Prof. Rafael Faria - Probabilidade e Estatística - Aula 06

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Probabilidade e Estatística
MAT013
Professor: Rafael Faria
Desigualdade de Chebyshev
Lei dos Grandes Números
Momentos
Assimetria
Curtose
Outras distribuições
Exemplos
Sumário
Propriedade geral de variáveis aleatórias contínuas ou discretas com média e variância finitas
Desigualdade de Chebyshev
A desigualdade calcula a probabilidade de X diferir da média em k desvios padrões
Para K = 2
A probabilidade de X diferir em 2 desvios padrões de sua média é de 25%, no máximo.
Desigualdade de Chebyshev
Sendo X1, X2, ... Xn variáveis aleatórias com média µ, então:
Lei dos Grandes Números
O momento de ordem r de uma variável aleatória em relação à média é definido por:
Momentos
Para r = 1:
Para r = 2:
Momentos
Distribuições em que uma cauda é mais longa que a outra
Algumas formas de avaliar:
Momento
Se α>0 => Assimetria à direita
Se α<0 => Assimetria à esquerda
Se α=0 => Simétrica
Coeficiente de Assimetria
Coeficientes de Pearson
1º Coeficiente de Pearson
As > 0 => Assimetria à direita
As < 0 => Assimetria à esquerda
As = 0 => Simétrico
2º Coeficiente de Pearson
As > 0 => Assimetria à direita
As < 0 => Assimetria à esquerda
As = 0 => Simétrico
Coeficiente de Assimetria
Coeficiente quartílico de assimetria
Coeficiente percentílico de assimetria
Coeficiente de Assimetria
Coeficiente de Assimetria
Uma medida do grau de achatamento da distribuição
Curtose
Outra maneira de avaliar:
Coeficiente percentílico de curtose
Curtose
Curtose
Determinar Coeficiente de Assimetria e Curtose para a distribuição abaixo:
Exemplo
20
18
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18
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23
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32
19
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22
26
27
31
Exemplo
Não obedece o teorema central do limite
Distribuição de Cauchy
Distribuição de Cauchy
Distribuição Gama
É adequada para a teoria dos contadores aleatórios e outros processos estocásticos associados com o tempo, em particular, aqueles relativos às precipitações meteorológicas e aos estudos envolvendo tempos de vida de componentes.
Caso especial da distribuição gama
A distribuição qui-quadrado é uma distribuição contínua de grande importância para a inferência estatística. 
Distribuição Qui-Quadrado
Distribuição Qui-quadrado
Distribuição utilizada para diversos casos desde modelagem estatística até teste de hipóteses
Distribuição t de Student
Distribuição t de Student
Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial
Quando em uma distribuição de probabilidades da variável x, os logaritmos destes valores obedecem a uma distribuição normal.
Então:
Distribuição Log-Normal
Distribuição Log-Normal
Em uma família com 4 filhos qual a probabilidade de:
	a) ao menos um menino
	b) ao menos uma menino e ao menos uma menina
	
Supor que a probabilidade de menino e menina é a mesma (0,5)
Exemplo 1
O diâmetro interior médio de uma amostra de 200 arruelas é de 0,502 cm e o desvio padrão é de 0,005 cm.
As dimensões extremas toleráveis são de 0,496 cm a 0,508 cm para o diâmetro interno.
Determine a porcentagem de arruelas defeituosas produzidas supondo os diâmetros distribuídos normalmente.
Exemplo 2
Determinar o escore z
Utilizar a tabela
P(dentro do tolerável) = 2x 38,49% = 76,98%
P(rejeitar) = 1 – 76,98% = 23,02%
Exemplo 2
Qual a probabilidade de se obter entre 3 e 6 caras em 10 jogadas de uma moeda?
	a) Distribuição binomial
	b) Distribuição aproximada para normal
Exemplo 3
Binomial
P(3) = 15/128
P(4) = 105/512
P(5) = 63/256
P(6) = 105/512
P(total) = 99/128 = 77,34%
Exemplo 3
μ = np = 10 * 0,5 = 5
σ = sqrt(npq) = 1,58
Correção de continuidade
Padronização dos valores
Utilizar tabela
Exemplo 3
P(total) = P(6,5) –P(2,5) = 0,8289-0,0571
P(total) = 77,18 %
Exemplo 3
10% das peças produzidas por um certo processo acusam defeitos. Qual a probabilidade de que numa amostra aleatória de 10 peças, exatamente duas sejam defeituosas.
Exemplo 4
Binomial
P(2) = 19,37%
Poisson
P(2) = 18,39%
Exemplo 4
A probabilidade de reação negativa a determinada vacina é de 0,001. Qual a probabilidade de que em 2000 indivíduos mais de 2 sofram reações adversas?
Exemplo 5
P(>2) = 1-P(0) –P(1) – P(2)
P(>2) = 32,3%
Exemplo 5
Uma caixa contém 6 fichas azuis e 4 vermelhas. Qual a probabilidade de serem extraídas exatamente 3 fichas azuis em 5 extrações.
Exemplo 6
Hipergeométrica
P(3) = C(6,3)*C(4,2)/C(10,5) = 10/21
Exemplo 5
Determine a probabilidade de que em uma sequência de jogadas de dado o número 3 apareça na quinta jogada.
Exemplo 6
P(não 3) = 5/6
P(3) = 1/6
P(3 na quinta jogada) = 625/7776
Exemplo 6