1,29 ݏ 
 
81. Um jogador de shuffleboard usa um taco para imprimir a um disco uma aceleração 
constante, a partir do repouso, que faz o disco atingir uma velocidade de 6,0 m/s após percorrer uma 
distância de 1,8 m. Em seguida, o disco perde contato com o taco e perde velocidade com uma 
desaceleração constante de 2,5 m/s² até parar. 
a) Quanto tempo o disco passa em movimento? 
O problema consiste em duas partes: 
A primeira: ݒ଴ = 0 ݒ = 6,0 ݉/ݏ ݔ଴ = 0 ݔଵ = 1,8 ݉ 
ݔ − ݔ଴ = ଵଶ (ݒ଴ + ݒ)ݐ ݐଵ = ଶ(∆௫)௩ = ଶ(ଵ,଼଴ ௠)଺,଴ ௠/௦ = 0,6 ݏ 
A segunda: ݒ଴ = 6,0 ݉ ݒ = 0 ܽ = −2,5 ݉/ݏଶ 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ ݐଶ = ି௩బ௔ = ି(଺,଴ ௠/௦)ିଶ,ହ ௠/௦మ = 2,4 ݏ 
O tempo total é ݐଵ + ݐଶ = 0,6 ݏ + 2,4 ݏ = 3,0 ݏ 
b) Qual é a distância percorrida pelo disco? 
ݔ − ݔ଴ = ݒ଴ݐ + ଵଶ ܽݐଶ → ∆ݔଶ = (6,0 ݉/ݏ)(2,4 ݏ) + ଵଶ (−2,5 ݉/ݏଶ)(2,4 ݏ)ଶ 
∆ݔଶ = 7,2 ݉ 
A distância total é ∆ݔଵ + ∆ݔଶ = 1,8 ݉ + 7,2 ݉ = 9,0 ݉ 
82. A aceleração da cabeça de uma cobra cascavel ao dar um bote pode chegar a 50 m/s². Se um 
carro tivesse a mesma aceleração, quanto tempo levaria para atingir a velocidade de 100 km/h a 
partir do repouso? 
ݒ = 27,78 ݉/ݏ ݒ଴ = 0 ܽ = 50 ݉/ݏଶ 
ݒ = ݒ଴ + ܽݐ → ݐ = ௩௔ = ଶ଻,଻଼ ௠/௦ହ଴ ௠/௦మ = 0,556 ݏ 
83. Um jato comercial deve atingir uma velocidade de 360 km/h para decolar. Qual é a menor 
aceleração constante necessária para que o avião decole de uma pista com 1,80 km de extensão? 
ݒଶ = ݒ଴ଶ + 2ܽ(ݔ − ݔ଴) → ܽ = (௩మ)ଶ(∆௫) = (ଵ଴଴ ௠/௦)మଶ(ଵ଼଴଴ ௠) = 2,78 ݉/ݏ 
84. Um motorista aumenta a velocidade do carro de 25 km/h para 55 km/h em 0,50 min, 
mantendo uma aceleração constante. Um ciclista aumenta a velocidade da bicicleta de 0 para 30 
km/h em 0,50 min, mantendo uma aceleração constante. Quais são os módulos da 
a) aceleração do carro? 
∆ݒ = 55 ݇݉/ℎ − 25 ݇݉/ℎ = 30 ݇݉/ℎ = 8,33 ݉/ݏ 0,50 ݉݅݊ ቀ ଺଴ ௦
ଵ ௠௜௡ቁ = 30 ݏ 
ܽ = ∆௩
∆௧
= ଼,ଷଷ௠/௦
ଷ଴ ௦ = 0,28 ݉/ݏଶ 
b) aceleração da bicicleta? 
∆ݒ = 30 ݇݉/ℎ − 0 = 30 ݇݉/ℎ = 8,33 ݉/ݏ 0,50 ݉݅݊ ቀ ଺଴ ௦
ଵ ௠௜௡ቁ = 30 ݏ 
ܽ = ∆௩
∆௧
= ଼,ଷଷ௠/௦
ଷ଴ ௦ = 0,28 ݉/ݏଶ 
85. O tempo necessário para frear um carro pode ser dividido em duas partes: o tempo de reação 
do motorista começar a frear e o tempo necessário