Cisalhamento, explicações e exercicios resolvidos

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CAPÍTULO 5:
CISALHAMENTO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia Civil
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob 
Flexão
� Hipóteses Básicas:
� a) As tensões de cisalhamento τ
são admitidas paralelas à força de 
cisalhamento V, portanto paralela a 
“y’’.
� b) As tensões τ não variam ao longo 
da largura da seção, e sim na altura. 
� c) As tensões normais σ não ficam 
afetadas pelas deformações 
provocadas pelas tensões de 
cisalhamento.






<
4
1
h
b
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob 
Flexão
� Analisando o elemento, vemos que existem 
tensões de cisalhamento horizontais agindo 
entre as camadas horizontais.
� Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem 
forças de cisalhamento na superfície da 
barra.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
de
rle
i
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento 
horizontais agindo entre camadas da viga.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
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rle
i
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� Modelo de cálculo:
zI
yM ⋅
−=1σ
( )
zI
ydMM ⋅+
−=2σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
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ia
s 
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n
de
rle
i
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� A face superior da barra está livre de tensões de 
cisalhamento.
� A face de baixo é submetida a tensões de 
cisalhamento τ.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
de
rle
i
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mp
m1p1, vemos que como σ1 ≠ σ2 , é necessário a tensão τ
para equilibrar.
� As tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão 
sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o 
equilíbrio na direção x.
� Diagrama de corpo livre do elemento mp m1p1:
dA
I
yMdAF
z
⋅
⋅
=⋅= ∫∫ 11 σ
( ) dA
I
ydMMdAF
z
⋅
⋅+
=⋅= ∫∫ 22 σ
onde y varia de y1 até h/2. 
Pr
o
f. 
R
o
m
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s 
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rle
i
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x:
123231 0 FFFFFF −=∴=−+
∫ ⋅⋅= dAyI
dMF
z
3
( ) dA
I
ydMdA
I
yMdA
I
ydMMF
zzz
⋅
⋅
=⋅
⋅
−⋅
⋅+
= ∫∫∫3
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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n
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rle
i
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
� F3 também pode ser vista em função da tensão τ:
F3 = τ . b . dx , onde (b . dx) é a área da parte inferior 
do elemento.
� Logo:
∫∫ ⋅⋅
⋅
⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅ dAy
Ibdx
dMdAy
I
dMdxb
zz
1
 ττ
neutra. linha a relação em 
sombreada área da Estático Momento 
tocisalhamen de força :onde
→=⋅
→=
∫ sMdAy
V
dx
dM
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
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s 
Va
n
de
rle
i
� Com essa notação temos:
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
toCisalhamen de Fórmula →
⋅
⋅
=
z
s
Ib
MV
τ
� Observações:
� V, b e Iz são constantes em uma seção.
� Ms varia com a distância y1.
� Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os 
elementos como valores positivos, pois sabemos 
que a tensão τ atua na mesma direção da força 
de cisalhamento V.
Pr
o
f. 
R
o
m
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i
5.2.1 Distribuição das Tensões de 
Cisalhamento na Seção Retangular
( ) 2222
1
11 2
h
y
h
y
h
ys
ybdybydAyM 





⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫






−⋅=







−⋅=
2
1
22
1
2
4228
yhbyhbM s






−⋅⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
2
1
2
42
yhb
Ib
V
Ib
MV
zz
sτ






−⋅
⋅
=
2
1
2
42
yh
I
V
z
τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.2.1 Distribuição das Tensões de 
Cisalhamento na Seção Retangular
� Variação quadrática com a distância y1.






−⋅
⋅
=
2
1
2
42
yh
I
V
z
τ
A
V
I
hVy
z
máx
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=→=
2
3
8
 0 para
2
1 τ
0 
2
 para 1 =→= τ
hy
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção 
Circular
� Não podemos assumir que as tensões 
de cisalhamento agem paralelamente ao 
eixo y.
� Em um ponto m na superfície, a tensão 
deve agir de forma tangente.
� As tensões de cisalhamento na Linha 
Neutra, onde as tensões são máximas, 
podem ser assumidas como: paralelas a 
y e intensidade constante ao longo da 
largura.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção 
Circular
� Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de 
cisalhamento:
z
s
máx Ib
MV
⋅
⋅
=τ
� Onde:
4
4
rI z
⋅
=
pi
3
2
3
4
2
32
rrryAMs
⋅
=





⋅
⋅
⋅




 ⋅
=⋅=
pi
pi
rb ⋅= 2
2
3
4 3
4
3
24
2 r
Vr
rr
V
máx
⋅⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
pipi
τ
A
V
máx
⋅
⋅
=
3
4
τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção 
Circular
� Para seção circular vazada:
( )41424 rrI z −⋅=
pi
( )31323
2
rrMs −⋅=
( )122 rrb −⋅=






+
+⋅+
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
= 2
1
2
2
2
112
2
2
3
4
rr
rrrr
A
V
Ib
MV
z
s
máxτ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira 
mostrada, determine o máximo valor para P se a 
tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para 
tração e compressão) e a tensão admissível para 
cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa. 
Desconsidere o peso próprio.
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
P
0,5m 0,5m
P
100mm
150mm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 1
� a) Diagrama de Esforços Internos:
A C D B
P
PD.E.C.
A C D B
0,5P
D.M.F.
� Cisalhamento � trecho AC e DB
� Flexão Máxima � trecho CD
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
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rle
i
Exemplo 1
� b) Características geométricas:
2
22
3 375
6
1510
62
cm
hb
h
IW =×=⋅==
21501510 cmhbA =×=×=
WM
W
M
admmáxadm
máx
máx ⋅=⇒≤= σσσ
3
2
2
3 adm
máxadm
máx
máx
AV
A
V τ
ττ
⋅⋅
=⇒≤
⋅
⋅
=
� c) Carga Máxima:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 1
5,0
103751011
5,0
66 −
⋅×⋅
=
⋅
=
WP admflexão
σ
KNPflexão 25,8=
3
102,1101502
3
2 64
.
⋅×⋅×
=
⋅⋅
=
−
adm
cisalh
AP τ
KNPcisalh 12=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a 
estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam 
ultrapassadas as seguintes tensões:
7..;70).( == SCMPaTRuptσ
8..;56).( == SCMPaCRuptσ
MPaadm 2,1=τ
B
40kN/m
A
4m2m
30kN
5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 2
� a) Tensões admissíveis:
MPa
SC
TRupt
Tadm 107
70
..
).(
)( ===
σ
σ
MPa
SC
CRupt
Cadm 78
56
..
).(
)( ===
σ
σ
kNRVA 125=
kNRVB 65= D.E.C.
A C B
30
65
95
� b) Seções críticas:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 2� Trecho :AC
( )xV −⋅+−= 64065
mxxV 375,4040175 =⇒=⋅−=
mKNM A .60230 −=×−=
( ) ( ) mKNMC .81,522
375,4640375,4665
2
=
−
×−−×=
� Seções críticas: A e C 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� c) Tensões Normais Máximas: 
� Seção A:
)(Cadm
z
A
I
rM
σ≤⋅
⇒⋅≤
⋅
×⋅ 6
4
3
107
4
1060
r
r
pi
mr 222,0≥
Exemplo 2
rCC 21 ==
z
A
I
rM ⋅
== 21 σσ
Como σ1 = σ2 , verificar para menor σadm:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� d) Tensão de Cisalhamento Máxima:
adm
máx
máx A
V
ττ ≤
⋅
⋅
=
3
4
mr 183,0≥
6
2
3
102,1
3
10954
⋅≤
⋅×
⋅×
rpi
⇒≥ mr 22,0 cmr 23=
Exemplo 2
Logo, 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� As tensões de cisalhamento nos flanges da viga 
atuam em ambas as direções, verticais e horizontais.
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de 
Vigas com Flange
Alma
Mesa ou Flange
Mesa ou Flange
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de 
Vigas com Flange
� As tensões de cisalhamento na alma de viga de 
flange largo são verticais e são maiores que as 
tensões nos flanges.
� Devido a complexidade da distribuição das tensões 
de cisalhamento no flange, iremos considerar 
apenas as tensões agindo na alma da viga.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
� Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef.
z
s
Ib
MV
⋅
⋅
=τ onde b = t e Ms é da área sombreada
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
� Momento Estático da área sombreada.






−⋅=
22
1
1
hhbA
2
22
2
1
1
1
hhhy
−
+=






−⋅= 1
1
2 2
yhtA
2
2 1
1
12
yh
yy
−
+=
( ) ( )21212122211 488 yh
thhbyAyAM s ⋅−⋅+−⋅=⋅+⋅=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma
� Logo:
( ) ( )[ ]2121212 48 yhthhbIt
V
It
MV
zz
s
⋅−⋅+−⋅⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅
=τ
( ) ( )31313313 1211212 hthbhbhtbhbI z ⋅+⋅−⋅⋅=⋅−−⋅=onde:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3.2 Tensões de Cisalhamento Máximas e 
Mínimas
� τmáx ocorre na Linha Neutra, y1 = 0.
� τmín ocorre no encontro alma-flange, y1 = ±h1/2.
� Logo:
[ ]
[ ]212
2
1
2
1
2
8
8
hh
It
V
hthbhb
It
V
z
mín
z
máx
−⋅
⋅⋅
=
⋅+⋅−⋅⋅
⋅⋅
=
τ
τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma
� A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento 
e os flanges são superponíveis por uma pequena 
parcela.
( )mínmáxalma htV ττ +⋅⋅⋅= 23
1
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de 
Vigas com Flange
� Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção 
transversal em T. Pede-se para determinar a tensão 
de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento 
a 3 cm da borda superior da viga, na seção de 
engastamento.
50kN
2m 25cm
5cm
5cm
45cm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 3
� a) Centróide e Momento de Inércia:
cm
A
Ay
y 57,18
1
11
=
⋅
=
∑
∑
( ) 42
'
4,88452 cmdAII iizz =⋅+= ∑25cm
5cm
5cm
45cm
x
y
z y
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 3
� b) Diagrama de Esforço Cortante:
kNVmáx 50=
50kN
+
D.E.C.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 3
� c) Tensão de Cisalhamento Máxima:
z
s
Ib
MV
⋅
⋅
=τ
( )43,315
2
43,31
1 ××=⋅= AyMs
361,2469 cmM s =
=
×
×
=
−−
−
82
63
10.4,8845210.5
10.61,246910.50
máxτ MPa79,2
25cm
5cm
5cm
45cm
z
y1
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 3
� d) Tensão a 3 cm de borda superior:
( ) ( )
3
1
9,448
355,143,31
cmM
AyM
s
s
=
××−=⋅=
=
×
×
=
−−
−
82
63
10.4,8845210.5
10.9,44810.50
máxτ MPa51,0
z
25cm
5cm
5cm
45cmy1
3cm
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que 
a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que 
σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m.
5.3 Tensões de Cisalhamento em 
Almas de Vigas com Flange
q
A B
a aa
D EC
aq aq aq
a
10cm5 5
20
cm
5
5
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 4
� a) Centróide e Momento de Inércia:
cmy
cmx
15
10
=
=
12
2010
12
3020 33
.)(int(ext.)
×
−
×
=−= zzz III
433,333.38 cmI z =
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 4
� b) Esforços internos máximos:
RVB = 4,5q e RVD = 3,5q
qM B ⋅−= 4 qqqM C −=+⋅−= 78 qM D ⋅−= 4
Logo: qM máx ⋅−= 4 qVmáx ⋅= 5,2
Seções críticas: B, C e D.
2q
2,5q
0,5q
1,5q
2q
-
-
+ +
A B C D E
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 4
� c) Verificação da σadm:
MPa
I
eM
adm
z
1021 =≤
⋅
== σσσ
⇒⋅≤
⋅
×⋅⋅
−
−
6
8
2
1010
1033,38333
10154 q
mkNq /39,6≤
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 4
� d) Verificação da τadm:
317501010
2
101520
2
15
cmMMM sises =





××−





××=−=
6
82
6
105,1
1033,383331010
1017505,2
⋅=≤
⋅×⋅
⋅×⋅
=
⋅
⋅
=
−−
−
adm
z
smáx
máx
q
Ib
MV
ττ
mkNq /14,13≤
Logo: mkNq /3,6=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.4 Fluxo de Cisalhamento
∫ ⋅⋅= dAyI
dMF3
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.4 Fluxo de Cisalhamento
� Fluxo de Cisalhamento (f) é a força de cisalhamento 
horizontal por unidade de distância ao longo do eixo 
longitudinal da viga.
∫ ⋅⋅⋅== dAyIdx
dM
dx
Ff 13
V
dx
dM
= sMdAy =⋅∫
I
MVf s⋅=
onde:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.4 Fluxo de Cisalhamento
� Áreas utilizadas para o cálculo do momento estático:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é construída com duas 
tábuas de 40x180mm, que servem como flanges para duas almas de 
compensados de 15mm de espessura. A altura total da viga é de 
280mm. O compensado é preso aos flanges por parafusos cuja força 
de cisalhamento admissível de F=800N cada. Se a força de 
cisalhamento V é de 10,5kN, determine o máximo espaçamento 
permissível S dos parafusos.
5.4 Fluxo de Cisalhamento
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 5
� a) Centróide e Momento de Inércia:
mmy
mmx
140
105
=
=
46
33
.)(int(ext.)
102,264
12
200180
12
280210
mmI
I
III
z
z
zzz
×=
×
−
×
=
−=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 5
� b) Fluxo de Cisalhamento:
s
F
I
MVf s =⋅=
( ) 331086412018040 mmdAM fflanges ⋅=××=⋅=
mmNf /3,34
102,264
10864105,10
6
33
=
×
⋅×⋅
=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 5
� c) Espaçamento dos parafusos:
� Força admissível � F=800N
� 2 parafusos por comprimento S � 2F
� Logo:
3,34800222 ×
==⇒= f
FSf
S
F
mmS 6,46=
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de 
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
z
x I
yM ⋅
−=σ
bI
MV
z
s
⋅
⋅
=τe
PV = xPM ⋅=eCarga no plano de simetria
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de 
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
z
x I
yM ⋅
−=σ
PV = xPM ⋅=e
Carga fora do plano de simetria
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de 
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
� As tensões de cisalhamento não podem ser 
determinadas pela equação , pois a seção 
não tem plano de simetria vertical.
� Esta barra irá sofrer flexão e torção sob ação da 
carga P.
bI
MV
z
s
⋅
⋅
=τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de 
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
� Se a barra flexionar sem torção, poderíamos usar a 
fórmula de cisalhamento já conhecida. Para isso, a 
carga P tem que ser aplicada em um ponto específico 
da seção transversal, conhecido como Centro de 
Cisalhamento (S).
� O centro de cisalhamento está em um eixo de 
simetria. Então, em seções duplamente simétricas o 
Centro de Cisalhamento (S) e o Centróide (C) 
coincidem.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos 
de Paredes Finas
� Considere uma viga de seção transversal arbitrária, cuja 
linha de centro seja a curva mm, e a carga P age paralela 
ao eixo “y” através do Centro de Cisalhamento (S).
� onde “y” e “z” são eixos centroidais.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos 
de Paredes Finas
� As tensões normais podem ser obtidas pela fórmula de 
flexão:
z
x I
yM ⋅
−=σ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos 
de Paredes Finas
0321 =−− FFF
dxtF ⋅⋅=τ3 ∫∫ ⋅⋅−=⋅=
s
z
z
s
x dAyI
MdAF
0
1
01
σ
∫∫ ⋅⋅−=⋅=
s
z
z
s
x dAyI
MdAF
0
2
02
σ
� As tensões de cisalhamento no elemento abcd são 
obtidas pelo equilíbrio das forças:
� onde:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos 
de Paredes Finas
� Assim, obtemos:
∫ ⋅⋅
⋅
⋅




 −
=
s
z
zz dAy
tIdx
MM
0
12 1τ
y
zz V
dx
dM
dx
MM
==
− 12onde:
, que é paralela a y e positiva 
em sentido de P.
tI
MV
z
zsy
⋅
⋅
=
)(τ ���� Fórmula de CisalhamentoLogo:
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos 
de Paredes Finas
� As tensões de cisalhamento estão direcionadas ao 
longo da linha de centro da seção, paralelas às bordas.
� τ é constante através as espessura t da parede.
� O fluxo de cisalhamento (f) é igual ao produto da 
tensão τ pela espessura t.
z
zsy
I
MV
tf )(⋅=⋅=τ
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� Seção C ou Canal:
� O Centro de Cisalhamento está localizado no eixo de 
simetria (eixo z).
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� Baseado na fórmula de cisalhamento, as tensões de 
cisalhamento variam linearmente nos flanges e 
parabolicamente na alma.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� A tensão de cisalhamento que atua em um elemento 
de seção transversal de área dA = t.ds produz a força 
dF = ττττ . dA ou dF = f . ds , e .
z
s
I
MV
tf ⋅=⋅=τ
ds dA
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� A resultante das forças que age nos flanges AB e DE é
a força horizontal F1;
� As tensões que atuam na alma BD vão ter como 
resultante uma força igual à força cortante V na seção:
∫ ⋅=
B
A
dsfF1
∫ ⋅==
D
B
dsfVF2
AB
D E
ds
h
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� As forças F1 provocam um momento em relação ao 
centróide de M = F1 . h, onde h é a distância entre as 
linhas de centro das mesas. Este momento que é
responsável pela resistência da seção à torção.
� Para eliminar o efeito desse momento, a força cortante V 
deve ser deslocada para a esquerda de uma distância 
“e”, de modo que:
( ) hFeV mesa ⋅=⋅ ( )
V
hF
e
mesa ⋅
=→ 
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� Onde conclui-se que não vai ocorrer torção na barra se 
a força P for aplicada em um ponto distante “e” da linha 
central da alma BD.
� A interação da linha de ação com o eixo de simetria “z”, 
representa o Centro de Cisalhamento da seção (S).
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� No caso da força P ser inclinada, acha-se as 
componentes Pz e Py atuando no ponto “S”.
P Py
Pz
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� Seções que não possuem nenhum plano de simetria:
� Seção Cantoneira:
� A carga P atua perpendicularmente ao eixo principal z.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� Força elementar:
,
dsfdF ⋅=
z
s
I
MVf ⋅= sendo
dF
ds
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
∫ ⋅=
S
A
dsfF1
∫ ⋅=
B
S
dsfF2
� Forças Resultantes:
F1
F2
A
B
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções 
Abertas e Paredes Finas
� Como as resultantes F1 e F2 passam pelo ponto “S”, 
deduzimos que a força cortante V da seção deve 
passar por “S” também.
� O Centro de Cisalhamento é então o vértice da seção, 
pois a força V não provocará torção, independente da 
sua direção.
,
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 6: Determinar o Centro de Cisalhamento S do 
perfil canal, de espessura uniforme e dimensões:
b=100mm, h=150mm e t=3mm.
,
( ) ( )
zz
zs
I
htsV
I
MVf 2⋅⋅⋅=⋅=
zI
htsVf
⋅
⋅⋅⋅
=
2
Fluxo de Cisalhamento:
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de 
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
t
t
t
AB
D E
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Exemplo 6
� Força Resultante no flange AB:
, dss
I
htV
I
htsVdsfF b
z
b
z
B
A ∫∫∫ ⋅⋅
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅⋅
=⋅=
001 22
z
b
z I
bhtVs
I
htVF
⋅
⋅⋅⋅
=





⋅
⋅
⋅⋅
=
422
2
0
2
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Centro de Cisalhamento:
,
zz I
bht
V
h
I
bhtV
V
hF
e
⋅
⋅⋅
=⋅
⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
=
44
22
flangesalmaz III ⋅+= 2
( )





⋅⋅





+
⋅
⋅+
⋅
= tbhbthtI z 212
2
12
233Exemplo 6
( )hbhttbhtbhtI z +⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 6122612
2233
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Centro de Cisalhamento:
,( )hbht
tbh
e
+⋅⋅
⋅
⋅
⋅⋅
=
6
12
4
2
22
hb
b
e
+⋅
⋅
=
6
3 2
Exemplo 6
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Exemplo 7: Determinar, para o perfil canal, a 
distribuição de tensões de cisalhamento causada por 
uma força cortante vertical V de 800kN de intensidade, 
aplicada no Centro de Cisalhamento S.
b=100mm, h=150mm, t=3mm, e = 40mm.
,
t
t
t
AB
D E
5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de 
Parede Fina. Centro de Cisalhamento.
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Tensão no flange AB:
,
zzz
s
I
hsV
tI
htsV
tI
MV
⋅
⋅⋅
=
⋅⋅
⋅⋅⋅
=
⋅
⋅
=
22
τ
2
h
tsMs ××=
Exemplo 7
Distribuição Linear
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Tensão em B:
,
( )hbhtI z +⋅⋅⋅= 612
2
( ) ( )hbht
bV
hbht
hbV
B +⋅⋅⋅
⋅⋅
=
+⋅⋅
⋅
⋅
⋅⋅
=
6
6
6
12
2
2τ
( ) =+×⋅×
××
=
15,01,0615,0003,0
1,08006
Bτ MPa422,1
Exemplo 7
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)
,
tI
MV
z
s
⋅
⋅
=τ
( )hbthhthhtbMs +⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= 48422
Exemplo 7
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
� Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica)
,
( )
( )
( )
( )hbht
hbV
thbht
hbthV
máx
+⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅⋅
=
⋅+⋅⋅
⋅
+⋅⋅
⋅
⋅
=
62
43
6
12
4
8
2τ
( )
( ) =+××××
+×××
=
15,01,0615,0003,02
15,01,048003
máxτ MPa956,1
Exemplo 7
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Exercício 1: Uma viga caixão quadrada é feita de duas 
pranchas de 20 x 80mm e duas pranchas de 20 x 
120mm pregadas entre si, como mostra a figura. 
Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s = 
30mm e que a força cortante vertical na viga é V = 
1200N, determine (a) a força cortante em cada prego, 
(b) a tensão de cisalhamento máxima na viga.
,
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Exercício 2: Para a viga e carregamento mostrado, 
determine a largura b mínima necessária, sabendo que, 
para o tipo de madeira usada, σadm = 12MPa e τadm = 
825kPa. ,
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Exercício 3: A viga mostrada na figura foi feita colando-
se várias tábuas. Sabendo que a viga está sujeita a 
uma força cortante de 5,5kN, determine a tensão de 
cisalhamento nas juntas coladas (a) em A, (b) em B.,
Pr
o
f. 
R
o
m
e
l D
ia
s 
Va
n
de
rle
i
Aplicações
� Exercício 4: Várias tábuas são coladas para formas a 
viga caixão mostrada na figura. Sabendo que a viga 
está sujeita a uma força cortante vertical de 3kN, 
determine a tensão de cisalhamento nas junta colada 
(a) em A, (b) em B.
,