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Integral calculo 1

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Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB1
Aula 13
Técnicas de Integração
Objetivos da Aula
Estudar técnicas especiais de integração: integração por 
substituição e por partes, mostrando que estes processos são 
ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla 
classe de funções.
Regra da Substituição
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas 
nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular 
integrais do tipo
Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x 
+ 4) 5 e, em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. 
Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo 
uma mudança de variáveis:
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Se substituirmos estas expressões na Equação [ 1 ], obtemos
Assim resolvendo esta integral teremos:
Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos
Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está 
correto calculando
e observando que este resultado é precisamente o integrando de [ 1 ].
Regra da Substituição [ 2 ]
Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo 
I e f for contínua em I, então
Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada 
usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se 
u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra 
da Substituição é imaginar dx e du em [ 2 ] como diferenciais.
Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com 
dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.
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Método de Integração por Substituição
Para vermos porque o método que usamos no cálculo da integral 
 foi bem-sucedido, escrevamos 
Então g’(x) = 2 dx. Além disso, o integrando de 
é precisamente a composta de f e g. De fato
Portanto, pode ser escrita como
Mostraremos em seguida que uma integral da forma 
pode ser escrita como
Suponhamos que F é uma antiderivada de f. Pela regra da 
cadeia temos
Portanto,
Fazendo F ’ = f e efetuando a substituição u = g(x), temos
como queríamos mostrar. Assim, se a integral transformada pode ser 
diretamente calculada, como é o caso da integral 
, então o método da substituição será bem-sucedido.
Podemos, agora, resumir os passos envolvidos na integração 
por substituição.
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Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em 
geral “a função interna” da função composta f (g(x)).
Passo 2. Calcule du = g’(x) dx.
Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = g’(x) dx para converter 
a integral em uma outra envolvendo apenas u.
Passo 4. Calcule a integral resultante.
Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como 
função de x.
Observação:
Ás vezes é necessário considerarmos diferentes escolhas de g para 
a substituição u = g(x) para podermos executar os passos 3 e/ou 4.
Exemplo 1:
Calcule 
Solução:
Passo 1. Observemos que o integrando envolve a função composta 
 com “função interna” 
Assim, escolhemos 
Passo 2. Calculamos du = 2x dx.
Passo 3. Fazendo a substituição , obtemos
uma integral envolvendo de apenas a variável u.
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Passo 4. Calculamos
Passo 5. Substituindo u por , obtemos
Exemplo 2:
Calcule 
Solução:
Passo 1. O integrando contém a função composta
“função interna” 
Assim, seja
Passo 2. Calculamos 
Passo 3. Fazendo a substituição 
uma integral envolvendo apenas a variável u.
Passo 4. Calculamos
Passo 5. Substituindo u por obtemos
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Aplicação
Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia 
Universal Instruments projeta que, após a nova linha de computadores 
pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à 
taxa de
unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número 
total de computadores que serão vendidos t meses após se tornarem 
disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá 
no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?
Solução:
Denotemos por N(t) o número total de computadores que se espera 
que sejam vendidos t meses após sua introdução no mercado. Então, 
a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(t) unidades por mês. 
Assim, 
Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos
Para determinarmos o valor de C notemos que o número de 
computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0. 
Isto fornece
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O número de computadores que a Universal espera vender no 
primeiro ano á dada por 
Integração por Partes
Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de 
integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração 
corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que 
corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de 
integração por partes.
A Regra do Produto estabelece que se f e g são funções 
diferenciáveis, então
Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se
Podemos rearranjar essa equação como 
A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais 
facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g 
(x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela 
Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se 
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Exemplo 1:
Calcule 
Solução:
Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos 
permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto, 
tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida 
mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração 
por partes [ 2 ] fazendo
 
Portanto, 
O sucesso do método de integração por partes depende da escolha 
apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido
no exemplo anterior, então
Logo, [ 2 ] teria resultado em
Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é 
facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral 
original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a 
integral indefinida dada.
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Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes
Diretrizes para a escolha de u e dv
Escolha u e dv, tais que
1. du é mais simples que u;
2. dv é mais fácil de integrar
Exemplo 2:
Calcule
Solução:
Fazendo
O próximo exemplo mostra que a aplicação repetida da técnica 
de integração por partes é às vezes necessária para calcular 
uma integral.
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Exemplo 3:
Calcule 
Solução:
Para completar a solução do problema, é necessário calcular a integral
Mas esta integral pode ser obtida usando-se integração por partes.
Usando os resultados obtidos neste exercício, encontramos
Aplicação
A taxa estimada de produção de petróleo de um certo poço t anos 
após a produção ter começado é dada por
milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a 
produção total de petróleo ao final do ano t.
Solução:
Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano 
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Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de 
petróleo por ano. Logo,
Usandoa técnica de integração por partes para calcular esta integral.
Sejam
Referências Bibliográficas
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo: 
Thomson, 2001.
MEDEIROS DA SILVA, Sebastião e outros. Matemática para os cursos de 
Economia, Administração, Ciências Contábeis. vol. 1. 5 Ed. São Paulo: 
Atlas, 1999 .
LEITHOLD, L. O Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
STEWART JAMES, Cálculo Vol. I. 4ª Ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.

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