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Análise Combinatória Teoria e Exercícios

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Parte Teórica – Análise Combinatória
A análise combinatória é a área da matemática que estuda os métodos de contagem. O objetivo da análise combinatória é desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob determinadas condições.
Princípio fundamental da contagem:
Imagine que um experimento pode ser realizado em duas etapas. A primeira etapa tem 2 resultados possíveis e a segunda etapa tem 3 resultados possíveis. Qual o número de total de possíveis resultados para o experimento?
O total de resultados é (1,1); (1,2); (1,3); (2,1); (2,2); (2,3) = 6.
Fatorial: Seja n um número inteiro e não-negativo. O fatorial de n (símbolo: n!) seria:
n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Exemplos:
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
3! = 3 x 2 x 1 = 6
1! = 1
0! = 0
Permutação simples: É o número de maneiras diferentes que podem ser formadas pelos elementos de um determinado problema. Essas maneiras diferem-se umas das outras de acordo com a ORDEM dos elementos.
Exemplo: Os elementos E, C e F. Podem formar as seguintes permutações: ECF, CEF, FCE, EFC, FEC e CFE. Um total de 6 maneiras diferentes de agrupar esses 3 elementos (as letras E, C e F).
P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6.
Anagrama: É o agrupamento formado pelas letras de uma palavra. O agrupamento pode resultar em uma palavra que pode ter ou não significado na nossa linguagem.
Permutações de elementos onde nem todos são distintos.
Exemplo: Quantos anagramas a palavra MESTRE possui?
P6,2 = 6! / 2! = (6 x 5) / 2 = 15 anagramas.
Arranjo: Se eu desejo agrupar 5 bolinhas de diferentes cores (azul, verde, amarelo, roxo e vermelho) em grupo de 2 em 2, é necessário fazer um arranjo. No arranjo, é importante ressaltar que a ORDEM SEMPRE IMPORTA:
A (5,2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 x 4 = 20 maneiras diferentes.
Combinação: A diferença do arranjo para a combinação é que na combinação a ORDEM NÃO IMPORTA.
Se pegarmos o exemplo anterior das bolinhas, não importa se, no grupo de 2 bolinhas, a bolinha amarela estará na frente da roxa ou não. Na combinação a ordem não será fator preponderante. Teríamos, então:
C (5,2) = 5! / (3! x 2!) = (5 x 4) / 2 = 20/2 = 10 maneiras diferentes.
Exercícios – Análise Combinatória
1)Calcule o número de combinações possíveis formados com 8 objetos tomados 3 a 3.
2)Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola é escolhida ao acaso d a urna e verifica-se que não é preta. 
Qual a probabilidade de a bola ser amarela?
3) O número do cartão de crédito é com posto de 16 algarismos. Eduardo teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com 3 e tem todos os algarismos distintos. Qual a quantidade exata de números satisfazendo essas condições?
4) Marcam-se 5 pontos sobre uma reta r e 8 pontos sobre uma reta s paralela a r. Qual o número exato de triângulos que existem com vértices em 3 desses 13 pontos?
5)Quantos anagramas podemos formar com a palavra BANANADA?
6) Com a palavra LIVRO, podemos formar quantos anagramas que iniciam com vogal e terminam com uma consoante?
7)Dois dados perfeitos e distinguíveis são lançados ao acaso. Calcule a probabilidade de que a soma dos resultados obtidos seja 3 ou 6.
8)De um grupo de 8 deputados federais e 6 senadores será escolhida uma comissão de 5 parlamentares. De quantos modos diferentes é possível formar a comissão?
9)Considere um grupo de 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos pode-se formar um grupo de três pessoas, onde estão, pelo menos, 2 mulheres?
10)Uma sala possui 5 lâmpadas. De quantos modos diferentes esta sala pode ficar iluminada?
Desafio: Dadas 3 urnas numeradas por I, II e III e 10 bolas numeradas de 1 a 10. De quantos modos podemos distribuir as bolas nas urnas, sabendo-se que cada uma deve ter no mínimo 2 bolas e, no máximo, 4 bolas.

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