Matrizes

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CCE1005 –BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
 Aula 05: Matrizes 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes 
AULA 05: MATRIZES 
x’ = ax + by 
y’ = cx + dy 
A álgebra das matrizes foi descoberta pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) 
em 1857, em conexão com as transformações lineares do tipo: 
onde a, b, c, d são números reais; estas transformações lineares podem 
ser concebidas como aplicações que levam o ponto (x, y) no ponto (x’, y’) 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes 
AULA 05: MATRIZES 
Matriz real do tipo m x n (leia-se m por n) 
Conjunto de mxn números reais dispostos rm m linhas e n colunas. 
 
Exemplo: 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matriz quadrada 
AULA 05: MATRIZES 
Número de linhas ao número de colunas (m=n) 
Diz-se que a ordem de uma matriz quadrada é igual à sua dimensão 
 
Exemplo: 
uma matriz quadrada do tipo 3 x 3, possui ordem 3, ou seja, O(3) 
 
Identificação dos elementos de uma matriz 
Linha: Identificada pelo índice i 
Coluna: Identificada pelo índice j 
aij 
a11 = 2 
a12 = 3 
a21 = 4 
a22 = 5 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matriz quadrada 
AULA 05: MATRIZES 
Diagonal secundária: 
i+j = n + 1, onde n é a ordem da matriz 
Diagonal principal: 
i= j 
Matriz diagonal: matriz cujos elementos não pertencentes à diagonal principal são nulos 
Matriz identidade: matriz diagonal com valores unitários na diagonal principal 
Matriz nula (O): todos os elementos são nulos 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes: Operações (adição) 
AULA 05: MATRIZES 
Soma termo a termo 
 
Operação possível para matrizes do mesmo tipo 
Sendo A, B, C e O matrizes do mesmo tipo, temos : 
A + B = B + A (comutatividade) 
A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) 
A + O = O + A = A (elemento neutro) 
A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto) 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes: Operações (adição) 
AULA 05: MATRIZES 
Produto do escalar por cada termo da matriz 
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e a e b números 
reais quaisquer (escalares), temos: 
 
• (ab) = (ab)A 
• a (A + B) = aA + aB 
• (a + b) A = Aa +Ba 
• 1.A = A 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes: Operações (produto entre matrizes) 
AULA 05: MATRIZES 
O Produto entre matrizes só é possível quando: 
O número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda 
A matriz produto será obtida: 
multiplicando cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes: Operações (produto entre matrizes) 
AULA 05: MATRIZES 
A matriz produto será obtida: 
multiplicando cada linha da primeira matriz por todas as colunas da segunda matriz 
O Produto entre matrizes só é possível quando: 
O número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda 
Sendo a primeira matriz A, mA x nA, e a matriz B, mB x nB, o produto: 
Só é possível se nA = mB e será do tipo mA x nB 
Unidade 2: Vetores e matrizes 
Matrizes: Operações (adição) 
AULA 05: MATRIZES 
C11 = 1 x 2 + 2 x 1 + 2 x 2 = 8 
C12 = 1 x 4 + 2 x 3 + 2 x 1 = 12 
C21 = 3 x 2 + 1 x 1 + 4 x 2 = 15 
C22 = 3 x 4 + 1 x 3 + 4 x 1 = 19 
produto possível (A -3 colunas e B -3 linhas) 
Matriz produto do tipo 2x2 
 
C =