Simulado de Algebra Linear - Segunda Prova

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PROVA 2 
Simulado 
ABI em Computação (Bacharelado e 
Licenciatura) 
 Prof. Eryc de Oliveira Leão 
1º Semestre Algebra Linear CH 72ha / 60h 
INSTRUÇÕES: 
 As respostas das questões deverão estar a caneta! 
 Não é permitido o uso de calculadoras. 
 Todas as informações necessárias para fazer esta prova estão neste caderno de provas. Caso 
algum erro seja descoberto em alguma questão, ela será posteriormente anulada. 
 Apenas a resposta será considerada na correção desta avaliação. Portanto, use o rascunho, faça 
os cálculos passo a passo e tome bastante cuidado para não errá-los. 
Para todas as questões dessa prova, considere as seguintes definições: 
 
 
 
 
 
 
 , C 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 , E = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
F = , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 1 = (2, -1), 2 = (3, 2), 3 = (-2, 0), 4 = (4, 1, 3), 5 = (0, 1, -1), 6 = (3, 6, 1), 7 = (1, 2, 0, -1), 8 
= (0, 1, 2, 1), 9 = (2, -1, 0, 1), 10 = (1, 0,-1, -1), 11 = (-2, 2, 2, 0), 12 = (1,0,2,-1), 13 = (0,-1,-1,3), 
 14 = (2,-1,0,1), 15 = (2,0,1,-2), 16 = (1,1,1,2) 
1 Calcule os seguintes determinantes e diga quais 
dentre as matrizes A, B, C e D são inversíveis. 
(a) det (A) 
(b) det (B) 
(c) det (C) 
(d) det (D) 
(e) det (E) 
Respostas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Calcule: 
(a) Adj. B (Matriz adjunta de B) 
(b) B
-1
 
(Lembre-se que uma matriz A, n x n, está relacionada com sua 
adjunta pela expressão: 
A.(Adj. A) = det(A). In 
e que a inversa de uma matriz A pode ser encontrada a partir da 
expressão: 
 A-1 
 
 
 
 
 Respostas: 
 
3 Encontre a distância entre os pontos 1 e 2 , o comprimento dos 
vetores 1 e 2, e o co-seno do ângulo entre os vetores 1 e 2. 
Lembrete: O co-seno do ângulo entre dois vetores – por exemplo, 
 – está relacionado com seu produto interno ( ) e com 
o produto de suas normas ( ), da seguinte forma: 
 
 
 
 
Respostas: 
 
Rascunho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 Encontre a expressão para as seguintes figuras: 
(a) Reta que passa pelos pontos 2 e 3. 
(b) Reta que contêm o ponto 4 e é paralela ao 
vetor 5. 
(c) Plano que contém o ponto 4 e é 
perpendicular ao vetor 5. 
Respostas: 
 
5 Encontre a equação paramétrica da reta formada 
pela intersecção dos planos: (a) x + 2y – z + 2 = 0 e 
(b) -2x + y + z - 3 = 0. 
Resposta: 
 
 
 
 
Rascunho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 Um espaço vetorial V é um conjunto de elementos, chamados vetores, 
fechados para operações de soma e multiplicação por escalar pré-definidas, 
onde valem, para todos os elementos de V, as seguintes propriedades: (a) 
Comutatividade, (b) Associatividade, (c) Existência do vetor nulo, (d) 
existência de inverso aditivo, (e) distributividade e (f) multiplicação por 1. 
Verifique se o conjunto V a seguir é ou não um espaço vetorial. Caso não 
seja, informe pelo menos um dos critérios não satisfeitos pelo conjunto: 
V é o conjunto dos pares ordenados (a,b) de números reais com adição em 
V e multiplicação em V definidos por: 
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) 
k(a,b) = (ka,0) 
 Resposta: 
 
7 Informe quais dentre os subconjuntos de 
R
3
 a seguir são subespaços de R
3
 e, caso 
algum não seja, justifique. 
(a) Conjunto de todos os vetores da 
forma (a,b,2) 
(b) Conjunto de todos os vetores da 
forma (a,b,c), onde c = a + b 
(c) Conjunto de todos os vetores da 
forma (a,b,c), onde c > 0. 
Se julgar necessário, utilize o seguinte 
teorema: “W é um subespaço de V se, e 
somente se, 
(i) 0 ϵ W (ou W ≠ Ø) e 
(ii) (ii) v, w ϵ W implica av + bw ϵ 
W para cada número real a e 
b.” 
Resposta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rascunho 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 Construa um conjunto de vetores linearmente independentes a partir do 
conjunto S = { 7, 8, 9, 10, 11 }. 
Resposta: 
 
9 Seja o conjunto S = { 12, 13, 14, 15, 16}. Encontre uma 
base para o subespaço gerado por esses vetores de R
4
 e 
informe qual é a dimensão desse subespaço. 
Resposta: 
 
10 Considere o seguinte subconjunto de P3: 
S = { t
3
+ t
2
 - 2t +1, 
 t
2
 + 1, 
 t
3
 – 2t, 
 2t
3 
+ t
2
 – t + 1, 
 2} 
Encontre uma base para o subespaço gerado por S e 
informe qual é a dimensão desse subespaço. 
Resposta: 
Resposta: 
Rascunho