Circulo de Mohr

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6. Estado Plano de Tensões.
Circulo de Mohr
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Conteúdo
Introdução
Transformação de Tensões Planas
Tensões Principais
Tensão de Cisalhamento Máxima
Problema Exemplo 6.1
Círculo de Mohr para Estado Plano de Tensões
Problema Exemplo 6.2
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• O estado mais geral de tensão em um 
ponto pode ser representado por 6 
componentes, 
• O mesmo estado de tensão é representado 
por um conjunto diferente de componentes 
se os eixos forem girados.
Introdução
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Objetivos: 
-determinar os valores de tensão em função 
da rotação dos planos;
-determinar as direções de tensão máxima e 
tensão mínima (tensões principais).
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• Tensão plana - estado de tensão em que duas 
faces do elemento cúbico estão livres de 
tensão. Para o exemplo ilustrado, o estado de 
tensão é definido por
• Estado plano de tensões ocorre numa placa 
fina sujeita a forças agindo no meio do plano 
da placa.
• Também ocorre na superfície livre de um 
componente de máquina ou elemento 
estrutural, isto é, em qualquer ponto da 
superfície não sujeita a uma força externa.
Introdução
e
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• Considere as condições de equilíbrio de um elemento 
prismático com faces perpendiculares aos eixos x, y, 
e x’.
• As equações podem ser reescritas como:
Transformação de Tensões Planas
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• As equações anteriores são combinadas 
para levar a equações paramétricas para 
um círculo,
• Tensões principais ocorrem nos planos 
principais de tensão, onde as tensões de 
cisalhamento são nulas.
Tensões Principais
(das equações paramétricas)
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Tensão de Cisalhamento Máxima
Tensão de cisalhamento máxima ocorre para
e da equação anterior para o círculo:
(das equações paramétricas)
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Ex. 6.1: Para o estado de tensão plana mostrado, determine (a) os planos principais, (b) as tensões 
principais, (c) a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente.
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Ex. 6.1
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Ex. 6.1
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, plote os pontos X e Y e 
construa o círculo centrado em C.
• Com o significado físico do círculo de Mohr
para tensão plana estabelecido, este pode ser 
aplicado com simples considerações 
geométricas. Valores críticos são estimados 
graficamente ou calculados.
• Para um estado plano de tensão conhecido
• As tensões principais são obtidas em A e B.
A direção de rotação de Ox para Oa é a 
mesma que de CX para CA.
Círculo de Mohr para Estado Plano de Tensões
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PASSOS PARA A CONSTRUÇÃO DO CÍRCULO (fig. 6.15a):
1- Marcar o ponto X:
2- Marcar o ponto Y:
3- Se σx > 0: X é marcado abaixo do eixo σx e Y acima
Senão: X marcado acima e Y abaixo do eixo 
4- Traça-se a reta XY que ao cruzar o eixo σx define o centro C do 
círculo de raio R, cujos valores são dados por equações vistas 
anteriormente
5- Nos pontos A e B encontram-se as tensões principais: σmax e σmin
6-Direção das tensões principais:
7- Se e : a rotação para levar CX a coincidir com CA é
anti-horária e
( ) ( ) )2(tg2
2
)XCA(tg p
yx
xy
yx
xy θ=σ−σ
τ=σ−σ
τ=
yx σ>σ
0p >θ
0xy >τ
),( xyx τ−σ
),( xyy τ+σ
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Círculo de Mohr para Estado Plano de Tensões
• Círculo de Mohr para carregamento axial centrado:
• Círculo de Mohr para carregamento torcional:
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Ex. 6.2: Para o estado de tensão plana mostrado, (a) construa o círculo de Mohr, determine (b) os planos 
principais, (c) as tensões principais, (d) a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal 
correspondente.
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Ex. 6.2
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Ex. 6.2
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