APRESENTACAO DA AULA 8

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CCE0005 – CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Aula 8: Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Conteúdo desta aula
Equação Geral
 Do plano
1
CONSTRUÇÃO DA 
REPRESENTAÇÃO DO PLANO
2
PRÓXIMOS 
PASSOS
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes ao plano e utiliza:
• um vetor para especificar a direção do plano (vetor normal)
• um ponto do plano
Equação Geral do Plano
Forma de representação do plano
Infinitos planos 
com a mesma direção
(definida pelo vetor normal).
Somente um deles possui o 
ponto
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AULA 8: Forma de representação do plano
Equação Geral do Plano
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes ao plano:
• Utiliza o recurso do produto escalar ser nulo entre 2 vetores ortogonais;
• Um dos vetores é o vetor normal ao plano;
• Todos os vetores do plano são ortogonais ao vetor normal;
• O outro vetor tem origem no ponto conhecido do plano e destino em um ponto 
qualquer;
• O produto escalar dos 2 vetores é nulo.
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Forma de representação do plano
Equação Geral do Plano
n
A
P
n . (P-A) = 0, onde 
n é o vetor normal do plano (conhecido)
A é um ponto do plano (conhecido)
P é um ponto qualquer
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Forma de representação do plano
Equação Geral do Plano
n
A
P
n . (P-A) = 0
(a, b, c). (x-x1, y-y1, z-z1) = 0
ou
a(x-x1) + b(y-y1) + c(z-z1) = 0
ou ainda
ax + by + cz –ax1 – by1 – cz1 = 0 
Como ax1, by1 e cz1 são conhecidos:
Eq. Geral: ax + by + cz + d = 0
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
• 3 pontos não colineares (do plano);
• Uma reta do plano e um ponto não pertencente à reta;
• Duas retas do plano;
• Um vetor normal ao plano e um ponto.
 
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
 
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
3 pontos A, B e C não colineares (do plano)
Para se determinar a eq. Geral do plano:
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
 
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
3 pontos A, B e C não colineares (do plano)
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar 2 vetores com os 3 pontos (por exemplo BA e 
BC)
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
 
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
3 pontos A, B e C não colineares (do plano)
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar 2 vetores com os 3 pontos (por exemplo BA e 
BC)
• Determinar o vetor normal ao plano através do 
produto vetorial dos 2 vetores criados, BA e BC)
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
 
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
3 pontos A, B e C não colineares (do plano)
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar 2 vetores com os 3 pontos (por exemplo BA e 
BC)
• Determinar o vetor normal ao plano através do 
produto vetorial dos 2 vetores criados, BA e BC)
• Gerar a equação geral do plano (vetor normal e um 
dos pontos)
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Uma reta do plano e um ponto não pertencente à reta
Para se determinar a eq. Geral do plano:
 
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Uma reta do plano e um ponto não pertencente à reta
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção da reta
 
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Uma reta do plano e um ponto não pertencente à reta
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção da reta
• Criar um vetor com um ponto da reta e o ponto do plano
 
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Uma reta do plano e um ponto não pertencente à reta
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção da reta
• Criar um vetor com um ponto da reta e o ponto do plano
• Gerar o vetor normal com o produto vetorial dos 2 vetores
 
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Uma reta do plano e um ponto não pertencente à reta
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção da reta
• Criar um vetor com um ponto da reta e o ponto do plano
• Gerar o vetor normal com o produto vetorial dos 2 vetores
• Gerar a equação do plano através do vetor normal e do ponto
 
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Duas retas do plano
Para se determinar a eq. Geral do plano:
Forma de representação do plano
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AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Duas retas do plano
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção de uma das retas
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Duas retas do plano
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção de uma das retas
• Criar um vetor na direção da outra reta
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Duas retas do plano
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção de uma das retas
• Criar um vetor na direção da outra reta
• Gerar o vetor normal com o produto vetorial dos 2 vetores
Forma de representação do plano
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
AULA 8: Forma de representação do plano
Um plano fica perfeitamente determinado se conhecermos:
Duas retas do plano
Para se determinar a eq. Geral do plano:
• Criar um vetor na direção de uma das retas
• Criar um vetor na direção da outra reta
• Gerar o vetor normal com o produto vetorial dos 2 vetores
• Gerar a equação do plano através do vetor normal e de um ponto qualquer de uma das retas 
Forma de representação do plano
Assuntos da próxima aula:
1. Ângulo entre planos;
2. Ângulo entre planos e retas;
3. Interseção entre planos;
4. Interseção entre planos e retas.
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