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Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB1 Aula 13 Técnicas de Integração Objetivos da Aula Estudar técnicas especiais de integração: integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções. Regra da Substituição É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x + 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis: Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB2 Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos Assim resolvendo esta integral teremos: Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ]. Regra da Substituição [ 2 ] Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I, então Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais. Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB3 Método de Integração por Substituição Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral foi bem-sucedido, escrevamos Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de é precisamente a composta de f e g. De fato Portanto, pode ser escrita como Mostraremos em seguida que uma integral da forma pode ser escrita como Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da cadeia temos Portanto, Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser diretamente calculada, como é o caso da integral , então o método da substituição será bem-sucedido. Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração por substituição. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB4 Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral “a função interna” da função composta f (g(x)). Passo 2. Calcule du = g’(x) dx. Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter a integral em uma outra envolvendo apenas u. Passo 4. Calcule a integral resultante. Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como função de x. Observação: Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4. Exemplo 1: Calcule Solução: Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta com “função interna” Assim, escolhemos Passo 2. Calculamos du = 2x dx. Passo 3. Fazendo a substituição , obtemos uma integral envolvendo de apenas a variável u. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB5 Passo 4. Calculamos Passo 5. Substituindo u por , obtemos Exemplo 2: Calcule Solução: Passo 1. O integrando contém a função composta “função interna” Assim, seja Passo 2. Calculamos Passo 3. Fazendo a substituição uma integral envolvendo apenas a variável u. Passo 4. Calculamos Passo 5. Substituindo u por obtemos Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB6 Aplicação Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá no primeiro ano em que eles estiverem no mercado? Solução: Denotemos por N(t) o número total de computadores que se espera que sejam vendidos t meses após sua introdução no mercado. Então, a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(t) unidades por mês. Assim, Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos Para determinarmos o valor de C notemos que o número de computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0. Isto fornece Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB7 O número de computadores que a Universal espera vender no primeiro ano á dada por Integração por Partes Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de integração por partes. A Regra do Produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis, então Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se Podemos rearranjar essa equação como A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g (x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB8 Exemplo 1: Calcule Solução: Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto, tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração por partes [ 2 ] fazendo Portanto, O sucesso do método de integração por partes depende da escolha apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido no exemplo anterior, então Logo, [ 2 ] teria resultado em Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a integral indefinida dada. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB9 Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes Diretrizes para a escolha de u e dv Escolha u e dv, tais que 1. du é mais simples que u; 2. dv é mais fácil de integrar Exemplo 2: Calcule Solução: Fazendo O próximo exemplo mostra que a aplicação repetida da técnica de integração por partes é às vezes necessária para calcular uma integral. Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB10 Exemplo 3: Calcule Solução: Para completar a solução do problema, é necessário calcular a integral Mas esta integral pode ser obtida usando-se integração por partes. Usando os resultados obtidos neste exercício, encontramos Aplicação A taxa estimada de produção de petróleo de um certo poço t anos após a produção ter começado é dada por milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo ao final do ano t. Solução: Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano Matemática Superior - UVB Faculdade On-line UVB11 Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de petróleo por ano. Logo, Usandoa técnica de integração por partes para calcular esta integral. Sejam Referências Bibliográficas TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thomson, 2001. MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: Atlas, 1999 . LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São Paulo: Harbra, 1988. STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003.
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