aula 05 bases matemáticas para engenharia

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CCE1005 –BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
Aula 05: Matrizes
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes
AULA 05: MATRIZES
x’ = ax + by
y’ = cx + dy
A álgebra das matrizes foi descoberta pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) em 1857, em conexão com as transformações lineares do tipo:
onde a, b, c, d são números reais; estas transformações lineares podem ser concebidas como aplicações que levam o ponto (x, y) no ponto (x’, y’) 
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes
AULA 05: MATRIZES
Matriz real do tipo m x n (leia-se m por n)
Conjunto de mxn números reais dispostos rm m linhas e n colunas.
Exemplo: 
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matriz quadrada
AULA 05: MATRIZES
Número de linhas ao número de colunas (m=n)
Diz-se que a ordem de uma matriz quadrada é igual à sua dimensão
Exemplo: 
uma matriz quadrada do tipo 3 x 3, possui ordem 3, ou seja, O(3)
Identificação dos elementos de uma matriz
Linha: Identificada pelo índice i
Coluna: Identificada pelo índice j 
aij
a11 = 2 
a12 = 3
a21 = 4
a22 = 5
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matriz quadrada
AULA 05: MATRIZES
Diagonal secundária:
i+j = n + 1, onde n é a ordem da matriz
Diagonal principal:
i= j
Matriz diagonal: matriz cujos elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos
Matriz identidade: matriz diagonal com valores unitários na diagonal principal
Matriz nula (O): todos os elementos são nulos
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes: Operações (adição)
AULA 05: MATRIZES
Soma termo a termo
Operação possível para matrizes do mesmo tipo
Sendo A, B, C e O matrizes do mesmo tipo, temos :
A + B = B + A (comutatividade)
A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade)
A + O = O + A = A (elemento neutro)
A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes: Operações (adição)
AULA 05: MATRIZES
Produto do escalar por cada termo da matriz
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e a e b números reais quaisquer (escalares), temos:
• (ab) = (ab)A
• a (A + B) = aA + aB
• (a + b) A = Aa +Ba
• 1.A = A
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes: Operações (produto entre matrizes)
AULA 05: MATRIZES
O Produto entre matrizes só é possível quando:
O número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda
A matriz produto será obtida:
multiplicando cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz 
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes: Operações (produto entre matrizes)
AULA 05: MATRIZES
A matriz produto será obtida:
multiplicando cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz
O Produto entre matrizes só é possível quando:
O número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda
Sendo a primeira matriz A, mA x nA, e a matriz B, mB x nB, o produto:
Só é possível se nA = mB e será do tipo mA x nB
Unidade 2: Vetores e matrizes
Matrizes: Operações (adição)
AULA 05: MATRIZES
C11 = 1 x 2 + 2 x 1 + 2 x 2 = 8
C12 = 1 x 4 + 2 x 3 + 2 x 1 = 12
C21 = 3 x 2 + 1 x 1 + 4 x 2 = 15
C22 = 3 x 4 + 1 x 3 + 4 x 1 = 19
produto possível (A -3 colunas e B -3 linhas)
Matriz produto do tipo 2x2
 
 
C =
11