APOSTILA CDI 2 FUNCAO VARIAS VARIAVEIS (1)

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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR 
 
CAMPUS CORNÉLIO PROCÓPIO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
 2 
1. FUNÇÕES DE VARIAS VARIÁVEIS 
 
1.1. Noções básicas de funções de várias variáveis 
 
As funções reais de várias variáveis reais aparecem naturalmente em problemas práticos. 
 
Quando procuramos a área S de um paralelogramo de base x e altura y, multiplicamos a base pela 
altura. Então, o valor de 
 xy S
 depende dos valores da base e da altura. Dizemos que a área S é 
função das duas variáveis x e y. 
 
Da mesma forma concluímos que o volume de um paralelepípedo, de dimensões x, y e z é uma função 
de 3 variáveis, pois 
 xyz V
 e a cada terno de valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor 
determinado do volume. 
 
A Física, através de suas fórmulas, também oferece inúmeros exemplos de funções de várias variáveis. 
 
A notação "z = f(x, y) no domínio D  P2P " significará que z é dado como uma função de x e y para 
todos os pontos de um domínio D do plano xy. As variáveis x e y são chamadas variáveis 
independentes, enquanto que z se diz dependente. 
 
O gráfico de uma função z = f(x, y) é uma superfície contida em P3P e para as funções u = f(x, y, z), o 
gráfico está contido em P4P o qual não podemos visualizá-lo. 
 
Algumas Aplicações: 
 
1) Dado (x, y), podemos considerá-lo como por exemplo, o comprimento e a largura de um terreno 
retangular e, associar a cada par (x, y): 
(i) A sua área: A = x . y 
(ii) O perímetro do mesmo: P = 2(x + y) 
(iii) A distância do ponto até a origem: 
22 yxD 
 
 
 
 
2) Dado (x, y, z), podemos considerá-lo como por exemplo as dimensões de uma caixa retangular 
(paralelepípedo reto-retângulo) e, associar a cada terna (x, y, z): 
(i) O volume do mesmo: V = x . y . z 
(ii) A sua área lateral: ABlB = 2(x . y + x . z + y . z) 
(iii) A distância do ponto até a origem:
222 zyxD 
 
 
3) Considere o seguinte enunciado: O volume V de um cilindro é dado por 
hrV 2  , onde r é o raio 
e h é a altura. 
 
Analisando esses enunciados, verificamos que as funções envolvidas requerem o uso de duas ou mais 
variáveis independentes. 
 
Podemos, por exemplo, dizer que o volume de um cilindro, denotado por V, é uma função do raio r e 
da altura h. Assim, 
),( hrVV 
 é uma função de duas variáveis definidas por: 
hrhrV 2 ),( 
. 
 
Essas situações mostram exemplos práticos que aplicam funções de vária variáveis. 
 
Constataremos que o estudo das funções de três ou mais variáveis difere muito pouco do estudo de 
funções de duas variáveis. Por isso, vamos, neste curso, trabalhar mais com funções de duas variáveis. 
Por outro lado, vamos salientar as diferenças fundamentais entre o cálculo de funções de uma variável 
e o cálculo de funções de várias variáveis. 
 
 3 
 Domínio de uma função de várias variáveis 
 
Seja 
),( yxfz 
 a lei de correspondência para representar a função f nas variáveis x e y. 
 
Façamos uma representação gráfica mais conveniente. Tomemos 3 eixos ortogonais 2 a 2. 
 
 
 
A cada par 
),( yx
 corresponde um 
z
. O terno ordenado 
),,( zyx
 tem por imagem gráfica um ponto do 
espaço. 
 
A função de 2 variáveis reais é definida em certos pontos 
),( yx
 do plano real; portanto, o conjunto D 
destes pontos, domínio da função, é uma superfície de 
2
. 
 
Quando a função 
f
 é de 3 variáveis x, y e z. A cada terno 
),,( zyx
 corresponderá, através da lei f, um 
valor real 
),,( zyxfw 
. O conjunto de todos os ternos ordenados 
),,( zyx
 de números reais é o 
espaço 
 3
. Logo, toda função real de 3 variáveis reais é definida em um subconjunto D 
do espaço tridimensional real. 
 
 
 
 
 4 
Exemplos: Determine o domínio das funções de várias variáveis a seguir e represente-o 
geometricamente. 
 
1) Seja a função: 
yx
xy
z


 
Solução: 
 
A característica da função z é um quociente e ele só é definido para 
0 yx
, isto é, 
yx 
. 
 
O domínio de z é o conjunto 
}/),{( 2 yxyxD 
, conjunto dos pontos do plano 
yx0
 que não 
pertencem à bissetriz dos quadrantes ímpares 
yx 
. 
 
 
 
2) Seja a função: 
4
2



y
x
z
 
Solução: 
 
Além do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A função z é definida para: 
 





404
202
yy
xx  }4y e 2/),{( 2  xyxD 
 
 
 
 5 
3) Seja a função: 
22 345 yyxxz 
 
 
Solução: 
 
Examinando a função, notamos que z real acontece quando: 
0y-3y e 045 22  xx
. 
 
Resolvendo as inequações: 






3003
41045
2
2
yyy
xxx 
 
Então, 
}30 e 41/),{( 2  yxyxD
 
 
A seguir tem-se a representação gráfica do domínio da mesma. 
 
 
 
 
4) Seja a função: 
13 22  yxyxz
 
 
Solução: 
 
Esta função é definida para 
 yx,
, então: 
2D
. Assim, o domínio D é todo o plano real 
2
. 
Em outras palavras, o valor de z é definido em todo ponto 
2),( yx
. 
 
 
 
 
 6 
5) Seja a função: 
yzxzxyw 864 
 
 
Solução: 
 
Esta função é definida para 
 zyx ,,
, então: 
3D
. Assim, o domínio D é todo o espaço real 
3
. Em outras palavras, o valor de w é definido em todo ponto 
3),,( zyx
. 
 
 
6) Seja a função: 
222 9241 zyxw 
 
 
Solução: 
 
Para w ser um número real, devemos impor as condições: 
09 e 04 , 01 222  zyx
 
 
A resolução dessas desigualdades, nos leva a: 
 
11  x
 , 
22  y
 e 
33  z
 
 
Assim, o domínio dessa função é dado por: 
 
}33 e 22 ,11 / ),,{( 3  zyxzyxD
 
 
Geometricamente, o domínio D é um paralelepípedo de faces paralelas aos planos coordenados, 
conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
 
 
 7 
7) Seja a função: 
)24( ln yxz 
 
 
Solução: 
 
Examinando a função: 
)24( ln yxz 
, verificamos que existirá z real para: 
024  yx
 ou 
equivalentemente 
042  yx
. 
 
Assim, o domínio dessa função é dado por: 
 
}042/ ),{( 2  yxyxD
 
 
Vejamos o esboço do gráfico do domínio de z. 
 
Representemos a reta 
042  yx
: 





2y0 x
4x0y 
Para
Para 
 
Experimentemos o ponto (0,0) na desigualdade: 
042  yx
 
0400 
. Assim, o ponto (0,0) 
satisfaz a inequação, logo o domínio é o semi-plano hachurado ilustrado na próxima figura. 
 
 
 
8) Determine o domínio das funções: 
a) 
224 yxz 
 
Solução: 
 Domínio: 
}4/),{()( 222  yxyxzD
. 
 
b)
22216),,( zyxzyxf 
 
Solução: 
 
}16/),,{( 2223  zyxzyxD
 
 
 
 
 
 8 
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE FUNÇÕES 
 
As funções de uma variável podem ser representadas graficamente como curvas desenhadas em um 
sistema de coordenadas bidimensional. Como veremos agora, as funções de duas variáveis podem ser 
representadas graficamente com superfícies em um sistema de coordenadas tridimensional. 
Infelizmente, não há modo análogo de visualizar funções de mais de duas variáveis. 
 
Para construir um sistema de coordenadas tridimensional, adicionamos um terceiro eixo (o eixo 
)z
 ao 
plano de coordenadas 
xy
 já conhecido, como mostra a figura a seguir. Note que o plano 
xy
 é colocado 
na horizontal. O eixo 
z
 é perpendicular ao planoxy
, e o sentido para cima é escolhido para ser a 
direção positiva de 
z
(por simplicidade, apenas os eixos das coordenadas positivas estão desenhados 
nessa figura. 
 
 
Podemos descrever a localização de um ponto em um espaço tridimensional especificando três 
coordenadas. Por exemplo, o ponto da figura a seguir que está a 3 unidades acima do plano 
xy
 e que 
se situa diretamente sobre o ponto 
)2,1(),( yx
 é representado pelas coordenadas 
1x
, 
2y
 e 
3z
, e é denotado pelo trio ordenado 
)3,2,1(),,( zyx
. Analogamente, o trio ordenado 
)3,1,2( 
 
representa o ponto que está a 3 unidades abaixo do plano 
xy
 e que se situa diretamente sob o ponto 
)1,2(),( yx
. 
 
 
Para plotar uma função 
),( yxf
 de duas variáveis independentes 
x
 e 
y
, é usual introduzir a letra 
z
 
para representar a variável dependente e escrever 
),( yxfz 
. Os pares ordenados 
),( yx
 do domínio 
de 
f
 são tomados como pontos no plano 
xy
, e a função 
f
 associa uma altura 
z
 a cada ponto desse. 
Assim, se 
3)2,1( f
, expressaríamos este fato geometricamente plotando 
)3,2,1(
em um sistema de 
coordenadas tridimensional. O gráfico de 
f
 consiste em todos os pontos 
),,( zyx
para os quais 
),( yxfz 
. A função pode associar diferentes alturas a diferentes pontos do seu domínio e, em geral, 
seu gráfico será uma superfície no espaço tridimensional. Esta situação esta ilustrada na figura a 
seguir: 
 
 
 9 
Assim, da mesma forma que no estudo das funções de uma variável real, a noção de gráfico 
desempenha um papel importante no estudo das funções de várias variáveis reais. Isso ocorre 
principalmente para as funções de duas variáveis, cujo gráfico, em geral, representa uma superfície no 
espaço tridimensional. A visualização geométrica auxilia muito no estudo dessas funções. Temos a 
seguinte definição: 
 
Definição: 
O gráfico de uma função de duas variáveis 
),( yxfz 
 é o conjunto de todos os pontos 
3),,( zyx
, 
tais que 
)(),( fDyx 
 e 
),( yxfz 
. 
 
Simbolicamente, escrevemos: 
)},(/z)y,{(x,(f) 3 yxfzgraf 
. 
 
Exemplos: 
1) Determine o domínio, a imagem e construa o gráfico da função: 
224 yxz 
. 
 
Solução: 
Domínio: 
}4/),{()( 222  yxyxzD
. 
 
Imagem: 
]2 ,0[)Im( z
 
 
Gráfico: 
 
}4/z)y,{(x,(f) 223 yxzgraf 
 
 
e, geometricamente, representa o hemisfério 
superior da esfera de centro na origem e raio 2, 
conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
 
2) A equação 
332  zyx
 é a equação de um plano inclinado que corta os eixos coordenados em 
3x
, 
2
3y
 e 
1z
. Resolvendo essa equação para z em função de (x, y), obtemos a função: 
)23(
3
1
yxz 
, cujo domínio é todo plano xy e cuja imagem é todo eixo z. A parte do gráfico 
de 
),( yxfz 
 que se encontra no primeiro octante está representado na próxima figura. 
 
 
 
 10 
Dada uma superfície S no espaço, podemos nos perguntar se ela sempre representa o gráfico de uma 
função 
),( yxfz 
. A resposta é não. Sabemos que, se f é uma função, cada ponto de seu domínio 
pode ter somente uma imagem. Portanto, a superfície S só representará o gráfico de uma função 
),( yxfz 
 se qualquer reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo em um ponto. Isso é 
ilustrada na figura a seguir. 
 
 
 
No caso das funções de uma variável, uma maneira de obter seu gráfico é elaborar uma tabela 
determinando os valores da função para uma série de pontos de seu domínio. Esse método rudimentar, 
embora não muito eficientes, constitui uma ferramenta importante. No entanto, para esboçar o gráfico 
de uma forma mais precisa, vários outros recursos são utilizados, tais como determinação de raízes, 
assíntotas, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximos e mínimos etc. 
 
Para uma função de duas variáveis, é praticamente impossível obter um esboço do gráfico apenas 
criando uma tabela com os valores da função em diversos pontos de seu domínio. Para contornar essa 
dificuldade, vários procedimentos são adotados. O principal deles, muito usado pelos cartógrafos na 
elaboração de mapas de relevo, consiste em determinar os conjuntos de pontos do domínio da função, 
em que esta permanece constante. Esses conjuntos de pontos são chamados de curvas de nível da 
função e são definidas a seguir. 
 
 
CURVAS DE NÍVEL 
 
 Normalmente não é fácil esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis. Uma maneira de 
visualizar uma superfície é mostrada na figura a seguir. Note que quando o plano 
Cz 
 intercepta a 
superfície 
),( yxfz 
, o resultado é uma curva no espaço. O conjunto de pontos 
),( yx
 
correspondentes no plano 
xy
 que satisfazem 
Cyxf ),(
 é chamado curva de nível de 
f
 em 
C
, e 
uma família inteira de curvas de nível é gerada quando 
C
 varia em um intervalo de valores. 
Esboçando membros dessa família no plano 
xy
, podemos obter uma representação útil da superfície 
),( yxfz 
. 
 
 
 11 
 
Figura: Uma curva de nível da superfície 
),( yxfz 
. 
 
Por exemplo, imagine que a superfície 
),( yxfz 
 é uma “montanha” cuja “elevação” no ponto 
),( yx
 
é dada por 
),( yxf
, como mostrado na figura (a) que segue. A curva de nível 
Cyxf ),(
 está 
diretamente sob uma trajetória na montanha cuja altitude é sempre 
C
. Para plotar a montanha, 
podemos indicar as trajetórias de altitudes constantes esboçando a família de curvas de nível em um 
plano, e colocando um “aviso” em cada curva para mostrar a altitude a que ela corresponde (figura (b), 
a seguir). Esta figura “plana” é chamada mapa topográfico da superfície 
),( yxfz 
. 
 
 
 Figuras: (a) A superfície 
),( yxfz 
 como uma montanha. 
 (b) As curvas de nível proporcionam um mapa topográfico de 
),( yxfz 
. 
 
 12 
Exemplo: 
 
1) Discuta as curvas de nível da função 
22),( yxyxf 
. 
 
Solução: 
 
A curva de nível 
Cyxf ),(
 tem a equação 
Cyx  22
. Se 
0C
, obtemos o ponto 
)0,0(
, e se 
0C
, temos um círculo de raio 
C
. Se 
0C
, não há pontos que satisfaçam 
Cyx  22
. O gráfico 
da superfície 
22),( yxyxf 
 está mostrado na figura a seguir. As curvas de nível que acabamos de 
descobrir correspondem a secções perpendiculares ao eixo 
z
. Pode-se mostrar que as secções 
perpendiculares ao eixo 
x
 e 
y
 são parábolas (tente visualizar porque isto é verdadeiro). Por esta 
razão, a superfície tem a forma de uma cuia. Ela é chamada parabolóide circular ou parabolóide de 
revolução. 
 
 
Figura: (a) As curvas de nível de 
22),( yxyxf 
 são círculos 
Cyx  22
. 
 (b) A superfície 
22 yxz 
 como uma cuia. 
Definição: 
Seja k um número real. Uma curva de nível 
kC
, de uma função 
),( yxfz 
 é o conjunto de todos os 
pontos 
)(),( fDyx 
, tais que 
kyxf ),(
. 
 
Simbolicamente, escrevemos: 
}),(/)(),{( kyxffDyxCk 
 
 
Exemplo: 
1) Para a função 
224 yxz 
, algumas curvas de nível são: 
:0C
 
440 2222  yxyx
; 
:
2
1C
 
4
154
2
1 2222  yxyx
; 
:1C
 
341 2222  yxyx
; 
:
2
3C
 
4
74
2
3 2222  yxyx
; 
 
Para 
2k
, a curva de nível é dada por 
0042 2222  yxyxyx
. Nesse caso, a 
curva se reduz a um ponto e é chamada curva degenerada. 
 
Para 
0k
 e 
2k
, as curvas de nível 
kC
 são conjuntos vazios. 
 
 13Na figura a seguir apresentamos as curvas de nível determinadas e, ilustramos a seção da superfície 
correspondente à curva de nível 
2
3C
. 
 
 
 Esboço de gráficos usando curvas de nível 
 
As curvas de nível são sempre subconjuntos do domínio da função 
),( yxfz 
, e portanto são traçadas 
no plano xy. Cada curva de nível 
kyxf ),(
 é a projeção, sobre o plano xy, da interseção do gráfico 
de f com o plano horizontal 
kz 
. 
 
Assim, para obtermos uma visualização do gráfico de f, podemos traças diversas curvas de nível e 
imaginarmos cada uma dessas curvas deslocada para a altura 
kz 
 correspondente. Nas próximas 
figuras ilustramos esse procedimento para as funções: 
22 yxz 
 e 
22 yxz 
. 
 
 
 
 
 
 14 
Observando as figuras anteriores, vemos que as curvas de nível de ambas as funções: 
22 yxz 
 e 
22 yxz 
 são circunferências de centro na origem. Assim utilizando somente as curvas de nível, 
podemos ter dificuldade em esboçar o gráfico corretamente. Um outro recurso muito útil para 
visualizar a forma do gráfico consiste em determinar a interseção deste com os planos coordenados yz 
e xz. 
 
 
 
A interseção do gráfico 
22 yxz 
 com os planos yz e xz são as semi-retas 
yz 
 e 
xz 
, 
0z
, respectivamente. Por sua vez, a interseção de 
22 yxz 
 com os planos yz e xz são, 
respectivamente, as parábolas 
2yz 
 e 
2xz 
. Essa informações ajudam-nos a ver que o gráfico de 
22 yxz 
 é um cone e que 
22 yxz 
 é um parabolóide. 
 
Linhas de comando no softwarwe MATLAB (MAT = Matriz; LAB = Labatório) 
 
Exemplo: Gráficos da superfície 
22 yxz 
 
1PUoU P)DEFINIÇÃO DO DOMÍNIO 
 
>> x=-5:0.01:5; 
>> y=-5:0.01:5; 
>> [X,Y]=meshgrid(x,y); 
 
OU SIMPLESMENTE 
 
>> [X,Y]= meshgrid(-5:0.01:5,-5:0.01:5); 
 
2PUOU P)DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO 
 
>> Z=X.^2+Y.^2; 
 
Realize cada um dos comandos ao lado e veja a 
diferença: 
 >> mesh(Z) 
 >> mesh(X,Y,Z) 
 >> surf(Z) 
 >> surf(X,Y,Z) 
 >> surface(Z) 
 >> surface(X,Y,Z) 
 >> countour3(X,Y,Z) 
 >> countour3(Z) 
 >> countour(X,Y,Z) 
 >> countour(Z) 
 >> countourf(X,Y,Z) 
 >> countourf(Z) 
 
Exercício: Dadas as funções a seguir, utilize o software MATLABP
 
Ppara gerar as curvas de nível e 
seus respectivos gráficos: 
1) 
22),( xyyxf 
 2) 
22 44 yxz 
 3) 
)(4 22 yxz 
 
4) 
222 yxz 
 5) 
224 zxy 
 6) 
1
24
22
2 
zy
x
 
 
 
 
 
 
 
 15 
 USANDO O SOFTWARE MAPLE V PP PARA PLOTAR AS CURVAS DE NÍVEL E 
GRÁFICOS DE SUPERFÍCIES 
 
1) Construir, usando o software Maple V P

P (versão 7.0), os gráficos e as curvas de nível das seguintes 
curvas: 
a) 
22),( yxyxf 
 (Parabolóide) 
 
> plot3d(x^2+y^2,x=-3..3,y=-3..3); 
> with (plots): 
> contourplot(x^2+y^2,x=-3..3,y=-3..3,color=black); 
 
 
 
 
, 
 
 
b) 
22),( yxyxf 
(cone) 
 
> plot3d(sqrt(x^2+y^2),x=-3..3,y=-3..3); 
> with (plots): 
> contourplot(sqrt(x^2+y^2),x=-3..3,y=-3..3,contours=30,color=black); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
c) 
22),( yxyxf 
 
> plot3d(x^2-y^2,x=-3..3,y=-3..3); 
> with (plots): 
> contourplot(x^2-y^2,x=-3..3,y=-3..3,color=black); 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
22),( xyyxf 
 
> with (plots): 
> contourplot(y^2-x^2,x=-4..4,y=-4..4,color=black,contours=10); 
 
e) 
22),( yxyxf 
 
> with (plots): 
> contourplot(x^2+y^2,x=-3..3,y=- 3..3,contours=30,color=black); 
 
 
 
 17 
2) Outros exemplos de gráficos tridimensionais no Maple V (versão 7.0) 
 
a) 
22
),( yxexyyxf 
 
 
> plot3d(x*y*exp(-x^2-y^2), x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
b) 
22
),( yxexyxf 
 
 
> plot3d(x*exp(-x^2-y^2), x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
c) 
22
),( yxeyyxf 
 
 
> plot3d(y*exp(-x^2-y^2), x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
 18 
d)
5
33
),( 22


yx
yxyxyxf
, 
3333  yex
 
 
> plot3d(x^2+x*y+y^2+3/x+3/y+5,x=-3..3,y=-3..3); 
 
 
e)
5
33
),( 22


yx
yxyxyxf
, 
2222  yex
 
 
> plot3d(x^2+x*y+y^2+3/x+3/y+5,x=-2..2,y=-2..2); 
 
 
f)
5
33
),( 22


yx
yxyxyxf
, 
4444  yex
 
 
> plot3d(x^2+x*y+y^2+3/x+3/y+5,x=-4..4,y=-4..4); 
 
 
 19 
3) Construir os seguintes gráficos, usando o software Maple V P

P (versão 7.0), dada a função e o 
domínio da mesma. 
a) 
8888),ln(),( 22  yexyxyxf
, na cor cinza (gray) 
> plot3d(ln(x^2+y^2),x=-8..8,y=-8..8,color=gray); 
 
b) 
3333),ln(),( 22  yexyxyxf
, , na cor padrão do Maple V (versão 7.0) 
 
> plot3d(ln(x^2+y^2),x=-3..3,y=-3..3); 
 
 
c) 
3333,),( 222  yexyxsenyxf
, na cor padrão do Maple V (versão 7.0) 
> plot3d( (sin(sqrt(x^2+y^2))^2 ),x=-3..3,y=-3..3); 
 
 
 20 
d) 
3333,
1
5
),(
22


 yex
yx
x
yxf
, na cor azul (blue) 
> plot3d(-5*x/(x^2+y^2+1),x=-3..3,y=-3..3,color=blue); 
 
 
e) 
3333,
)(
),(
22
22



 yex
yx
yxsen
yxf
 na cor verde (green) 
> plot3d(sin(x^2+y^2)/(x^2+y^2),x=-3..3,y=-3..3,color=green); 
 
 
 21 
4) Use a função TIMPLICITIPLOT => GRÁFICOS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS 
a) 
1622  yx
 (Circunferência) 
> with(plots): 
> implicitplot(x^2+y^2=16,x=-5..5,y=-5..5); 
 
b) 
1
94
22

yx
 (Elipse) 
> with(plots): 
> implicitplot(x^2/4+y^2/9=1,x=-3..3,y=-4..4); 
 
 
c) 
1
94
22

yx
 (Hipérbole) 
> with(plots): 
> implicitplot(x^2/4-y^2/9=1,x=-3..3,y=-4..4); 
 
 
 
 22 
d) 
222 yxz 
 (cones) 
> with(plots): 
> implicitplot3d(z^2=x^2+y^2,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3,color=gray); 
> implicitplot3d(z^2=x^2+y^2,z=-2..2,y=-2..2,x=-2..2); 
 
 
 
 
 
 
e) 
9222  zyx
 (Esfera) 
> with(plots): 
> implicitplot3d(x^2+y^2+z^2=9,x=-3..3,y=-3..3,z=-3..3); 
 
 
 
 23 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS 
 
1) Dada a função f(x, y) = x P2P – yP2P + 3x – 4, calcule: 
a) f(0 ,0) = 
b) f(3, 4) = 
c) f(2, t) = 
d) os valores de x para os quais f(x, y) = - yP2P 
 
Resposta: a) – 4 b) – 2 c) 6 – tP2P d) x = - 4 ou x = 1 
 
2) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: 
a) O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de 
altura. 
b) A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura x e 
comprimento y. 
c) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais 
de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do quarto é z 
metros. 
d) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, y e z. 
e) A distância entre dois pontos 
),,( 1111 zyxP
 e 
),,( 2222 zyxP
. 
f) A temperatura nos pontos de uma esfera, se ela, em qualquer ponto, é numericamente igual a 
distância do ponto ao centro da esfera. 
 
Resposta: a) 
yyxV 2 x),( 
 b) 
)(2),( yxyxf 
 c) 
)(2),,( yzxzzyxf 
 
 d) 
xyzzyxV ),,(
 e) 
2
12
2
12
2
1221 )()()(),( zzyyxxPPd 
 
 f) 
222),,( zyxzyxT 
 
 
3) Uma loja vende um certo produto P de duas marcas distintas, A e B. A demanda do produto com 
marca A depende do seu preço e do preço da marca competitiva B. A demanda do produto com 
marca A é: 
yxDA 2050300.1 
 unidades/mês, e do produto com marca B é: 
yxDB 2012700.1 
 unidades/mês, onde x é o preçodo produto A e y é o preço do produto B. 
Escrever uma função que expresse a receita total mensal da loja, obtida com a venda do produto P. 
 
Resposta: a) 
22 205032700.1300.1),( yxxyyxyxR 
 
 
4) Determine o domínio das seguintes funções reais de várias variáveis reais. 
a) 
22 yxz 
 
b) 
221
7
yx
z


 
Resposta: 
2D
 Resposta: 
}1/),{( 222  yxyxD
 
c) 
vuzyx
vuzyxf


5
),,,,(
 Resposta: 
}0/),,,,{( 5  vuzyxvuzyxD
 
Esse domínio não tem representação gráfica, pois são subconjuntos do espaço 
5
. 
 
 
 
 
 24 
5) Determine, em cada caso, o maior subconjunto de 
3
 no qual são definidas as funções: 
a) 
2229
4
),,(
zyx
xyz
zyxf


 
Resposta:
}9zy x/ ),,{( 2223  zyxD
, ou seja, uma bola aberto de centro na origem e raio 3 
 
b) 
2222 364 zyxyzxw 
 
Resposta: 
}36zy x/ ),,{( 2223  zyxD
, ou seja, uma esfera de centro na origem e raio 6. 
 
c) 
xyz
zyx
w
2

 
Resposta: 
} 0z 0y e 0 x/ ),,{( 3  ezyxD
. 
 
d) 
25)1()3()2( 222  zyxw
 
Resposta:
}25((/),,{( 3  222 1)-z3)-y2)-(x zyxD
,ou seja, uma esfera de centro no ponto 
(2, 3, 1) e raio 5. 
 
6) Determine e construa um esboço do domínio das funções: 
a) 
22
22
),(
yx
yx
yxf



 
Resposta: 
}0y e 0 x/ ),{( 2  yxD
, ou seja, 
)}0,0{(2 D
. 
 
b) 
2
2
12
4
2
xx
yy
yx
z 



 
Resposta: 
}4y0 e 4x3- / ),{( 2  yxD
 
 
c) 
yx
yx
yxf


),(
 
Resposta: Semi-planos abertos 
}/),{( 2 yxyx 
 
 
d) 
)( ln),( xyyxf 
 
Resposta: Semi-plano aberto 
}/),{( 2 xyyx 
 
 
e) 

















2
4
.
96
34
),(
2
2
2
y
y
xx
xx
yxf
 
Resposta: 
}2y e 3/),{( 2  xyxD
 
 
 
 
 25 
7) Dadas as funções reais de várias variáveis reais, determine o domínio e represente-o 
geometricamente. 
a) 
224),( yxyxf 
 b) 
22
1
),(
yx
yxf


 
Resposta: 
}4/),{( 222  yxyxD
 
 
Resposta: 
} /),{( 2 yxyxD 
 
 
 
c) 
y)-(x ln),( yxf
 d) 
22216),,( zyxzyxf 
 
Resposta: 
}/),{( 2 yxyxD 
 
 
Resposta: 
}16/),,{( 2223  zyxzyxD