Matrizes: Conceitos Básicos

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1 
 
Prof. Ms. Aldo Vieira 
Aluno: 
 
Matriz – Ficha 1 
 
 
 Chamamos de matriz, toda tabela numérica com m linhas e n colunas. Neste caso, dizemos que a matriz é 
do tipo m x n (onde lemos “m por n”) ou que sua ordem é m x n. Devemos representar esta tabela entre parênteses 
( ), colchetes [ ] ou barras duplas || || . São exemplos de matrizes : 






−
=
025
143
32xA 










−
−
=
273
062
541
33xB 
8
1
5
3
14
−
=xC ( )4321 −=xD 
 A matriz B é uma matriz quadrada, pois ela possui o mesmo número de linhas e de colunas. A matriz C é 
dita matriz coluna por possuir apenas uma coluna. Já a matriz D é uma matriz linha, desde que possui uma única 
linha. 
 O elemento da matriz A, posicionado na linha i e na coluna j, é indicado por aij . Por exemplo, na matriz A 
anterior, o elemento a21 é igual a 5. 
 Podemos representar uma matriz por 












=
mnmm
n
n
mxn
aaa
aaa
aaa
A
K
MMM
K
K
21
22221
11211
 ou, simplesmente, por ( )
mxnijaA = . 
 
Exercícios 
 
1) Identifique nas matrizes anteriores os elementos 
a seguir : 
a) a22 = b) a13 = c) b23 = d) b31 = 
e) b32 = f) c21 = g) c11 = h) d12 = 
 
 
 
 
2) Represente explicitamente as matrizes a seguir : 
a) ( )
23xijaA = , onde aij = 3i – j 
 
b) ( )
54xijbB = , onde bij = 4i + 2j 
 
 
 
Matriz Quadrada 
 
Como já dissemos, uma matriz é quadrada se o seu número de linhas é igual ao número de colunas. Neste 
caso, se ela é de ordem n x n, dizemos apenas que sua ordem é n. Nesta matriz, os elementos tais que i = j formam 
a diagonal principal e os elementos tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária. 
 
Por exemplo, na matriz 










−
−
=
987
540
321
M os elementos da diagonal principal são 1, 4 e 9 e os da 
diagonal secundária são –7 , 4 e 3. 
 
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2 
Matriz Identidade e Matriz Nula 
 
Chamamos uma matriz de Matriz Identidade de ordem n, se ela for quadrada de ordem n e 
=ija



≠
=
jise
jise
,0
,1
 
ou seja, os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os elementos fora desta diagonal são todos nulos. 
Identificamos tal matriz por In , sendo n sua ordem. 
 
 Uma matriz será dita Matriz Nula se possui todos os elementos iguais a zero. Ela é indicada por Omxn . 
 
Como exemplo de matriz identidade e matriz nula, temos : 
I 2
1 0
0 1=





 ,










=
100
010
001
3I , 












=
1000
0100
0010
0001
4I . 





==
00
00
,
000
000
2232 xx OO 
 
Matrizes iguais 
 
Duas matrizes ( )
mxnijaA = e ( )mxnijbB = de mesma ordem são ditas iguais se, e somente se, aij = bij 
ji,∀ , com njmi ≤≤≤≤ 1,1 , isto é, os elementos correspondentes destas matrizes(que estão na mesma linha e 
na mesma coluna) são todos iguais. 
 
Exercícios 
3) Calcule x, y e z tais que : 
a) 2
2
10
75
I
y
zxx
=





−
+−
 
b) 2
22
22
48
I
xy
yx
=





−+
−−
 
c) 253
21
I
xx
xx
=
+−
+−
 
 
 
Respostas dos exercícios 1 a 3 
1) a) –2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 7 f) 5 g) 3 h) 4 2) a) 










=
78
45
12
A b) 












=
2624222018
2220181614
1816141210
14121086
B 
3) a) x = 2 ou x = 3 ; y = 2 ; z = 0 b) x = 3 ; y = –2 c) Não existe x 
 
 
 
 
Matriz transposta 
 
A transposta de uma matriz ( )
mxnijaA = é uma matriz ( )nxmijbB = , onde bij = aji ji,∀ , com 
njmi ≤≤≤≤ 1,1 , ou seja, suas linhas são as colunas de A, e vice-versa. Indicamos a matriz transposta da 
matriz A por At . 
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3 
Por exemplo, a matriz transposta da matriz 










−
−
−
=
02712
6430
9521
43xM é a matriz 












−
−
−
=
069
245
732
1201
34x
tM . 
Exercícios 
 
4) Escreva a matriz transposta de cada uma das 
matrizes a seguir : 
a) 





=
831
402
32xA 
b) 
410
297
531
33 −=xB 
c) 










=
5
4
2
13xC 
 
 
 
Operações com Matrizes 
 
 Adição de Matrizes : 
 
 A soma de duas matrizes de mesma ordem ( )
mxnijaA = e ( )mxnijbB = , é uma matriz ( )mxnijcC = onde 
cij = aij + bji ji,∀ , com njmi ≤≤≤≤ 1,1 . Logo, cada elemento da matriz resultante é igual à soma dos elementos 
correspondentes das matrizes A e B. 
 Por exemplo, a soma das matrizes 





−
=
024
152
A e 





−−
=
742
431
B é 





−
=+
722
583
BA . 
 
 
 Propriedades da adição de matrizes : 
 
 Suponha que as matrizes A , B e C possuem a mesma ordem. Desta forma, são válidas as seguintes 
propriedades a seguir : 
 (P1) A matriz nula é o elemento neutro da adição matricial, ou seja, A + O = O + A = A, sendo O a matriz 
nula de mesma ordem da matriz A. 
 (P2) O elemento oposto da uma matriz A é a matriz A’ de mesma ordem de A, tal que A + A’ = A’ + A = O, 
sendo O a matriz nula de mesma ordem de A. A e A’ são ditas matrizes opostas e a matriz A’ é indicada por –A . 
 (P3) A propriedade associativa é válida para a adição de matrizes, isto é, (A + B) + C = A + (B + C). 
 (P4) A propriedade comutativa também é válida para a adição de matrizes, ou seja, A + B = B + A.. 
 
 
 Um exemplo de matrizes opostas é 





−
−
=
15
32
A e 





−
−
=−
15
32
A . 
 
 
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4 
 Multiplicação de um número por uma matriz : 
 
 Para multiplicarmos um escalar k por uma matriz, devemos multiplicar cada elemento da matriz pelo escalar 
k. Então, se ( )
mxnijaA = , kA é a matriz ( )mxnijakA = , onde ijij aka .= ji,∀ , com njmi ≤≤≤≤ 1,1 . 
 
 
 Dada a matriz 










−
−=
45
01
32
A , temos 










−
−=
1215
03
96
.3 A . 
 
 
 
 Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar :Considere duas matrizes A e B e dois escalares k e L. Daí, segue-se que : 
 (P1) k(LA) = L(kA) = (kL)A 
 (P2) k(A + B) = kA + kB 
 (P3) (k + L)A = kA + LA 
 (P4) 1.A = A 
 
 
 Subtração de Matrizes : 
 
 A diferença A – B é igual à soma da matriz A com a sua oposta, ou seja, A – B = A + (– B). 
 
 
 Agora que sabemos encontrar a oposta de uma matriz, podemos falar de algumas matrizes quadradas que, 
possuem certa “simetria” com relação à diagonal principal. Dependendo do caso, elas serão chamadas de matrizes 
simétricas ou de matrizes anti-simétricas. 
 
 
 
 
MATRIZ SIMÉTRICA 
 
Uma matriz quadrada A = (a ij ) mxm é simétrica quando A = A t , isto é, quando ela é igual à sua transposta. 
OBS: é notável que uma matriz quadrada é simétrica somente quando os elementos dispostos em posições 
simétricas em relação à diagonal principal são iguais, isto é, a aij ji= . 
 
 
 
 Um exemplo de matriz simétrica é a matriz M =
−
−










1 3 4
3 5 7
4 7 9
. 
iguais
 
 
 
 
 
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5 
MATRIZ ANTI-SIMÉTRICA 
 
É toda matriz quadrada A = (a ij ) mxm em que se verifica A = – A t . 
OBS: Neste caso, temos que a aij ji= − . Logo, decorre que aij = 0 se i = j, ou seja, os elementos da diagonal 
principal são todos nulos . Assim, uma matriz quadrada é anti-simétrica somente quando os elementos dispostos 
em posições simétricas em relação à diagonal principal são simétricos e esta diagonal é toda nula. 
 
 Como exemplo na matriz N =
−
− −










0 5 6
5 0 3
6 3 0
. 
simetricos
 
 
 
Exercícios 
 
5) Dadas as matrizes A =
−










2 4
5 0
7 1
, 
B = −










3 2
7 5
0 1
e C =
− −






0 1 2
1 2 0 , encontre 
as matrizes : 
a) A + B b) At – C c) 3.A 
d) 2.A – 3.B e) 3C – At + B t 
 
6) Encontre a matriz A x2 2 tal que 
3
1 2
3 4 2
2 0
1 3. .
−




 + =
−





A . 
 
 
7) Determine as matrizes M e N, de ordem 2, tais 
que M N− =






5 6
2 0 e M N+ =
−





1 3
0 2 . 
 
 
8) Calcule os valores de a e b que satisfazem a 
equação matricial 
2
3 0 2
4 7
3 3 42
a
I b





 + =
−





. . 
9) Sabendo que M = 
4 +




a
a
b
 
....
b
c
+ 2 
....
....
2 8c −





 é 
anti-simétrica, encontre os termos a 12 13,a e 
a 23 desta matriz. 
 
 
 
 
 
Respostas dos exercícios 5 a 9 
 
5) a) 
1 6
12 5
7 2
−










 b) 
−





2 4 5
5 2 1 c) 
−










6 12
15 0
21 3
 d) 
−
−
−










13 2
11 15
14 1
 e) 
5 5 1
5 11 0
−
− −





 
6) 
1 6
7 18− −





 7) M =








2
9
2
1 1
 e N = − −
−








3
3
2
1 1
 8) a = 7 e b = 2 9) 4, 2 e –4 
 
 
 
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6 
 Multiplicação de Matrizes : 
 
 Dadas duas matrizes A = (aij)mxn e B = (bij)nxp , o produto matricial A . B é uma matriz C = (cij)mxp tal que 
c a bij ik kj
k
n
=
=
∑ .
1
 , ∀i j, com 1 ≤ ≤i m e 1 ≤ ≤j p . 
 
 Para que exista o produto matricial, devemos sempre lembrar que o número de colunas da 1a matriz deve 
ser igual ao número de linhas da 2a matriz, ou seja, 
Amxn . Bnxp 
 
 No de colunas = No de linhas 
 
Caso contrário, tal produto não pode ser efetuado. Além disso, a matriz resultante tem o mesmo número de 
linhas que a 1a matriz, e o mesmo número de colunas da 2a matriz, isto é, 
 
Amxn . Bnxp = Cmxp 
 
Para entender melhor o produto entre matrizes, considere as matrizes A e B a seguir : 
A x3 2
1 2
3 4
0 2
=
−










 e B x2 4
5 6 0 1
4 3 1 7= −





 
 O produto B . A não pode ser feito, pois B possui 4 colunas e A possui 3 linhas. Vamos efetuar A . B e obter 
como resultado uma matriz de ordem 3x4. Tal produto será feito da seguinte forma : 
 
 
5 6 0 1
4 3 1 7− 
 2a matriz 
 || || 
 1a matriz 
1 2
3 4
0 2−
 
15 2 4 16 2 3. . . .+ +
 
 
 
 Resultado 
 
 
 
Portanto, o produto A . B é a matriz A B.
_ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _
=
















13 12
. 
 
 
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7 
 Propriedades do produto matricial : 
 
 No produto matricial são válidas as seguintes propriedades : 
 (P1) Propriedade associativa : ( A . B ) . C = A . ( B . C ) 
 (P2) Propriedade distributiva à esquerda : A . ( B + C ) = A . B + A . C 
 A . ( B – C ) = A . B – A . C 
 (P3) Propriedade distributiva à direita : ( A + B ) . C = A . C + B . C 
 ( A – B ) . C = A . C – B . C 
 (P4) A matriz identidade é o elemento neutro do produto matricial : A . In = In . A = A 
 
 
É importante salientar que no produto matricial não é válida a propriedade comutativa, ou seja, em geral 
A . B ≠ B . A . Devemos entender que em alguns casos a igualdade A . B = B . A é válida. Contudo, como isto não 
ocorre em todos os casos, não podemos generalizar. Por exemplo, dadas as matrizes 
A B C=





 =





 =






1 0
2 3
4 2
0 1
1 2
3 0, , e D = −






2 6
9 1 , temos : A B.
_ _ _ _
_ _ _ _
=










, B A.
_ _ _ _
_ _ _ _
=










, 
C D.
_ _ _ _
_ _ _ _
=










 e D C.
_ _ _ _
_ _ _ _
=










. De onde concluímos que A . B ≠ B . A e C . D = D . C. Quando 
tal igualdade ocorre chamamos as matrizes de comutáveis, isto é, satisfazem a propriedade comutativa do produto. 
 
 
 
Para as matrizes comutáveis também são válidas as propriedades : 
 (P1) ( A + B )2 = A2 + 2 . A . B + B2 
 (P2) ( A – B )2 = A2 – 2 . A . B + B2 
 (P3) ( A + B ) . ( A – B ) = A2 – B2 
 
 
 Considere as matrizes A =






2 1
0 0 e B = − −






1 2
2 4 . O produto A . B é igual a A B.
_ _ _ _
_ _ _ _
=









. 
Logo, A . B = O, mas A ≠ O e B ≠ O, onde O é a matriz nula de ordem 2. Concluímos que no produto matricial, o 
fato de A . B = O não implica necessariamente em A = O ou B = O. 
 
 
 
 Potenciação : 
 
 Dada uma matriz quadrada A, a potência An é definida como An = A . A . ... . A , onde n N∈ * . 
 
 n termos 
 
 
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8 
 
 
 
Exercícios 
 
10) Sendo A B=
−










=










2 2 0
1 1 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
, e 
C =
−
− −










3 2 1
1 1 2
0 0 3
, calcule : 
a) ( A + B ) . Ct 
b) ( B – C ) . ( A + B ) t 
c) ( 2.A – 3.B) t . C 
11) Dada as matrizes A =








3 1
2
2
3
 e B
x y
=





1 5 , 
encontre x e y tais que A . B = O. 
12) Calcular x a fim de que as matrizes A
x
=






1 2
0 
e B =






5 3
0 2 sejam comutáveis. 
13) Determine A2 e A3 , sabendo que A = 





2 2
1 0 . 
 
 
 
 
 
Respostas dos exercícios 10 a 13 
 
10) a) 
11 3 3
7 1 3
0 0 0
−
−










 b) 
− −
−










7 5 0
5 3 0
0 2 0
 c) 
11 9 2
5 0 20
7 8 1
−
−
− − −










 
11) x = − 13 , y = −
5
3
 12) x = - 1 13) A2
6 4
2 2=





 e A3
16 12
6 4=





 
 
Exercícios 
 
1) Calcule os valores de a e b que satisfazem a 
equação matricial 
2
3 0 2
4 7
3 3 42
a
I b





 + =
−





. . 
Resp. : a = 7 e b = 2 
 
 
2) Sendo A B=
−










=










2 2 0
1 1 1
0 1 0
0 1 1
1 0 0
0 1 0
, e 
C =
−
− −










3 2 1
1 1 2
0 0 3
, calcule ( A + B ) . Ct . 
Resp.: 
11 3 3
7 1 3
0 0 0
−
−









