Aprendendo matemática

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METODOLOGIA DO ENSINO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS 
 
1. POR QUE ENSINAR MATEMÁTICA? 
 
Alguns questionamentos em relação à matemática estão presentes na vida de 
nossos alunos da escola de ensino fundamental, e um deles, sem dúvida, é a 
necessidade do estudo da matemática em suas vidas. Afinal qual será sua real 
importância? 
 
Muitos alunos e professores acreditam que a matemática seja uma disciplina 
destinada aos deuses, àquelas pessoas consideradas mais inteligentes ou 
especialistas. 
 
Há alunos que pensam que a disciplina foi feita sob medida para atormentá-
los, simplesmente. 
 
Alguns professores apontam que seus alunos não são bem-sucedidos no 
estudo da matemática ou porque não recebem incentivos e ajuda de seus 
familiares, que não têm conhecimento para ajudar ou ensinar os alunos nas 
tarefas de casa, ou devido à progressão continuada, em que o aluno é 
aprovado sem saber o conteúdo; ou ainda pela disciplina envolver conceitos a 
serem memorizados tornando-a chata e monótona. 
 
Encontramos nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) de 1997, a 
declaração de que muitos dos problemas ocorridos no ensino da matemática se 
devem à formação inicial e/ou continuada de nossos professores a respeito da 
disciplina, forçando-os a se apoiarem unicamente em livros didáticos e, muitas 
vezes, com conteúdos de qualidade insatisfatória. 
 
Esclarecem que há necessidade de propostas inovadoras, muitas vezes 
impedidas pela falta de formação profissional qualificada de nossos 
professores, por suas concepções pedagógicas inadequadas e condições de 
trabalho desfavoráveis. 
 
Em reuniões de formação, constatamos o descontentamento por parte de 
alguns professores ao alegarem que não gostam da disciplina, pois quando 
percebem que os alunos não demonstram qualquer interesse por ela, sentem-
se desmotivados; outros dizem que não se sentem familiarizados com a 
matemática ou com o conteúdo que precisam trabalhar; outros afirmam terem 
deixado de trabalhar com alguns conteúdos por considerarem desnecessários 
ao aluno e por não estarem seguros quanto aos conceitos que estão previstos 
no planejamento do curso. 
 
Experiências mal-sucedidas com o conhecimento e com a aprendizagem do 
aluno podem influenciá-lo a não gostar da matemática, tê-la como algo 
intransponível ou dominar conceitos errôneos que o levem ao desânimo em 
soluções de problemas. 
 
Os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 8) ressaltam alguns 
preconceitos que as pessoas têm em relação à mate mática; como achar que a 
disciplina é difícil, impenetrável, repleta de regras e normas a serem 
memorizadas, incompreensível e obscurecida. 
 
Os autores também destacam o papel do professor como um mediador entre a 
intuição matemática, existente em todos os alunos, e a teoria formal da 
matemática. Por isso, sugerem uma metodologia de sala de aula que valorize a 
troca entre as impressões e experiências trazidas pelo aluno daquilo o que 
acredita e aprendeu de sua realidade e os conteúdos e conceitos a serem 
trabalhados na disciplina, com o objetivo de desenvolver as habilidades de 
comunicação e formulação de hipóteses no aluno. 
 
Devido a muitos professores trabalharem com a disciplina de forma expositiva, 
longe da realidade, muitos alunos questionam o fato de a disciplina de 
matemática constar no currículo escolar e qual a sua real necessidade. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) apresentam duas respostas a esses 
questionamentos: 
 
• a matemática é uma disciplina necessária em atividades cotidianas, porque 
envolve aspectos quantitativos e qualitativos da realidade como, por exemplo, 
as ações de lidar com as grandezas, a contagem, as medidas, as técnicas de 
cálculo, etc.; 
 
• a matemática desenvolve o raciocínio lógico, a capacidade de abstrair, 
generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível. 
 
Os PCNs (1997), além de sugerirem a busca por uma nova prática, esclarecem 
que a matemática: 
 
• é um componente importante na construção da cidadania, na medida em que 
possibilita ao aluno apropriar-se de conhecimentos científicos e tecnológicos, 
cada vez mais utilizados na sociedade atual; 
 
• é uma atividade que tem por base a análise e a reflexão e, portanto, pode 
capacitar o aluno a resolver problemas, a compreender e transformar a própria 
realidade; 
 
• é um dos meios que possibilita ao aluno falar e escrever com representações 
gráficas, desenhos, construções, esquemas, tabelas, além de organizar e tratar 
dados da realidade; 
 
• é uma forma de o aluno relacionar e estabelecer conexões entre a disciplina 
e as outras áreas, seus conceitos e seu cotidiano e entre os diferentes temas 
matemáticos; 
 
• é um conhecimento historicamente construído e em permanente 
transformação, assim, o conhecimento de seu contexto histórico permite ao 
aluno compreendê-la em sua dimensão filosófica, científica e social e seu lugar 
no mundo. 
 
Ao observarmos a prática de alguns professores, encontramos ações 
embasadas na crença de que os alunos das séries iniciais apresentam um grau 
de abstração e formalização dos quadros lógicos muito próximo ao do adulto e 
que conseguem, individualmente, pensar, analisar, deduzir, apreender e 
aplicar os conhecimentos ministrados pelo professor em sala de aula, sem ter 
dúvidas a respeito do conteúdo. 
 
Acreditam que o aluno analisa, conclui e acerta as hipóteses criadas durante o 
estudo do conteúdo na sala de aula, aprendendo com a simples explanação 
teórica do professor na lousa, sem nenhuma aplicação ou experiência em 
situações concretas. O que acontece, no entanto, é a memorização das teorias 
matemáticas, de modo distante e sem nenhuma ligação com a sua prática 
cotidiana. 
 
Podemos apreender das pesquisas de Piaget que os alunos não são meros 
depositários das aulas dos professores. Pelo contrário, são participantes ativos 
na construção de sua aprendizagem. Suas pesquisas não sugerem aulas 
expositivas de matemática que excluam o aluno do pensar, refletir, relacionar, 
testar e intervir com o objeto de sua aprendizagem. 
 
O aluno só é capaz de exercer certas atividades quando está desenvolvido 
intelectualmente, pois sua aprendizagem depende de seu desenvolvimento 
cognitivo, da fase em que se encontra, portanto, um aluno que está na fase 
concreta, abordada por Piaget, tem dificuldade de pensar abstratamente 
determinados conteúdos, quando distantes do concreto de suas vidas. 
 
Como forma de conseguir atender às expectativas do professor e dos degraus 
impostos pela escola, o aluno acaba memorizando fórmulas e procedimentos 
matemáticos para recitá-los nas avaliações e conseguir ser aprovado, o que 
não implica em construção do conhecimento por parte do aluno. 
 
A criança interage com o objeto de seu conhecimento, portanto, a 
aprendizagem dos conceitos matemáticos deve estar ligada ao dia a dia da 
criança, envolvendo aspectos quantitativos da realidade e relacionando-os. 
 
Muitos professores resistem ao uso da tecnologia como uma ferramenta que 
pode auxiliar na prática educativa e não permitem que seus alunos utilizem 
calculadoras, computadores, videogames e outros aparelhos tão comuns em 
suas vidas diárias. Esses professores perdem a oportunidade de observar e 
analisar como seus alunos pensam, resolvem os problemas propostos e 
utilizam tais ferramentas. 
 
O que está por trás dessa atitude são concepções que o professor tem a 
respeito do ensino da matemática. Algumas dessas crenças são as de que: • a 
matemática envolve processos algoritmos1 rígidos, resultados de uma única 
forma de fazer e agir para uma única resposta precisa. Nesse tipo de visão, 
não se observa como e o que a criança pensou para chegar àquele resultado e, 
muito menos, contribui-se para que o próprio aluno chegue à conclusão de que 
sua hipótese de raciocínio não foi adequada; pelocontrário, estimula-se a 
memorização do modo de fazer igual ao do professor ou ao do livro didático; 
 
• a matemática é algo específico para crianças consideradas muito inteligentes 
ou para especialistas. 
 
1.1 A matemática e o dia a dia 
 
Os objetivos do ensino da matemática apontados por Marília Toledo e Mauro 
Toledo (1997) são: 
 
• preparar o aluno para lidar com as mais diferentes situações que envolvam 
aspectos quantitativos da realidade. Nesse objetivoo aluno não precisa ter as 
fórmulas decoradas para empregá-las no seu dia a dia, mas resolver as 
situações diárias utilizando hipóteses adequadas para a solução dos diferentes 
impasses da realidade; 
 
• favorecer situações que possibilitem ao aluno o estabelecimento de vínculos 
entre o que aprendeu na sala de aula e as situações do seu dia a dia. 
 
Os PCNs (1997, p.43) indicam objetivos do ensino da disciplina nas séries 
iniciais e que estão relacionados à matemática do dia a dia dos alunos; são 
eles: 
 
• a construção do significado do número natural nas diferentes situações do 
contexto social em que os alunos vivem, por meio de contagens, medidas e 
códigos numéricos; 
 
• a interpretação, a produção de escritas numéricas e a criação de hipóteses 
baseadas na observação do meio e expressas pela linguagem oral, registros 
informais e linguagem matemática; 
 
• a resolução de situações-problema pela construção dos significados das 
operações fundamentais e pelo reconhecimento de que uma operação pode 
estar relacionada a diferentes problemas ou de que um mesmo problema pode 
ser resolvido por várias e diferentes operações; 
 
 
1 Algoritmo: é uma sequência de um número fi nito de procedimentos, realizados para se chegar 
ao resultado de um cálculo. 
• o desenvolvimento de procedimentos de cálculo mental, a obtenção de 
resultados, exatos ou aproximados, e a observação de regularidades e 
propriedades das operações pela verificação dos resultados obtidos; 
 
• a reflexão da grandeza numérica, pelo uso da calculadora como instrumento 
de produção e análise das escritas; 
 
• o estabelecimento de pontos de referência no sentido de o aluno situar-se, 
posicionar-se e se deslocar no espaço; a identificação das relações de posição 
entre objetos no espaço e a interpretação e o fornecimento de instruções 
usando terminologia adequada; 
 
• a percepção de semelhanças e diferenças entre objetos no espaço e a 
identificação de formas tridimensionais ou bidimensionais por meio de 
descrições orais, construções e representações; 
 
• o reconhecimento de grandezas mensuráveis como comprimento, massa, 
capacidade e elaboração de estratégias pessoais de medida; 
 
• a utilização de informações sobre o tempo e a temperatura; 
 
• a utilização de instrumentos de medida, usuais ou não, a estimação e a 
expressão de resultados por meio de representações convencionais ou não; 
 
• a identificação e o uso de tabelas e gráficos de leitura e a interpretação de 
dados e informações como forma de registro e comunicação pessoal. 
 
Os PCNs (1997, p. 9) norteiam o ensino das diferentes disciplinas nas séries do 
ensino fundamental como forma de possibilitar ao aluno: 
 
“(...) questionar a realidade, formulando-se problemas e tratando de resolvê-
los, utilizando para isso o pensamento lógico, a criatividade, a intuição, a 
capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e verificando sua 
adequação.” 
 
2. COMO ENSINAR MATEMÁTICA? 
 
A revista Nova Escola (2008, n. 216, p. 63) citou alguns mitos que permeiam a 
prática pedagógica de alguns professores e prejudicam o ensino da disciplina. 
Aproveitamos o texto da revista e o reescrevemos na forma de perguntas e 
respostas. 
 
 
 
 Em Didática de matemática — como dois e dois: a construção de 
matemática, Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 14-5) descrevem as 
várias propostas de trabalho que poderão ser utilizadas pelos professores para 
o ensino de matemática. São elas: 
 
1. resolução de problemas: essa proposta de trabalho visa a promover 
situações didáticas que estimulem a construção de conceitos matemáticos 
pelos alunos, utilizando a sua curiosidade matemática. Diante de uma 
situação-problema proposta, o aluno cria hipóteses, investiga, interpreta o 
fenômeno matemático e o explica dentro de sua concepção matemática; 
 
2. modelagem: essa proposta de trabalho visa a aproximar as teorias 
matemáticas formais e a sua utilidade na vida real. É uma forma de estudar e 
analisar os problemas do dia a dia, à luz dos conteúdos científicos da 
matemática; 
 
3. etnomatemática: o termo “etnomatemática” foi criado por Ubiratan 
D’Ambrosio com o intuito de ensinar matemática por meio do estudo das 
práticas matemáticas de diferentes grupos culturais. Essa proposta de trabalho 
visa a valorizar conceitos matemáticos informais construídos pelos alunos por 
meio de suas experiências fora do contexto escolar; 
 
4. história da matemática: essa proposta de trabalho tem por objetivo 
promover o desenvolvimento de conceitos matemáticos por meio do estudo da 
construção histórica dos conhecimentos matemáticos adquiridos nesse 
processo. Conforme tal abordagem, se estudarmos a construção histórica do 
conhecimento matemático, podemos com preender a evolução e as 
dificuldades dos conceitos matemáticos. Essa proposta está relacionada à 
etnomatemática, na medida em que estuda os estágios de desenvolvimento 
matemático de diferentes grupos culturais e os compara aos estágios de 
desenvolvimento histórico de diferentes conceitos matemáticos; 
 
5. o uso de computadores: nesta proposta de trabalho, o aluno cria 
autoconfiança em sua capacidade de criar e fazer matemática, deixando de 
lado conhecimentos prontos, transmitidos, para utilizar conhecimentos na 
construção dos conceitos matemáticos; 
 
6. jogos matemáticos: essa forma de ensino privilegia o desenvolvimento do 
pensamento lógico-matemático e do espacial por meio da utilização de jogos 
como estratégia. Trabalha, também, com a estimativa e o cálculo mental. 
 
Os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) enfatizam que a melhor 
proposta é aquela que desenvolve a matemática de forma rica com todos os 
alunos e sugere uma linha metodológica que utilize as várias propostas 
abordadas, pois elas se complementam. 
 
2.1 O conceito de número 
 
Para entendermos como o aluno constrói o conceito de número, é interessante 
observarmos como as pessoas definem número. 
 
Número é: 
 
− quantidade; 
− um símbolo; 
− um símbolo representativo de uma quantidade; 
− um numeral, e não um símbolo. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) esclarecem a dificuldade e a divergência 
que alguns autores tiveram ao tentar definir o que eram números. Veja 
algumas definições: 
 
É a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie 
(Baltzer, 1814-1887). 
 
É a adição sucessiva de uma unidade (Kant, 1724-1804). 
 
É uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Broutroux, 
1845-1921). 
 
É a classe de todas as classes equivalentes a uma classe (Russell, 1872-1970). 
 
Até 1960, as noções e os conceitos matemáticos eram ensinados como se 
esses conceitos pudessem ser aprendidos por meio da memorização do que 
lhes fora transmitido – o conteúdo ministrado de matemática era trabalhado 
como se a aprendizagem estivesse relacionada ao conhecimento social. 
 
Com todo esse trabalho citado, algumas crianças não conseguiam construir o 
conceito de número, e os professores não conseguiam ajudá-las com suas 
aulas expositivas. Os estudos da matemática moderna contribuíram para 
mudanças no currículo. 
 
Segundo os autores Marília e Mauro Toledo (1997), a matemática moderna 
contribuiu para a construção do conceito de número, porque enfatizou a teoria 
dos conjuntos.Essa ênfase concordou com as pesquisas realizadas por Piaget a 
respeito da construção do conceito de número pela criança. Os mesmos 
autores (1997, p. 17) ainda afirmam que alguns professores acreditam facilitar 
a aprendizagem do conceito de número por seus alunos, porque trabalham 
com conjuntos. 
 
Esses professores definem número como a denominação da quantidade de 
uma classe com a mesma quantidade de elementos (aspecto cardinal) e que 
ocupam certa posição em uma série (aspecto ordinal). 
 
Nenhum aspecto da matemática foi tão analisado “à luz da teoria piagetiana” 
quanto o número. Os resultados encontrados por Piaget e Szeminska e 
publicados no livro A gênese do número na criança, geraram, também, 
inúmeras publicações acerca das suas possíveis implicações pedagógicas. 
 
Fonte: http://www.emaberto.inep.gov. br/index.php/RBEP/article/view/29. 
Acesso em: 19/01/2009. 
 
Segundo os autores, o que os professores acabaram por valorizar foi o 
trabalho de representação simbólica com o uso de símbolos como pertence, 
não pertence, contém, não contém, etc. Por isso, apontam para a necessidade 
do trabalho com coleções de objetos junto aos alunos, resultado das 
avaliações realizadas com o trabalho com conjuntos, erros e acertos, 
relacionando-os com a evolução do conceito de número. 
 
O professor deve criar situações que possibilitem ao aluno manipular, 
observar, descobrir propriedades, juntar objetos por semelhanças, separar 
objetos por diferenças, estabelecer correspondências um a um entre os 
elementos de duas coleções para comparar quantidades. 
 
Por meio de suas pesquisas, Piaget esclareceu os três tipos de conhecimento 
humano: o físico, o social e o lógico-matemático. 
 
Conhecimento físico: é o conhecimento adquirido por meio da observação do 
meio em que a pessoa vive. Observamos aspectos de determinado objeto, 
como sua cor, seu tamanho, sua forma, seu uso, seu peso, sua consistência e 
aprendemos com esse objeto. 
 
O conhecimento físico pode ser explorado pelo professor por meio de 
atividades que favoreçam ao aluno a observação da realidade, seus problemas 
e os conceitos matemáticos envolvidos. 
 
Conhecimento social: é o conhecimento que herdamos da cultura do meio 
em que vivemos, pela transmissão e pela memorização de dados e conteúdos. 
 
Às vezes, é necessário que o professor trabalhe com o conhecimento social, 
como, por exemplo, a memorização da tabuada, tão necessária na vida das 
pessoas. O aluno pode memorizar, mas não apenas decorar, e sim entender 
em que momentos é necessária, como é realizada, os porquês e como utilizá-la 
na realidade. 
 
Conhecimento lógico-matemático: é o conhecimento adquirido como 
resultado das relações que o sujeito estabelece com ou entre os objetos. 
 
O conhecimento lógico-matemático tem origem no próprio sujeito, na medida 
em que se relaciona com o objeto. 
 
Os três tipos de conhecimento acontecem juntos, são inseparáveis. 
 
A criança, desde muito pequena, entra em contato com os números em seu 
meio porque vê o adulto utilizando, fala a sua idade, lida com número de 
telefone, número do seu canal de televisão preferido, etc. 
 
É por meio desse contato informal que a criança se familiariza com o conceito 
de número, cria as primeiras hipóteses a respeito do processo de 
representação das quantidades dos objetos, conforme Marília e Mauro Toledo 
(1997) explicam. Quando uma criança lida com o número dizendo ser o de sua 
casa, registra o número de brinquedos que ganhou, o dia, o mês e o ano em 
que nasceu, não significa que tenha construído o número, conforme veremos a 
seguir. 
 
Como a criança constrói a noção de número? 
 
Quais são as estruturas operatórias envolvidas nesse processo? 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 21) se reportam a Constance Kamii 
(1984), pesquisadora piagetiana, para afirmar a necessidade de a criança 
sintetizar dois tipos de relação com os objetos para construir a noção de 
número: a ordem e a inclusão hierárquica. 
 
Ordem e inclusão hierárquica 
 
Piaget definia ordem como a necessidade lógica de organizar os objetos; essa 
ordem não precisa ser espacial para sabermos que contamos todos os objetos 
e que nenhum foi contado mais de uma vez. 
 
Podemos observar a criança quando inicia o contato com os números: ela 
recita os números como se fossem os nomes próprios de cada objeto, como se 
estivesse recitando os nomes de algumas pessoas. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) explicam que a criança conta cinco 
brinquedos, e se pedirmos o número cinco, ela aponta para o quinto dizendo 
que é o número cinco, como se estivesse dizendo o nome do objeto. 
 
Conforme Piaget, inclusão hierárquica2 é a capacidade de entender: o um 
está incluído no dois, o dois no três, e assim por diante. 
 
Kamii (1984) conclui que a inclusão hierárquica envolve a conexidade. 
 
A conexidade, portanto, é o entendimento que a criança alcança quando 
percebe que os números consecutivos estão conectados pela operação de 
“+1”. Cada vez que uma criança ordena grupos de cinco objetos, por exemplo, 
e em momentos diferentes, não precisa recomeçar a contagem pelo número 
um até o cinco; ela pega exatamente o que lhe é pedido, os cinco objetos. 
 
Piaget explicou a necessidade da criança de conservar quantidades para 
chegar ao conceito de número. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) definem a conservação de quantidades 
como um processo que ocorre gradualmente, portanto, a criança pode 
conservar quantidades discretas, mas não massa ou volume do objeto, por 
exemplo. 
 
Segundo Piaget, a conservação de quantidades depende do que chamou de 
reversibilidade, a capacidade de fazer e desfazer mentalmente a mesma ação. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) citam uma das provas piagetianas sobre 
a conservação de quantidades discretas: apresenta-se à criança, de três ou 
quatro anos, uma fila com cerca de oito fichas amarelas. Pede-se à criança que 
faça uma nova fila com fichas azuis com o mesmo tanto das fichas amarelas. 
Num primeiro momento, a criança utiliza todas as fichas azuis disponíveis para 
montar a fila com o mesmo tanto da fila de fichas amarelas. 
 
Uma criança de uma fase mais avançada não se preocupa com a quantidade 
de fichas azuis em relação às fichas amarelas; preocupa-se apenas em deixar 
as fichas azuis com uma disposição tal que contenha o mesmo espaço utilizado 
pelas fichas amarelas. 
 
A criança de uma etapa seguinte se preocupa com a quantidade e faz o 
pareamento das fichas azuis e amarelas colocando-as arrumadas. 
 
Para desafiar a criança, podemos pedir que compare as duas filas de fichas e 
arrume as fichas azuis em sua frente, espaçando-as. Marília Toledo e Mauro 
Toledo (1997) descrevem duas atitudes possíveis da criança: 
 
1. ela pode dizer que a fila mais comprida tem maior número de fichas; 
 
 
2 Inclusão hierárquica: a criança que observa cinco brinquedos, por exemplo, percebe que os 
cinco brinquedos são o grupo todo. 
2. ela pode ficar em dúvida entre achar que as quantidades são iguais ou que a 
fila mais comprida tem maior quantidade de fichas. 
 
Quando a criança apresenta conservação de quantidades, afirma que a 
quantidade não foi alterada e continua a mesma. 
 
Em contraposição ao pensamento de alguns professores quanto a aplicar várias 
atividades como essa até a criança chegar à conservação de quantidades, 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) dizem que a função da escola não é 
esperar que a criança por si aprenda o conceito de número, mas ajudá-la a 
construir essa noção colocando-a em contato com situações que a estimulem a 
buscar soluções, a estabelecer relações e a realizar operações como a 
comparação de quantidades, classificação e seriação para a fundamentação do 
conceito de número. 
 
A seguir, colocamos umquadro com as definições de noções numéricas 
básicas: 
 
Fonte: http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/passa7a.html. 
 
2.1.1 Representação escrita dos números 
 
Desde os primórdios da humanidade, o homem utiliza diferentes formas para 
representar suas ideias. Essa representação não é a ideia, mas uma forma de 
expressar o que o homem pensa. 
 
Os povos primitivos utilizavam pedrinhas, dedos, entalhes em madeira, 
desenhos, marcas nas paredes das cavernas para representar suas ideias, 
contagem, medição e ordenação. 
 
César Coll e Ana Teberosky (2002) esclarecem que as marcas utilizadas pelos 
povos primitivos não substituíam os objetos representados, mas permitiam ao 
homem tomar decisões baseadas na representação sem a necessidade de lidar 
concretamente com as situações representadas, surgindo, dessa forma, os 
numerais ou algarismos3. 
 
O aluno das séries iniciais do ensino fundamental precisa entender a noção de 
quantidade para poder representá-la. Para se ensinar o número que representa 
a quantidade, o professor pode iniciar seu trabalho por símbolos que 
representem uma dada realidade. 
 
3 Algarismo: é cada um dos símbolos usados para escrever os números. 
 
O símbolo utilizado pode, inicialmente, ser o desenho de pedrinhas, palitos, 
bolinhas. que representem a quantidade desejada de uma situação concreta. 
 
Os símbolos podem ou não ter semelhança com o que se quer representar. 
Numa determinada atividade, o aluno pode representar quantidade com os 
numerais, com riscos como “/////”, com desenhos. 
 
César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 21) apontam para dois tipos de sistemas 
de numeração, o sistema romano e o dos maias; descrevem como os romanos 
utilizaram letras maiúsculas para escrever os números, e os maias utilizaram 
três sinais. 
 
 
 
 
 
Com o passar do tempo, as pessoas foram tendo a necessidade de representar 
quantidades com números maiores e tiveram, portanto, que aumentar a 
quantidade de algarismos em cada número; por exemplo: 100, 200,1.000, 
10.000, etc. 
 
2.1.2 Operações com números naturais 
 
Cálculo mental: uma das necessidades no ensino de matemática na sala de 
aula é promover condições para que o aluno pense e busque soluções que 
resolvam situações propostas pelo professor. 
 
Infelizmente, a escola pouco trabalha no sentido de promover situações-
problema do cotidiano da criança, e muito menos propõe ao aluno o pensar e o 
analisar com a perspectiva de sugerir uma solução. Torna-se mais fácil colocar 
na lousa o conteúdo e pedir para o aluno copiá-lo e estudá-lo para resolver de 
um mesmo jeito o que é proposto pelo professor. 
 
Não há oportunidade para discussões de outras possibilidades de soluções a 
serem propostas pelos diferentes alunos em trabalhos de grupos. 
 
Os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997) apontam para alguns 
benefícios que o cálculo mental – incentivado pelo professor em sala de aula – 
promove: 
 
• o desenvolvimento da rapidez e exatidão de resultados e resposta a 
problemas propostos; 
 
• segurança psicológica de propor sugestões e hipóteses analisadas pelo 
próprio aluno; 
 
• criatividade nas atividades com números e maior autonomia de raciocínio na 
resolução de problemas. 
 
Outra situação citada quanto à familiarização dos alunos com os números, é a 
capacidade de estabelecer relações e descobrir suas propriedades e utilização. 
 
Os autores sugerem para o trabalho com jogos, que o professor peça aos 
alunos que eles mesmos, sob sua orientação, organizem suas equipes, 
discutam e definam regras para o jogo, providenciem material suficiente e 
necessário para a execução do trabalho proposto, estabeleçam a ordem da 
jogada e os pontos obtidos pelos grupos. Atividades com essa metodologia 
promovem, ainda segundo Marília e Mauro Toledo (1997, p. 99): 
 
“(...) o raciocínio e a capacidade de argumentação para defender seu ponto de 
vista; a capacidade de análise crítica ao examinar os diversos 
encaminhamentos de soluções. A criatividade4 na elaboração de novas regras 
para o jogo; a autonomia, social, moral e intelectual.” 
 
Frequentemente, efetuamos operações básicas com os números e as 
quantidades: adicionar, subtrair, multiplicar e dividir; com o aluno não é 
diferente, acontece muito antes de chegar à sala de aula. 
 
O professor precisa trabalhar com a sistematização, com o registro das 
operações e abrir um leque de possibilidades ao aluno para que utilize as 
operações com eficácia nas diferentes situações. 
 
Adição e subtração: realizamos operações de adição e subtração em 
diferentes situações de nossas vidas. 
 
A adição deveria ser uma operação simples na aprendizagem dos nossos 
alunos, por executarem essa operação concreta e diariamente. 
 
4 Criatividade: há várias maneiras, tipos de raciocínios que podem nos levar ao mesmo 
resultado, portanto, o professor deve respeitar as diversas formas de pensar e não ser rígido 
com o aluno a ponto de aceitar apenas um único modo de se fazer um cálculo. 
 
Muitos professores se preocupam em cobrar de seus alunos as nomenclaturas 
das operações e se esquecem de trabalhar com os algoritmos, ou seja, com o 
quê e como o aluno pensa a execução da operação. 
 
Segundo César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 21), a adição e a subtração são 
operações praticadas com coleções de objetos, em ações como anexar, tirar, 
juntar, unir, aumentar, acrescentar, completar, ganhar, separar, perder, 
diminuir, comparar e deixar. 
 
Muitos professores ensinam a adição e a subtração como o ajuntamento ou a 
diminuição de elementos do conjunto. Quando a criança se vê em situações do 
dia a dia diferentes do único jeito de adicionar e subtrair que o professor 
ensinou, muitas vezes, tem dificuldade de associar o que viu em sala de aula 
com o que vê em sua realidade. 
 
O aluno deve aprender adição e subtração enquanto vivencia experiências 
diversificadas e concretas. É nessas situações que o aluno aprende a pensar, a 
calcular, a realizar o algoritmo, esquematizando, primeiramente, no plano de 
sua mente, para depois executar na tentativa de solucionar as suas 
necessidades e situações-problema. 
 
O professor não pode trabalhar em sala de aula separando os conceitos da 
adição dos conceitos da subtração, porque na vida cotidiana são operações que 
permanecem juntas, apesar de serem operações inversas. 
 
O aluno pode perceber, por exemplo, que numa determinada situação, pode 
somar objetos à sua coleção, como também separar alguma quantidade de sua 
coleção, diminuindo-a. 
 
A adição envolve dois tipos de ações: juntar (agregar, reunir) ou acrescentar 
(somar), e sugerimos ao professor atividades que ajudem o aluno a descobrir 
propriedades como a comutativa e a associativa e o zero como elemento 
neutro na adição. 
 
Propriedade comutativa da adição: a ordem dos números não altera a 
soma. Exemplo: 
 
7 + 5 + 2 = 14 
2 + 5 + 7 = 14 
5 + 7 + 2 = 14 
 
Propriedade associativa da adição: a soma não é alterada porque se 
associou os números de modo diferente. Exemplo: 
 
7 + 5 + 2 = 14 
(5+5) + (2+2) = 14 
(5+2) + (5+2) = 7 + 7 = 14 
 
Zero5: é um elemento neutro na adição, por sua presença não se altera a 
soma. 
 
A subtração diz respeito às ações de retirar, comparar (o que tem menos ou 
quanto tem a mais do que tem menos) ou completar (o que falta para). 
 
49 – 35 = 14 35 + 14 = 49 
 
A criança precisa buscar na teoria as ações que a ajudem a pensar e solucionar 
suas necessidades e problemas, portanto, não há espaço para perguntas ao 
professor do tipo “Que conta eu tenho que fazer? É conta de mais ou de 
menos?” 
 
O professor, portanto, deve promover experiências que contenham todas essas 
ações e utilizar materiais de sucata para promover situaçõesem que o aluno 
possa empregar as ações citadas. 
 
Em algumas atividades de subtração propostas pelo professor, não aparecem 
frases que indicam a necessidade de subtração dos elementos, o que pode 
induzir a criança ao erro se ela se basear em expressões como “menos”. 
 
Ações de tirar: são o emprego de contas de tirar elementos de um todo. 
Estão presentes em situações que temos o total e deste total tiramos 
determinada quantidade. 
 
Muitos professores enfocam apenas a ação de tirar quando trabalham com a 
subtração, mas existem outras ações ligadas a essa operação, como o 
comparar e o completar. 
 
Ações de comparar: as ações de comparar que envolvem a subtração estão 
presentes nas situações em que confrontamos duas quantidades 
independentes; por exemplo, num problema proposto pelo professor, como 
este: João tinha 12 figurinhas do Corinthians, seu time preferido. Luiz, seu 
amigo, tinha 22 figurinhas do mesmo time de futebol. Quem tem mais 
figurinhas? Quanto a mais tem de figurinha? 
 
Noutra situação, as ações podem envolver a comparação de uma parte com o 
todo e depois com a outra parte, por exemplo: João tem doze figurinhas; 
desse total, cinco são do time de futebol do São Paulo e as demais são do 
Corinthians. Quantas figurinhas do Corinthians João tem? 
 
Ações de completar: as ações de completar aparecem nas situações em que 
o cálculo começa por uma parte até chegar ao todo. Exemplo: João gostaria de 
ter 50 figurinhas dos diferentes times de futebol para completar sua coleção. 
 
5 Quando adicionamos o zero a qualquer número, a soma é o próprio número. 
Acontece que o João tem apenas 28 figurinhas. Quantas figurinhas faltam para 
João ter as 50 figurinhas? 
 
Segundo os autores Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 111), muitos 
livros didáticos enfatizam a ideia de “tirar” quando tratam da subtração, mas é 
na ação de comparar e completar que os alunos apresentam maior dificuldade, 
sendo necessária maior intervenção do professor na proposta de atividades. 
 
Os autores (1997, p. 117) denunciam a forma controversa de ensinar 
subtração por meio do método do “emprestando”. Abaixo, daremos um 
exemplo de como é ensinada a subtração pelo empréstimo: 
 
25 – 8 = 17 
 
Não é possível tirar 8 unidades de 5 unidades, portanto, pede-se emprestado 1 
do número 2 ao lado para o número 5, formando 15. Agora é possível tirarmos 
8 de 15, e o resultado é 7. Como emprestado na conta é dado, então o número 
dois agora é o número 1, que menos 0 é o número 1. O resultado da conta é 
17. 
 
Segundo os autores, o termo “emprestar”, além de inadequado, trata de um 
valor errado, como o de emprestar e não pagar o que emprestou. O aluno 
também efetua uma conta de forma mecânica, não compreende e não sabe o 
valor das trocas, ou seja, 25 unidades, troca-se 10 unidades por uma dezena 
que se ajunta com o número 5, tendo condições, portanto, de executar a 
subtração. 
 
Com essa atitude, segundo os autores, o professor estimula o aluno a fazer 
contas apenas no papel para que tenha condições de realizar os empréstimos e 
não favorece a aprendizagem das trocas de uma dezena para 10 unidades e 
assim por diante. 
 
Multiplicação e divisão: segundo César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 38), 
tanto a multiplicação como a divisão possuem relação direta com as operações 
de adição e subtração. Os autores explicam que a multiplicação é utilizada para 
adicionar um mesmo número várias vezes, e a divisão, para subtrair várias 
vezes um mesmo número. 
 
Muitos professores acreditavam que a multiplicação e a divisão deveriam ser 
trabalhadas depois que o aluno aprendia e sabia muito bem a operação da 
adição e a da subtração. Dentro dessa idéia, acreditava-se também que a 
multiplicação deveria ser ensinada antes da divisão. 
 
As últimas pesquisas têm apontado para o ensino da multiplicação e o da 
divisão acontecerem desde os primeiros anos do ensino fundamental e sem 
dividi-los, ministrá-los juntos. 
 
Uma das justificativas é que o ensino da matemática não deve estar 
desvinculado da realidade do aluno, portanto, como na vida cotidiana, as 
operações matemáticas não estão separadas, e o ensino da multiplicação não 
deve estar separado do ensino da divisão, como também não há uma única 
forma de se multiplicar ou dividir numa operação. 
 
A outra justificativa é a de que os alunos têm contato com os números e com 
as operações muito antes de frequentarem a escola, portanto, não há motivos 
para deixar de trabalhar com multiplicação e divisão desde cedo, tendo em 
vista que possuem experiência (informal) com as operações. 
 
Os atuais especialistas orientam que professores devem evidenciar as relações 
existentes entre as operações antes de trabalhar com o registro e a 
sistematização dos algoritmos. Esclarecem, também, a necessidade de criar 
condições para que o aluno compreenda os conceitos envolvidos nas operações 
ao trabalhar com as estruturas multiplicativas. 
 
Podemos trabalhar com três conceitos na operação de multiplicação: a 
proporcionalidade, a organização retangular e a combinatória. 
 
Proporcionalidade: o professor propõe situações-problema para o aluno 
resolver de forma a empregar a proporcionalidade, observando a idade e 
operações cognitivas próprias do desenvolvimento do aluno. 
 
Nessa atividade, o aluno identifica a ideia de proporção. Marília Toledo e Mauro 
Toledo (1997, p. 139) dão o seguinte exemplo de uma atividade envolvendo a 
proporcionalidade: 
 
Se tiver que distribuir três lápis para cada aluno de meu grupo: se meu grupo 
tem dois alunos, quantos lápis eu tenho que pegar? E se forem quatro alunos? 
E se forem nove? 
 
Os autores sugerem, para depois da atividade concreta, a seguinte 
representação: 
 
 
 
Outro exemplo é: cada pacote de figurinhas de times de futebol tem cinco 
figurinhas; João tem um pacote de figurinhas, Marcos tem dois pacotes e 
Guilherme tem três pacotes. Quantas figurinhas têm João, Marcos e 
Guilherme? 
 
 
 
Há também a ideia de proporcionalidade inversa, que significa a diminuição 
proporcional de um dos elementos com o aumento de outro. Exemplo: uma 
caixa d’água tem seu volume diminuído pela metade a cada semana. Quantas 
semanas serão necessárias para ser esvaziada? 
 
Organização retangular: ações que envolvam a descoberta da área de uma 
superfície. Exemplos de atividades: situações-problema que solicitem à criança 
dizer o número de peças que cabem em determinado tabuleiro, o número de 
casas de um bairro ou propor-lhes que observem o armário de uma dispensa 
com cinco fileiras de gavetas; cada fileira tem quatro gavetas, e lhes perguntar 
o número de gavetas que há no local. Essa ação favorece a construção de 
conhecimentos para a geometria e a percepção de espaço. 
 
Análise combinatória: envolve desafiar os alunos com atividades de 
combinações e análises de possibilidades. Exemplo: a boneca de Alice tem as 
seguintes roupinhas: cinco camisetas, quatro bermudas, três mochilas e dois 
pares de sandálias. De quantos modos diferentes é possível vestirmos a 
boneca de Alice? 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 145) definem a divisão como uma 
subtração reiterada de parcelas iguais. Está ligada, conforme os autores, às 
ideias de repartir igualmente e medir. 
 
A ideia de medir, menos enfatizada do que o repartir igualmente, diz respeito, 
segundo os autores, a determinar a maior quantidade possível de grupos com 
uma quantidade prefixada de elementos em cada grupo; por exemplo, tenho 
uma sala de aula com 27 alunos e preciso formar grupos de 4 pessoas. 
Quantos grupos existirão nessa sala? 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 152) explicam que, para o processo de 
aprendizagem dos alunos, não interfere o fato de se ensinar a divisão no 
método longo ou breve, desde que o alunocompreenda o processo da divisão. 
 
2.1.3 Frações e decimais: as representações dos números racionais 
 
César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 83) descrevem como os números 
racionais6 podem ser escritos: 
 
• em forma de fração (1/8; 2/3; 16/4; 7+ ½); 
 
• em forma decimal (0,125; 0,66; 4,0; 7,5). 
 
Segundo os autores, podemos decidir por uma forma ou por outra, e 
dependerá do problema a ser resolvido, do cálculo a ser feito ou da preferência 
pessoal. 
 
A forma decimal é a mais usada para representar as unidades do sistema 
métrico decimal ou o sistema monetário; por exemplo: 7,5 cm; 6,5 Kg; R$ 
11,25. Podemos também representar por meio de fração; por exemplo: ¾ cm; 
6 ½ kg. 
 
2.2 Blocos lógicos e material dourado 
 
Blocos lógicos 
 
Os blocos lógicos são formados por 48 peças com os seguintes atributos e 
variações: 
 
 
Fonte: TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro, op. cit., p. 33. 
 
Os blocos lógicos foram utilizados e divulgados pelo educador canadense 
Zoltan Paul Dienes. 
 
Dienes defendia a utilização de materiais de apoio no início da construção de 
um novo conceito matemático pelo aluno. Segundo os autores Marília e Mauro 
Toledo (1997, p. 34), Dienes concluiu que a construção desses conceitos se 
processa em seis etapas diferentes: 
 
• 1ª etapa – jogo livre: o aluno utiliza o material, livremente, por meio da 
brincadeira, e é nesse momento, sem a interferência do professor, que 
conhece de forma pessoal as características do material; 
 
 
6 Números racionais são números que podem ser representados por uma razão ou fração entre 
dois números inteiros. 
• 2ª etapa – jogos com regras: após o aluno conhecer o material, suas 
características e seus atributos, o professor começa a estabelecer, 
gradualmente, regras para a utilização do material visando à condução do 
aluno para a formação de determinado conceito; 
 
• 3ª etapa – jogos isomorfos entre si: os materiais são diferentes, mas 
apresentam uma estrutura comum. O objetivo é que o aluno estabeleça 
relações entre jogos diferentes; 
 
• 4ª etapa – representação: somente após o aluno perceber as estruturas 
comuns de diferentes jogos ou de relacionar o que é comum entre jogos 
diferentes, segundo Marília e Mauro Toledo (1997, p. 37), ele terá condições 
de representar com suas próprias palavras, desenhos, esquemas ou diagramas 
o que aprendeu; 
 
• 5ª etapa – descoberta de propriedades: o aluno começa a descobrir 
propriedades e estabelecer relações depois que inicia a construção de um 
conceito matemático; 
 
• 6ª etapa – generalização: quando o aluno constrói o conceito matemático 
e o utiliza em diferentes situações. 
 
Das pedrinhas aos números 
 
Operações lógicas formam a base para o raciocínio matemático 
 
Uma criança entenderá melhor os números e as operações matemáticas se 
puder torná-los palpáveis. De fato, materiais concretos como pedrinhas, barras 
e blocos lógicos fazem as crianças “arrancarem” no raciocínio abstrato. 
Particularmente, os blocos lógicos não ensinam a fazer contas, mas exercitam 
a lógica. Sua função é dar às crianças a chance de realizar as primeiras 
operações lógicas, como correspondência e classificação, conceitos que, para 
nós, adultos, são automáticos quando pensamos nos números. Essa 
importância atribuída aos materiais concretos tem raiz nas pesquisas do 
psicólogo suíço Jean Piaget (1896-1980). Segundo Piaget, a aprendizagem da 
matemática envolve o conhecimento físico e o lógico-matemático. No caso dos 
blocos, o conhecimento físico ocorre quando a criança pega, observa e 
identifica os atributos de cada peça. O lógico-matemático se dá quando ela usa 
esses atributos sem ter o material em mãos (raciocínio abstrato). 
 
Fonte: 
http://www.ensino.net/novaescola/111_abr98/html/matematica.htm#topo. 
 
Podemos trabalhar com os blocos lógicos destacando as semelhanças e 
diferenças de suas peças e atributos e organizando-os a partir de alguma 
propriedade comum, conforme algum critério escolhido. Com essa atividade, 
estaremos classificando os objetos. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 30) definem a classificação como uma 
operação lógica que ajuda a organizar a realidade que nos cerca. Realizamos a 
classificação dos elementos de uma coleção de objetos quando os separamos 
em classes com diferentes critérios. 
 
Na classificação, trabalha-se com relações de pertinência e inclusão de 
classes. 
 
Na relação de pertinência, o aluno agrupa objetos de uma classe por 
semelhanças. Por exemplo: separamos os triângulos vermelhos dos triângulos 
amarelos e azuis. 
 
Na relação de inclusão de classe, relacionamos uma subclasse com a classe 
maior em que o objeto se encaixa; por exemplo: dentro da coleção de 
triângulos vermelhos, tenho triângulos vermelhos grossos e triângulos 
vermelhos finos. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 42) relacionam a classificação com o 
conceito de número no que trata da descoberta de semelhanças entre os 
próprios conjuntos e no que se refere à quantidade de elementos entre os 
atributos dos objetos considerados. 
 
Material dourado 
 
O material dourado pode servir como recurso facilitador na compreensão do 
valor posicional dos algarismos pelos alunos. 
 
O material dourado foi criado pela médica italiana Maria Montessori (1870-
1952), inicialmente para ajudar crianças que apresentavam distúrbios de 
aprendizagem na aquisição de novos conceitos, depois foi utilizado e divulgado 
por outras escolas comuns, as chamadas escolas montessorianas. 
 
A origem do nome “material dourado” se deve ao fato de sua confecção 
original ser de plástico transparente na cor dourada. Atualmente, pode ser 
feito em madeira, EVA ou de outro material. 
 
É composto de cubo, placa, barra e cubinho. Uma barra equivale a dez 
cubinhos, uma placa equivale a dez barras ou cem cubinhos, um cubo equivale 
a dez placas ou cem barras ou mil cubinhos. 
 
 
Fonte: http://casadamatematica.blogspot.com/2008/08/material-
dourado.html. 
 
O material dourado pode ser utilizado pelo professor e facilita a compreensão 
do sistema de numeração decimal posicional e operações matemáticas de uma 
forma concreta. 
 
Trabalho com agrupamentos e trocas: Marília Toledo e Mauro Toledo 
(1997, p. 64) afirmam que a ideia-chave do sistema decimal é utilizar o valor 
posicional dos algarismos para agrupar e trocar. 
 
Podemos exemplificar os agrupamentos e trocas a partir do material dourado. 
Se tiver dez cubinhos que representam uma unidade, posso trocá-los por uma 
barra que equivale a uma dezena ou dez cubinhos. Posso trocar dez barras ou 
cem cubinhos por uma placa ou uma centena, e assim por diante. Esse 
agrupamento e a troca facilitam a compreensão das operações matemáticas, 
numa subtração, por exemplo, em vez de ensinarmos empréstimos, trocamos 
uma dezena por dez unidades para efetuarmos a conta. 
 
2.3 Séries e sequências 
 
A seriação, como a classificação, é uma operação lógica que visa a organizar a 
realidade que nos cerca. Seriar é ordenar a partir da análise das diferenças dos 
objetos com a sua quantificação e ordenação crescente ou decrescente. 
 
“Em relação aos números, podemos dizer que a série numérica é o resultado 
da seriação de classes de conjuntos. Portanto, se considerarmos a ordem 
crescente de quantidade de elementos, qualquer conjunto de três elementos 
que imaginarmos, estará colocado depois de qualquer conjunto de dois 
elementos e antes de qualquer conjunto de quatro elementos” (Toledo; Toledo, 
1997, p. 51). 
 
Se observarmos uma série de objetos, podemos identificar que um elemento 
se compara com seu antecessor ou sucessor em ordem crescente ou 
decrescente; portanto, podemos inverter a ordem, porque a ordem de 
comparação também será invertida. 
 
A sequência considera as diferençasde natureza qualitativa e não permite, 
portanto, ordenação crescente ou decrescente. 
 
Uma sequência repetitiva apresenta um motivo que se repete formando uma 
sequência. Exemplo: 
 
 
 
Uma sequência recursiva apresenta um motivo a cada novo grupo mediante 
uma regra repetitiva aplicada ao grupo anterior. Exemplo: 
 
 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 53) esclarecem que algumas 
sequências são incorporadas pela nossa tradição cultural. Um dos exemplos é o 
nosso alfabeto. No conjunto dos números naturais, por exemplo, “0,1,2,3,4,5,6 
e etc”, segundo os autores, encontramos tanto sequências repetitivas quanto 
recursivas. 
 
Repetitivas porque o motivo inicial reaparece a cada nova dezena; por 
exemplo: 
 
0,1,2,3,4,5... 
10, 11, 12, 13, 14,15... 
30, 31, 32, 33, 34,35... 
 
Recursivas porque aparece o mesmo motivo inicial quando passamos de uma 
ordem para a outra. Exemplo: 
 
10, 20, 30, 40, 50,... 
90. 100, 200, 300,... 900. 
 
Multiplica-se por dez os elementos do grupo anterior. 
 
2.4 Espaço e forma 
 
Conhecemos a nossa realidade porque nos relacionamos com as pessoas, com 
os lugares e com os objetos no espaço. 
 
Segundo César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 165), as pessoas utilizam o 
próprio corpo para ter contato com os objetos a sua volta e localizar pessoas e 
coisas que as rodeiam, sendo que a área de conhecimento que trata desse 
assunto é a geometria. 
 
Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 221) explicam que os conceitos 
geométricos fazem parte do currículo de matemática no ensino fundamental 
porque permitem compreender, descrever e representar, de forma organizada, 
o mundo em que se vive. 
 
Usamos nosso corpo como ponto de referência para encontrar um lugar, ou dar 
alguma informação: à direita, à esquerda; frente, atrás; para nos referirmos a 
objetos: para cima, para baixo; para frente, para trás. 
 
César Coll e Ana Teberosky (2002, p. 179) explicam que os mapas dos atlas ou 
das cidades são desenhados sobre um papel quadriculado. Observar o desenho 
do quadriculado pode nos ajudar a localizar ruas ou cidades. 
 
O professor pode trabalhar noções de direção, desenhos de mapas e maquetes 
para ajudar o aluno, não somente a se expressar, mas a se informar e 
direcionar os caminhos possíveis por meio de indicações e consultas. 
 
Os autores justificam o trabalho com formas geométricas porque elas estão 
presentes na natureza e nos objetos. Apontam também para a necessidade de 
nomeá-las, organizá-las, relacioná-las entre si e descrevê-las, de forma a 
construir modelos físicos de vários tipos e com a abordagem de diferentes 
aspectos, com o intuito de transformá-las, cortando-as, agrupando-as e 
decompondo-as para depois reconhecer as formas obtidas. Afirmam que o que 
facilita esse estudo é que o aluno identifique as formas geométricas em 
objetos do mundo real. 
 
O professor pode trabalhar com seus alunos a observação da natureza, as 
formas geométricas encontradas e, a partir dessa observação, trabalhar as 
formas geométricas: triângulos, quadrados, retângulos, trapézio, pentágono, 
hexágono, que são polígonos; e os círculos ou formas de circunferências, que 
não são polígonos. 
 
O professor não pode trabalhar apenas com o traçado das formas geométricas, 
mas deve trabalhar também com situações-problema criadas e que têm por 
objetivo dar condições aos alunos para que calculem a área desenhada, o 
perímetro, etc., construam modelos de várias dimensões, não somente as 
planas, leiam, interpretem e registrem listas e tabelas. 
 
Segundo Marília Toledo e Mauro Toledo (1997, p. 53), o ensino da geometria 
na escola contribui para a aprendizagem de números e medidas porque 
estimula o aluno a observar, a perceber as semelhanças e as diferenças, a 
identificar regularidades do mundo em que vive. 
 
Os autores propõem aos professores, no trabalho com a geometria, não só 
observar e explorar objetos observados do mundo físico, mas obras de arte, 
pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, permitindo ao aluno estabelecer 
conexões entre a matemática e as outras áreas do conhecimento. 
 
3. ARTICULAÇÃO DO PENSAMENTO E AS MÚLTIPLAS VIVÊNCIAS NO 
LABORATÓRIO DA NATUREZA 
 
3.1 Metodologia do ensino de ciências 
 
O que garante uma boa aula de ciências? 
 
Você pode responder a essa pergunta de várias formas. 
 
Em primeiro lugar, pode evocar a formação acadêmica como a única forma 
de se garantir o sucesso das aulas de ciências. Esse sucesso está ligado ao fato 
de todos os alunos aprenderem os conteúdos de ciências. 
 
O professor com formação acadêmica pode planejar as suas aulas, inovar 
conteúdos e estratégias, mas não atingir os objetivos da disciplina, de forma a 
garantir que o aluno construa seu conhecimento. A preocupação com a forma 
de dar aula apenas, não significa que todos os alunos aprenderão os conteúdos 
ministrados. 
 
O fato de o professor planejar com cuidado as suas aulas e observar as 
técnicas de ensino, a transmissão de conhecimentos e a forma de dirigir suas 
aulas também não significa que todos os alunos aprenderão ou que suas aulas 
darão condições para que o aluno aprenda. 
 
 
Fonte: 
http://www.moodle.ufba.br/mod/book/view.php?id=10197&chapterid=9408. 
 
Deixar de planejar, selecionar, pesquisar os conteúdos a serem trabalhados em 
sala de aula e priorizar a improvisação, deixa o professor à mercê do que 
acontece na sala de aula, suscetível ao senso comum por não dominar o 
contexto da sala e sem promover atitudes sistematizadas para o 
desenvolvimento do aprendizado do aluno. 
 
Salientamos, portanto, que o simples fato de o professor ter formação 
acadêmica, planejar o processo de ensino e/ou improvisar atividades em sala 
de aula não garante uma boa aula; mas então, o que garante? 
 
Tanto a realidade da escola quanto a da sala de aula e dos alunos apresenta-se 
com uma multiplicidade de facetas e problemas, não sendo possível que uma 
única proposta de atividades ou meio, dê conta da complexidade e das 
variáveis impostas pelo meio. De forma alguma a formação acadêmica 
apresentará uma receita de atividade que, além de ser empregada, abarque e 
atenda às necessidades das mais diferentes realidades e alunos. 
 
Também o professor pode aproveitar os diferentes pensamentos e raciocínios 
de seus alunos para propor situações que lhes sejam significativas com 
diferentes formas de atuação e modos de solucionar os impasses colocados. 
 
Há vários questionamentos que o professor pode fazer para avaliar as suas 
atuações pedagógicas: se planejou bem a aula, quais foram as falhas e os 
acertos, que princípios e orientações metodológicas ignorou, etc. 
 
O professor de ciências atua, pedagogicamente, de acordo com a sua 
orientação metodológica. Ele pode seguir orientações behavioristas ou 
construtivistas: 
 
 
 
Valorizar o conhecimento que o aluno traz não significa que o professor deve 
aceitar o senso comum como forma de explicar a realidade, mas partir desse 
conhecimento para a construção do conhecimento científico, estruturado e 
sistematizado. 
 
Valorizar o conhecimento do aluno para compará-lo com o conhecimento 
científico adquirido pela humanidade e a ser transmitido às novas gerações. 
 
Maria Cristina da C. Campos e Rogério G. Nigro (1999, p. 23) propõem alguns 
questionamentos para a compreensão de como se constrói o conhecimento 
científico e como ensiná-lo: 
 
1. É por meio de um método único e rígido que chegamos à construção do 
conhecimento científico, cabendo-nos reproduzi-lo somente? 
 
2. Qual é a função da experimentação nas ciências da natureza? 
 
3. O que tem mais valor no estabelecimento de um conhecimento científico: o 
fato ou a interpretação dada ao fato? 
 
Os autores salientam que o conhecimento científico, muitas vezes, pode não 
retratar ou explicar os fatos, masestar relacionado à forma de ver e 
interpretar, de determinado grupo, a realidade e o contexto em que acontece. 
 
Os autores comparam a forma de entender e assimilar o conhecimento 
científico à postura do professor em sala de aula nas situações de ensino e de 
aprendizagem. Apontam para a necessidade de o professor não esquecer que 
seu aluno tem uma concepção, uma explicação sobre a realidade que o orienta 
nas situações de aprendizagem e que pode subsidiar a ação pedagógica do 
professor. 
 
O professor, portanto, deve analisar o que o aluno entende sobre a natureza, 
quais hipóteses se aproximam do conhecimento científico e o caminho que 
traçou para chegar à determinada hipótese. Toda essa análise deve subsidiar a 
ação pedagógica do professor em sala de aula. 
 
3.2 O ensino e a aprendizagem como investigação 
 
O objetivo do ensino de ciências é estimular o aluno a investigar os fatos e 
seus contextos à luz do conhecimento científico. Envolve não apenas a 
mudança de conceitos ou aprendizado de conhecimentos científicos, mas a 
mudança metodológica e atitudinal dos alunos frente à realidade – fazer 
ciência. 
 
Fazer ciência: dar oportunidades para que o aluno aprenda a enfrentar os 
problemas reais e procurar soluções para eles. Os alunos utilizam, 
primeiramente, seus conhecimentos prévios e, posteriormente, usam ideias 
novas à medida que traçam um ciclo investigativo. 
 
Para promover o ensino de ciências, o professor pode propor ao aluno 
situações-problema, sugerir que as estudem qualitativamente e formulem 
hipóteses explicativas sobre o observado. 
 
Em continuidade a esse trabalho, o professor pode propor que os alunos 
elaborem e realizem experimentos para analisar os resultados obtidos e checar 
as hipóteses levantadas, se estão corretas ou não e se atendem à solução da 
situação-problema (conflito cognitivo). 
 
Citaremos a seguir um quadro de Gil Pérez (apud Campos; Nigro, 1999, p. 30) 
que aponta para a promoção do ensino de ciências como investigação da 
realidade: 
 
• propor situações-problema; 
 
• propor o estudo qualitativo das situações–problema e a formulação das 
primeiras hipóteses explicativas; 
 
• tratar cientificamente o problema a ser investigado, pela: 
 
1. validação e reformulação das primeiras hipóteses explicativas; 
 
2. elaboração e realização de experimentos; 
 
3. análise dos resultados experimentais à luz das hipóteses explicativas (o 
que pode se converter em situação de conflito cognitivo); 
 
• lidar com as informações obtidas, formulando novas hipóteses, sínteses e 
novos problemas a serem investigados. 
 
3.3 Unidade didática 
 
Uma unidade didática caracteriza-se como um planejamento de ensino, a 
previsão de ações e procedimentos aplicados pelo professor em sala de aula 
com os objetivos educacionais estabelecidos, com procedimentos a serem 
utilizados e a avaliação de todo o processo. 
 
Segundo Maria Cristina Campos e Rogério Nigro (1999, p. 41), uma unidade 
didática é eficaz quando os objetivos anteriormente estabelecidos são atingidos 
pelos alunos. Os autores se reportam a César Coll e colaboradores para 
abordar sobre a necessidade de se planejar as aulas de ciências e unidades 
didáticas envolvendo os três tipos de conteúdos e a necessidade de se 
trabalhar com todos os aspectos que os envolvem: os conteúdos conceituais, 
“o saber sobre”; os conteúdos procedimentais, “o saber fazer”; e os conteúdos 
atitudinais, “o ser”. 
 
Os conteúdos conceituais (“saber sobre”) referem-se à construção ativa 
de capacidades intelectuais para operar símbolos, imagens, ideias e 
representações que permitam organizar as realidades. Referem-se aos fatos, 
princípios e conceitos construídos pela humanidade ao longo da história e que 
têm significado. 
 
Os conteúdos procedimentais (“saber fazer”) tratam da construção de 
instrumentos que auxiliam o aluno na análise do processo em ação e dos 
resultados obtidos em relação às metas propostas. Exemplo: desenvolvimento 
de técnicas de observação e documentação, execução de pesquisas 
bibliográficas, relatos verbais e escritos, elaboração e execução de atividades 
experimentais. 
 
Os conteúdos atitudinais (“ser”) enfatizam a formação de atitudes e 
valores em relação à informação recebida, visando à intervenção do aluno em 
sua realidade. Exemplo: valorização de suas próprias ideias e respeito às ideias 
dos colegas; respeito às regras convencionadas pelo grupo, interesse e 
aceitação das decisões e execução dos trabalhos em grupo; valorização da 
cooperação e da solidariedade entre os colegas. 
 
Referências bibliográficas 
 
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ciências. O ensino-aprendizagem como investigação. São Paulo: FTD, 1998. 
 
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TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática da matemática – como dois e dois: 
construção da matemática. São Paulo: FTD, 1997.