APRESENTACAO DA AULA 3

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica
Aula 3: Produto de vetores
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 3: Produto de Vetores
Conteúdo desta aula
Produto Escalar
1
Produto Vetorial
2
Produto Misto
3
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 3: Produto de Vetores
Produto escalar
Produto de Vetores
O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um escalar (número real)
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 3: Produto de Vetores
Produto de Vetores
 
 Exemplos de cálculo
Produto escalar
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Produto de Vetores
 Módulo do vetor através do produto escalar
( ) ( ) 2 2. , . ,u u x y x y x y= = +
( ) ( ) 2 2 2. , , . , ,u u x y z x y z x y z= = + +
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Produto de Vetores
 Propriedades do produto escalar
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Produto de Vetores
 Cálculo do produto escalar pelo ângulo formado pelos vetores
A
Este recurso permite calcular 
facilmente o ângulo entre vetores 
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Produto de Vetores
 Cálculo do produto escalar pelo ângulo formado pelos vetores
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Produto vetorial
Produto de Vetores
O resultado do produto vetorial entre 2 vetores é um TERCEIRO VETOR
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Produto de Vetores
O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um TERCEIRO VETOR
Produto vetorial
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Produto de Vetores
O resultado do produto escalar entre 2 vetores é um TERCEIRO VETOR
Produto vetorial
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Produto de Vetores
Propriedades 
 Considere os vetores u, v e w:
i. Se u é um vetor qualquer, u x u = 0
ii. u x v = - v x u
iii. u x (v + w) = u x v + u x w
iv. u x v é ortogonal simultaneamente os vetores u e v.
v. a ordem dos vetores modifica o sentido do vetor gerado pela operação, 
que obedece à regra da mão direita.
 
Produto vetorial
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Regra da mão direita
Produto vetorial
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u x v
Produto de Vetores
Vetor gerado pelo produto vetorial
Direção: ortogonal aos dois vetores envolvidos na 
operação. 
Sentido: obedece à regra da mão direita.
Módulo: igual a área do paralelogramo formado pelos 
vetores envolvidos no produto.
v
u
A
v x u
Produto vetorial
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Produto de Vetores
Envolve 3 vetores e seu resultado é um escalar
 
Produto misto
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Propriedades
 
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Produto de Vetores
Interpretação Geométrica
 
Produto misto
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Produto misto
Produto de Vetores
Interpretação Geométrica
 
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Produto de Vetores
Estratégias
 Ângulo entre vetores: produto escalar
• Caso particular: vetores perpendiculares, produto escalar nulo (cos 90 = 0)
Cálculo de áreas e vetor normal: produto vetorial
• Caso particular: vetores paralelos, produto vetorial nulo (área = 0)
Cálculo de volumes: produto misto
• Caso particular: 3 vetores coplanares, produto misto nulo (volume=0)
Assuntos da próxima aula:
1. Aplicações de Produto Escalar;
2. Aplicações de Produto 
Vetorial;
3. Aplicações de Produto Misto.
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