C7 ImpulsoMomento 2008

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Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
118
 
Parte 2 
 
 
DINÂMICA 
 
 
 
 
 
 
 
z 
x 
y 
T1
T2 2m 
1,5m 
G 
1979 Mecânica 
B A 
G
V 
 a b 
 c 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
119
 
 
 
 
 
Neste Capítulo os assuntos principais 
são: (1) Principio Impulso-Momentum cujo caso 
particular é o Princípio de Conservação de 
Momentum; (2) Colisões, onde se utiliza o 
Principio de Conservação de Momentum e o 
conceito de coeficiente de restituição de dois 
materiais; (3) Princípio Impulso-Momento 
Angular que possui como especial caso o 
Princípio de Conservação de Momento Angular . 
 
 
7.1 – Princípio 
Impulso-Momentum 
 
7.1.1 - Definição de 
Momentum ou 
Momento Linear ou 
Quantidade de Movimento 
 
1) É o produto da massa do corpo pelo seu vetor 
velocidade de seu centro de massa (CM ou G). 
 
MCvmp
rr = (kg.m/s) 
 
 
Gvmp
rr = (kg.m/s) 
 
 kvmjvmivmp GzGyGx
rrrr ++= 
 
kpjpipp zyx
rrrr ++= 
 
 
2) O momentum é uma medida da quantidade de 
inercía e quantidade de movimento que um 
corpo possui em relação a um Sistema de 
Referencia Inercial. O momentum, no entanto, 
depende do Sistema de Referencia Inercial (SRI) 
escolhido, pois dependendo da velocidade 
constante do SRI a partícula possui outra 
velocidade em relação a este outro SRI. Um 
cometa que vem se chocar contra a terra, tem 
momentum zero em relação a um SRI ligado a 
ele e momentum enorme em um SRI ligado à 
terra. O mesmo ocorre com a energia de um 
corpo, que depende do SRI escolhido. 
3) A sua variação caracteriza o impulso 
resultante que pode ser compartilhado com outro 
corpo no caso de uma colisão. 
4) O momentum carrega as informações da 
quantidade de inércia do corpo, junto com a 
energia do movimento na sua velocidade 
apresentado no valor do produto de sua massa 
pela sua velocidade. É caracterizado por dois 
aspectos: (a) o primeiro é devido à massa, que é 
uma medida da dificuldade de se tirar o corpo do 
estado em que se encontra, ou seja, uma 
medida da sua inércia; (b) o segundo seria o 
valor de sua velocidade que também caracteriza, 
uma vez que se for grande a velocidade em 
relação a um sistema de referência em questão, 
precisará de uma grande força agindo durante 
um intervalo de tempo, para diminuir ou 
aumentar ainda mais a sua velocidade. 
5) O produto da massa pela velocidade dá 
características dinâmicas ao corpo na qual ele 
pode transferir este momentum a outro corpo, 
total ou parcialmente, produzindo transferência 
de energia durante a produção de troca ou 
mistura de momentos lineares nos impulsos de 
um corpo ao outro nos intercâmbios da dinâmica. 
 
a) Momentum de um Sistema de 
Partículas 
 
 
 
___________________________________________________________ 
Capítulo 7 
 
Impulso e Momento 
 ___________________________________________________________ 
 
CM 
MCv
rm2 
2v
r
1v
r
m n 
nv
r
MCp
r
m1 
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
120
O momentum total de um conjunto de partículas 
é dado pela somatória do produto da massa de 
cada partícula pela sua velocidade. No entanto, 
este momentum total pode ser expresso pelo 
produto massa total pela velocidade do Centro 
de Massa, ou seja o momentum como se todo 
ele estivesse concentrado no Centro de Massa 
do corpo: 
 
MM CCiitotal pvmvmp
rrrr === ∑ 
 
uma vez que a posição do Centro de Massa é 
 
i
ii
C m
mr
r M ∑
∑=
r
r 
derivando, 
 
im
imiv)
im
imir(
dt
d
dt
MCrd
MCv ∑
∑
∑
∑ === rrrr 
 
Assim podemos definir a velocidade do centro de 
massa do sistema de partículas como: 
 
i
ii
C m
mv
v M ∑
∑=
rr
 
 
b) Momentum de um Corpo Rígido 
 
 
MM CCtotal pvmdmvp
rrrr === ∫ 
 
Assim podemos definir velocidade do centro de 
massa de um Corpo Rígido: 
 
 
m
dmv
v
MC
∫=
rr
 
 
c) Momentum de um Sistema de 
Corpos Rígidos 
 
No caso de um Sistema de Corpos Rígidos, 
podemos separá-los em partes de Centros de 
Massa conhecidos e calcular pelo Somatório 
como se em cada centro estivesse concentrado 
toda a parte do corpo rígido e calcular: 
 
MCiMCiCM vmvmp
rrr == ∑ 
 
 
Podemos observar que o Centro de Massa do 
conjunto de partes do corpo, condensa toda uma 
representatividade do corpo, em uma dimensão 
zero, um ponto, o Centro de Massa, não só da 
distribuição de Massa, mas também da 
distribuição de Velocidades, de momentos 
lineares, de Acelerações e Forças. 
No que se refere ao movimento de rotação do 
corpo rígido, podemos complementar o 
movimento do corpo, mas que é válido para 
todos os pontos do corpo com a velocidade 
angular, aceleração angular, momento angular 
orbital e spin e o torque resultante, 
complementando a descrição do corpo de forma 
mais completa sob o aspecto mecânico. 
 
7.1.2 – Definição de Impulso 
 
Def.: Impulso ou 
 Impulso linear ou 
 Impulso de uma força: 
 
É o efeito produzido, resultante da ação de uma 
Força que atua sobre o corpo durante um certo 
intervalo de tempo: 
∫= 2
1
t
t
dtFI
rr
 (N.s) 
 
kIjIiII zyx
rrrr ++= 
 
Impulso de uma força: 
 
 
Um jogador de tênis ao bater com sua raquete 
sobre uma bolinha de tênis, aplica sobre ela uma 
força durante um intervalo de tempo bem 
pequeno, comunicando-lhe uma variação no seu 
momentum, ou seja, dando-lhe um impulso para 
o lado desejado. 
 
a) Impulso de uma força 
constante 
 
tFttF
tFdtFdtFI tt
t
t
t
t
∆=−=
==== ∫∫
.)(
.
12
2
1
2
1
2
1 rr
rrrr
 
 = Área do “retângulo” 
t1 t2 
F
t 
I = ∫ F dt = Área sob a curva 
 até o eixo dos tempos
t1 t2 
F
t 
F
CM MCv
r
Cv
r
Av
r
Bv
r
MCp
r
A 
B 
C 
dm 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
121
 
Def.: Valor médio de uma função 
contínua f qualquer em um 
intervalo ∆x: 
 
A área abaixo da curva se iguala com a área de 
um retângulo. A altura do retângulo é o valor da 
função média neste intervalo. 
 
 
 
b) Força Média em um Impulso 
 
A Força a média aplicada a um corpo em um 
Impulso. Será dada pela integral da força neste 
intervalo de tempo, dividida pelo mesmo 
intervalo de tempo ∆t. 
∫2
1
t
t
dtF = Área sob a curva = 
= tF ∆. = Área do retângulo = Impulso 
 
∫=∆=− 2
1
t
t
12 dtFt.F)tt(.F = Impulso 
 
t
IdtF
t
1F
2
1
t
t ∆
=∆= ∫ 
 
 
A Força Média é a força em que a área A sob 
curva Força vs. tempo é substituída por uma 
Força constante neste intervalo de tempo, cuja 
área do seu retângulo, seja igual à área sob a 
curva, caracterizando a Força Média da função 
contínua acima. 
 
7.1.3 - Princípio Impulso-
Momentum (PIM) 
 
 
Chamamos de 
Princípio Impulso-Momentum ou 
Teorema do Impulso ou 
Impulso da Força Resultante: 
 
a seguinte dedução ou demonstração a 
seguir: 
 
∫ ∑∫ == 2
1
2
1
t
t
i
t
t
RR dtFdtFI
rrr
 
 
==== ∫∫∫ vdmdtdt
vdmdtamI
t
t
t
t
R
rrrr 2
1
2
1
 
1212 )(
2
1
ppvvmvdmI
v
v
R
rrrrrr
r
r
−=−== ∫ 
 
pIR
rr ∆= 
 
ou como a definição de força dada por 
Newton em1660: 
 
vm
dt
d
dt
pdFR
rrr == 
onde 
am
dt
vdm)vm(
dt
d
dt
pdFR
rrrrr ==== 
que a força resultante é a variação do 
momento linear no tempo. 
 
Também podemos fazer: 
∫ ∫∫ ∆=−===== 2
1
2
1
2
1
2
1
12
t
t
t
t
t
t
t
t
RR pppppddtdt
pddtFI
rrrrrrrr
 
Desta forma: 
 
pIR
rr ∆= 
 
“O impulso da força resultante é 
igual à variação do momentum do 
corpo.” 
 
Que caracteriza o chamado Princípio Impulso-
Momento a seguir. 
 
 
Partindo do Impulso da força resultante temos: 
 
12R ppI
rrr −= 
 
2R1 pIp
rrr =+ 
 
∫ =+ 2
1
t
t
2R1 vmdtFvm
rrr
 
 
x2 
f
x 
f
x2 x1 
∫=∆ dxfxf
∫∆=
2
1
x
x
dxf
x
1f
t1 t2
F
t
F 
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
122
Considerando a velocidade inicial 1v
r
 como v
r
 
representando a velocidade do corpo em um 
tempo t, antes das interação e fazendo a 
velocidade final 2v
r
 como 'v
r
 em um tempo t’, 
depois da interação, e a velocidade inicial como 
v
r
, antes da interação, temos : 
 
 
∫ =+
't
t
GRG 'vmdt.Fvm
rrr
 
 
Podemos enunciar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos escrever esta equação vetorial em três 
equações escalares independentes, uma vez 
que são LI e ortogonais: 
( )∫ ∑ =+ 't
t
xxx 'vmdt.Fvm 
( )∫ ∑ =+ 't
t
yyy 'vmdtFvm 
( )∫ ∑ =+ 't
t
zzz 'vmdt.Fvm 
 
Princípio Impulso-Momentum para 
um Sistema de Partículas: 
 
∫ ∑∑∑ =+
't
t
iiiii 'vmdt.Fvm
rrr 
 
Para um Sistema de Corpos Rígidos 
interligados vale: 
 
∫∑ =+
't
t
CMiRCM 'vmdt.Fvm
rrr 
 
7.1.4 - Princípio de 
Conservação de Momentum 
(PCM) 
 
Def.: Sistema Isolado: Um sistema é 
denominado Isolado quando: 
(a) a Força Resultante é nula ou 
(b) o Impulso Resultante é nulo. 
 
Princípio de Conservação de Momentum: 
 
“Um Sistema Isolado, sempre conserva o seu 
momentum.” 
 
Do Princípio Impulso Momentum para um 
Sistema isolado obtemos: 
 
.const'pp == rr 
 
.' constvmvm == rr 
 
Para um Sistema de duas Partículas: 
 
.const'p'ppp 2121 =+=+ rrrr 
 
onde para um sistema de Partículas: 
 
.constvm'vmvm CMiiii === ∑∑ rrr 
 
Para um corpo rígido: 
 
Para um Sistema de Partículas: 
 
 
.' constpp ii == ∑∑ rr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde para um sistema de Partículas: 
 
.constvm'vmvm CMiiii === ∑∑ rrr 
 
Para um corpo rígido: 
 
.' constvmvm CMCM == rr 
ou 
∫∫ === .' constvmdmvdmv CMrrr 
 
A conservação de momentum ocorrerá para um 
instante de tempo qualquer em que o sistema 
permaneça isolado. 
 
Para um Sistema de 2 partículas, 
 
cte'p'ppp 2121 =+=+ rrrr 
 
Debate sobre: 
1) Quando um astronauta se movimenta no 
espaço interplanetário, no vácuo, falta-lhe 
ponto de apoio, portanto mantém-se com 
velocidade constante. Considere uma arma 
de jatos de combustível emitido em altas 
velocidades. Como haverá conservação de 
momentum entre dois corpos isolados. A 
manutenção da velocidade constante do 
centro de massa do Sistema se mantém? 
 .const'vmvmvm ccAA ==+ rrr 
2) Avião à hélice, apoio na atmosfera de ar. 
3) Avião à jato. 
“O momentum inicial de um corpo
somado ao impulso da força
resultante que atua sobre o corpo,
num certo intervalo de tempo,
resulta no momentum final do
corpo.” 
“Um sistem Isolado, livre da
ação de forças e torques,
sempre conserva seu
momentum ao longo do tempo.”
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
123
4) Avião de turbina, mistura intermediária entre 
ar e combustível. 
5) Foguete. Como um foguete se movimenta 
no espaço vazio e sai da ação do campo 
gravitacional da Terra com a velocidade de 
escape de 11,2 km/s. Os vários estágios de 
combustível do foguete. 
6) Nave espacial ou cápsula do foguete. 
Reentrada na atmosfera. 
 
7.1.5 - Princípio de 
Conservação de Energia 
Mecânica 
 
“Se um corpo não tiver perdas de energia, em 
um determinado intervalo de tempo, então 
sua energia mecânica se conserva.” 
 
E M = K1 + UP1 = K 2 + UP2 = const. 
onde: 
 
E M = Energia Mecânica = K + UP 
K = Energia Cinética (K = kinesis) 
UP = Energia Potencial 
EC translação = k = Energia cinética de translação = m v 2 / 2 
EC rotação = k R = Energia cinética de rotação = I ω2 / 2 
 
 
Def.: As Perdas ou dissipações de energia de 
um corpo pode ocorrer nas interações com 
outros corpos em que há transformações de 
energia de um tipo em outro (exceto de 
cinética para potencial e vice-versa): 
 
(a) Atrito – dissipação de energia por fricção 
entre corpos 
 
(b) Resistência do ar (energia dissipada por 
atrito do ar com o corpo) 
 
(c) Colisões parcialmente elásticas - 
(energia de deformação dos materiais) 
 
(d) Irradiação de ondas eletromagnéticas 
 
(e) Trocas de Energia Térmica (esfriamento do 
corpo) 
 
(f) Emissão de ruído (energia acústica ou sonora), etc. 
 
 
 
7.2 – Corpos em 
Colisão 
 
 
Como definição a linha de colisão entre dois 
corpos é aquela que liga os centros de massa 
dos corpos. As velocidades na direção de colisão 
sofrem variação, após a colisão de acordo com o 
coeficiente de restituição dos corpos de antes 
para após a colisão. 
A figura abaixo mostra uma colisão genérica não 
central em que se define a direção de colisão e a 
direção perpendicular à colisão. 
 
 
 
 
 
 
Na direção de colisão (y): 
 
As velocidades variam, na direção de colisão 
(y), no entanto, 
 
(a) mantém-se invariante, a soma dos momentos 
lineares (momentum), antes e após a colisão: 
 
a) Princípio de Conservação de 
Momentum antes e após a colisão: 
 
yyyy BABA pppp ''
rrrr +=+ 
 
 UP gravitacional = m g h 
UP = Energia Potencial UP elástica = k x 2 / 2 
 UP elétrica = q ∆V 
Av '
r
y x 
Projeção das velocidades 
dos corpos, após a colisão. 
v’Ay
v’By 
vBx 
vAx
Y ’ 
X ’ 
Av
r
Bv
r
A'v
r
B'v
r
y x 
Direção de 
colisão (y) 
Direção perpendicular à 
direção de colisão (x ) 
θ 
θ 
Av
r
Bv
r
y x 
Projeção das velocidades dos corpos, antes da 
colisão nas direções de colisão y e 
perpendicular a ela x . 
vBy 
vAy 
vAx
vBx 
θ
θ 
Bv '
r
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
124
yyyy BBAABBAA vmvmvmvm ''
rrrrr +=+ 
 
(b) faz valer a relação existente entre os 
materiais que colidem entre si que é a relação do 
coeficiente de restituição: 
 
Coeficiente de restituição: 
 
oaproximaçãderelativa
oafastamentderelativa
v
v
e = 
 
yy
yy
BA
AB
vv
vv
e −
−
=
''
 
 
 
Na direção perpendicular à colisão (x): 
 
Na direção perpendicular à direção de 
colisão, ou seja, a direção x da figura, também 
haverá conservação de momentum e mais do 
que isto, as velocidades nesta direção se 
mantém invariantes antes e após a colisão. 
 
xxxx BBAABBAA vmvmvmvm ''
rrrrr +=+ 
 
Se as partículas se separam após a colisão, as 
velocidades na direção normal â colisão se 
mantém invariantes: 
 
xxxx BBAA vvvv ';'
rrrr == 
 
ou seja mantém-se as mesmas, nesta direção, 
antes e após a colisão. 
 
b) Coeficiente de Restituição em 
uma Colisão Central 
 
Consideremos por simplicidade,uma 
colisão central entre dois corpos. Vamos deduzir 
neste caso o cálculo da expressão do coeficiente 
de restituição, entre os dois corpos. 
 
 
Coeficiente de Restituição: 
 
∫
∫=
dtD
dtR
e 
 
Se e = 1 ⇒ choque perfeitamente elástico ⇒ 
não houve perdas de energia e houve restituição 
dos corpos. 
 
Se e = 0 ⇒ choque perfeitamente inelástico ⇒ 
chocaram-se os corpos e permanecem juntos 
após a colisão, houve deformação e um carrega 
o outro junto de si após a colisão, fazendo a 
velocidade relativa de afastamento igual a zero. 
 
Se 0 < e < 1 ⇒ choque parcialmente elástico 
⇒ houve restituição parcial de (e.100 ) % e 
deformação parcial de [(e-1).100 ] % dos corpos 
na direção do choque 
 
Demonstração do valor do 
coeficiente de restituição: 
 
Considerando que no momento de deformação 
máxima dos corpos a velocidade dos dois corpos 
é v, e sendo vA e vB as velocidades dos dois 
corpos antes da colisão na direção de colisão e 
vA ‘ e vB ‘ as velocidades depois da colisão 
também na direção da linha de colisão, então: 
 
Deformação para o corpo A: 
mA vA + ∫ D dt = mA v ⇒ 
 
∫ D dt = mA (v – v A) 
 
restituição para A: 
mA v + ∫ R dt = mA vA’ ⇒ 
 
∫ R dt = mA (vA’ – v) 
 
assim: 
A
A
vv
vve −
−= ' 
 
da mesma forma para o corpo B: 
deformação: 
 
m B v B + ∫ D dt = m B v ⇒ 
 
∫ D dt = mB (v – vB) 
 
restituição: 
 
m B v + ∫ R dt = m B v B’ ⇒ 
 
∫ R dt = mB (vB’ – v) 
 
assim: 
 
e = 
B
B
vv
vv
−
−'
 = 
A
A
vv
vv
−
−'
 
 
sendo 
(v B’ – v) = e . (v -vB) ⇒ 
 
v (e +1) = v B’ + e v B 
 
-ID ID 
ID = ∫ dtD = Impuso de defomação
-IR IR IR = ∫ dtR = Impuso de restituição 
Av'
r
B'v
r
 
Av
r
 Bv
r
Linha de colisão
 e = 1 ⇒ colisão perfeitamente elástica 
 0 > e >1 ⇒ colisão parcialmente elástica 
 e = 0 ⇒ colisão perfeitamente inelástica 
 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
125
 (vA’ – v) = e . (v - vA) ⇒ 
 
v (e +1) = vA’ + e vA 
 
igualando as duas expressões: 
 
AABB vevvev +=+ '' ⇒ 
 
BAAB vevevv −=− '' 
 
BA
AB
vv
vv
e −
−= '' 
 
Nesta expressão tanto faz se no numerador, se 
comece com o corpo B ou o corpo A, desde que 
no denominador se comece com o outro corpo. 
 
Portanto em toda colisão de um Sistema de 
Corpos isolados de forças externas: 
1) A energia se conserva, para uma 
colisão elástica (e = 1 ), ou não se conserva para 
todos os outros casos ( 0 ≤ e < 1 ) 
2) O momentum sempre se conserva 
em todos os casos, independentemente se a 
energia se conserva ou não. 
3) O coeficiente de restituição e 
somente é valido para as velocidades na direção 
de colisão. As velocidades na direção 
perpendicular à direção de colisão não variam, 
antes e após a colisão, ou seja, há conservação 
das mesmas. 
4) O coeficiente de restituição relaciona 
a razão entre a velocidade relativa de 
afastamento e a velocidade relativa inversa de 
aproximação entre os corpos. 
cc
cc
BA
AB
oaproximaçãderelativa
oafastamentderelativa
vv
'v'v
v
v
e −
−== 
 
 
7.3 – Princípio 
Impulso-Momento 
Angular 
 
 
 
7.3.1 - Definição de Momento 
Angular 
 
Momento Angular ou Quantidade de Movimento 
Angular é a soma do produto vetorial entre o 
vetor posição r
r
 e o momentum p
r
 de todos os 
pontos com massa do corpo rígido girando em 
torno o eixo considerado. 
 
Se for apenas uma partícula, girando em torno 
do eixo e, o momento angular em torno desse 
eixo é 
 
prL
rrr ∧= 
E seu módulo: 
 
θω=θ= senrmsenvrmL 2r 
 
uma vez que 
 
θ = ∠ vr rr , = ângulo entre r e v ; 
 
rr = 0/Pr
r
 = P – O = vetor posição do ponto P de 
aplicação do vetor p
r
 em relação a um pólo O 
ou eixo de giro escolhido = vetor com origem em 
O, pólo de giro que se escolhe, e com 
extremidade na posição em que se avalia o 
ponto P de momentum p
r
 
 
p
r
= vetor momentum do ponto P do corpo 
 
ou se °=θ 90 : 
 
ω== 2rmvrmL 
 
o momento angular é uma grandeza vetorial: 
 
kLjLiLL zyx
rrrr ++= (kg m2/s) 
 
a) Momento Angular Orbital 
 
Corpo girando em torno de outro: 
 
 
prL
rrr ∧= 
 
b) Momento Angular Spin 
 
Momento Angular Spin de um 
Corpo Rígido girando em torno de si mesmo 
é dado por: 
 
v
r
 
m
r
r 
tˆ
bˆ 
nˆ 
normal 
binormal 
O 
tangente
orbitalL
r
spinL
r
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
126
 
 
 
O Momento Angular de um corpo 
Rígido é o momento Angular Spin 
 
 
 
 
pdrS
rrr ∧=∫ 
 
kSjSiSS zyx
rrrr ++= 
 [ ] ω=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ∧=∧= ∫∫ r
rrrrr
I
r
vrrmdvdmrS 2
2 
 
Uma vez que para um eixo fixo: 
2)(
ˆ
r
vr
vr
vr
r
vb
r
v
rrrrv ∧=∧==ω 
 
Pois, considerando o movimento em torno de um 
eixo fixo, a trajetória de qualquer ponto é circular, 
e assim r e v são perpendiculares, então, 
 
vrsenvrvr =°=∧ 90rrrr 
 
 
Vejamos como se pode escolher a origem do 
Sistema de Referência em qualquer ponto do 
eixo de giro “e”. 
Do desenho tem-se que 
=∧= prS OP rr
r
prpr POOO
rrrr ∧+∧ '' 
 
O momento angular L
r
 total do corpo rígido é 
também definido como sendo o produto do 
momento de inércia I do corpo rígido pela 
velocidade angular ωr : 
 
ω= rr IS 
 
Momento angular total para um Sistema de 
Partículas: 
 
ω=∧= ∑ rrrr IprL ii 
 
ω=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∧=∧= ∑∑ r
rrrrr
I
r
vrrmvrmL
i
ii
iiiii 2
2)(
 
 
momento angular de um Corpo Rígido: 
 
ω=∧= ∫ rrrr IdmvrS 
 [ ] [ ]( ) ω=ω=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ ∧= ∫∫ rr
rrr
Idmr
r
vrdmrS 22
2 
 
 
c) Momento Angular total 
 
O Momento Angular total J
r
 é a soma vetorial do 
Momento Angular Orbital orbitalLL
rr = e o 
Momento Angular Spin spinLS
rr = : 
 
SLJ
rrr += 
 
7.3.4 - Definição de 
Torque a partir do 
momento angular 
 
Torque é a causa que produz o efeito 
do aumento ou diminuição da velocidade angular 
de um corpo em seu movimento de rotação em 
torno de um eixo. 
O Torque é dado pela derivada do 
Momento Angular no tempo: 
 
dt
Ld
r
r =τ 
 
dm
dt
vdrdmv
dt
rd)dmvr(
dt
d
rrrrrrr ∧+∧=∧=τ ∫∫∫ 
 
Sendo: 
v
dt
rd rr = ; vmp rr = ; F
dt
pd rr = : 
 
Frvmv
rrrrr ∧+∧=τ 
 
Como 0=∧ vv rr , então: 
 
Fr
rrr ∧=τ 
 
 
O
O’ 
P
prrr 
Pr
r
tˆ
bˆ = 
nˆ 
tangente normal 
binormal 
P 
e 
ω= rr IS 
ω 
I 
r 
pdrS
rrr ∧= ∫ 
vdmpd
rr ∫=
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
127
7.3.5 - Impulso Angular 
 
Impulso Angular ou Impulso de um 
Torque é o efeito produzido, resultante da ação 
de um Torque que atua sobre um corpo rígido 
durante um certo intervalo de tempo. É 
represetado a integral do vetor Torque no tempo. 
 
)s.m.N(dtI
't
t
∫ τ=θ rr 
 
kIjIiII zyx
rrrr θθθθ ++= 
 
 
a) Impulso de um torque 
constante 
 
 
t.)tt(t.dtdtI 12
t
t
t
t
t
t
2
1
2
1
2
1
∆τ=−τ=τ=τ=τ= ∫∫θ r 
 
b) Torque Médio em um Impulso 
Angular: 
 
 Será dada pela integral do Torque 
neste intervalo de tempo, dividida pelo mesmo 
intervalo de tempo ∆t. 
Àreasob a curva = ∫ τ2
1
tt
dt 
Àrea retângulo = t. ∆τ 
 
= Impulso Angular = Iθ 
 
 
Impulso Angular médio: 
 
∫ τ=∆τ 2
1
t
t
dtt. 
 
∫ τ∆=τ
2
1
t
t
dt
t
1 = 
t
I
∆
θ
 
 
 
O Torque Médio é a torque em que a área A sob 
curva (curva Torque vs. Tempo) é substituída 
por um Torque constante neste intervalo de 
tempo cuja área do retângulo, seja a mesma 
área debaixo da curva do torque variável 
naquele intervalo de tempo. 
 
7.3.6 - Princípio Impulso-
Momento Angular (PIMA) 
 
Impulso angular do torque resultante: 
 
∫ ∑∫ τ=τ=θ 2
1
2
1
t
t
i
t
t
RR dtdtI
rrr
 
 
∫∫∫ ω=ω=α=θ r
rrr
dIdt
dt
dIdt)I(I
2
1
2
1
t
t
t
t
R 
 
1212
v
v
R LL)(IdII
2
1
rrrrrr
r
r −=ω−ω=ω= ∫θ 
 
LI R
rr ∆=θ 
 
Desta forma: 
 
“ O impulso angular do torque resultante é igual 
à variação do momento angular.” 
 
 
O que caracteriza o Princípio Impulso-Momento 
Angular ? 
 
O Princípio Impulso-Momento Angular pode 
deduzido por simplicidade por : 
 
dt
Ld
R
r
r =τ ⇒ LddtR
rr =τ ⇒ 
 
 LL'LLddtI
'L
L
't
t
RR
rrrrrr
r
r ∆=−==τ= ∫∫θ 
 
LI angularR
rr ∆=θ (PIMA) 
 
 
“O impulso angular resultante é igual à 
variação do momento angular” 
 
ou 
'LdtL
't
t
R
rrr =τ+ ∫ (PIMA) 
 
 
t1 t2
τ
t
τ 
t1 t2 
τ
t 
τ
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
128
'IdtI
't
t
R ω=τ+ω ∫ vrr 
 
 
“O momento angular somado ao Impulso 
angular resultante é igual ao momento 
angular final” 
 
 
Para um Sistema de Partículas: 
'Ldt.L i
't
t
ii ∑∫∑∑ =τ+ rrr 
Podemos escrever, portanto, os dois Princípios 
Impulso-Momento válidos para um corpo rígido 
(6 equações): 
 
∫ =+
't
t
R 'vmdt.Fvm
rrr
 
'LdtL
't
t
R
rrr =τ+ ∫ 
 
No caso do corpo mover-se no plano x-y 
(movimento plano) (3 equações): 
 
 
∫ ∑ =+
'
'.
t
t
xxx vmdtFvm 
∫ ∑ =+
'
'.
t
t
yyy vmdtFvm 
'Ldt.L z
't
t
zz =τ+ ∫∑ 
 
7.3.7 – Impulso linear e 
Impulso angular 
 
A relação entre o impulso linear e o impulso 
angular está que o impulso angular é o impulso 
linear vezes o braço até o eixo que passa pelo 
centro de massa G. 
 
IrI
rrr ∧=θ 
bxII =θ 
 
Isto ocorre da mesma forma que no caso da 
força angular ou torque ela se mostra igual à 
força linear vezes o braço: 
 
Fr
rr ∧=τ 
bxF
r=τ 
 
 
7.3.8 - Princípio de 
Conservação de 
Momento Angular 
(PCMA) 
 
“Se a soma dos impulsos angulares for nula, 
ou o torque resultante for zero, então há 
conservação do momento angular.” 
 
.' constLL ii == ∑∑
rr
 (PCMA) 
 
Analogia Força-Momentum e 
Torque-Momento Angular: 
 
 Da mesma forma que: a Força resultante em um 
corpo é dada pela derivada do momentum ou o 
produto da massa m, inércia de translação, pela 
aceleração a
r
 ; o torque resultante é dado pela 
derivada do momento angular ou o produto do 
momento de inércia I, inércia de rotação, pela 
aceleração angular αr . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.4 – Resumo do 
Capítulo 7 
 
Definição de Momentum ou Quantidade de Movimento ou 
Momento linear: 
vmp
rr = (kg.m/s) 
kpjpipp zyx
rrrr ++= 
Momentum de um Sistema de Partículas ou Sistema de Corpos 
Rígidos: 
MM CiiC vmvmp
rrr == ∑ 
Momentum de um Corpo Rígido: 
MM CCtotal pvmdmvp
rrrr === ∫ 
Definição de Impulso ou Impulso linear ou Impulso de uma 
força: 
∫= 2
1
t
t
dtFI
rr
 (N.s) 
 kIjIiII zyx
rrrr ++= 
Impulso de uma força constante: 
 
tFttFtFdtFdtFI tt
t
t
t
t
∆=−==== ∫∫ rrrrrr )( 1221
2
1
2
1
 
Força Média em um Impulso: 
t
IdtF
t
F
t
t ∆
=∆= ∫
2
1
1
 
Impulso da força resultante: 
∫ ∑∫ == 2
1
2
1
t
t
i
t
t
RR dtFdtFI
rrr
⇒ 
Força Resultante: 
am
dt
vdmvm
dt
dp
dt
dpFR
rrrr&rr ===== 
Torque Resultante: 
 ==τ L&rr α=ω=ω= r
rrr
I
dt
dII
dt
dL
dt
d )( 
 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
129
∫∫∫ === vdmdtdt
vdmdtamI
t
t
t
t
R
rrrr 2
1
2
1
 
1212 )(
2
1
ppvvmvdm
v
v
rrrrr
r
r
−=−== ∫ ⇒ 
pIR
rr ∆= 
“ O impulso da força resultante é igual à variação do 
momentum de um corpo.” 
 
Princípio Impulso-Momentum (PIM): 
∫ =+
't
t
R 'vmdt.Fvm
rrr
 ou pI R
rr ∆= 
 
“ O momentum inicial de um corpo somado ao impulso da 
força resultante que atua sobre o corpo, num certo intervalo de 
tempo, resulta no momentum final do corpo.” 
 
( )∫ ∑ =+ 't
t
xxx 'vmdt.Fvm 
( )∫ ∑ =+ 't
t
yyy 'vmdtFvm 
( )∫ ∑ =+ 't
t
zzz 'vmdt.Fvm 
Princípio Impulso-Momentum para um Sistema de Partículas: 
∫ ∑∑∑ =+
't
t
iiiii 'vmdt.Fvm
rrr
 
Princípio Impulso Momentum para um Corpo Rígido: 
∫ =+
't
t
CMRCM 'vmdt.Fvm
rrr
 
pois: 
dt
pd
FR
rr = ⇒ pddtFR r
r = ⇒ 
ppppddtFI
p
p
t
t
RR
rrrrrr
r
r
∆=−=== ∫∫ '
''
 
 
Princípio de Conservação de Momentum (PCM) 
“Um Sistema Isolado, sempre conserva o seu momentum.” 
 
.const'pp == rr ⇒ '∑∑ = ii pp rr = const. 
 
⇒ .constvm'vmvm CMiiii === ∑∑ rrr 
 
Princípio de Conservação de Energia Mecânica 
“Se um corpo não tiver perdas de energia, em um 
determinado intervalo de tempo, então sua 
energia mecânica se conserva.” 
E M = K1 + UP1 = K 2 + UP2 = constante 
 
E M = Energia Mecânica = Energia Cinética + Energia Potencia 
l 
K = Energia cinética = m v 2 / 2 
 
UPgravitacional = m g h 
UPelástica = k x 2 / 2 
UPelétrica = q V 
 
Colisões entre corpos 
 
Conservação de momentum na direção do colisão : 
'pp ii ∑∑ = rr 
Conservação de velocidades na direção perpendicular à colisão : 
zouy,xqonde'vv qq ==
rr 
Coeficiente de Restituição: 
e=
oaproximaçãderelativa
oafastamentderelativa
v
v
=
BA
AB
vv
'v'v
−
−
 
 
Se e = 1 ⇒ choque perfeitamente elástico - não houve 
perdas de energia houve restituição completa dos corpos 
Se e = 0 ⇒ choque perfeitamente inelástico - chocaram-se 
os corpos e permanecem juntos houve deformação completa dos 
corpos 
Se 0 < e < 1 ⇒ choque parcialmente elástico - houve 
restituição de (e x 100 % ) dos corpos na direção do choque 
 
Definição de Momento Angular 
 
vmrprL
rrrrr ∧=∧= 
kLjLiLL zyx
rrrr ++= 
 
ω= rr IL ; ω=∧= ∑ rrrr IprL ii 
 ω=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=∧= ∑∑ rrrrr Ib
r
v
rmvrmL
i
i
iiiii )(
2 
 
Momento Angular Orbital e Momento 
Angular Spin: 
 
vrmprL
rrrrr ∧=∧= ; θ= senvrmL 
se °=θ 90 : 
ω== 2rmvrmL 
ω= rr ILS 
Definição de Torque a partir do momento angular 
dt
Ld
r
r=τ 
Fr
rrr ∧=τ 
 ω= rr IL ⇒ α=τ rr I 
 
Impulso Angular ou Impulso de um Torque : 
∫ τ=
't
t
dtI
rr
 (N.m.s) 
kIjIiII zyx
rrrr θθθθ ++= 
 
Torque Médio em um Impulso Angular: 
 
t
Idt
t
1 2
1
t
t ∆
=τ∆=τ
θ
∫ 
 
Princípio Impulso-Momento Angulares (PIMA) 
LI R
rr ∆=θ 
 
 “ O impulso angular do torque resultante é igual à variação do 
momento angular.” 
 
 “O impulso angular resultante é igual à variação do momento 
angular” 
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza- Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
130
 
'LdtL
't
t
R
rrr =τ+ ∫ (PIMA) 
“O momento angular somado ao Impulso angular resultante é 
igual ao momento angular final” 
Sistema de Partículas : 
 'pdt.Fp i
't
t
ii ∑∫∑∑ =+ rr 
 'Ldt.L i
't
t
ii ∑∫∑∑ =τ+ rrr 
∫ ∑ =+
'
'.
t
t
xxx vmdtFvm 
∫ ∑ =+
'
'.
t
t
yyy vmdtFvm 
'Ldt.L z
't
t
zz =τ+ ∫∑ 
 
 
Princípio de Conservação de Momento Angular (PCMA) 
“Se a soma dos impulsos angulares for nula, ou o 
torque resultante for zero, então há conservação do 
momento angular.” 
.' constLL ii == ∑∑
rr
 (PCMA) 
 
Analogia Força-Momentum e Torque-Momento Angular: 
 
 
am)vm(
dt
dp
dt
dFR
rrrr ===
 
 
α=ω==τ rrrr I)I(
dt
dL
dt
d
R
 
 
 
7.5 - Exercícios 
 Resolvidos 
 
7.1*) O avião com propulsão a jato de 
combustível, possui uma massa de 7.350 kg e 
precisa de 9 segundos a partir do repouso para 
que sua velocidade atinja 300 km/h, velocidade 
necessária para sua decolagem. Seu jato 
promove uma propulsão F = (3 t2 + 1,5) kN. 
Calcule os fatores médios contrários ao 
movimento, R, como resistência do ar, atrito com 
o chão, inércia de rotação das rodas, que 
promovem uma força de resistência ao seu 
movimento. 
 
 
7.2*) (Colisão) As bolas A e B tem massas mA =12 
kg e mB = 3 kg. A bola A está com velocidade 
inicial vA = 6 m/s e e na mesma linha de colisão, 
mas em sentido contrário, vem a bola B com 
velocidade vB= 2 m/s, ambas fazem um ângulo 
de 45° com a horizontal. Sabendo que o 
coeficiente de restituição na colisão é e=0,8, e 
que a colisão é central, determine (a) os 
módulos das velocidade de A e B após a colisão 
e (b) os vetores velocidade das duas bolinhas 
após a colisão de acordo com o referencial dado. 
Resp.:;(a) vA’= 3,12 m/s ; vB’= 9,52 m/s ; (b) 
)s/m(j21,2i21,2'Av
rrr += ; )s/m(j73,6i73,6'Bv
rrr += 
 
 
7.3*) Quatro bolas de 2 kg giram em torno do 
eixo indicado, inicialmente com velocidade oωr = 
6 k
r
 rad/s. Se um torque )m.N(k)2t4t6( 2
rr +−=τ 
atua durante 4 segundos neste sistema. 
Determine a nova velocidade angular do 
sistema. 
 
 
 
 
7.6 – Exercícios 
 Propostos: 
 
Princípio Impulso-Momentum 
 
7.4) O jato propulsor que decola na vertical, 
possui massa de 15000 kg. Subindo na vertical 
Solução: v = ω r = 18 m/s ⇒ 4 r m v + ∫ τ dt = 4 r m v’ ⇒ 
4 x 3 x 2 x 18 + [ 2 t3 – 2 t2 + 2 t ] 40 = 4 x 3 x 2 x v’ 
432 + [2 x 64 – 2 x 16 + 8] = 4,8 v’ ⇒ 
v’ = 111 m/s ⇒ )s/rad(k0,37
rv =ω 
ou 'IdtI
't
t
R ω=τ+ω ∫ vrr 
Solução: (a) Cons. de mom.: mAvA + mBvB = mAvA ‘+ mBvB ‘ 
12 x 6 + 3 x (-2) = 12 vA’+ 3 vB’ = 66 ⇒ 4 vA’+ vB’ = 22⇒ 
vB’ = 22- 4 vA’ ; 8,0
26
'Av'Bv
BvAv
'Av'Bve =+
−=−
−= ⇒ 
vB’- vA’ = 6,4 ⇒ 22-5vA’=6,4 ; vA’= 3,12 m/s ; vB’= 9,52 m/s ; 
)s/m(j21,2i21,2'Av
rrr += ; )s/m(j73,6i73,6'Bv
rrr += 
 
 
y
xz
VA
45º 
VB 
A
B 
3 m 
3 m 
2 kg
2 kg 
2 kg 
2 kg 
3 m 
3 m 
z
τr 
ωr
F R
Engenharia 
Solução: mv + ∫ (F-R) dt = m v’ ⇒ 
0 + [1.000 t3 + 1500 t – R t ] 90 = 7.350 kg x 83,33 m/s 
1.000 x 93 + 1500 x 9 – R x 9 = 612.476 ⇒ R = 14,4 kN 
 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
131
do repouso, a partir no piso, sendo que os jatos 
exercem uma força propulsora F = (50 t + 20) 
kN, determine a velocidade vertical do jato após 
7 segundos. Resp.: v’ = 22,4 m/s 
 
 
7.5) Lança-se um bloco de peso 20 lb em um 
plano horizontal com uma velocidade inicial de 
10 ft/s. O bloco está sujeito a uma Força a favor 
do movimento dada por F = 6 t 2 + 2 t. Determine 
a velocidade do bloco após 7s do lançamento. 
Resp.: v’ = 1193 ft/s 
 
 
 
 
 
 
 
7.6) Um carro turbo de massa 1500 kg produz 
um empuxo de saída dado por T = 600 t + 4000 
( N ). Partindo de uma velocidade de 20 m / s 
qual deve ser sua nova velocidade após 10 s? 
Resp.: v ‘ = 66,7 m/s 
 
 
 
Colisões ( Princípio de Conservação de Momentum 
e Coeficiente de Restituição ) : 
 
7.7) As bolas de bilhar de massas mA = 0,2 kg e 
mB = 0,6 kg de massa, estão com velocidades 
vA = 4 m/s e vB = 3 m/s. Determine as 
velocidades vA’ e vB’ e os seus sentidos de A e B 
após a colisão, uma vez que o coeficiente de 
restituição na colisão tem valor e = 0,7. 
Resp.: )s/m(i93,4'v A
rr −= ; )s/m(i03,0'v B
rr −= 
 
 
 
 
 
7.8) Duas esferas A e B, de massas mA = 6 kg e 
mB = 15 kg se colidem com as velocidades vA = 
15 m/s e vB = 3 m/s, fazendo ângulos com a 
horizontal de 20° e 40°, respectivamente, como 
mostra a figura. Determine as velocidades 
vetoriais das esferas A e B, no instante 
imediatamente posterior ao impacto, sabendo-se 
que o coeficiente de restituição é e = 0,80 e que 
o impacto ocorreu em alinhamento com a 
direção do eixo x da figura. 
Resp.: )s/m(j13,5i99.6'vA
rrr +−= ; )s/m(j93,1i13,6'vB
rrr −= 
 
 
 
 
 
 
7.9) As esferas de massas mA = 0,1 kg e mB = 
0,5 kg de massa, estão com velocidades vA = 10 
m/s e vB =1 m/s como indicadas na figura. 
Determine as velocidades vA’ e vB’ e seus 
sentidos logo após a colisão, uma vez que o 
coeficiente de restituição na colisão é de e = 0,7. 
Resp.: )s/m(i58,5'vA
r−= ; )s/m(i12,2'vB
rr = 
 
 
7.10) As esferas de massas mA = 2 kg e mB = 5 
kg de massa, estão com velocidades vA = 8 m/s 
e vB = - 6 m/s como indicadas na figura. 
Determine as velocidades vA’ e vB’ , 
respectivamente e seus sentidos logo após a 
colisão, uma vez que o coeficiente de restituição 
na colisão é e = 0,8. 
Resp.: )/(0,10' smivA
rr −= ; )s/m(i20,1'vB
rr = 
 
 
 
7.11) As esferas de massas mA = 6 kg e mB = 18 
kg de massa, estão com velocidades vA = 20 
14 Universo 
B A
T 
y 
x 
vA = 8 m/s 
vB = - 6 m/s
A B 
mA = 2 kg 
mB = 5 kg 
x 
A B 
x 
y
40º 
20º
vB=3 m/s 
vA = 15 m/s
t = 0 s 
Vo = 10 ft / s v
t = 7 s 
F’ F’
vA = 10 m/s 
A B 
mA = 0,1 kg 
mB = 0,5 kg 
x vB =1 m/s 
vA = 4 m/s 
vB = 3 m/s 
A B 
mA = 0,2 kg mB = 0,6 kg
x 
F 
G
V
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
132
m/s e vB = 7 m/s como indicadas na figura. 
Determine as velocidades vA’ e vB’ e seus 
sentidos logo após a colisão, uma vez que o 
coeficiente de restituição na colisão é de e = 0,8. 
Resp.: )s/m(i45,16'vA
rr −= ; )s/m(i15,5'vB
r= 
 
 
 
 
7.12) (2,0 pto) (Colisão) Uma malha A de massa 
4 kg é atirada com uma velocidade de 2 m/s 
contra uma outra malha B de massa de 20 kg e 
que caminha em sentido inverso com velocidade 
de 0,5 m/s. Sabendo-se que o coeficiente de 
restituição é 0,6 determine as suas velocidades 
finais. Resp.: )s/m(i33,1'vA
rr −= ; )s/m(i167,0'vB
rr = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.13) As esferas de massas mA = 1 kg e mB = 
2,5 kg de massa, estão com módulos de 
velocidades: vA = 16 m/s e vB = 6 m/s nas 
direções indicadas na figura. A linha de colisão é 
na direção do eixo y e o coeficiente de restituição 
na direção de colisão é e = 0,8. Determine as 
componentes de velocidade vA’ e vB’ e suas 
direções e sentidos logo após a colisão. Resp.: 
)s/m(j,i,'v Ax
rrr
256815 +−= ; 
)s/m(j,i,'v Bx
rrr
6280244 += 
 
 
 
 
 
7.14) Uma bola de tênis de massa 0,20 Kg 
atinge o solo do outro lado da rede. Um instante 
antes de batersobre o solo, faz com a horizontal 
um ângulo de 30° e possui uma velocidade de 15 
m/s. Após a colisão com o solo ela avança com 
uma velocidade de 14 m/s e um ângulo β com a 
horizontal. Determine: 
a) o vetor velocidade v
r
 e momentum p
r
 da bola 
antes da colisão como o solo. 
b) O ângulo β que a bola forma com a 
horizontal após a colisão e o vetor velocidade 'v
r
 
e momentum p
r
’ depois da colisão com o solo. 
c) O coeficiente de restituição “e ” na colisão 
com o solo. 
d) A força rresultante média sobre a bola uma 
vez que o tempo de interação com o solo foi de 
0,025 s. 
Resp.:(a) ;)s/m(j5,7i13v
rrr −= )s/mkg(j5,1i6,2p rrr −= ; 
(b)β=21,8°; ;)s/m(j20,5i13v rrr += )s/mkg(j04,1i6,2'p rrr += ; (c) 
e = 0,693; (d) )N(j102F
r= 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.15) Uma colisão somente na direção y ocorre 
na figura abaixo, para este caso, determine: os 
vetores velocidades finais da bola A e B uma vez 
que o coeficiente de restituição e = 0,6. 
Resp.: )s/m(j33i26'vA
rrr +−= ; )s/m(j12'vB
rr −= 
 
 
7.16) Uma colisão entre dois corpos ocorre 
somente na direção do eixo y. Sabendo-se que 
o coeficiente de restituição entre os materiais é e 
=0,8 , determine: (a) o vetor velocidade das 
bolas A e B antes da colisão e (b) o vetor 
velocidade das bolas A e B após a colisão. 
Resp.: )s/m(j6v;)s/m(j83,2i83,2v BA
rrrrr =+= ; 
)s/m(j37,4v;)s/m(j90,6i83,2v BA
rrrrr =+= 
 
vA = 20 m/s 
vB = 7 m/s 
A B 
mA = 6 kg 
mB = 18 kg 
x 
vA = 2 m/s 
mB = 20 Kg mA = 4 Kg 
x 
vB = 0,5 m/s 
30° β 
V = 15 m/s V ’ = 14 m/s 
y VA = 30 m/s
VB = 60 m/s 
mB = 2 kg 
mA = 3 kg 
x 
60°
A 
B
x 
80° 
y 
45° 
6 m / s 
16 m / s 
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
133
 
 
Momento Angular e Torque: 
 
7.17) Um barra fina de 5 kg e 3 m de 
comprimento gira em torno de um eixo z que 
passa por uma de suas extremidades. Sabendo-
se que o momento de inércia de uma barra 
delgada girando em torno de uma extremidade é 
I = m l 2 / 3 e que a velocidade angular da 
barra é k)6t4t2( 23
rr +−=ω (rad/s). 
Determine para o instante t = 2 s o vetor 
momento angular L
r
 da barra e o vetor torque τr 
sobre o eixo para manter o movimento. 
Resp.: )s/m.kg(k90L 2
rr = ; )s/m.kg(k120 22rr =τ 
 
 
 
 
Princípio Impulso-Momento Angular: 
 
7.18) Um barra fina de 4 m e massa desprezível 
segura em sua extremidade um corpo de 5 kg 
girando em torno de um eixo z que passa por 
uma de suas extremidades. A velocidade angular 
inicial da barra é k8o
rr =ω (rad/s). Determine 
para um instante t qualquer (variável em função 
do tempo), e para o instante t = 4 s (a) o vetor 
momento angular L
r
’ da barra e (b) o vetor 
velocidade angular 'ωr , sabendo-se que o 
torque resultante aplicado ao eixo para manter o 
movimento é τr R = (8 t + 10) k
r
 (N.m). 
Resp.: )s/mkg(k)640t10t4('L 22
rr ++= ; 
)s/mkg(k744L 24
rr = ; )s/rad(k)8t125,0t05.0(' 2 rr ++=ω ; 
)s/rad(k3,9'
rr =ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.19) A esfera de massa 3 kg, na extremidade D 
da haste CD, gira em torno da haste AB. As 
hastes AB e CD têm massas desprezíveis e a 
haste CD tem 1,5 m, gira em um movimento 
circular em torno do eixo AB. Sabendo-se que o 
eixo AB está sujeito a um torque resultante τ = 
(9t2 -6t + 3) (N.m), e parte em t = 0 com 
velocidade inicial vo = 5 m/s, determinar o 
módulo da velocidade da esfera quando o 
cronômetro marca t = 4 s. 
Resp.: em t = 4 s : v ’ = 39,7 m/s 
 
 
 
7.20) São aplicadas 2 vetores impulsos (Força x 
intervalo de tempo) sobre uma placa retangular 
de dimensões 4m x 3m x 0,005m e massa m = 
50 kg, inicialmente em repouso e cujo momento 
de inércia, de placa retangular de lados a e b, é 
dado por )ba(m)12/1(I 22zG += . A superfície de 
deslizamento tem atrito desprezível e após estes 
impulsos a placa passa a girar e transladar 
)m.N()3t6t9( 2 +−=τ 
ω 
A
B
C D 
1,5 m
ωr
τr 
z 
x
y
L
r
 
3 m 
s/rad8o =ω
)m.N(10t8 +=τ
z 
x
4 m 
VA = 4 m/s 
VB = 6 m/s 
mB = 5 kg 
mA = 2 kg 
45°
y 
x 
 Cap.7 Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 
 
 
134
livremente sobre a superfície. Determinar após 
os impulsos aplicados: (a) a velocidade de 
translação de seu centro de massa, Gv
r
; (b) a 
soma dos Impulsos angulares, ∑ θzI (impulso linear x 
braço); (c) a velocidade angular de rotação ωr da 
placa. Resp.:(a) )s/m(j254,0i144,0vG
rr −−= 
; (b) )m.s.N(k0,76I zG
rr −=∑ θ ; (c) 
)s/rad(k730,0
rr −=ω 
 
 
Princípio de Conservação de Momento 
Angular: 
 
7.21) Dado que o satélite da figura, de massa 
2000 kg está a uma distância da superfície da 
Terra de 12.000 km, e uma velocidade de 30 
km/s realizando uma trajetória elíptica. Qual 
seria sua velocidade ao se aproximar da Terra a 
uma distância de 8.000 km da sua superfície. 
Obs.: O Raio da Terra é de 6.370 km. As 
distâncias ao satélite nestes pontos referidos 
formam um ângulo de 90º com as velocidades. 
Resp.: v’ = 38,35 Km/s 
 
 
7.22) Dado que o núcleo do cometa da figura, 
tem sua calda dirigida sempre contra o vento 
solar que a produz e sai do Sol em direção ao 
cometa aumentando a sua atuação a medida 
que se aproxima do Sol, tem no entanto este 
núcleo realizado sua trajetória elíptica 
(pontilhada) em torno do Sol. Sabe-se que a 
massa do cometa é 75000 kg. Quando ele se 
encontra na posição A, sua distância ao centro 
do Sol é de 350 000 000 km a uma velocidade 
de 6 km/s, fazendo nesta posição um ângulo β = 
35°, entre vetor velocidade e raio o vetor 
negativo que liga o Sol ao cometa, como mostra 
a figura. Qual deverá ser o módulo de sua 
velocidade no ponto B, ponto de máxima 
aproximação do Sol, em que sua distância ao 
Sol é de 15 000 000 km, considerando que o 
ângulo nesta posição, entre sua velocidade e o 
seu vetor posição é de 90°. Resp.: vB = 80,3 km / s 
 
 
 
 
 
7.23) O ônibus espacial tem massa 10 000 kg, 
raio de giração em torno de G para girar em 
torno do eixo x, kGx = 15 m e para girar em torno 
do eixo y, kGy = 11 m e velocidade vG = 1000 m/s 
viaja em linha reta no sentido )k(
r− no espaço, 
em local com efeitos gravitacioanais 
desprezíveis e planeja sua penetração na orbe 
terrestre. Para isso liga dois jatos paralelos ao 
eixo z, com empuxos nos valores 
kN)k(e1960T t1
rr −= − e kN)k(e2420T t2
rr −= − , 
localizados: (a) T1 acima do eixo horizontal z, a 
distância y= 2m e (b) T2 na lateral direita do 
eixo z, a distância x = -1,5 m. Determine: (a) a 
velocidade linear após o intervalo de tempo de 
10 s; (b) a velocidade angular do ônibus espacial 
na direção x, xω , após o intervalo de 10 s; e 
(d) a velocidade angular na direção y, yω , após 
o mesmo intervalo de tempo. 
Obs.: [ ]1e)b/a(e)b/a(dtea tbt0tbt0 bt −−=−= −−−∫ ; 
Resp.:(a) s/m1480'v G = ; (b) )s/rad(74,1'x =ω ; 
(c) )s/rad(3'y =ω 
 
 
 
 
 
 
7.24) O jato da figura, de massa m = 8000 kg 
promove uma evolução em curva de fuga na 
horizontal, no momento em que é perseguido por 
um caça, e se encontra inicialmente em 
movimento de linha reta com uma velocidade vO 
= 230 m/s, de modo que aciona os motores 
traseiros do jato de combustível para um empuxo 
T1 = 21430 (N) e T2 = 90000 (N), durante 6 
segundos, fazendo uma curva para a esquerda e 
amplificando ainda mais sua velocidade inicial. 
Sabendo que o raiode giração do jato para girar 
em torno do Centro de Massa G é kG = 12 m, 
calcule para o instante 6s: (a) o valor do módulo 
da nova velocidade linear 'vG ; (b) o valor do 
x
y 
4 m 
25° 
0,5 m 
)s.N(20I1 =
)s.N(30I 2 = 
2,5 m 
3 mG 
0,8 m
z
x
y
T1
T22m
1,5m
G
rA
rB 
A 
B 
rA 
rB 
β
B
vA 
vB = ? 
A
 
 
Mecânica do Corpo Rígido - Samuel de Souza - Capítulo 7 - Impulso e Momento - 10ª Edição - 2008 Cap.7 
 
 
 
135
módulo da velocidade angular 'ωr ; após o 
impulso sofrido e se está no sentido horário ou 
antihorário; e ainda (c) com a manutenção 
inercial de sua velocidades linear e angular 
finais, o raio R de sua trajetória final no espaço, 
após os 6 s. 
Resp.: (a) )s/m(314'v G = ; (b) )s/rad(500,0'=ω ; (c) 
R = 628 m 
 
7.25) Uma cápsula de massa m = 1500 kg e raio 
de giração kG = 0,7 m em relação a um eixo que 
passa pelo centro de massa G , perpendicular à 
página. Se a cápsula se desloca para frente com 
velocidade vG = 1000 m/s, quando passam a 
atuar dois jatos laterais que fornecem uma força 
de empuxo T= 600 N cada um, durante 0,5 s. 
Sabendo que os jatos lançam combustível em 
sentidos opostos formando um binário, 
determine (a) a velocidade angular da cápsula 
depois da ação dos jatos A e B cessarem de 
atuar. Resp.:(a) )s/rad(k48,1
rr =ω 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25° 
y 
G 
T=600 N 
T=600 N A 
B 
G
2 m 
2 m 
VG = 1000 (m/s)
x
25° 
y 
x z 
T1 
T2 
1,4 m 
1,4 m 
G