Cálculo Vetorial e Geometria Analítica PLANO

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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 4 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4 1 
PLANO 
 
1) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: 
 a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor 
v
 =(2,–3,1); 
 b)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores 
kjia


 e 
k2jib


; 
 c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2); 
 d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2); 
 e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3); 
 f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores 
v
 =(2,–1,1) e 
w
 =( –3,1,2); 
 g) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
 h) contém as retas 
2
1z
2
2y
3
7x
:r






 e 
4
5z
3
2y
2
1x
:s






; 
 i) contém as retas 
3z1y
2
x
:r 
 e 
2
z
2
2y
4
1x
:s 



; 
j) que contém as retas 
0z,
2
2y
2
2x
:s e 
4z
ty
t3x
:r 












; 
k)contém as retas 
4
z
1
y
2
1-x
:s e 
1x3z
3x2y
r 






 ; 
l) passa pela reta 
1z
2
y
2
1x


 e é paralelo à reta 
4
4z
1
2y
2
3x 





 
RESP: a) :2x3y+z7=0 b) :xyz=0 c) :12x+2y9z+22=0 
 d) :12x+2y9z+22=0 e) :6x14yz+7=0 f) :x+yz5=0 
 g) :y+1=0 h) :2x16y13z+31= 0 i) :yz2=0 
 j) :4x+4y+3z=0 k) :11x+2y5z11=0 l) :3x2y2z1=0 
2) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos: 
 a) 





01yx
01zy2x b) 





04z2y3x
03zyx3 
 c) 





013y3x2
08zy2x d)





07zy2x
01zy2x3 
 RESP: a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1) b) 
2
1z
2yx



 
 c)
7
z
2
7
29
y
3
7
2
x
:r 



 d)
4
7z
4y
2
x 

 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 4 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4 2 
 
3) Forme a equação do plano que possui um ponto M(2,1,3) e que é perpendicular à reta 
z
3
1y
2
x
:r 


. RESP: :2x + 3y  z +4 = 0 
4) Dado o ponto P(5,2,3)e o plano :2x+y+z3=0,determinar: 
 a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a ; 
 b) a projeção ortogonal de P sobre ; 
 c) o ponto P’ simétrico de P em relação a ; 
 d) a distância de P ao plano . 
RESP: a) 
 
t3z
t2y
t25x
r








 b) I(1,0,1) c)P’(3, 2, 1) d) 
62d 
 
5)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,3) e B(3,2,5) 
 RESP: :x+4z6=0 
6)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,2,2) e B(3,1,2) e é 
perpendicular ao plano : 2x+yz+8-0. RESP: :x12y10z5=0 
7) Um plano , traçado por P(3,3,1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos 
OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que
||OB||2||OA|| 
 e 
 || OC||3 ||OA|| 
.Estabeleça a equação geral de . RESP: ;x+2y+3z6=0 
8)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos 1: 
3x–2y–z1=0 e 2: x +2yz7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,1). 
 RESP: :9x+2y5z13=0 
9) Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é 
paralela a cada uma dos planos 1: 2x–y–z+1=0 e 2:x+3y+z+5=0. 
 RESP: 








t7x
t3y
t21x
 
10) Determinar equação geral do plano ,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular 
aos planos 1: 2x –y –4z– 6 = 0 e 2: x + y + 2z -3 = 0. RESP: :2x8y+ 3z=0 
11) Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,2,1) e a reta 





07zyx2
01zy2x . RESP: :2x+3y+x+1=0 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 4 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4 3 
12) Determinar a equação do plano  , que passa pelo ponto P(2, 5, 3) e é perpendicular 
à reta r, interseção dos planos 1: x  2y + z  1 = 0 e 2:3x + 2y  3z + 5 = 0. 
RESP: : 2x + 3y + 4z  31 = 0 
13) Determinar a equação do plano que passa pela reta 





04z3y4x
06z5y2x3
:r
, é paralelo 
à reta 
3
1z
3
5y
3
1x
:s






. RESP: :3x + 2y + 5z + 6 = 0 
14) Dados os planos 1:2x + y  3z + 1 = 0, 2:x + y + z + 1 = 0 e 3:x  2y + z + 5 = 0, 
ache uma equação do plano que contém 12 e é perpendicular a 3. 
RESP: :x + y + z +1= 0 
15) Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano 
 :5x+4y10z20=0. RESP: VT=
3
20
 u.v. 
16)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano : xy+z2 =0. 
 RESP: R: A'(3,2,4) 
17) Determine uma equação da reta t, simétrica de 
1
z
2
2y
3x:r




, em relação ao 
plano :2x+yz+2=0. RESP: 
2
2z
2y
7
1x
:s




 
18) Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a 
equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao 
plano 2:x3=0. RESP: :
0
10
3
x 
 
19) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e 
zy
2
1x
:s 

. Seja A o ponto onde s fura o 
plano :xy+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e 
XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC. RESP: S=
ua
2
3 
20)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,4,1), e pelo 
meio do segmento de reta 





05z2y3x3
026z5y4x3
:s
,compreendido entre os planos 
1:5x+3y4z+11=0 e 2: 5x+3y4z41=0. RESP: 
3
1z
5
5y
2
2x
:r





 
21) Dados o ponto P(1,31), o plano :x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha uma 
equação da reta r que passa por P, é paralela a  e dista 3 da reta s. 
RESP: r:P=(1,3,1)+m(1,0,1) 
 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
Lista 4 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4 4 
RESPOSTAS 
RESP 1: a) :2x3y+z7=0 b) :xyz=0 c) :12x+2y9z+22=0 
 d) :12x+2y9z+22=0 e) :6x14yz+7=0 f) :x+yz5=0 
 g) :y+1=0 h) :2x16y13z+31= 0 i) :yz2=0 
 j) :4x+4y+3z=0 k) :11x+2y5z11=0 l) :3x2y2z1=0 
RESP 2: a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1) b) 
2
1z
2yx



 
 c)
7
z
2
7
29
y
3
7
2
x
:r 



 d)
4
7z
4y
2
x 

 
 
RESP 3: :2x + 3y  z +4 = 0 
RESP 4: a) 
 
t3z
t2y
t25x
r








 b) I(1,0,1) c)P’(3, 2, 1) d) 
62d RESP 5: :x+4z6=0 
RESP 6: :x12y10z5=0 
RESP 7: ;x+2y+3z6=0 
RESP 8: :9x+2y5z13=0 
RESP 9: 








t7x
t3y
t21x
 
RESP 10: :2x8y+ 3z=0 
RESP 11: :2x+3y+x+1=0 
RESP 12: : 2x + 3y + 4z  31 = 0 
RESP 13: :3x + 2y + 5z + 6 = 0 
RESP 14: :x + y + z +1= 0 
RESP 15: VT=
3
20
 u.v. 
RESP 16: R: A'(3,2,4) 
RESP 17: 
2
2z
2y
7
1x
:s




 
RESP 18: :
0
10
3
x 
 
 
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Lista 4 
EXERCÍCIOS CAPÍTULO 4 5 
RESP 19: S=
ua
2
3
 
RESP 20: 
3
1z
5
5y
2
2x
:r





 
RESP 21: r:P=(1,3,1)+m(1,0,1)