Artigo Dispositivo Prático de Gauss

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O Dispositivo Prático de Gauss para Solução e Discussão de 
Sistemas Lineares 
André Gustavo de A. Santos1 
 
 
Introdução 
 
È comum fazer parte do conteúdo inicial de um curso de Álgebra Linear 
a álgebra matricial, determinantes e suas propriedades e os sistemas lineares 
que são de fato, muito importantes no desenvolvimento da disciplina. 
Percebemos também, que fazem parte do repertório para resolver e discutir 
sistemas lineares, principalmente, o Teorema de Cramer, O escalonamento 
denominado Método de Gauss, o Teorema de Rouché – Capelli, usado 
principalmente para discutir os sistemas lineares dentre outros. 
O ensino de Sistemas Lineares, de uma forma geral, tem seu inicio 
ainda no ensino fundamental (7º ano, antiga 6º série). Os principais autores dos 
livros textos adotados nesse nível, procuram privilegiar os Métodos da Adição e 
da Substituição, alguns, ainda, procuram diversificar apresentando além dos 
métodos citados, um outro método chamado Método da Comparação. No 
Ensino Médio, o Teorema de Cramer é o preferido pelos autores, pois este traz 
em seu conceito básico a idéia de resolução de determinantes. 
É fato que, os métodos empregados atualmente para resolver e discutir 
sistemas lineares do tipo AX = B com m equações e n incógnitas, produzem 
um trabalho muito grande para o estudante. Se pensarmos, por exemplo, no 
Teorema de Cramer para resolver e discutir um sistema de 5 equações a 5 
incógnitas, vamos verificar o quão é trabalhoso e ultrapassada a resolução e 
discussão por esse método. Por outro lado, apresenta-se o Escalonamento de 
Gauss, que sem dúvida, na prática é muito mais agradável, pois a idéia básica 
é a de trabalhar com operações elementares sobre as linhas de uma matriz, 
 
1 Professor Substituto da Universidade Federal da Bahia (UFBA) e Professor do Centro Universitário 
Jorge Amado (UNIJORGE) 
 2
seguindo vários passos, todos eles baseados em sistemas equivalentes. O que 
ocorre com esse método, é que apesar da sua utilidade prática, muitos alunos 
confundem-se nesses passos, o que provoca a distorção do resultado final 
obtido. Dessa forma, podemos inferir que, se houver um método que além de 
resolver, discuta sistemas, e além disso, seja prático e de fácil entendimento, 
esse método se tornaria mais interessante e menos massivo, do ponto de vista 
conceitual. 
O Dispositivo Prático de Gauss, apresentado como tema desse artigo, 
difere completamente (em sua forma) daqueles métodos conhecidos nos livros 
textos, tem sua fundamentação teórica na disciplina de Cálculo Numérico, e 
aparece nesse contexto, como mais uma possibilidade, num cenário onde a 
tradição ainda é o principal motivo para que os métodos ensinados sejam os 
mesmos. O método que proponho é subsidiado pelo conhecimento básico em 
determinantes, sendo este, conceito subjacente para o estudo em questão. 
Mostraremos a força e praticidade do método, Respaldando-nos numa 
idéia simples de determinantes de segunda ordem, mas não sem antes 
demonstrarmos matematicamente o Dispositivo Prático de Gauss para solução 
e discussão de Sistemas Lineares. 
 
2. Por que o Modelo Linear? 
 
A maioria das ciências naturais busca na matemática a linguagem que 
permite descrever seus fenômenos físicos, químicos e biológicos etc. 
Muito se discute atualmente sobre modelagem matemática no ensino 
como ambiente de aprendizagem, A Física, por exemplo, como mostra 
(SANTOS, Pg.2) é ensinada através de fórmulas que descrevem um 
determinado fenômeno, e leva o aluno a acreditar nos seus resultados como 
uma espécie de crença. Segundo RICARDO (2004), não se informa que as 
fórmulas são modelos matemáticos que foram criadas para descrever 
determinados eventos. 
Os modelos são construídos para suprir a necessidade do homem de 
descrever a natureza a partir de suas inquietações. Segundo Barbosa (2001), 
 3
os modelos matemáticos são satisfatórios para a ciência na medida em que 
descrevem e predizem os fenômenos físicos, fazendo-a assim convergir numa 
interface entre as disciplinas Matemática e Física (por exemplo). 
Oliveira e Silva (Pg. 1105) afirmam que um dos modelos mais utilizados 
para descrição de fenômenos naturais é o “linear”, já que uma teoria 
desenvolvida de forma não-linear acarreta em diversas dificuldades, dentre 
elas nos cálculos numéricos que permitem em sua maioria suas resoluções 
somente pelo uso de modernos computadores. 
 
3. O Teorema de Cramer têm interesse prático? 
A regra mais conhecida pelos estudantes para resolver sistemas e 
discuti-lo, sem dúvida é a Regra de Cramer (que faz uso do conceito de 
determinantes). 
Cramer foi um matemático suíço que em meados do século XVII 
publicou uma obra intitulada “Introduction à L’Analyse des lignes courbes 
Algébriques, e é justamente nessa obra que se encontra a regra que ganhou 
seu nome”. Segundo Eves (1995), acredita-se que o matemático Colin 
Maclaurin fez estudos independentes acerca dos métodos para resolução de 
sistemas lineares, e que tais métodos utilizados por Cramer já eram 
conhecidos por Maclaurin. A adoção da Regra com o nome de Cramer deve-se 
ao fato de que o mesmo usou uma melhor notação para resolução de sistemas 
lineares2. 
O Teorema de Cramer consiste basicamente em resolver e discutir 
sistemas onde o número de equações é igual ao número de incógnitas, ou 
seja, m = n. Sendo assim, “A” é uma matriz quadrada. 
Consideremos ainda D = det(A). 
Do teorema de Cramer temos que: 
Se considerarmos um sistema linear com o número de equações igual 
ao número de incógnitas e 0≠D , então o sistema terá uma única solução, isto 
 
2 Introdução à história da matemática, Howard Eves. Ed. da Unicamp, Campinas, 1995 – 
Facchine, Walter. Matemática para escola de hoje: Livro único – São Paulo. FTD, 2006 (ensino 
Médio), pg 246 – pág. 736 
 4
é, o sistema será possível e nαααα ,...,,, 321 é tal que D
Di
i =α 
}...,3,2,1{ ni ∈∀ , onde iD é o determinante da matriz obtida A, 
substituindo-se a i’ésima coluna pela coluna dos termos independentes das 
equações do sistema. 
Ocorre que o Teorema de Cramer tem um interesse muito mais teórico 
histórico, do que prático, pois, como já vimos acima, resolver um sistema de 5 
equações a 5 incógnitas teríamos que calcular 6 determinantes de ordem 5, o 
que torna o método muito dispendioso, e ainda, de acordo com a definição do 
teorema, só é possível resolver problemas usando o método quando os 
sistemas tiverem o número de equações igual ao número de incógnitas, ou 
seja, m = n. E quando m ≠ n? 
 
 4. Sistemas Escalonados 
O método para escalonar sistemas se respalda justamente na idéia de 
sistemas equivalentes, ou seja, a de que, dados dos sistemas S1 e S2, dizemos 
que eles são equivalentes se toda solução de S1 for solução S2 e toda solução 
de S2 for igual a de S1. Com essa idéia, estabelecem-se alguns passos que 
devem ser cumpridos na resolução do sistema, como a de colocar como 1ª 
equação aquela em que o coeficiente da 1ª incógnita é não nulo. Depois, temos 
de anular o coeficiente da primeira incógnita de todas as equações (com 
exceção da primeira) substituindo a i’ésima equação )2( ≥i pela soma da 
mesma com a primeira multiplicada por um número conveniente, vamos 
aplicando esses passos nas equações restantes. 
Observemos que o excesso de informações pode causar, e causa confusões 
no processo de construção do aprendizado dos alunos, muitos deles, 
aprendem o método através de exemplos e não do conceito, na verdade, os 
alunos desejam assimilar tal método momentaneamente para passar numa 
avaliaçãoou teste proposto por isso, acaba por decorar a forma de fazer, para 
depois esquecer, assim como ocorre na maioria dos conteúdos matemáticos. 
 
 
 5
A raiz do problema: 
 
No século XVII, a teoria dos determinantes foi cuidadosamente ampliada 
por matemáticos que contribuíram de forma decisiva para o seu 
desenvolvimento, como Bezout, que utilizou técnicas em seus cálculos 
advindas das permutações. 
Bezout foi um matemático francês que em seus estudos a respeito das 
permutações, verificou a existência de inversões quando um inteiro precede 
outro de menor valor. Chamando de permutação par quando existir um número 
par de inversões e permutação impar quando existir um número ímpar de 
inversões, atribuiu o sinal positivo para permutações pares e o sinal negativo 
para as permutações ímpares. 
 
Veja abaixo exemplos de permutações: 
 
),0(321 parinversão+→∑ . 
).,1(231 ímparinversão+→∑ 
).,1(312 ímparinversão+→∑ 
).,2(132 parinversões+→∑ 
).,2(213 parinversões+→∑ 
).,3(123 ímparinversões+→∑ 
 
4.1 Qual a idéia de Johann Carl Friedrich Gauss no 
desenvolvimento do dispositivo? 
 Gauss era alemão, e foi considerado o mais brilhante matemático que 
existiu, trabalhou em diversas áreas da Matemática e da Física. De acordo com 
Neto, Filho e Carvalho (2005) dentre os seus trabalhos, os mais importantes 
foram na Teoria dos Números, na Geometria Diferencial, em Probabilidade, em 
Geodésias, Magnetismo, Astronomia e Óptica. 
 6
O Dispositivo Prático de Gauss, mostra que a idéia era a de que 
qualquer sistema linear (independente da quantidade de equações ou de 
incógnitas) pode ser discutido e resolvido com base no conceito de 
determinantes de segunda ordem, e consiste na eliminação de incógnitas, 
sucessivamente, por substituição com a ajuda apenas do determinante de 
segunda ordem. A raiz do problema reside exatamente do fato que, o produto 
extraído de uma matriz é o produto de n elementos de uma matriz quadrada M, 
de modo que nesse produto figure somente um elemento de cada linha e de 
cada coluna de M. 
 
Por exemplo: 
322113 aaaP = , é um produto extraído da matriz 












=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
M . 
Observe que em P figura somente um elemento de cada linha e de cada 
coluna de M, ao passo que o produto 322111 aaaP = não é um produto extraído da 
matriz M, pois nele aparecem dois elementos de uma mesma coluna (primeira 
coluna). 
Sobre a paridade de um produto, Oliveira e Silva (pág. 1002) afirmam 
que os índices dos elementos extraídos de uma matriz M formam uma 
substituição. Dessa forma, se uma substituição S é par, diz-se que o produto P 
é par, e se a substituição S for ímpar, o produto P é ímpar. 
Isso nos leva a definição de termo extraído de uma matriz. 
Segundo os mesmos autores, podemos chamar de termo extraído da 
matriz M, ao produto P extraído da matriz M, afetado de um sinal de mais (+) 
ou de menos (-) conforme P seja par ou ímpar”. 
Dessa forma, o produto 322113 aaaP = afetado do sinal de (+) forma o 
termo 322113 aaaT += ao passo que o produto 312213 aaaP = deve receber o sinal 
de (-), pois nesse caso, P é ímpar. 
 Essa é uma das idéias centrais que está por trás da resolução de 
determinantes de segunda e terceira ordem e motivaram seus idealistas em 
 7
seu desenvolvimento de uma forma mais rigorosa, por outro lado, não 
podemos tratar do problema sem investigar em suas raízes sua validade. É 
justamente tratando sobre a discussão do problema fornecido pelas equações 
do primeiro grau com duas incógnitas, que chegaremos às primeiras noções 
que desembocam nas idéias sobre o desenvolvimento do Método de Gauss, ou 
das Reduções Sucessivas e, por conseqüência, sua validade como método. 
Sabemos que ax+by=c é a forma de uma equação do primeiro grau com 
duas incógnitas x e y onde os números a, b, c são números reais dados. 
Observemos que nesse caso a e b não podem ser iguais a zero 
simultaneamente, pois se fossem c também seria e daí, a equação não 
forneceria nenhuma informação a respeito dos valores de x e y. 
Segundo Oliveira e Silva (Pg. 995), é conveniente escrevermos duas 
equações do primeiro grau com duas incógnitas x e y, distinguindo os 
coeficientes a e b dessas incógnitas (nas duas equações) e o termo 
independente de cada equação com índices diferentes, a fim de especificá-lo 
de forma mais precisa. 
 
Matematicamente temos: 



=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
 
Surge então o problema. Devemos determinar (se houverem) os valores 
das incógnitas x e y, , de forma a satisfazerem as duas equações. 
Observemos que para chegarmos a tal conclusão, utilizaremos um 
método conhecido pela maioria dos professores do nível fundamental (5a a 8a 
séries) que é o método da adição. 
Devemos considerar como hipótese que a1, b1, a2 e b2 são diferentes de 
zero3, e em seguida multiplicar a primeira equação por b2 (coeficiente de y na 
segunda equação) e a segunda equação por (-b1) (que é o simétrico do 
coeficiente de y da primeira equação), daí se obtém: 
 
 
3 O caso de um dos coeficientes ser zero deve ser tratado separadamente, ou então, multiplicamos a 
equação por aquele coeficiente que não seja zero. 
 8
 
 
 
Adicionando-se membro a membro estas equações temos: 
 
 
 
 
Como podemos observar passamos de um sistema de equações 
lineares com duas incógnitas x e y para uma equação do primeiro grau com 
uma incógnita x. De acordo com Oliveira e Silva (Pg. 996) está “é uma das 
grandes vantagens da notação algébrica, e das leis da adição e multiplicação 
em álgebra, que, eliminando x, eliminamos inconscientemente y também”. 
Assim, o sistema inicial de duas equações e duas incógnitas resultam 
em um novo sistema de duas equações e uma só incógnita, pois: 
 
)()( 12211221 cbcbxbaba −−=− 
)()( 12211221 acacybaba −−=− 
 
E que vamos chamar aqui de sistema (2). 
Observemos que cada uma das equações tem o mesmo determinante, 
1222 baba − e é o determinante do sistema inicial, mostrando que se o 
determinante em questão for diferente de zero, o sistema (2) tem a seguinte 
solução bem determinada. 
1221
1221 )(
baba
cbcb
x
−
−−
= 
1221
2112 )(
baba
caca
y
−
−−
= 
 
212112
122121
cbybbxba
cbybbxba
−=−−
=+
21121221
211221211221
)( cbcbxbaba
cbcbybbybbxbaxba
−=−
−=−+−
 9
Se fizermos um paralelo com o conceito de determinantes de segunda 
ordem, podemos observar que nas equações acima 2121 abba −
22
11
ba
ba
= , 
=− 2121 bccb
22
11
cb
cb
 e =− 2121 caac 
22
11
ac
ac
, sendo 02121 ≠− abba . Com base nisso, 
Oliveira e Silva (Pg. 997) adotam o determinante de segunda ordem para 
resolver sistemas lineares de duas incógnitas a duas equações. 
 
 O espírito questionador de Gauss possibilitou descobertas de 
importância fundamental em teoremas como a de uma “antigeometria”, a qual 
denominava de “geometria astral”, em que a soma dos ângulos internos de um 
triângulo era inferior a dois ângulos retos. Como esse sistema estaria em 
contradição uma convicção universal reforçada pela prática, a verdade da 
“Geometria Euclidiana”, Gauss preferiu limitar-se a notas isoladas e cálculos 
manuscritos, depois amplamente divulgada por seu discípulo Georg Friedrch 
Bernhard Riemann. 
Os assuntos mais importantes de que tratou (segundo alguns 
historiadores) foram a localização dos pólos magnéticos e a sua intensidade. 
Devido a sua contribuição nessa área, a unidade que mede a intensidade do 
campo magnético échamada de gauss. 
Dentre tantos feitos realizados por Gauss há uma contribuição 
importante para a Álgebra, em conjunto com o Matemático Jordan, que é a 
resolução de Sistemas Lineares e que recebeu o nome de Gauss-Jordan. Este 
é com certeza um método prático para resolver sistemas lineares, em especial 
quando o número n de equações for relativamente grande. Este método exige 
que se transforme a matriz dos coeficientes das variáveis na matriz identidade. 
Contudo, este método que proponho, pouco conhecido, também foi pensado e 
idealizado por essa figura magnífica e que aqui lhes apresento demonstrando o 
Método das Reduções Sucessivas ou simplesmente, Método de Gauss. 
 
 
 10
6. Demonstração do Método de Gauss 
 
Consideremos o seguinte sistema linear: 






=++
=++
=++
a
a
a
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
3
2
1
3333231
2232221
1131211
 
Supondo 011 ≠a , vamos isolar x na primeira equação
 4: 
 
11
13121
1131211
a
zayab
x
bzayaxa
−−
=
=++
 
Substituindo 
11
13121
a
zayab
x
−−
= na segunda equação temos: 
22322
11
131211
21 bzayaa
zayab
a =++




 −−
. Daí, tem-se que: 
2112311221113211221121 bazaayaazaayaaba =++−−
 
yaaaa )( 12212211 − zaaaa )( 13212311 −+ 121211 baba −= . Então; 
+y
aa
aa
2221
1211
=z
aa
aa
2321
1311
221
111
ba
ba
 
 
De modo análogo, substituindo x na terceira equação obtemos: 
 
+y
aa
aa
3231
1211
=z
aa
aa
3331
1311
331
111
ba
ba
 
 
 
 
 
4 Se ,011 =a troca-se as linhas. 
 11
6.1 O dispositivo prático do Método de Gauss. 
O cerne do dispositivo prático consiste em uma tabela onde cada uma 
das incógnitas x, y, z e o termo independente são colocados em colunas, 
possibilitando a discriminação dos mesmos da seguinte forma: 
 
 
 
 
2221
1211
aa
aa
M o = 
2321
1311
aa
aa
No = 
221
111
ba
ba
o =δ 
 
3231
1211
1 aa
aa
M = 
3331
1311
1 aa
aa
N = 
331
111
1 ba
ba
=δ 
 
Daí tem-se que 



=+
=+
111 δ
δ
zNyM
zNyM ooo
 , donde
11 NM
NM
R
oo
o = , 
11 δ
δ
M
M
S
oo
o = e oo SzR = . 
Portanto 
0
0
R
S
z = 5. Substituindo-se z em qualquer uma das equações do sistema 



=+
=+
111 δ
δ
zNyM
zNyM ooo obtém-se o valor de y. 
 
5 Adiante veremos os casos em que 0=oR e 0≠oR . 
x y z Ind. 
11a 12a 13a 1b 
21a 22a 23a 2b 
31a 32a 33a 3b 
 oM oN oδ 
 1M 1N 1δ 
 oR oS 
 12
Para determinar o valor de x, basta substituir o valor de z e y encontrados 
anteriormente em qualquer uma das equações 1, 2 ou 3 da tabela (de cima 
para baixo). 
 
6.2 Discussão de um Sistema Linear. 
 
Vamos esclarecer aqui a discussão de um sistema linear como 
geralmente é abordada pelos professores de ensino médio, para assim, 
estabelecer um comparativo com a discussão de sistemas pelo Método de 
Gauss, que faremos posteriormente. 
Consideremos o sistema 








=++++
=++++
=++++
=++++
nnnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
S
...
...........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
 
 
• Sistema compatível e incompatível: O sistema é dito 
compatível quando há valores para as incógnitas ix que 
satisfazem as equações do sistema simultaneamente. Caso isso 
não aconteça, ele é dito impossível. 
 
• Sistema indeterminado: O sistema é dito indeterminado quando 
admite infinitas soluções, ou seja, existem infinitos valores de ix 
que verificam as equações simultaneamente. 
 
Resumidamente temos: 
 
 13
Nesse ponto surge uma pergunta, como podemos discutir Sistemas 
Lineares pelo Método de Gauss? Para responder, devemos voltar ao 
dispositivo e analisar os resultados obtidos através do mesmo, da seguinte 
forma: 
A partir do dispositivo prático vamos concluir que: 
 
 
 
• Se 0≠oR o sistema será possível e determinado. (Já vimos que 
oo SzR = ) 
• Se 0=oR temos duas situações, a saber: 
 0=oR e 0=oS o sistema possível e indeterminado. 
 0=oR e 0≠oS o sistema é impossível. 
 
7. Aplicação do Método de Gauss e suas diferenças 
quanto aos outros métodos. 
 
O intuito principal desse capítulo é mostrar um caminho alternativo na 
solução de problemas, caminho este não explorado dos livros textos atuais. 
Vamos propor problemas que possam ser resolvidos com os métodos mais 
conhecidos, e posteriormente faremos a resolução desses mesmos problemas 
pelo Método de Gauss, buscando estabelecer suas diferenças, singularidades 
e até mesmo vantagens e desvantagens em cada um dos métodos. Vamos 
X y z Ind. 
11a 12a 13a 1b 
21a 22a 23a 2b 
31a 32a 33a 3b 
 oM oN oδ 
 1M 1N 1δ 
 oR oS 
 14
apresentar sua resolução em três alternativas. Na primeira alternativa vamos 
aplicar um método bastante conhecido de todos os professores de matemática 
do ensino fundamental ao superior, “o Método da Substituição”. Posteriormente 
faremos a resolução do problema usando o Método de Cramer, nesse caso 
utilizado muito entre os professores do ensino médio. Por fim, faremos a 
aplicação do método de Gauss como mais uma alternativa para resolução do 
problema. 
 
• Problema 1. 
Três mulheres, Edna, Ednair e Eliene, foram a uma loja e compraram, 
cada uma delas, 3 produtos diferentes, cada qual com seu valor ( x, y e z). 
Questionadas sobre quanto gastaram, responderam: 
Edna: Comprei 3 unidades de preço x, 2 de y e 1 de z e gastei R$ 6,50 
Ednair: Comprei 6 unidades de preço x, 1 de y e 2 de z e gastei R$ 
10,00. 
Eliene: Comprei 2 unidades de preço x, 3 de y e 3 de z e gastei R$ 
13,00. 
Dessa forma pergunta-se, Qual o preço de cada produto? 
 
ü Inicialmente, faremos à interpretação dos dados: 





=++
=++
=++
13332
1026
5,623
zyx
zyx
zyx
 
Observemos que esse tipo de problema é típico do Ensino Médio, e que 
após a interpretação dos dados duas alternativas de resolução (geralmente) é 
fornecida ao estudante desse nível: 
 
Ø Primeira alternativa: Escrever z, em função de x e y, na primeira 
equação, e depois substituí-lo na segunda e na terceira equação 
para recair em um sistema com duas equações e duas incógnitas. 
 
Fazendo yxz 235,6 −−= temos: 
 15
 



=−−⋅++
=−−⋅++
13)235,6(332
10)235,6(26
yxyx
yxyx
 



=−−++
=−−++
13)695,1932
1046136
yxyx
yxyx
 



−=−−
−=−
5,637
33
yx
y
 
 
Da primeira equação já podemos concluir que y = 1. Assim 5,37 −=− x . 
Daí x = 0,5. 
Substituindo o valor de x, y e z vem: 
z = 6,5 – 3.0,5 – 2.1 = 6,5 – 1,5 -2 = 3. 
Logo, os preços x, y e z são respectivamente, R$ 0,50, R$ 1,00 e R$ 
3,00. 
Nessa alternativa, foi usado o método da substituição, com base em 
seus resultados é possível também concluir que o Sistema é possível e 
determinado. Porém, de acordo com Coxford e Shulte (2000) é comum entre 
os alunos erros no jogo de sinais na substituição dos valores e 
consequentemente nos resultados finais. Isso ocorre pela quantidade de 
procedimentos exigidos para chegar na solução.Ø Segunda alternativa: Vamos utilizar o Teorema de Cramer6. 
 





=++
=++
=++
13332
1026
5,623
zyx
zyx
zyx
 
 
Inicialmente obteremos o determinante dos coeficientes das incógnitas 
do sistema. 
 
6 A demonstração do teorema de Cramer já foi feita no tópico 2. 
 16
021361828189
332
216
123
≠−=−−−++= , Assim, o sistema é possível 
e determinado. 
Substituindo os valores da primeira coluna )( xD pelos termos 
independentes temos: 
 
=xD 5,10
3313
2110
125,6
−= 
 
Substituindo os valores da segunda coluna )( yD pelos termos 
independentes temos: 
 
=yD 21
3132
2106
15,63
−= 
 
Substituindo os valores da primeira coluna )( zD pelos termos 
independentes temos: 
 
=zD 63
1332
1016
5,623
−= 
Fazendo: 
 17
 5,0
21
5,10
=
−
−
=⇒= x
D
D
x x 
1
21
21
=
−
−
=⇒= y
D
D
y y 
3
21
63
=
−
−
=⇒= z
D
D
z z 
 
Logo, os preços x, y e z são respectivamente, R$ 0,50, R$ 1,00 e R$ 
3,00. 
Segundo Iezzi e Hazzan (1985), 
 
“O teorema de Cramer tem um interesse mais teórico do que prático; 
pois quando o número de equações é muito grande, fica bastante 
trabalhoso resolver o sistema através de sua aplicação. Por exemplo, 
num sistema de 5 equações a 5 incógnitas teremos de calcular 6 
determinantes de ordem 5”. 
 
 
 
Ø Terceira alternativa: Utilizar o dispositivo prático de Gauss para 
a resolução do problema. Vamos resolve - lo passo a passo com 
o intuito de possibilitar o entendimento de todo o processo de 
cálculos que o método exige. 
 
1 – Separar os coeficientes das incógnitas e o termo independente 
do sistema colocando-os na tabela relacionando-o com sua incógnita 
e com o seu termo independente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y z Ind. 
3 2 1 5,6 
6 1 2 10 
2 3 3 13 
 
 
 
 18
 
2 – Calcular 0M , 0N e 0δ . 
==
16
23
oM -9 == 26
13
oN 0 == 106
5,63
oδ -9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 – Calcular 1M , 1N e 1δ . 
 
 ==
32
23
1M 5 == 32
13
1N 7 == 132
5,63
oδ 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y z Ind. 
3 2 1 5,6 
6 1 2 10 
2 3 3 13 
 -9 0 -9 
 
 
x y z Ind. 
3 2 1 5,6 
6 1 2 10 
2 3 3 13 
 -9 0 -9 
 5 7 26 
 
 19
2 – Calcular 0R e 0S . 
 =
−
=
75
09
oR - 63 =
−−
=
265
99
oS -189 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 – Obter o valor de x, y e z. 
 
Do Dispositivo prático temos que: 
3
63
189
18963
=
−
−
=
−=−
z
z
z
 
Para achar o valor de x ou y, devemos substituir z em qualquer uma das 
linhas escolhendo convenientemente uma das linhas da tabela, a quarta linha 
(de cima para baixo) é bastante conveniente, pois existe um termo igual à zero. 
Daí: 
1
9
9
99
909
=
−
−
=
−=−
−=+−
y
y
y
zy
 
 
X y z Ind. 
3 2 1 5,6 
6 1 2 10 
2 3 3 13 
 -9 0 -9 
 5 7 26 
 - 63 -189 
 20
De forma análoga obtemos o valor de x. Pela segunda linha (de cima 
para baixo) temos: 
 
5,0
6
3
36
7106
1076
103.216
1026
=
=
=
−=
=+
=++
=++
x
x
x
x
x
x
zyx
 
Logo, os preços x, y e z são respectivamente, R$ 0,50, R$ 1,00 e R$ 
3,00. 
Como 063 00 ≠⇒−= RR , então o sistema é possível e determinado. 
 
 
A primeira vista, o dispositivo prático de Gauss não parece nada prático, 
mas, com alguns exercícios propostos é possível resolvê-lo assim que os 
valores dos coeficientes do sistema são discriminados na tabela, dispensando 
o registro de cada um dos determinantes de segunda ordem que aparecem no 
dispositivo, economizando assim, tempo na resolução do sistema dado. Nos 
próximos exemplos usaremos esse artifício, a fim de mostrar sua praticidade, 
Vamos também dispensar os métodos que são utilizados exaustivamente pelos 
livros textos, no intuito de focar as discussões sobre a idéia do método de 
Gauss. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
• Problema 2. (Ensino Superior). 
Verificar se o vetor (5,3) pertence a Im(T), sendo 
)32,2(),(,: 22 yxyxyxTIRIRT +−=→ . 
Solução: 
 
Ø Alternativa 1 
O problema é simples, já que a dimensão dada é 2. Daí aplicando-se o 
conhecimento básico a respeito dos sistemas lineares, temos que devemos 
verificar inicialmente se existe 2),( IRyx ∈ tal que: 
)3,5()32,2(),( =+−= yxyxyxT . Para tanto, precisamos verificar se o sistema 



=+
=−
332
52
yx
yx
 Tem solução: 
Pela “regra da adição” temos: 
32172143
664
1563
)2.(332
)3.(52
=∴=⇒=+⇒



=+
=−
⇒




=+
=−
xxxx
yx
yx
yx
yx
 
 
 Substituindo x em qualquer das equações temos: 
12252352 −=∴=−⇒=−⇒=− yyyyx 
 
Conclui-se então que ),Im()3,5( T∈ pois x =3 e y = -1 é a solução do sistema. 
 
Ø Alternativa 2 Aplicar o Método de Gauss (dispositivo prático). 
verificando se existe 2),( IRyx ∈ tal que: 
)3,5()32,2(),( =+−= yxyxyxT , e daí já vimos que 



=+
=−
332
52
yx
yx
 
 
 
 
 Substituindo y na 1 linha temos 
 
x Y Ind. 
1 2− 5 
2 3 3 
 7 -7 
177 −=∴−= yy
3525)1(2 =∴=+⇒=−− xxx
 22
De forma análoga a alternativa 1, conclui-se então que ),Im()3,5( T∈ pois x = 3 
e y = -1 é a solução do sistema. 
 
Obs. Podemos observar que nesse exemplo, o método de Gauss já mostra sua 
praticidade em resolução de sistemas simples de ordem 2 e também já mostra 
uma economia nos cálculos para obtenção da solução através do Método de 
Gauss, apesar de os métodos da substituição e da adição já estarem presente 
no conhecimento básico do estudante. 
 
Ø Problema 3 
 Resolver e discutir o sistema. 







−=+++
=+−+
−=+++
=+++
13283
05410
16573
1242
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 
 
Observemos que o sistema dado dá origem a um determinante 4 x 4. Aqui, já 
podemos constatar que a Regra de Cramer é uma técnica muito trabalhosa no 
processo de cálculo de sistemas que dão origem a determinantes com ordem 
maior do que 3 x 3 (como já chamamos atenção anteriormente). 
A dificuldade de se chegar à solução desse tipo de sistema pela Regra de 
Cramer, está no fato, de que ele por si só não resolve o problema, 
necessitando de que outras técnicas sejam aplicadas anteriormente para 
solucioná-lo, como o Teorema de Laplace ou o Rebaixamento de Chio, O que 
pode desmotivar o estudante, já que provoca um trabalho muito dispendioso 
em todo o processo, como mostraremos a seguir: 
 
Ø Vamos inicialmente, aplicar o Rebaixamento de Chió e posteriormente 
aplicar a Regra de Cramer. 
 Aplicando o rebaixamento de Chió temos: 
 
156
3102
388
071
−=
−−
−
−
=
−−−
−−−−
−−−
=
−
=∆
6312268
2544210
6612567
3283
54101
6573
2421
 23
Como 0≠∆ o sistema é possível e determinado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo: 
78
175
156
350
−=
−
=⇒= x
D
D
x x 
52
37
156
111
=
−
−
=⇒= y
D
D
y y 
52
35
156
105
=
−
−
=⇒= z
D
D
z z 
39
17
156
68
−=
−
=⇒= t
D
D
t t 
350
5610
5410
899
234228
0504010
264527
3281
54100
6571
2421
=−=
+++
−−−−+++
=
−
−
−
=xD
111
3104
381
074
6312231
254410
6612531
3213
5401
6513
2411
−=
−−−
−−
−−
=
−−−−
−−−−
−−−−
=
−
−
−
=yD
105
342
318
041
633168
2510210
663167
3183
50101
6173
2121
−=
−−
−
−
=
−−−−
−−−
−−−−
=
−
−
=zD
68
4102
188
471
3112268
1044210
3112567
1283
04101
1573
1421
=
−−
−−
−−
=
−−−−
−−−−
−−−−
=
−
−
−
=tD
 24
 
Resolver os sistemas lineares pelo Método de Gauss cria como 
possibilidade um novo caminho a partir de uma nova perspectiva, partindo do 
princípio que ele delineia novos procedimentos de cálculo para obtenção dos 
resultados, diferentes daqueles exaustivamente utilizados pelos livros textos do 
Ensino Médio. Isto pode trazer como conseqüência, uma ampliação 
significativa dos seus conhecimentos sobre o assunto. 
A praticidade do método de Gauss está na técnica utilizada, pois ele 
só depende exclusivamente de um prévio conhecimento sobre solução de 
determinantes de segunda ordem. A economia de cálculos que se utiliza para 
obter os resultados, também é um fator motivador para os discentes que tem 
contato pela primeira vez com os sistemas lineares. Dessa forma, vamos 
estabelecer um comparativo de alguns métodos apresentados pelos livros e 
pelo Método de Gauss, de forma a mostrar na prática o sua validade como 
método. 
Aplicando o dispositivo prático de Gauss, discriminamos em uma 
tabela os coeficientes das variáveis x, y, z e t e seus respectivos termos 
independentes, para obter o valor de uma das variáveis, e a partir daí, obter o 
valor das outras. 
 Escrevendo novamente o sistema dado no problema temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y z t ind 
1 2 4 2 1 
3 7 5 6 -1 
1 10 4− 5 0 
3 8 2 3 -1 
 1 -7 0 - 4 
 8 -8 3 -1 
 2 -10 -3 - 4 
 48 3 31 
 4 -3 4 
 -156 68 







−=+++
=+−+
−=+++
=+++
13283
05410
16573
1242
tzyx
tzyx
tzyx
tzyx
 25
Vamos mais uma vez, a título didático, separar os determinantes existentes na 
tabela: 
 
73
21
=oM , 53
41
=oN , 63
21
=oP , 13
11
−
=oδ 
 
101
21
1 =M , 41
41
1
−
=N , 
51
21
1 =P , 01
11
1 =δ 
 
83
21
2 =M , 23
41
2 =N , 33
21
2 =P , 13
11
2 −
=δ 
 
88
71
'
−
−
=oM , 
38
01
' =oN , 
18
41
'
−
−
=oδ 
 
102
71
'1 −
−
=M , 
32
01
'1 −
=N , 
42
41
'1 −
−
=δ 
 
34
348
−
=oR , 44
3148 −
=oS 
 
Como 00 ≠R , o sistema é possível e determinado. 
Vamos obter o valor de x, y,z e t. 
⇒=− 68156t
39
17
156
68
−=
−
=t 
Substituindo t na nona linha (de cima para baixo) obtemos o valor de z: 
52
35
4
39
17
34 =⇒=⋅− zz 
 26
Vamos obter o valor de y pela quinta linha (de cima para baixo): 
52
37
4
52
35
7407 =⇒−=⋅−⇒−=+− yytzy 
 
Para obter o valor de x, vamos substituir os valores de y, z e t na primeira linha 
(de cima para baixo). 
78
175
1
39
17
.2
52
35
4
52
37
21242 −=⇒=





−+⋅+⋅+⇒=+++ xxtzyx 
Assim temos: ,
78
175
−=x ,
52
37
=y
52
35
=z e 
39
17
−=t 
A praticidade do Método de Gauss fica mais uma vez evidenciada, já que o 
processo pelo qual se obtém os valores das incógnitas exige um conhecimento 
que já está ancorado na estrutura cognitiva do aluno, considerando que para 
tratar das questões que envolvem sistemas lineares, ele tenha conhecimento 
do mínimo necessário das formas de cálculos de determinantes, no caso, 
determinantes de segunda ordem, e ainda saiba aplicar corretamente o método 
de substituição amplamente utilizado no inicio do curso fundamental (6a série) 
até o final do ensino médio. 
Mas, o método de Gauss não fica restrito as questões abordadas no 
ensino médio. Em disciplinas como Álgebra Linear no ensino superior, 
podemos encontrar questões que recaem em sistemas lineares, e muitas vezes 
são utilizados métodos que só são abordados em cursos como Bacharelado 
em Matemática e Engenharias, tais como os chamados “métodos diretos para 
solução de sistemas lineares”; tais como: 
 
- Método de Eliminação de Gauss-Jordan 
- Método de Gauss-Jordan na Inversão de Matrizes 
- Método da Fatoração de uma Matriz 
- Método de Crout 
- Fatoração de Matrizes Reais Simétricas e Positivo-Definidas 
 
O intuito principal no ensino de sistemas lineares ao estudante do ensino 
médio ou nas Licenciaturas em Matemática é resolver problemas, e quanto 
 27
mais prático o dispositivo para este fim, melhor será a otimização do tempo 
para ambos. 
 
7.1. Resolução de Problemas e aplicações com Método de 
Gauss. 
Consideremos o operador linear T: 33 IRIR → definido por 
)4,2,22(),,( zyxzyxzyxzyxT ++−−+++= . Determinar o vetor 3IRu∈ tal 
que )11,8,1()( −−=uT . 
Solução 
 Sendo )11,8,1()( −−=uT , ou seja: 
)11,8,1()4,2,22( −−=++−−+++ zyxzyxzyx , vem: 





−=++−
=−+
−=++
114
82
122
zyx
zyx
zyx
 
 
Pelo Método de Gauss temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aqui surge uma primeira dificuldade no método de Gauss, mas que 
poderá facilmente ser sanada a partir de observações e exemplos. 
Observemos que o primeiro termo da quarta linha (de cima para baixo) é 
zero, logo devemos trocar a quarta linha pela quinta linha para dar continuidade 
ao processo, pois quando em qualquer etapa do Método de Gauss ou das 
Reduções Sucessivas o primeiro coeficiente for igual à zero, teremos que 
x y z Ind. 
1 2 2 -1 
1 2 -1 8 
1− 1 4 -11 
 0 -3 9 
 3 6 -12 
 9 - 27 
 28
trocar a primeira equação por qualquer outra, ou trocar a primeira incógnita por 
qualquer outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obter o valor de y vamos substituir z na quarta linha (de cima para baixo). 
2
463
4)3.(2
)3(1263
=
−=−
−=−+
÷−=+
y
y
y
zy
 
Para obter o valor de x vamos substituir y e z na segunda linha (de cima para 
baixo). 
1
87
8)3(2.2
82
=
=+
=−−+
=−+
x
x
x
zyx
 
Logo )3,2,1( −=u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y z Ind. 
1 2 2 -1 
1 2 -1 8 
1− 1 4 -11 
 3 6 -12 
 0 -3 9 
 9 - 27 
3279 −=∴−= zz
 29
7.2 (Aplicação 1) Determinar os valores de k e p de modo que o sistema 
 





=++
=++
=++
22
423
zyx
pzkyx
zyx
 seja: 
 
 
a) Determinado 
b) Indeterminado 
c) impossível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
4
1215012150) ≠∴≠⇒≠−⇒≠ kkkRa o 
5
8
5
24
3
5
4
6363036
5
4
0;0)
=∴=⇒





⋅=⇒=⇒=−
=∴==
pppkppk
kSRb oo
 
5
8
5
4
0;0) ≠=∴≠= pekSRc oo 
Nos exemplos 7.3 e 7.4 mostraremos que quando a quantidade de 
equações é maior do que o número de incógnitas, ou vice – versa, não 
impossibilita o uso do dispositivo prático de Gauss como acontece com a Regra 
de Cramer, bastando apenas verificar no final se as equações obtidas são 
equivalentes7 ou não. Se forem equivalentes, o sistema será possível e 
 
7 Dizemos que dois sistemas lineares 1S e 2S são equivalentes, se toda solução de 1S for solução de 2S 
e toda solução de 2S for solução de 1S . 
 
x Y z Ind. 
3 2 1 4 
1 K 1 p 
1 1 2 2 
 (3k – 2) 2 (3p – 4) 
 1 5 2 
 (15k – 12) (6k – 3p) 
 30
determinado, pois nesse caso 0≠oR . Se as equações não forem equivalentes, 
então o sistema seráimpossível. 
Mostraremos também que, quando o número de equações for menor do 
que o número de incógnitas8, o Dispositivo Prático de Gauss também se 
mostrará satisfatório, acumulando assim, a resolução de qualquer sistema em 
um único método. 
Observaremos ainda, que é possível simplificar uma linha (ou mais) no 
dispositivo prático de Gauss sem que o resultado se altere, facilitando assim os 
cálculos numéricos para obtenção dos resultados. 
 
7.3 (Aplicação 2) Discutir e se possível resolver os sistema







=++
=++
=++
=++
142
3
42
75
zyx
zyx
zyx
zyx
. 
 
 
 
7.4 (Aplicação 3) Discutir e se possível resolver os sistema







=++
=++
=++
=++
7045
402
30
6023
zyx
zyx
zyx
zyx
. 
 
 
 
7.5 (Aplicação 4) Discutir e se possível resolver o sistema





=+++
=+++
=+++
11232
6
1225
tzyx
tzyx
tzyx
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Ver exemplo 7.5 e 7.6 
 31
v Solução 7.3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Linha simplificada 
Observe que na tabela do Dispositivo Prático de Gauss, apresentam-se duas 
equações, oSR =0 e 11 SR = , logo, para que o sistema seja possível e 
determinado, devemos ter SRRo == 1
9, dessa forma, podemos dizer que se o 
sistema do exemplo 7.3 dado, tiver solução, então 21 zz = , ou seja, as 
equações devem ser equivalentes. Verifiquemos então a situação: 
 
 
 
 
 
Daí podemos concluir que, esse sistema é impossível, pois 21 zz ≠ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 Considere SSSo == 1 
x y z ind 
5 1 1 7 
1 1 2 4 
1 1 1 3 
1 2 4 1 
 4 9 13 
 4 4 8 
 9 19 -2 
 4 9 13 
 1 1 2 
 9 19 -2 
 -5 -5 
 -5 -125 
4÷
21255
155
22
11
=⇒−=−
=⇒−=−
zz
zz
 32
v Solução 7.4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse sistema é possível e determinado, pois: 
 
( 21 zz = , equações equivalentes) 
 
 
Sendo o sistema possível e determinado, devemos obter os valores de y e x. 
 
10203030101030
105060605
=∴−=⇒=++⇒=++
=∴−=⇒=+
xxxzyx
yyzy
 
Logo x = 10, y = 10 e z = 10. 
 
 
 
v Solução 7.5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y z ind 
3 2 1 60 
1 1 1 30 
1 1 2 40 
5 1 1 70 
 1 2 30 
 1 5 60 
 -7 -2 90 
 3 30 
 12 120 
x y z t Ind 
5 2 1 1 12 
1 1 1 1 6 
2 3 1 2 11 
 3 4 4 18 
 11 3 8 31 
 -35 -20 -105 
1012012
10303
22
11
=⇒=
=⇒=
zz
zz
 33
Observe que 
35
20105
1052035
t
ztz
−
=∴−=−− , 
11
8331
833111318311
tz
ytzytzy
−−
=∴−−=⇒=++ e que 
tzyxtzyx −−−=⇒=+++ 66 . 
Logo, podemos perceber que cada uma das variáveis x, y e z 
podem assumir quaisquer valores pertencentes ao conjunto dos números reais, 
dessa forma, o sistema linear assume infinitas soluções, daí podemos concluir 
que o mesmo é possível e indeterminado. 
 
8. Conclusão 
 O papel formativo da matemática é justamente contribuir para o 
desenvolvimento do processo cognitivo do indivíduo, bem como a aquisição de 
atitudes, cujo alcance transcende o lugar que a própria matemática ocupa. 
Adquirir autonomia nos processos de resolução de problemas 
matemáticos que exijam o conhecimento dos Sistemas Lineares requer tais 
habilidades, no sentido de que os alunos percebam que a aquisição de novas 
informações e métodos para aplicação na resolução de problemas, ou mesmo 
na resolução de exercícios, é essencial, para que seja possível continuar 
aprendendo, e acima de tudo dar significado a esse aprendizado. 
Foi mostrado nesse trabalho que o Método de Gauss é mais do que uma 
possibilidade nesse processo de desenvolvimento de novos caminhos para 
solução de questões que abordam Sistemas Lineares. É um algoritmo prático e 
de fácil entendimento que facilita a quantidade de cálculos na solução de um 
sistema, além de interpretá-lo de forma mais simples em sua discussão. 
Como foi dito anteriormente, esse trabalho não tem o intuito de encerrar 
discussões a respeito do Dispositivo prático de Gauss, pelo contrário, ele abre 
caminho para propostas inovadoras que podem e devem ser utilizadas pelos 
professores em suas aulas diárias, a fim de construir novos valores, novas 
idéias, e questionamentos que são essenciais nessa disciplina. 
 
 
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9. Referências: 
 
BARBOSA, J.C. Modelagem Matemática: Concepções e experiências de 
futuros professores. 2001, 253p. Tese (Doutorado em Educação Matemática) – 
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual de São 
Paulo, Rio Claro. 
 
NEGRA, C. A. S.; NEGRA, E. M. S. Manual de Trabalhos Monográficos de 
Graduação, Especialização, Mestrado e Doutorado. 2. ed. São Paulo: Ed. 
Atlas, 2004. 
 
OLIVEIRA, A.M.; SILVA, AGOSTINHO: Biblioteca da matemática moderna; 
tomo III: 1. ed. São Paulo: Ed. Lisa, 1968. 
 
STEINBRUCH, ALFREDO; WINTERLE, PAULO. Álgebra Linear, 2. ed. São 
Paulo: Ed. Makron Books, 1987. 
 
BRASIL, MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO, SECRETARIA DE EDUCAÇÃO 
MÉDIA E TECNOLÓGICA; Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino 
médio – Brasília 1999. 364p. 
 
PINCOVSKY, RUBEM; Elementos de Cálculo Numérico: 8. ed. São Paulo: Ed. 
FASA 1987/1989. 
 
MILIES, C.P.; Breve História da Álgebra Abstrata: Instituto de Matemática e 
Estatística; Universidade de são Paulo. 54p. Ed. São Paulo. 2004. 
 
SANTOS, A.G.A.; Interfaces da Matemática com a Física: 2005, 20p. Artigo 
(conclusão de Graduação em Licenciatura em Matemática) – Faculdades Jorge 
Amado – Salvador – Bahia. 
 
FACCHINI, WALTER; Matemática Para a Escola de Hoje: Livro único – São 
Paulo: Ed. FTD. 736p. 2006. 
 
IEZZI, GELSON; HAZZAN, SAMUEL; Fundamentos da Matemática 
Elementar, 4: Seqüências, Matrizes. Determinantes e Sistemas. 1. ed. São 
Paulo: Ed. Atual. 1985. 
 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.; ALMEIDA, N.; 
Matemática: Ciência e Aplicação: 2. ed. São Paulo. Ed. Atual. 2004. 
 
NETO. S.P.; FILHO, S.O.; CARVALHO, M.C.; Quanta: Matemática – Ensino 
Médio. Volume 3: 3ª série. 3. ed. São Paulo. Ed. Saraiva. 2005. 
 
RICARDO, E.C. Física: Brasília, p.2-26, 2004. Disponível em:< 
http://www.mec.gov.br/seb/pdf/08Fisica.pdf > Acesso em 21 fev. 2005.