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Lista 06: GEPDG - Graduac¸a˜o em Matema´tica
Marcus Bronzi - FAMAT
Semelhanc¸a de triaˆngulos e Teorema de Pita´goras
1. Mostre que:
(a) Dois triaˆngulos iso´sceles que teˆm aˆngulos do ve´rtice oposto a` base congruentes sa˜o
semelhantes.
(b) Dois triaˆngulos is´osceles que teˆm aˆngulos da base congruentes sa˜o semelhantes.
2. Mostre que se dois triaˆngulos teˆm os seus lados dois a dois paralelos ou perpendiculares,
enta˜o eles sa˜o semelhantes.
3. Verifique que:
(a) Dois triaˆngulos retaˆngulos sa˜o semelhantes quando um aˆngulo agudo de um e´ congru-
ente ao aˆngulo agudo, correspondente, do outro.
(b) Dois triaˆngulos retaˆngulos sa˜o semelhantes quando teˆm os catetos correspondentes pro-
porcionais.
(c) Dois triaˆngulos retaˆngulos sa˜o semelhantes, quando um deles teˆm a hipotenusa e um
dos catetos proporcionais a hipotenusa e ao cateto correspondentes, do outro.
4. Demonstre que em dois triaˆngulos semelhantes,
(a) a raza˜o entre os comprimentos das bissetrizes de aˆngulos correspondentes e´ igual a`
raza˜o de semelhanc¸a;
(b) a raza˜o entre os comprimentos das medianas relativas a lados homo´logos e´ igual a` raza˜o
de semelhanc¸a;
(c) a raza˜o entre os comprimentos das alturas relativas a lados homo´logos e´ igual a` raza˜o
de semelhanc¸a.
5. Determine o comprimento do lado do quadrado inscrito num triaˆngulo ABC, cuja base BC
mede ` e a altura AD, relativa a` base BC, mede h.(Suponha um lado do quadrado paralelo
a` base BC.)
6. Dado um triaˆngulo ABC, calcule a que distaˆncia x que o ve´rtice B deve estar de um ponto
P quando os segmentos PQ (PQ = r) e PR (PR = s) paralelos aos lados BC (BC = a) e
AC (AC = b), respectivamente, satisfazem a condic¸a˜o r + s = p + q.
7. Sejam p, q inteiros positivos tais que p > q. Mostre que todo triaˆngulo cujos lados medem
p2 − q2, 2pq e p2 + q2, e´ um triaˆngulo retaˆngulo.
8. Demonstre que, num paralelogramo, as distaˆncias de um ponto da diagonal aos dois lados
adjacentes a ela sa˜o inversamente proporcionais aos comprimentos desses lados.
9. Os lados de um triaˆngulo ABC medem AB = c, AC = b e BC = a. Por um ponto D, sobre
o lado AB, trac¸a-se a paralela ao lado BC, formando um trape´zio BDEC, onde E e´ um
ponto de AC. Se o per´ımetro do trape´zio e´ 2p, ache o per´ımetro do triaˆngulo ADE.
10. Mostre que em todo triaˆngulo ABC, a medida ha, da altura relativa ao ve´rtice A e´ dada
por ha =
2
a
√
p(p− a)(p− b)(p− c), sendo a = BC, b = AC, c = AB e p o semiper´ımetro
do triaˆngulo. (Sugesta˜o: considere a altura AD e aplique o teorema de Pita´goras aos dois
triaˆngulos retaˆngulos formados).
11. Um triaˆngulo iso´sceles cuja raza˜o entre a base e uma lateral e´ o nu´mero a´ureo, e´ chamado
de triaˆngulo a´ureo (analogamente, define-se retaˆngulo a´ureo, elipse a´urea, etc.). Calcule os
aˆngulos de um triaˆngulo a´ureo. Mostre que todos os triaˆngulos a´ureos sa˜o semelhantes entre
si.