Conjuntos Numericos e Simbolos Matematicos

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CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
 
Símbolos Matemáticos 
 
 
a, b, ... variáveis e parâmetros = igual 
A, B, ... conjuntos ¹ diferente 
Î pertence a >
 
maior que 
Ï não pertence <
 
menor que 
Ì está contido ³ maior ou igual a 
Ë não está contido 
£ menor ou igual a 
É contém 
!n fatorial 
É não contém 
S somatório 
$ existe 
P produtório 
$ não existe 
¥ infinito 
$| existe apenas um / existe um único ò integral 
| tal que 
lim limite 
" todo, qualquer 
log logaritmo 
Þ implica (se então) 
ln logaritmo natural (neperiano) 
Û equivale (se e somente se) 
números naturais 
È união de conjuntos 
 números inteiros 
Ç interseção de conjuntos 
 números racionais 
Æ Conjunto vazio 
números reais 
Ú ou 
 
Ù e 
 
~ negação (lógica) 
 
 
 
 
Propriedades das desigualdades: 
 
a) Se a > b e b > c Þ a > c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2 
b) Seja a > b : 
· Se c >0 Þ a . c > b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2 
· Se c < 0 Þ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2 
c) a > b Þ a + c > b +c , " c Î R 
d) a > b e c > d Þ a + c > b + d Ex. a = 3 , b = 2 , c = - 3, d = - 4 
e) Se a > b > 0 e c > d >0 Þ a . c > b. d 
 
Valor Absoluto 
 
O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem, 
independentemente do sentido. 
 
î
í
ì
<-
³
=
0 ,
0a ,
asea
sea
a 
 
 
Propriedades do Valor Absoluto 
 
· 000 =Û=³ aaea 
· 
22 aa = 
· aa =2 
· ïa ï< b, b > 0 Û - b < a < b 
 
· ï a ï> b, b > 0 Û a > b ou a < -b ou 
· | a | = b, b > 0 Û a = b ou a = -b 
· Se a, b Î R Þ | a . b | = | a | . | b | 
· Se a, b Î R , b ¹ 0 Þ 
a
b
a
b
= 
· Se a, b Î R Þ | a + b | £ | a | + | b | (Desigualdade Triangular) 
· Se a, b Î R Þ | a | - | b | £ | a - b | £ | a | + | b | 
 
 
O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 
 
Introdução 
 
Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais. 
Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas. 
O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,... 
 = { 0,1,2,3,...}. 
O conjunto dos números inteiros ( ) é formado pelos números naturais acrescido dos 
números - 1,-2,-3,... . 
 = { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} 
O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e 
b são inteiros com b¹ 0. 
= { .....,-3,-2,-1,
2
1
- ,0, 
2
1
,1,2,3,....} 
Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples , 
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ÎÎ *Zb e Za|
b
a
 
O conjunto dos números irracionais ( I ) é formado pelos números cuja representação 
decimal infinita não é periódica. Ex: 
2 = 1,4142136... 
3 = 1,7320508... 
p = 3,1415926... 
 
O conjunto dos números reais ( ) é formado pelos números racionais e pelos números 
irracionais. 
IQ U= , sendo =IQ I Æ 
 
Regras Básicas 
 
Em estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação. 
Para os números reais a e b associa-se um único número real, a + b, chamado soma de a e b. 
Para os números reais a e b associa-se um único número real, ba × , chamado produto de a e 
b. 
 
As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir: 
 
 
 
· Propriedade comutativa 
Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se: 
a + b = b + a a.b = b.a 
 
· Propriedade associativa 
 Quaisquer que sejam os números reais a, b e c, tem-se 
(a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc) 
 
· Elemento Neutro 
Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a, 
tem-se: 
a + 0 = a a . 1 = a 
 
· Elemento oposto e elemento inverso 
 Existem únicos números reais, indicados 
– a ( chamado oposto) e 
a
1
 ( a ¹ 0) (chamado inverso), tal que 
a + (–a) = 0 a . 
a
1
 = 1 
· Propriedade distributiva 
Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se 
a (b + c ) = ab + ac 
(b + c) a = ba + ca 
 
Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados: 
 
Cancelamento se a + b = a + c então b = c 
 se ab = ac e 0a ¹ então b = c 
 
Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a 
 para quaisquer a e b de , se ab = 0, então a = 0, ou b = 0. 
 
Regras de sinal para quaisquer a e b de 
 –( –a) = a 
 (–a)b = – (ab) = a(–b) 
 (–a)(–b) = ab 
 
Subtração 
A diferença de b e a, indicada por b – a, é definida por b – a = b + (– a), para quaisquer a e b 
reais. 
A regra dos sinais nos diz: 
– ( a + b) = – a – b 
 
Divisão 
O quociente de b por a, onde a¹ 0, indicado por 
a
b
, onde b é o numerador e a o 
denominador. Também é chamado fração 
a
b
. 
 
É PROIBIDO DIVIDIR POR ZERO !! 
 
Soma de frações: 
c
ba
c
b
c
a ±
=± (c ¹ 0) 
bd
bcad
d
c
b
a ±
=± (b ¹ 0, d ¹ 0) 
 
Produto de frações: 
bd
ac
d
c
b
a
=× (b ¹ 0, d ¹ 0) 
 
Quociente de frações: 
d
c
b
a
= 
c
d
b
a
× (b ¹ 0, d ¹ 0 e c ¹ 0) 
 
Bibliografia: 
 
1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São 
Paulo, 2002. 
2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar- vol. 1. Atual editora. São Paulo, 2000. 
 
EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1) Quais das proposições são verdadeiras? 
a) 3 Î 
d) 
2
1
 Î 
b) N Ì e) 4 Î 
c) Z Ì f) 3 Î 
 
2) Complete, usando as propriedades especificadas: 
a) 32 . 45 = (comutativa) 
b) 5(2 +3 ) = (distributiva) 
c) 7 + 0 = (elemento neutro) 
d) 3 . 
3
1
 = (elemento inverso) 
 
3) Efetue: 
a) (-4)(-3)=.......... 
b) (2)(-4)(3) =.............. 
c) (-3)6 =............... 
 
4) Complete com verdadeiro ou falso, para todo a real: 
( ) – (– a + 3) = a + 3 
( ) – (1 – a) = –1 + a 
( ) –2 – a = – (2 + a) 
 
5) Efetue: 
a) =+
3
7
3
1
 
b) =-
7
3
5
2
 
c) -2
3
2
+
4
1
= 
d) =+-
5
1
4
3
3
2
 
 
e) =×
3
4
5
8
 
f) =÷
ø
ö
ç
è
æ-×÷
ø
ö
ç
è
æ-
8
6
3
1
 
g) =
8
3
10
12
 
h) =
-
7
2
3
2
 
i) Sendo 0bcd ¹ , 
cd
a
bc
a - = 
 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SOBRE CONJUNTOS NUMÈRICOS 
 
 
INTRODUÇÃO: 
1)a) V b) V c) V d) V e) V f) V 
 
PROPRIEDADES 
2) a) 45.32 b) 5.2 + 5.3 c) 0 + 7 = 7 d) 1 
 
EFETUE 
3) a) 12 b) – 24 c) – 18 
 
REGRA DE SINAL 
4) a) F b) V c) V 
 
EFETUE 
5) a) 8
3
 
b) 14 15 1
35 35
- = - 
c) 8 1 32 3 29
3 4 12 12
- +- + = = - 
d) 40 45 12 52 45 7
60 60 60
- + -= = 
e) 32
15
 
f) 1
4
 
g) 12 3 12 8 16.
10 8 10 3 5
¸ = = 
h) 2 2 2 7 7.
3 7 3 2 3
- ¸ = - = - 
i) ( )ad ab a d b
bcd bcd
- -=